第十四章一次函数
一.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量；
二、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
三、函数中自变量取值范围的求法：
（1）.用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
五、函数值
函数值是指自变量在数值范围内取某个值时，因变量与之对应的确定的值
例如：在正方形的面积公式S=a2中，若a=2；则S＝4；若a=3，则S＝9，这说明4是当a=2时的函数值，9是当a=3时的函数值
六、函数有三种表示形式：
（1）列表法（2）图像法（3）解析式法
七、正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。
一般地，形如y=kx+b(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
八、正比例函数的图象与性质：
（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。
(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x 的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。
解方程组
从“数”的角度看，自变量（x ）为何值时两个函数
的值相等．并求出这个函数值
解方程组
从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.
十、求函数解析式的方法:
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。
1. 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x 为何值时函数y= ax+b 的值为0．
2. 求ax +b =0(a , b 是常数，a ≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b 与 x 轴交点的横坐标
3. 一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax +b ＞0(a ，b 是常数，a ≠0) ．从“数”的角度看，x 为何值时函数y= ax+b 的值大于0． 4. 解不等式ax +b ＞0(a ，b 是常数，a ≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b 在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．
（一）函数的概念
1．矩形的面积为S ，则长a 和宽b 之间的关系为S = ，当长一定时， 是常
?????=-=+c b a c b a y x y x 2
22111????
?=-=+c b a c b a y x y x 2
22111
量， 是变量
2.下列：①2
y x =；②21y x =+；③2
2(0)y x x =≥；④0)y x =≥，具有函数关系（自变量为x ）的是
3．齿轮每分钟120转，如果n 表示转数，t 表示转动时间，那么用n 表示t 的关系是 ，其中 为变量， 为常量 4．摄氏温度C 与华氏温度F 之间的对应关系为)32(9
5
-=F C ℃，则其中的变量是 ，常量是
5．在⊿ABC 中，它的底边是a ，底边上的高是h ，则三角形的面积 ah S 2
1
=
，当底边a 的长一定时，在关系式中的常量是 ，变量是 6．全年级每个同学需要一本代数教科书，书的单价为6元，则总金额y (元)与学生数n (个)的关系是 。其中 是 的函数， 是自变量 7．学校计划购买50元的乒乓球，则所购买的乒乓球总数y (个)与单价x (元)的函数关系式是 ；其中 是 的函数， 是自变量
8．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是（ ）
A 、沙漠
B 、体温
C 、时间
D 、骆驼 9．在圆的周长R c π2=中，常量与变量分别是( )
(A) 2是常量，c 、π、R 是变量 (B)2π是常量，c 、R 是变量 (B) (C) c 、2是常量，R 是变量 (D)2是常量，c 、R 是变量
10．以固定的速度0v (米/秒)向上抛一个小球，小球的高度h (米)与小球的运动的时间t (秒)之间的关系式是2
09.4t t v h -=，在这个关系式中，常量、变量分别为( ) (A) 4.9是常量，t 、h 是变量 (B)0v 是常量，t 、h 是变量
(C) 0v 、9.4-是常量，t 、h 是变量 (D) 4.9是常量，0v 、t 、h 是变量 （二）自变量取值范围
1．函数y =
x 的取值范围是 函数2237y x x =++中自变量的取
值范围为
圆的面积2
S r =π中，自变量r 的取值范围是 2
1
y x =-自变量x 的取值范围是
函数y =
x 的取值范围是___________
2．n 边形的内角和(2)180s n =-
，其中自变量n 的取值范围是（ ） A ．全体实数
B ．全体整数
C ．3n ≥
D ．大于或等于3的整数
3．写出下列各函数中自变量的取值范围：
①122-=x y ； ②
y =
③
2-+=x y 1
2
-+=x x y （三）函数的图象
1．如图1是襄樊地区一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答：在这一天中： （1）气温T （℃） （填“是”或“不是”）时间t （时）的函数
（2） 时气温最高， 时气温最低，最高汽温是 ℃，最低气温是 ℃ （3）10时的气温是 ℃．（4） 时气温是4℃
（5） 时间内，气温不断上升．（6） 时间内，气温持续不变 2．下图是北京春季某一天的气温随时间变化的图象： 0 根据图象回答，在这一天： (1)8时、12时、20时的气温各是多少？ (2)最高气温与最低气温各是多少？ (3)什么时间气温最高，什么时间气温最低？ 3.下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是：（ ）
（四）函数值
1
．函数21y x =-中，当4x =-时，y = ，当4y =时，x = 2．点(1)A m ，在函数2y x =的图象上，则点A 的坐标是
3．在一次函数35-=x y 中，已知0=x ，则=y ；若已知2=y ,则=x 4．已知点P （a ，4）在函数3+=x y 的图象上，则=a
5．下列有序实数对中，是函数21y x =-中自变量x 与函数值y 的一对对应值的是（ ） A ．( 2.54)-，
B ．(0.250.5)-，
C ．(13)，
D ．(2.54)，
6. 点A （1,m ）在函数y =2x 的图象上，则m 的值是 ( ) A.1 B.2 C.
2
1
D.0 7.当3-=x 时,函数732
--=x x y 的函数值为 ( ) A.-25 B.-7 C. 8 D.11
A
B D
（五）函数解析式
1．飞船每分钟转30转，用函数解析式表示转数n 和时间t 之间的关系式是 2．油箱中有油20升，油从管道中匀速流出，100分钟流完．油箱中剩油量Q （升）与流出的时间t （分）间的函数关系式是（ ）
A ．205Q t =-
B ．1
205Q t =
+ C ．1205
Q t =-
D ．15
Q t =
3．如果每盒圆珠笔有12支，售价为18元，那么圆珠笔的售价y （元）与支数x 之间的函
数关系式为（ ） A ．3
2
y x =
B ．2
3
y x =
C ．12y x =
D ．18y x =
4．长方形的周长为24cm ，其中一边为x （其中x>0），面积为y cm 2
，则这样的长方形中y 与
x 的关系可以写为（ ）
A 、2
x y = B 、()2
12x y -= C 、()x x y ?-=12 D 、()x y -=122
（六）正比例函数与一次函数的概念
1.已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是
2.已知y+2和x 成正比例，当x=2时，y=4，则y 与x 的函数关系式是______________ 3．函数)0(≠=k kx y 的图象过P(4，6) ，则=k 函数)0(≠=k kx y 的图象过P(-6，-14) ，则=k
函数)0(≠=k kx y 的图象过P(2，5) ，则=k 函数)0(≠=k kx y 的图象过P(-3，18) ，则=k
4. 若函数(1)3y m x =++图象经过点（1，2），则m =
5．若函数y= -2x m+2
是正比例函数，则m 的值是 . 已知函数y=(k –3)x k -8
是正比例函数，则k=________
6.若函数y = -2x m +2
+n -2正比例函数，则m 的值是 ，n 的值为________ 7．已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= 已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，9），则k=
8．下列函数中，是正比例函数的是( ) (A) x
y 3=
(B) 4x y -= (C)93+=x y (D)2
2x y =
9.下列函数中，是正比例函数的是（ ） （A ）4x y =
． （B ）4y x
=． （C ）53y x =-． （D ）2
621y x x =-- 10.若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是 （ ） A.0 B.
23 C.23- D.3
2
-
11．下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-3x (5)y=x 2
-1中，是一次函
数的有（ ）
（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 (七)正比例函数的图象与性质
1. 函数)0(≠=k kx y 的图象过P(-3，7) ，则=k ，图象经过 象限
2.正比例函数(35)y m x =+，当m 时，y 随x 的增大而增大 正比例函数(35)y m x =+，当m 时，y 随x 的增大而减少
3．对于函数x y 3-=的两个确定的值1x 、2x 来说，当21x x <时，对应的函数值1y 与2y 的关系是( )
(A) 21y y < (B) 21y y = (C) 21y y > (D) 无法确定
4．（2005大连）点A （5，y 1）和B （2，y 2）都在直线y ＝－x 上，则y 1与y 2的关系是（ ） A 、y 1≥ y 2 B 、 y 1＝ y 2 C 、 y 1 ＜y 2 D 、 y 1 ＞y 2 5．（2005大连）点A （5，y 1）和B （2，y 2）都在直线y ＝x 上，则y 1与y 2的关系是（ ） A 、y 1≥ y 2 B 、 y 1＝ y 2 C 、 y 1 ＜y 2 D 、 y 1 ＞y 2
6．在下列各图象中，表示函数)0(<-=k kx y 的图象是( )
7.下列函数，y 随x 增大而减小的是（ ）A ．y=x B ．y=x –
1 C ．y=x+1 D ．y=–x+1 (八)一次函数的图象与性质
1．已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示,则k,b 的符号是( )
(A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0 (C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0
2．直线y=kx+b 在坐标系中的位置如图，则( )
A 、1,12k b =-
=- B 、1,12k b =-= C 、1,12k b ==- D 、1
,12
k b == 3．将直线x y 2=向上平移两个单位，所得的直线是（ ）
A ．22+=x y
B ．22-=x y
C ．)2(2-=x y
D ．)2(2+=x y 4．若把一次函数y=2x －3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( )
（Ａ）y=2x (B) y=2x －6 （C ） y=5x －3 （D ）y=－x －3 5．下面函数图象不经过第二象限的为 （ ）
(A) y=3x+2 (B) y=3x －2 (C) y=－3x+2 (D) y=－3x －2 6．过第三象限的直线是( )
A 、y=-3x+4
B 、y=-3x
C 、y=-3x-3
D 、y=-3x+7
7．已知一次函数y=3x －b 的图象经过点P(1，1)，则该函数图象必经过点( ) A.(－1,1) B.(2，2) C.(－2，2) D.(2，－2)
x x x
x
8.如图,直线b kx y +=经过A(0,2)和B(3,0)两点,那么这个一次函数关系式是( ) A.32+=x y B.23
2
+-
=x y C.23+=x y D.1-=x y 9.函数y=(m+1)x-(4m-3)的图象在第一、二、四象限，那么m 的取值范是( ) A 、3
4
m <
B 、314m -<<
C 、1m <-
D 、1m >-
10．函数y = k （x – k ）（k ＜0）的图象不经过 （ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
11．若一个函数b kx y +=中, y 随x 的增大而增大,且0
(A) ( B) ( C) (D)
12．直线y=４x －６与x 轴交点坐标为_______，与y 轴交点坐标为_________，图象经过第________象限，y 随x 增大而_________
13．已知一次函数y=kx-k+4的图象与y 轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式是______________
14．已知一次函数1)2(++=x m y ,函数y 的值随x 值的增大而增大,则m 的取值范围是 15．已知一次函数y=2x+4的图像经过点（m ，8），则m ＝________
16．若一次函数y=kx+b 的图像经过(-2,-1)和点(1,2),则这个函数的图像不经过 象限
17．若函数y=mx －(4m －4)的图象过原点，则m=_______，此时函数是__ _ ___?函数
18．若函数y=mx －(4m －4)的图象经过（1，3）点，则m=____，此时函数是__ __函数
19.若直线y=kx+b 平行直线y=5x+3，且过点（2，-1），则k=______ ,b=______ . (九)求函数解析式的方法 1、填空题：
（1）若点A （-1，1）在函数y=kx 的图象上则k= . （2）在一次函数y=kx-3中，当x=3时y=6则k= . （3）一次函数y=3x-b 过A （-2，1）则b= ,。
2、已知3-y 与x 成正比例,且2=x 时,7=y .(1)求y 与x 的函数关系式;(2)当2
1-=x 时,求y 的值
3、已知y 与x 2
成正比例，且x=-2时y=12．求y 与x 的函数关系式
4、已知一次函数图象经过点(3 , 5) , (–4，–9)两点.(1)求一次函数解析式.(2)求图象和坐标轴围成三角形面积
5、已知一次函数y=kx+b 中，当x=1时，y=3，当x=-1时，y=7 （1）求这个函数的解析式。 （2）求当x=3时,y 的值。
6、已知这条直线的图象，求解析式
7、一次函数y=kx+5与直线y=2x-1交于点P(2，m)，求k 、m 的值.
8、已知函数y=kx+b 的图象与另一个一次函数y=-2x-1的图象相交于y 轴上的点A ，且x 轴
下方的一点B(3，n)在一次函数y=kx+b 的图象上，n 满足关系n 2
=9.求这个函数的解析式.
9、若点A(-4,0)、B(0,5)、C(m,-5)在同一条直线上，求 m 的值
、已知：直线1l :24y x =+与直线2l 交于点A （－1，a ），且直线2l 与直线1y x =-没有交点，求直线2l 的函数解析式
若一次函数y kx b =+，当自变量的取值为2x -≤≤6时，对应的函数值为119y -≤≤，求函数解析式 强化训练
直线l 交x 轴、 y 轴于A （3
2
，0），B （0，3） （1）求直线l 的解析式
（2）过B 的直线交x 轴于C ，且S ABC ＝6，求直线BC 的解析式
（3）过A 的直线交y 轴于D ，且OD D 1S S 2
A A
B ＝，求直线解析式
（1） 直线上是否存在一点M ，使得OM 15
S 4
A ＝
，若存在 求出点M 的坐标，不存在，说明理由
（5）将l 经过平移后，使它经过（－1，－1），
求平移后的直线解析式，并说明是如何平移得到的？
（6）直线l 上是否存在点P ，使得P 到x 轴、y
若存在求出点P 的坐标，不存在，说明理由
（7）直线CD 交x 轴、 y 轴于C 、D ， 若COD 与O A B 全等，，求直线CD 的解析式
（8）直线1y x =--交x 轴、 y 轴于E 、F ，
交l 于P ，求S PAF 的值
（9）在（8）中，线段AB 上是否存在一点M ，使S MEF
若存在，求出M 的坐标，不存在、说明理由
（10）若D （0
，3
2
-），过D 的直线CD 交x 轴于C ，若CD ^AB ，求直线CD 的解析式
（11）点C 为直线(0)y kx k =<上一点，且∠ABO ＝∠CBO ， AD ^BC 交y kx =于D ，当k 变化时，
式子AD+BC
AB
的值如何变化，加以证明
二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结：
2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结：
3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k
总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
反比例函数知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为， 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面 积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点； 当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意 义列函数解析式． （五）充分利用数形结合的思想解决问 题．
第十九章 一次函数 19.1 函数 19.1.1 变量与函数 例： 一、分别指出思考（1）~（4）的变化过程中所涉及的量，在这些量中哪些量是发生了变化的？哪些量是始终不变的？ （1）涉及的量有：速度、时间和路程，其中时间和路程发生了变化，速度始终不变； （2）涉及的量有：票价、张数和票房收入，其中张数和票房收入发生了变化，票价始终不变； （3）涉及的量有：圆周率π、半径和面积，其中半径和面积发生了变化，圆周率π始终不变； （4）涉及的量有：矩形的周长、边长和邻边长，其中边长和邻边长发生了变化，矩形的周长始终不变. 所以我们得到： 1、在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量. 2、在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量. 思考：在（1）~（4）的变化过程中，当一个量发生变化时，另一个量是否也随之发生变化？是哪一个量随哪一个量的变化而变化？ 在一些图或表格表示的问题中，可以看到两个变量间有上面哪样的关系. 3、一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数.如果当x a =时y b =，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 思考：在（1）~（4）的变化过程中，发生变化的量有限制条件吗？如何限制？ 解：变化过程中，发生变化的量要符合实际问题的意义. （1）中的时间t 不能为负数， （2）中票的张数x 只能为自然数， （3）中圆的半径r 不能为负数， （4）中一边长x 最多为周长的一半且不能为负数 4、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域. 确定函数定义域的方法：
新北师大版 八年级数学上册 第四章 一次函数 一、函数 1、函数的概念（重点） 一般的，如果在一个变化过程中有两个变量和，并且对于变量的每一个值，变量都有一个唯一的x y x y 值与它对应，那么我们就称是的函数，其中是自变量，是因变量。 y x x y 理解函数的关键四点： （1）有两个变量；（2）一个变量变化，另一个随之变化；（3）对于自变量每一个确定的值，函数x 有且仅有一个值与之对应；（4）函数不是数，是过程中、的变量关系。 y x y 2、函数的三种表示方法（难点） （1）列表法 （2）关系式法 （3）图像法 3、函数的值及自变量的取值范围（重点） （1）对于自变量在取值范围内的一个确定的值，函数有唯一确定的对应值，称为自变量等于时的函a a 数值。 （2）使得函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围。 确定自变量取值范围两点：一是必须使含有自变量的代数式有意义，二是必须满足实际问题的意义。 二、一次函数与正比例函数 1、一次函数的概念（重点） 若两个变量、间的对应关系可以表示成（、为常数，）的形式，则成是的一x y y kx b =+k b 0k ≠y x 次函数。 2、正比例函数的概念（重点） 对于一次函数（），当时，变为，这是把叫做的正比例函数。 y kx b =+0k ≠0b =y kx =y x 3、根据条件列一次函数的关系式（难点） 认真分析，探究实际问题中的有关信息，再次基础上建立数学模型，从而解决问题。 步骤： （1）认真分析，理解题意； （2）找出等量关系；
（3）写出一次函数关系式； （4）确定自变量的取值范围，实际问题实际分析。 三、一次函数的图像 1、函数的图像（重点） 把一个函数的自变量的值和与之对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形就叫做函数的图象。 注：一次函数的图像是一条直线，所以只需描出两个点即可画出图象。 2、正比例函数的图像和性质（重点） ,(0)y kx k =≠（1）正比例函数的图像是经过、两点的直线。 ,(0)y kx k =≠(0,0)(1,)k （2）当时，图象经过一三象限，且随的增大而增大；当时，图象经过二四象限，且随0k >y x 0k 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 反比例函数知识点总结 李苗 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比 例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时， x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系 数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分 别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用 光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐 标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数 值的增减情况，如下表： 反比例 函数 x k y =（0k ≠） k 的 符号 0k > 0k < 图像 性质 ① x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠ ②当0k <时，函数图像 第十九章一次函数单元备课 一、教学目标： 1．以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型； 2．结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系； 3．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题； 4．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系； 5．在课题学习中，以选择方案为问题情境，进行探究性学习，进一步体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力。 二、重点 1．结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系； 2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题； 3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系； 三、难点： 正比例函数与一次函数的概念，图像、性质及应用。以及与一元一次方程一元一次不等式二元一次方程（组）的关系。在课题学习中，以选择方案为问题情境，进行探究性学习，进一步体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力。 四、教材分析 一次函数知识点归纳总结 基本概念 1、 变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中，是一次函数的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．． ． D ． 函数y = x 的取值范围是___________. 已知函数22 1+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2325≤<-y B.2523< 新人教版九年级上二次函数知识点总结 知识点一：二次函数的定义 1．二次函数的定义： 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．2y ax bx c =++a b c ，，0a ≠其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． a b c 知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶 ??点 2. 二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+（1）二次函数基本形式的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小 2y ax = （2）的图象与性质：上加下减 2y ax c =+ （3）的图象与性质：左加右减 ()2 y a x h =- （4）二次函数的图象与性质 ()2 y a x h k =-+ 3. 二次函数的图像与性质 c bx ax y ++=2 （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 0a >2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最小值 ．y 2 44ac b a - （2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为． 0a <2b x a =-2424b ac b a a ??-- ??? ，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2b x a <- y x 2b x a >-y x 2b x a =-有最大值 ．y 2 44ac b a - 4. 二次函数常见方法指导 （1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线） 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点.（2）二次函数图象的平移平移步骤： ①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；()2 y a x h k =-+()h k ，② 可以由抛物线经过适当的平移得到具体平移方法如下： 2 ax 【【【(h <0)【【【 【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．（3）用待定系数法求二次函数的解析式①一般式：.已知图象上三点或三对、 的值，通常选择一般式. ②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式： .已知图象与轴的交点坐标 、 ，通常选择交点式. （4）求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：，∴顶点是，对称轴a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ?+=++=），（a b ac a b 4422--是直线.a b x 2- =②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(, ()k h x a y +-=2 h )，对称轴是直线. k h x = 反比例函数知识点总结 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y = (k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数,函数值的取值范围是0y ≠; ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分; ⑷反比例函数有三种表达式: ①x k y = （0k ≠), ②1 kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠)； ⑸函数x k y = （0k ≠)与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时,x 也是y 的反比例函数。 (k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =,就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y = （0k ≠)中，只有一个待定系数，因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点２用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = (0k ≠)中，只有一个待定系数，因此,只要一组对应值，就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠,所以它的图像与ｘ轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永 远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取; ②列表时选取的数值越多,画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线； ④画图像时,它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 第十九章 一次函数知识点总结 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C =2πr 中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应（或者观察图像画竖线，若只有一个交点则Y 是X 的函数） 例题：下列函数（1）y =πx (2)y =2x －1 (3)y =1 x (4)y =2 1－3x (5)y =x 2－1中，是一次函数的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 3、自变量取值围：一个函数的自变量允许取值的围 4、确定函数自变量取值围的方法： （1）关系式为整式时，函数自变量取值围为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数自变量取值围还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量x 的取值围是x ≥2的是（ ） A ．y B ．y C ．y D ．y 5、函数的图像:一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、正比例函数及性质 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 第十九章 一次函数知识点总结与常见题型 基本概念 学生姓名 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C =2πr 中，变量是________，常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定 的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y =πx (2)y =2x －1 (3)y =1 x (4)y =2 1－3x (5)y =x 2－1中，是一次函数的有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．y =2x - B ．y = 1 2 x - C ．y =24x - D ．y =2x +·2x - 函数5y x =-中自变量x 的取值范围是___________. 已知函数22 1 +- =x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A .2325≤<-y B .2523< 第四章一次函数知识点总结 4丄1 变量和函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程屮只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x 的函数。例如：y=±x,当x=l时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。 对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|,当x二±1时，y的对应值都是1 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数取值范围的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义 4.1.2函数的表示法 1、三种表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之I'可的对应规律。 公式法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量Z间的函数关系。 2、列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变 量的对应值） 3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。一般情况下, 等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。 4、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标, 那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法） 第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格屮数值对应的各点）； 笫三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起來）。 4.2 一次函数及其图像 1、一次函数及性质 —般地,形如y二kx+b（k,b是常数,心0）,那么y叫做x的一次函数当b==0时,y=kx+b 即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.初三数学二次函数知识点总结
反比例函数知识点总结(供参考)
第十九章---一次函数--单元备课
北师大版八年级数学上册 第四章《一次函数》知识点归纳总结
(完整版)九年级上册数学二次函数知识点汇总,推荐文档
反比例函数知识点总结
第19章_一次函数知识点总结
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
第19章 一次函数知识点总结和常见题型归类
北师大版八年级数学下册第四章一次函数知识点总结.docx
二次函数知识点总结及典型题目