人大附中2021届高三数学试卷
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，
，则A B =（ ）
A.{
}4
π
B.}
C.{(}4π
D. 以上答案都不对
2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ ）
A ．2- B.2 C.12-
D.1
2
3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ ）
A.1
2
y x = B.1sin sin y x x
=+
C.2log y x =
D.x x y e e -=-
4. 已知抛物线2
12y x =-的焦点与双曲线22
14
x y a -=的一个焦点重合，则a =（ ）
C.5
D.
5. 已知3log 6a =，54log b =，若12
log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ ）
A.
1
8
B.
14
C.
12
D.1
6．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8. 已知函数()sin()f x A x ω?=+（A ，ω，?均为正的常数）的最小正周期为π，当23
x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A. (2)(2)(0)f f f <-<
B.(0)(2)(2)f f f <<-
C. (2)(0)(2)f f f -<<
D.(2)(0)(2)f f f <<-
9．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．
52 D ．32
10.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且
,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最
后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ） A. 每场比赛的第一名得分a 为4 B.甲至少有一场比赛获得第二名 C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D.丙至少有一场比赛获得第三名
二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则
11i
i
-+的虚部为 ． 12．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆
的离心率为 ．
13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a
234+1_______.n a a a a +++???+=
14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：
①是等腰三角形； ②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P . 则椭圆的离心率的取值范围是 ．
15.已知集合{
}
22
()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论：
① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>12,F F P 12F F P ?12F F P ?12F F P ?C C
②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；
③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；
④白色“水滴”图形的面积是
1136
π-.
其中正确的有 ．
三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分）
已知2
()sin cos cos ()4
f x x x x π
=-+.
（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；
（Ⅰ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ??
== ???
,求ABC ?面积的最大值.
17. （本小题满分12分）
设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．
（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；
（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．
18. （本小题满分12分）
已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ?的最大值.
四、选做题（本小题满分10分）
设函数()e cos ,
()x
f x x
g x =为()f x 的导函数．
（Ⅰ）当,42x ππ??
∈????
时，证明()()02f x g x x π??+-≥ ??
?
；
（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ?
?
π+
π+ ???
内的零点，其中n ∈N ，证明200
22sin c s e o n n n x x x -π
ππ+-<-．
人大附中2021届高三数学试卷答案
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，
，则A B =（ D ）
A.{
}4π
B.}
C.{(}4π
D. 以上答案都不对
2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ A ）
A ．2- B.2 C.12-
D.12
3．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ D ）
A.1
2
y x = B.1sin sin y x x
=+
C.2log y x =
D.x x y e e -=-
4. 已知抛物线2
12y x =-的焦点与双曲线22
14
x y a -=的一个焦点重合，则a =（ C ）
C.5
D.
5. 已知3log 6a =，54log b =，若12
log a m b >>，m *∈N ，
则满足条件的m 可以为（ C ） A.
1
8
B.
14
C.
12
D.1
6．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ D ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
8. 已知函数()()sin f x x ω?=A +（A ，ω，?均为正的常数）的最小正周期为π，当
23
x π
=
时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ A ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 9．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为（ B ） A ．3 B ．2 C ．
52 D ．32
10.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们 还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且
,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最
后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（C ）
A. 每场比赛的第一名得分a 为4
B.甲至少有一场比赛获得第二名
C.乙在四场比赛中没有获得过第二名
D.丙至少有一场比赛获得第三名
二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则
11i
i
-+的虚部为 ．-1
12．已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆
的离心率为 ． （答案：2
1
-5）
13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,
n n a a S n +===.则3=_______;a
234+1_______.n a a a a +++???+= 63 1.n
-；
14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：
①是等腰三角形；
②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P .
则椭圆的离心率的取值范围是___________.1
(,2-1)3
15.已知集合{
}
22
()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成
的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则
23CD =+；
④白色“水滴”图形的面积是
1136
π-.
其中正确的有__________．②④
三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分） 设2
()sin cos cos ()4
f x x x x π
=-+
.
22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>12,F F P 12F F P ?12F F P ?12F F P ?C C
（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；
（Ⅰ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ??
== ???
,求ABC ?面积的最大值.
解：（Ⅰ）由题意1cos(2)
12()sin 222
x f x x π
++=- x x 2sin 21212sin 21+-= 2
1
2sin -=x . …………………………………………2分 由 ππ
ππk x k 22
3222+≤≤+, 得ππππk x k +≤
≤+434(Z k ∈), 所以)(x f 的单调递增区间是]4
,4[ππ
ππk k ++-（Z k ∈）. ……………………4分
（II ）
11
()sin 0,sin 222
A f
A A =-=∴= 由题意A 是锐角，所以 cos 2
A =
, …………………………………………6分 由余弦定理：
A bc c b a cos 2222-+= 2212b c bc
=+≥可得
323
21
+=-≤∴bc ，且当c b =时成立. (9)
分
2sin 4bc A +∴≤
,ABC ?∴面积最大值为4
3
2+.………………………11分 17. （本小题满分12分）
设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．
（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；
（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围． 解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，
即22e
()3e 3x
x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，
所以0m =. ……………… 1分
此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.
由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 2分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：
所以(h 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增.………… 4分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 5分
（Ⅰ）由2
()e 30x
f x m x =-+=，得23
e
x x m -=.
所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()e
x x g x -=，
[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 6分
对函数()g x 求导，得2
23
()e
x
x x g x -++'=. ……………… 7分 由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 8分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：
所以g 在(2,1)--，上单调递减，在(1,3)-上单调递增. ………… 10分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =
<-，4
13(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线2
3
()e
x x g x -=，[2,4]x ∈-有且只
有两个公共点. 即当4
132e e
m -<<
或36
e m =时，函数()
f x 在区间[2,4]-上有两个零点.…… 12分 18. （本小题满分12分）
已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径
的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ?的最大值.
18.解：（Ⅰ）因为椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>过点(1,2P ，(Q ，
所以2211
1,2a a b
?=?
?+=??
得1,a b ?=??=?
? 故椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=．……………………………4分 （Ⅰ）由题易知直线l 的斜率不为0，设l ：1x ty =+，
由22
1,1,2
x ty x y =+???+=??得22(2)210t y ty ++-=，显然0?>.
设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212
2221
,22t y y y y t t --+==++.……5分
又12AB y =
-=
==………………………7分
以FP
为直径的圆的圆心坐标为(1,
4
，半径为4
r =， 故圆心到直线l
的距离为d ==
所以EF ===
分
所以AB EF ?=
== 因为211≥t +，所以22
1(1)21≥t t ++
+，即221114(1)21
≤t t ++++．
所以1≤AB FE ?=．…………………………………11分
当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ?=， 所以AB FE ?的最大值为1．………………………………12分
四、选做题（本小题满分10分）
设函数()e cos ,
()x
f x x
g x =为()f x 的导函数．
（Ⅰ）当,42x ππ??
∈????
时，证明()()02f x g x x π
??+-≥ ??
?
；
（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ?
?
π+
π+ ???
内的零点，
其中n ∈N ，证明200
22sin c s e o n n n x x x -π
ππ+-<-．
（Ⅰ）证明：记()()()2h x f x g x x π??
=+-
???
．依题意有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ??
∈ ???
时，0()g'x <，故
()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ????
=+-+-=-< ? ?????
．………………….2分
因此，()h x 在区间,42ππ??
?
???
上单调递减，进而()022h x h f ππ????≥== ? ?????．
所以，当,42x ππ??
∈????
时，()()02f x g x x π
??+-≥ ??
?
．…….……………………….4分
（Ⅱ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则
,42n y ππ??
∈ ???
，且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．
因为()()20e 1n n f y f y -π
==≤及（Ⅰ），所以0n y y ≥． (6)
分
由（I ）知当,42x ππ??∈
???时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ??
????
上为减函数， 因此()()004n g y g y g π??
≤<=
???
． 又由（I ）知，()()02n n n f y g y y π??
+-≥
???
， ………………………………….8分 故()()()()()022*******
2s e e e e e in cos sin cos n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-π
π--=-≤-=--≤<．
所以，200
22sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．…………………………………………….10分