高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量测评新人教A 版选
修21
第三章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．若平面α外直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,1)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 答案 D
解析 若l ∥α，则a ·n ＝0，只有选项D 中a ·n ＝0.
2．已知A (1,2，－1)，B 为A 关于平面xOy 的对称点，C 为B 关于y 轴的对称点，则BC →＝( )
A ．(－2,0，－2)
B ．(2,0,2)
C ．(－1,0，－1)
D ．(0，－2，－2) 答案 A
解析 由题意可知B (1,2,1)，C (－1,2，－1)，∴BC →
＝(－2,0，－2)． 3．以下四组向量中，互相平行的组数为( ) ①a ＝(2,2,1)，b ＝(3，－2，－2)； ②a ＝(8,4，－6)，b ＝(4,2，－3)； ③a ＝(0，－1,1)，b ＝(0,3，－3)； ④a ＝(－3,2,0)，b ＝(4，－3,3)． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B
解析 ∵②中a ＝2b ，∴a ∥b ；③中a ＝－1
3b ，∴a ∥b ；而①④中的向量不平行．故选B.
4．已知a ＝(1，x,1)，b ＝(2,1，－1)的夹角为锐角，则函数y ＝x 2
＋4x －1的值域是( ) A ．(－∞，3) B ．(－∞，－3) C ．(－4，＋∞) D ．(－∞，－4)
答案 C
解析 因a ＝(1，x,1)，b ＝(2,1，－1)的夹角为锐角，则a·b >0，同时a ＝(1，x,1)，b ＝(2,1，－1)不共线，即2＋x －1>0，得x >－1，则y ＝x 2
＋4x －1＝(x ＋2)2
－5>－4，故选C.
5．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →
，则
a ＋
b 为( )
A ．(5，－9,2)
B ．(－5,9，－2)
C ．(5,9，－2)
D ．(5，－9，－2) 答案 B
解析 ∵a ＝CA →
＝(－1,0，－2)，
b ＝CB →
＝(－4,9,0)，∴a ＋b ＝(－5,9，－2)．
6．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝1
3，y ＝1
B ．x ＝1
2，y ＝－4
C ．x ＝2，y ＝－1
4
D ．x ＝1，y ＝－1
答案 B
解析 由题意知，a ＋2b ＝(2x ＋1,4,4－y )，2a －b ＝(2－x ，3，－2y －2)．∵(a ＋2b )∥(2a －b )，
∴存在实数λ，使a ＋2b ＝λ(2a －b )，
∴????
?
2x ＋1＝λ(2－x )，4＝3λ，4－y ＝λ(－2y －2)，
解得?????
λ＝4
3
，
x ＝1
2，y ＝－4.
7．已知向量i ，j ，k 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3k ，n ＝－i ＋5j －4k ，则m ·n ＝( ) A ．7 B ．－20 C ．28 D ．11 答案 C
解析 因为m ＝(0,8,3)，n ＝(－1,5，－4)，所以m ·n ＝0＋40－12＝28.
8．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －
PB －C 的平面角的正切值为( )
A. 6
B. 3
C.66
D.6
2
答案 A
解析 设PA ＝AB ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B (0,2,0)，C (3，1,0)，P (0,0,2)．∴BP →＝(0，－2，2)，BC →
＝(3，－1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量．则???
??
BP →·n ＝0，
BC →·n ＝0，
即??
?
－2y ＋2z ＝0，
3x －y ＝0.
令y ＝1，则x ＝
33，z ＝1.即n ＝? ??
??33，1，1.易知m ＝(1,0,0)是平面PAB 的一个法向量．则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3
3
1×
213
＝7
7
.∴tan 〈m ，n 〉＝ 6.故选A.
9．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →
取得最小值时，点Q 的坐标为( )
A.? ????12，34，13
B.? ????12，32，34
C.? ????43，43，83
D.? ??
??43，43，73 答案 C
解析 ∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA →＝(1－x ，2－x,3－2x )，QB →
＝(2－x,1－x,2－2x )．∴QA →·QB →＝6x 2－16x ＋10，∴当x ＝43
时，QA →·QB →最小，这时Q ? ??
??43，43，8
3
.
10．已知E ，F 分别是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1的中点，则截面AEFD 1
与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( )
A.23
B.23
C.53
D.233 答案 C
解析 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则A (1,0,0)，E ? ????12，1，0，F ? ????0，1，12，D 1(0,0,1)．所以AD 1→＝(－1,0,1)，AE →＝? ????－12，1，0.设平面AEFD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则???
??
n ·AD 1→＝0，
n ·AE →＝0
?????
?
－x ＋z ＝0，－x
2
＋y ＝0.∴x ＝2y ＝
z ，取y ＝1，则n ＝(2,1,2)．而平面ABCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，
∵cos 〈n ，u 〉＝23，∴sin 〈n ，u 〉＝5
3
.故选C.
11．在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 分别是x 轴、y 轴、z 轴的方向向量，设a 为非零向量，且〈a ，i 〉＝45°，〈a ，j 〉＝60°，则〈a ，k 〉＝( )
A ．30° B．45° C．60° D．90° 答案 C
解析 如图所示，
设|a |＝m (m >0)，a ＝OP →
，PA ⊥平面xOy ，AB ，AC ，PD 分别为x 轴、y 轴、z 轴的垂线， 则在Rt △PBO 中，
|PB |＝|OP →
|sin 〈a ，i 〉＝22m .
在Rt △PCO 中，
|OC |＝|OP →
|cos 〈a ，j 〉＝m 2，∴|AB |＝m 2
.
在Rt △PAB 中，|PA |＝|PB |2
－|AB |2
＝
24m 2－m 2
4＝m 2，∴|OD |＝m
2
. 在Rt △PDO 中，cos 〈a ，k 〉＝|OD ||OP |＝12，又0°≤〈a ，k 〉≤180°，∴〈a ，k 〉＝60°.
12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：
①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 所成的角为60°；④AB 与CD 所成的角为60°.其中错误的结论是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④ 答案 C
解析 如图所示，
建立空间直角坐标系Oxyz ，设正方形ABCD 的边长为2，则D (1,0,0)，B (－1,0,0)，
C (0,0,1)，A (0,1,0)，所以AC →＝(0，－1,1)，B
D →＝(2,0,0)，AC →·BD →
＝0，
故AC ⊥BD .①正确．
又|AC →|＝2，|CD →|＝2，|AD →
|＝2， 所以△ACD 为等边三角形．②正确． 对于③，OA →
为面BCD 的一个法向量，
cos 〈AB →，OA →
〉＝AB →·OA →
|AB →||OA →|＝(－1，－1，0)·(0，1，0)2×1
＝
－12
＝－2
2.
因为直线与平面所成的角∈[]0°，90°， 所以AB 与平面BCD 所成的角为45°.故③错误． 又cos 〈AB →，CD →
〉＝AB →·CD →
|AB →||CD →|
＝
(－1，－1，0)·(1，0，－1)2×2
＝－1
2.
因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以AB 与CD 所成的角为60°.故④正确．
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，
AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．
答案
23
解析 因为AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，所以AC ′→2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′→|2＋2AB →·AD →
＋2AB →·AA ′→＋2AD →·AA ′→
＝1＋4＋9＋2×1×2×cos90°＋2×1×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝23，即|AC ′→
|＝23.故AC ′的长为23.
14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 答案
63
解析 如图，
以DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则
A (1,0,0)，
B (1,1,0)，
C 1(0，1,1)，易证AC 1→是平面A 1B
D 的一个法向量.AC 1→＝(－1，1,1)，BC 1→
＝
(－1,0,1)．
则cos 〈AC 1→，BC 1→
〉＝1＋13×2＝63.
所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为
63
. 15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为AF 的中点．沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为________．
答案
3
解析 如图，
过K 作KM ⊥EF ，垂足M 为EF 的中点，连接MG ，KG ，则向量MK →与FC →的夹角为120°，〈KM →
，
FC →
〉＝60°.又KG →＝KM →＋MG →＝KM →＋FC →
，
∴KG →2＝KM →2＋FC →2＋2KM →·FC →＝1＋1＋2×1×1×cos60°＝3.∴|KG →
|＝ 3.
16．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则A 1到平面MBD 的距离为________．
答案
66
a 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
则D (0,0,0)，B (a ，a,0)，M ? ?
???
a ，0，a 2，A 1(a,0，a )，设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，
z )，则???
??
n ·DM →＝0，
n ·DB →＝0，
即?????
ax ＋a 2z ＝0，ax ＋ay ＝0，
令x ＝1，则z ＝－2，y ＝－1，
∴n ＝(1，－1，－2)．
∴A 1到平面MBD 的距离d ＝|DA 1→
·n ||n |＝a 6＝6
6
a .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →
，
b ＝AC →
.
(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；
(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解 a ＝AB →
＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，
b ＝AC →
＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．
(1)cos θ＝
a ·
b |a ||b |＝－1＋0＋02×5
＝－10
10， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－
10
10
.
(2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，
k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，
∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)·(k ＋2)＋k 2
－8＝0，即2k 2
＋k －10＝0，∴k ＝－5
2
或k ＝2.
18．(本小题满分12分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．
(1)化简12AA 1→＋BC →＋23
AB →
，并在图上标出结果；
(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N ＝14C 1B ，设MN →＝αAB
→
＋βAD →＋γAA 1→
，试求α，β，γ的值．
解 (1)如图所示，
取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连接EF ，则 12AA 1→＋BC →＋23AB → ＝EA 1→＋A 1D 1→＋D 1F →＝EF →. (2)MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34
BC 1→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC 1→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA 1→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34
.
19．(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥
BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.
(1)证明：AC ⊥B 1D ；
(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值． 解 (1)由题意易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直． 如图，
以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设
AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而B 1D →
＝(－t,3，－3)，AC →
＝(t,1,0)，BD →
＝(－t,3,0)．
因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2
＋3＋0＝0.
解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1,0)．因为AC →·B 1D →
＝－3＋3＋0＝0，
所以AC →⊥B 1D →
，即AC ⊥B 1D .
(2)由(1)知，AD 1→＝(0,3,3)，AC →＝(3，1,0)，B 1C 1→
＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的法向量，则???
??
n ·AC →＝0，
n ·AD 1→＝0，
即??
?
3x ＋y ＝0，
3y ＋3z ＝0.
令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则
sin θ＝|cos 〈n ，B 1C 1→
〉|＝|n ·B 1C 1→||n ||B 1C 1→|
＝37＝21
7.
即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为
21
7
.
20．(本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．
(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；
(2)已知EF ＝FB ＝1
2
AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F －BC －A 的余弦值．
解 (1)证明：设FC 的中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF .
又EF ∥OB ， 所以GI ∥OB .
在△CFB 中，因为H 是FB 的中点， 所以HI ∥BC .
又HI ∩GI ＝I ，OB ∩BC ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ?平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC .
(2)解法一：连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC . 又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC .
以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)．
过点F 作FM 垂直OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2
－BM 2
＝3，
可得F (0，3，3)．
故BC →＝(－23，－23，0)，BF →
＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量， 由???
??
m ·BC →＝0，
m ·BF →＝0，
可得??
?
－23x －23y ＝0，
－3y ＋3z ＝0.
可得平面BCF 的一个法向量m ＝? ??
??－1，1，
33. 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，
所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝7
7
.
所以二面角F －BC －A 的余弦值为
77
. 解法二： 连接OO ′.过点F 作FM 垂直OB 于点M ，
则有FM ∥OO ′. 又OO ′⊥平面ABC ， 所以FM ⊥平面ABC . 可得FM ＝FB 2
－BM 2
＝3.
过点M 作MN 垂直BC 于点N ，连接FN . 可得FN ⊥BC ，
从而∠FNM 为二面角F －BC －A 的平面角． 又AB ＝BC ，AC 是圆O 的直径， 所以MN ＝BM sin45°＝62
， 从而FN ＝
422，可得cos ∠FNM ＝77
. 所以二面角F －BC －A 的余弦值为
7
7
.
21．(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是以∠
ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ？若存在，求出AF ，若不存在，说明理由．
解 假设存在F 点，使CF ⊥平面B 1DF .
不妨设AF ＝b ，则F (2a,0，b )．又C (0，2a,0)，B 1(0,0,3a )，D ?
??
??22a ，22a ，3a ，
则CF →＝(2a ，－2a ，b )，B 1F →＝(2a,0，b －3a )，B 1D →＝? ????2
2a ，22a ，0.
∵CF →·B 1D →＝a 2－a 2
＋0＝0， ∴CF →⊥B 1D →
恒成立．
由B 1F →·CF →＝2a 2＋b (b －3a )＝b 2－3ab ＋2a 2
＝0，得
b ＝a 或b ＝2a .
∴当AF ＝a 或AF ＝2a 时，CF ⊥平面B 1DF .
22．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．
(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．
解 (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，
则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)． 所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →
＝(1，－1，－4)． 因为cos 〈A 1B →，C 1D →
〉 ＝
A 1
B →·
C 1D
→
|A 1B →||C 1D →|
＝
18
20×18
＝31010，
所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为310
10.
(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→
＝(0,2,4)， 所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→
＝0， 即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0. 取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2，
所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量． 取平面ABA 1的一个法向量为n 2＝(0,1,0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝5
3.
因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为5
3
.