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第1章集合与常用逻辑用语（单元重点综合测试）一、单项选择题：每题5分，共8题，共计40分。
1．已知集合{}3,2,0,1,2,3,7A =--，{},B x x A x A =∈-∉，则B =（）A ．{}0,1,7B ．{}1,7C ．{}2,0,7-D ．{}2,1,7-【答案】B【分析】根据题意，结合{},B x x A x A =∈-∉，逐个元素判定，即可求解.【详解】由集合{}3,2,0,1,2,3,7A =--，因为{},B x x A x A =∈-∉，所以{}1,7B =．故选：B ．2．设集合{|1}A x x =>，集合13B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则()R A B ⋂=ð（）A ．{|1}x x ≤B ．113x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．113x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D ．13x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】C【分析】根据集合的补集、交集运算即可.【详解】因为集合{|1}A x x =>，集合13B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，所以{}R |1A x x =≤ð，则()R A B ⋂=ð113x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：C.3．命题:R p x ∀∈，当1x >时，有21x >，则p ⌝为（）A ．R x ∀∈，当1x >时，有21x ≤B ．0R x ∃∈，满足01x >，但201x ≤C ．0R x ∃∈，满足01x ≤，但201x ≤D ．以上均不正确【答案】B【分析】根据命题的否定的定义即可得到答案.【详解】根据命题的否定的任意变存在，存在变任意，结论相反，故p ⌝为0R x ∃∈，满足01x >，但201x ≤，故选：B.4．已知全集{,,,,}U a b c d e =，() U M ð{}P a ⋂=，() U P ð{}M b ⋂=，() U M ð () U Pð{}c =，则（）A ．{}P a =B ．{,}M a c =C ．{,,}P M c d e = D ．{,,,}P M a b d e = 【答案】D【分析】由题意画出Venn 图，即可得出答案.【详解】由题意画出Venn 图如下，可得：{},,P a d e =，{},,M b d e =，{},P M d e ⋂=，{,,,}P M a b d e = .故选：D.5．已知函数{}{}{}12,2123,34A x x B x a x a C x x =-<<=-<<+=-<<，若A B C ⊆⊆，则a 的取值范围是（）A ．102a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．102a a ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．102a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭D ．102a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】根据A B C ⊆⊆，列出不等式组232132112234a a a a +>--≤-≤⎧-≤+≤⎪⎨⎪⎩，从而可得出答案.【详解】解：因为A B C ⊆⊆，所以232132112234a a a a +>--≤-≤⎧-≤+≤⎪⎨⎪⎩，解得102a -≤≤.故选：D.6．已知集合1,Z 6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,Z 23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，1,Z 26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则M 、N 、P 的关系满足（）A ．M N =PB ．M N P =C ．M NPD ．NPM【答案】B【分析】先将集合M 、N 、P 化简成统一形式，然后判断即可．【详解】161321Z Z Z 666m m M x x m m x x m x x m ⎧⎫⎧⎫⎧⎫+⋅+==+∈==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，，，，()311131Z Z Z 2366n n k N x x n x x n x x k ⎧⎫-+⎧⎫⎧⎫+⎪⎪==-∈==∈==∈⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭，，131Z Z 266p p P x x p x x p ⎧⎫⎧⎫+==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，，所以MN P =.故选：B ．7．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，苏大附中语文组为了解我校学生阅读四大名著的阅读情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）A ．70B ．60C ．50D ．10【答案】A【分析】首先可根据题意确定《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有30位，然后确定只阅读过《红楼梦》的学生共有20位，最后确定只阅读过《西游记》的学生共有10位，即可求出结果.【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有906030-=位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有806020-=位，所以只阅读过《西游记》的学生共有302010-=位，故阅读过《西游记》的学生人数为106070+=位，故选：A8．若集合()220222,10,,2n mn n A m n m n *⎧⎫++⎪⎪==∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭Z N ，则集合A 的元素个数为（）A ．4044B ．4046C ．22021D ．22022【答案】B【分析】由已知可得()2023202221=25n n m ++⨯，对n 是偶数和奇数进行分类讨论，对n 的可能取值进行列举，即可得出集合A 的元素的个数.【详解】由题意，()2023202221=25n n m ++⨯，若n 为偶数，21n m ++为奇数，若20232n =，则2022202320225212152n m m +-=⇒-=+∈Z ，以此类推，202325n =⨯，2023225n =⨯，L ，2023202225n =⨯，共2023个n ，每个n 对应一个m ∈Z ；同理，若n 为奇数，21n m ++为偶数，此时05n =、15、L 、20225，共2023个n ，每个n 对应一个m ∈Z .于是，共有4046个n ，每一个n 对应一个m 满足题意.故选：B.二、多项选择题：每题5分，共4题，共计20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的不得分。
2009届全国名校真题模拟专题训练01集合与简易逻辑一、选择题1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设全集U=R ，A={x∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为（ ） A ．{2} B ．{3} C ．{－3，2} D ．{－2，3} 答案：A2、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)当x ∈R ，下列四个集合中是空集的是（ ） A. {x|x 2-3x+2=0} B {x|x 2＜x} C. {x|x 2-2x+3=0} C. {x|sinx+cosx=65} 答案：C3、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)若命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则（ ）A.命题p 和命题q 都是假命题B.命题p 和命题q 都是真命题C.命题p 和命题“非q ”的真值不同D. 命题p 和命题q 的真值不同 答案：D4、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M-P={x|x ∈M 且x ∉p},则M-（M-P ）等于（ ） A. P B. M P C. MP D. M答案：B5、(江苏省启东中学高三综合测试二)定义集合A*B ＝｛x |x ∈A,且x ∉B ｝,若A ＝｛1，3，5，7｝，B ＝｛2，3，5｝，则A*B 的子集个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D6、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知集合{}4,3,2,1=A ，集合{}2,1-=B ，设映射B A f →:，如果集合B 中的元素都是A 中元素的f 下的象，那么这样的映射f 有A ．16个B ．14个C ．12个D ．8个答案：B7、(江苏省启东中学高三综合测试二)若A.、B 均是非空集合，则A ∩B ≠φ是A ⊆B 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件 答案：B8、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知0<a<1，集合A={x||x －a|<1}, B={x|log a x>1}，若A ∩B=A ．(a －1,a)B ．(a,a+1)C ．(0,a)D ．(0,a+1) 答案：C 9、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知集合}4,3,2,1{=I , }1{=A ,}4,2{=B , 则A ( IB )=（ ）A ．}1{B ．}3,1{C ． }3{D ．}3,2,1{ 答案：B10、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知条件p ：2|1|>+x ，条件q ：a x >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ）A ．1≥a ；B ．1≤a ；C ．1-≥a ；D ．3-≤a ；答案：A11、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)已知集合A={x|x-m<0}，B={y|y=x 2+2x ，x ∈N}，若A ∩B=Φ，则实数m 的范围为A ．m ≤-1B ．m<-1C ．m ≤0D ．m<0答案：C12、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)已知集合M =},23|{2R a a a x x ∈+-=，N =},|{2R b b b x x ∈-=，则N M ,的关系是A ．M ≠⊆NB ．M ≠⊇NC ．M =ND ．不确定答案：C13、(四川省成都市新都一中高2008级一诊适应性测试)设集合M ＝{θ|θ＝k π4，k ∈Z }，N＝{x |c os2x ＝0，x ∈R }，P ＝{α|si n 2α＝1，α∈R }，则下列关系式中成立的是（ ）A ．P ≠⊂N ≠⊂MB ．P ＝N ≠⊂MC ．P ≠⊂N ＝MD ．P ＝N ＝M答案：A14、(四川省成都市一诊)已知集合P ＝{a,b,c},Q ＝{－1,0,1}，映射f:P →Q 中满足f(b)＝0的映射个数共有 A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、9个答案：D a 的象有C 31种，c 的象有C 31种，满足f(b)＝0的映射个数为C 31C 31＝9.选D 15、(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)集合{|1}P x y x ==-，集合{|1}Q y y x ==-，则P 与Q 的关系是( ) A 、P ＝QB 、PQC 、P ≠⊂QD 、P ∩Q＝∅本题主要考查集合的基本概念和运算解析：P ＝{x |x ≥1}，Q ＝{y |y ≥0}，故P 是Q 的真子集. 答案：C16、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知集合P={x |5x －a ≤0}， Q={x |6x －b >0}，a ,b ∈N, 且A ∩B ∩N={2，3，4}，则整数对(a , b )的个数为（ ）A. 20B. 30C. 42D. 56答案：B17、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)设全集U R =，集合2{|2}M x x x x R ==-∈，，{|12}N x x x R =+≤∈，，则()U M N ð等于( )A.{2}B.{|1223}x x x -<<<≤，或C.{|1223}x x x -≤<<≤，或D.{|321}x x x x ≤≠≠-，且， 答案：C18、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知集合{}2M xx =<，103x N x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则集合N M 等于 A ．{}2-<x xB ．{}3>x xC ．{}21<<-x xD ．{}32<<x x答案：C19、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知a ÎR 且0a ¹，则“11<a”是 “a >1”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B20、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)如果全集U=R ，A=⋂=≤<A B x x 则},4,3{},42|{（U B ）（ ） A ．（2，3）∪（3，4） B ．（2，4）C ．（2，3）∪（3，4]D ．（2，4]答案：A21、(北京市东城区2008年高三综合练习二)设命题42:2>>x x p 是的充要条件，命题b a cb c a q >>则若,:22，则 （ ）A ．“p 或q ”为真B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假命题答案：A22、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)设集合{}25, log (3)A a =+，集合{, }B a b =，若{2}A B =, 则A B 等于（A ）{}1,2,5 （B ）{}1,2,5- （C ）{}2,5,7 （D ）{}7,2,5- 答案：A23、(北京市丰台区2008年4月高三统一练习一)设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i + j 被4除的余数 ,,0,1,2,3,4,5i j =.则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案：C24、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)若集合{}21,A m =，集合{}2,4B =，则“2m =”是“{}4AB =”的（）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案：A25、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知A 、B 、C 分别为ΔABC 的三个内角，那么“sin cos A B >”是“ΔABC 为锐角三角形”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B26、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(23)a ∈，”是“B A ⊆”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 答案：A27、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)设A ，B 是全集I 的两个子集，且A B ⊆，则下列结论一定正确的是（ ）A ．I AB =I B ．I A B =UC ．()I B A =U I ðD ．()I I A B =U ð 答案：C28、(山东省博兴二中高三第三次月考)若集合()()1,,,2,A B =+∞=-∞全集,U R =则()U A B ð是A ．(,1)(2,)-∞+∞B ．(,1)[2,)-∞+∞C ．(,1][2,)-∞+∞D ．(,1](2,)-∞+∞答案：C29、(四川省成都市高2008届毕业班摸底测试)已知集合U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3}，集合B={3，5}，则A ∩(U B) =（ ） A ．{2} B ．{2，3，5}C ．{1，4，6}D ．{5}答案：A30、东北区三省四市2008年第一次联合考试)设集合{}{}1,12>=>=x x P x x M ，则下列关系中正确的是A ．M ＝PB ．P P M =C ．M P M =D ．P P M =答案：B31、(东北三校2008年高三第一次联考)若,,R y x ∈则“()324log 2=-+y x xy ”是“0258622=++-+y x y x ”成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B32、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，则（ ）A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意答案：C33、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)设M 为非空的数集，M{1，2，3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个答案：B34、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)集合{}{}2160,2,P x x Q x x n n Z =-<==∈，则P Q= （ ）A ．{}2,2-B ．{}2,2,4,4--C ．{}2,0,2-D ．{}2,2,0,4,4--答案：C35、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)已知a ﹑b 均为非零向量，:p 0,a b ⋅>:q a b p q 与的夹角为锐角，则是成立的（ ）Ａ．充要条件 Ｂ．充分而不必要的条件 Ｃ．必要而不充分的条件 Ｄ．既不充分也不必要的条件 答案：C36、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)已知命题p : :对任意的,s i n 1x R x ∈≤有，则p ⌝是（ ）A ．存在,sin 1x R x ∈≥有B ．对任意的,sin 1x R x ∈≥有C ．存在,sin 1x R x ∈>有D ．对任意的,sin 1x R x ∈>有 答案：C37、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 只可能是( )A.φ或{1}B.{1}C.φ或{2}D.φ或{1}或{2} 答案：A38、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知α、β是不同的两个平面，直线α⊂a ，直线β⊂b ，命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：βα//，则p 是q 的( ) A.充分不必要的条件 B.必要不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件B 答案：B39、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)已知命题p ：不等式12x x m -++>的解集为R ；命题q ：(52)()log m f x x -=为减函数. 则p 是q 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B40、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知集合M ＝{x|x ＜3}，N ＝{x |122x>}，则M ∩N 等于（ ） A ∅B {x |－1＜x ＜3}C {x |0＜x ＜3}D {x |1＜x ＜3}答案：B41、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)在ABC ∆中，“0>⋅AC AB ”是“ABC∆为锐角三角形”的（ ） A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件答案：B42、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)已知集合},3sin |{Z n n x x A ∈==π，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．3 B ．7 C ．15 D ．31答案：B43、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)"0102""0)1)(2(">->->--x x x x 或是的（ ）A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件答案：D44、(广东省2008届六校第二次联考)已知{}{}2230,A x x x B x x a =--<=<, 若A ⊆/B , 则实数a 的取值范围是( )A. (1,)-+∞B. [3,)+∞C. (3,)+∞D. (,3]-∞ 答案：B45、(广东省2008届六校第二次联考)命题“ax 2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数a的取值范围是( )A. a < 0或a ≥3B. a ≤0或a ≥3C. a < 0或a >3D. 0<a <3 答案：A46、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）已知I 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x y x =-<==-，则I ()M N ð= （ ）．A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x <D ．∅ 答案：A47、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）“2a =” 是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）.A ．充分条件不必要B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A48、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）.A ．1B ．3C ．4D ．8解析：{1,2}A =，{1,2,3}A B ⋃=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个。
华中师大一附中2009届高三适应性考试文 科 数 学 试 卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若函数44y sin cos ()x x x R =+∈，则函数的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π2．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{})0a (,a X Z x B >≤∈= ，则满足 的实数a 可以取的一个值为A ．0B ．1C ．2D ．33．函数2log x y=的大致图象是4．将圆4y x 22=+上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的21，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为A ．21 B．23 C ．22 D ．555．若不等式0562>++-x x xm 的解集是)1,2()5,(--⋃--∞，那么m 的值是 A ．2 B ．－2 C ．12- D ．126．设a 是直线，α是平面，那么下列选项中，可以推出//a α的是A ．存在一条直线b ，//a b ，b α⊂B ．存在一条直线b ，a b ⊥，b α⊥C ．存在一个平面β，a β⊂，//αβD ．存在一个平面β，a β⊥，αβ⊥ 7．从某地区15000位老人中随机抽取500人，其健康综合指标的统计情况如下表所示：则该地区健康综合指标良好的老人中男性比女性约多A ．2人B ．22人C ．60 人D ．667人xxxx⊂≠A B8．已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.设p ：圆C 上存在关于直线l 对称的相异两点；q ：m=31-．则p 是q 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件 9． 若△ABC 所在平面内一点P 满足111226AP AB AC BC =+-，则点P 一定在 A ．△ABC 的一边上 B ．△ABC 的一顶点处C ．△ABC 的外部D ．△ABC 的内部10．某汽车运输公司购置中型客车一辆投放客运市场营运，据市场调查分析知，该型客车投放市场后的第x 年的年利润y (单位：万元)与营运年数x （x ∈Ｎ＊）的函数关系为y =⎩⎨⎧≥-２时 ｘ１３－２ ｘ＝１时x 14，若这辆客车营运n 年可使其营运年平均利润达到最大,则n 的值为A ．2B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11．设二项式n x x )13(3+的展开式中各项系数和为p ，各项的二项式系数和为s ，若272p s +=，则n 等于______________．12．球的内接正方体的棱长为a ，则该正方体同一棱的两端点间的球面距离均为 ．13．已知()f x 是R 上的偶函数，且满足(4)(),(0,2)f x f x x +=∈当时，2()2,f x x =(7)f =则 ____. 14．在由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的六位数中，任取一个六位数，恰好满足个位、十位、百位上的数字之和为7的概率是 ．15．有一批大小相同的呈正方体型的物件，按照上面少，下面多的方式，堆放于仓库的墙角处。
第一章 集合与简易逻辑(一)●知识网络集合集合的有关概念集合与元素补集解含绝对值的不等式并集解简单分式不等式集合与集合交集解一元二次不等式集合的运算集合的应用●范题精讲【例1】 已知集合A 、B 是全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集，A ∩B ={2},(U A )∩(U B )={1,9},(U A )∩B ={4,6,8},求A 、B.UAB 4,6,83,5, 721,9分析:作出文氏图，利用数形结合法求解本题.解:由图可得A ={2，3，5，7},B ={2，4，6，8}.【例2】 已知A ={x |x 2-ax +a 2-19=0},B ={x |x 2-5x +8=2},C ={x |x 2+2x -8=0}.若∅A ∩B ,且 A ∩C =∅,求a 的值.解:∵B ={x |(x -3)(x -2)=0}={3,2}, C ={x |(x +4)(x -2)=0}={-4,2}, 又∵∅A ∩B , ∴A ∩B ≠∅. 又∵A ∩C =∅,∴可知-4∉A ,2∉A ,3∈A. ∴由9-3a +a 2-19=0， 解得a =5或a =-2.①当a =5时，A ={2,3}，此时A ∩C ={2}≠∅,矛盾， ∴a ≠5；②当a =-2时，A ={-5,3}，此时A ∩C =∅, A ∩B ={3}≠∅,符合条件. 综上①②知a =-2.评注:求出a 值后要注意代回题中检验，否则可能会出现错误的结果.【例3】 解关于x 的不等式x 2-(a +a1)x +1＜0(a ≠0). 分析:解含字母参数的不等式，要注意对字母参数进行合理的分类讨论，既不能遗漏，也不能重复.解:原不等式化为(x -a )(x -a1)＜0, ∴相应方程的根为a 、a1. 当a ＞a 1，即-1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a 1＜x ＜a }. 当a =a 1，即a =±1时，解集为∅.当a ＜a 1，即0＜a ＜1或a ＜-1时，解集为{x |a ＜x ＜a1 }.综上，当-1＜a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a1＜x ＜a };当a =±1时，解集为∅；当0＜a ＜1或a ＜-1时，解集是{x |a1＜x ＜a }.评注:解含字母参数的不等式时，要弄清为何要分类讨论、分类讨论的标准是什么、如何分类讨论三个问题.【例4】 已知A ={x ||x -a |≤1},B ={x |3302x--x-x ≥0},且A ∩B =∅，求a 的取值范围.分析:先利用解含绝对值不等式的方法及积的符号法则解不等式，求出A 和B ，再利用数轴表示出A 和B (如下图所示)，得到A ∩B =∅时应满足的条件，从而求出a 的取值范围.解:A ={x ||x -a |≤1}={x |a -1≤x ≤a +1}.不等式3302x--x-x ≥0,即()()356x-x x +-≥0, 其解集是⎩⎨⎧≥+>05)6)(-(0,3-x x x 与⎩⎨⎧≤+-<-0)5)(6(,03x x x 的解集的并集.解得不等式3302x--x-x ≥0的解集是{x |x ≥6}∪{x |-5≤x ＜3}={x |x ≥6或-5≤x ＜3}.所以B ={x |-5≤x ＜3或x ≥6}. 要使A ∩B =∅，必须满足a +1＜-5或⎩⎨⎧<+≥-,61,31a a即a ＜-6或4≤a ＜5.所以，满足条件的a 的取值范围是a ＜-6或4≤a ＜5.评注:将集合A 、B 都标在数轴上，借助于图形直观性找到需满足的条件，再转化为与之等价的关于a 的不等式组.这种数形结合的数学思想很重要.●试题详解高中同步测控优化训练(一) 第一章 集合与简易逻辑(一)(A 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.已知A ={x |x ≤32,x ∈R },a =5,b =23,则A.a ∈A 且b ∉AB.a ∉A 且b ∈AC.a ∈A 且b ∈AD.a ∉A 且b ∉A 答案:C2.设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={2,5},则A ∩(U B )等于A.{2}B.{2,3}C.{3}D.{1,3} 解析:∵U ={1,2,3,4,5},B ={2,5}, ∴U B ={1,3,4}.∴A ∩(U B )={1,3}.答案:D3.已知集合S={a ,b ,c }中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:由于集合中的元素是互异的,所以a 、b 、c 互不相等,即△ABC 一定不是等腰三角形. 答案:D4.集合A ={x ∈R |x (x -1)(x -2)=0}，则集合A 的非空子集的个数为A.4B.8C.7D.6解析:集合A ={0，1，2}，共有23=8个子集，其中非空子集有7个，故选C.这里特别注意{0}≠∅.答案:C5.已知集合A ={x ||2x +1|>3},B ={x |x 2+x -6≤0},则A ∩B 等于A.(-3,-2］∪(1,+∞)B.(-3,-2］∪［1,2)C.［-3,-2)∪(1,2］D.(-∞,-3］∪(1,2］ 解析:A ={x ||2x +1|>3}={x |2x +1>3或2x +1<-3}={x |x >1或x <-2}, B ={x |x 2+x -6≤0}={x |-3≤x ≤2}(如下图).答案:C6.已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1},若Q ⊆P ，那么a 的值是A.1B.-1C.1或-1D.0，1或-1解析:因为由x 2=1得x =±1，所以P ={-1,1}.又因为Q ⊆P ，所以分Q =∅和Q ≠∅两种情况讨论.(1)若Q =∅，则a =0；(2)若Q ≠∅，则a ≠0，Q ={x |x =a1}，所以a =-1或1.综合(1)(2)可知，a 的值为0，1或-1. 答案:D7.设U 为全集，P 、Q 为非空集合，且P Q U .下面结论中不正确的是A.(U P )∪Q =UB.( U P )∩Q =∅ C.P ∪Q =Q D.P ∩(U Q )=∅UPQ解析:由文氏图知(U P )∩Q ≠∅.答案:B8.不等式组⎩⎨⎧>+>03,42a x x 的解集是{x |x ＞2}，则实数a 的取值范围是A.a ≤-6B.a ≥-6C.a ≤6D.a ≥6答案:B9.若|x +a |≤b 的解集为{x |-1≤x ≤5},那么a 、b 的值分别为A.2，-3B.-2，3C.3，2D.-3，2 答案:B10.设全集U =R ，集合E ={x |x 2+x -6≥0}，F ={x |x 2-4x -5＜0}，则集合{x |-1＜x ＜2}是A.E ∩FB.( U E )∩FC.(U E )∪(U F )D. U (E ∪F )解析:E ={x |x 2+x -6≥0}={x |x ≤-3或x ≥2}, F ={x |x 2-4x -5＜0}={x |-1＜x ＜5}. 借助数轴知{x |-1＜x ＜2}=(U E )∩F .答案:B第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.设T ={(x ,y )|ax +y -3=0},S ={(x ,y )|x -y -b =0}.若S ∩T ={(2,1)},则a =_______,b =_______.解析:由S ∩T ={(2,1)},可知⎩⎨⎧==1,2y x 为方程组⎩⎨⎧=--=-+0,03b y x y ax 的解，解得⎩⎨⎧==.1,1b a答案:1 112.已知集合M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },则集合M ∩N =_______. 解析:∵M ={0,1,2},N ={x |x =2a ,a ∈M },∴N ={0,2,4}.∴M ∩N ={0,2}. 答案:{0,2}13.不等式1-x ax＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a 的值为________. 解析:由1-x ax＜1得［(a -1)x +1］(x -1)＜0，由不等式的解集为{x |x ＜1或x ＞2}知，1、2为方程［(a -1)x +1］(x -1)=0的两根，∴(a -1)×2+1=0.∴a = 21. 答案: 2114.不等式3)2(-+x x x <0的解集为_______. 解析:原不等式x (x +2)(x -3)<0.如下图,由数轴穿根法可知原不等式的解集为{x |0<x <3或x <-2}.答案:{x |0<x <3或x <-2}三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)已知集合A ={a ,a +b ,a +2b },B ={a ,ac ,ac 2}.若A =B ，求实数c 的值.解:若⎩⎨⎧=+=+22acb a ac b a ⇒a +ac 2-2ac =0, 所以a (c -1)2=0,即a =0或c =1.当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当c =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若⎩⎨⎧=+=+acb a ac b a 22⇒2ac 2-ac -a =0. 因为a ≠0，所以2c 2-c -1=0, 即(c -1)(2c +1)=0. 又c ≠1，所以只有c =-21. 经检验，此时A =B 成立.综上所述c =-21. 16.(本小题满分10分)设集合A ={x ||x -a |<2},B ={x |212+-x x <1},若A ⊆B ,求实数a 的取值范围.解:A ={x |-2<x -a <2}={x |a -2<x <a +2},∵212+-x x <123+-x x <0(x +2)(x -3)<0-2<x <3,∴B ={x |-2<x <3}. 如下图,∵A ⊆B ,∴⎩⎨⎧≤+-≥-.32,22a a解得0≤a ≤1.17.(本小题满分10分)已知集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2-ax +3a -5=0}.若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围.解:A ={x |x 2-3x +2=0}={1,2},由x 2-ax +3a -5=0，知Δ=a 2-4(3a -5)=a 2-12a +20=(a -2)(a -10). (1)当2＜a ＜10时，Δ＜0,B =∅⊆A ;(2)当a ≤2或a ≥10时，Δ≥0，则B ≠∅. 若x =1，则1-a +3a -5=0,得a =2, 此时B ={x |x 2-2x +1=0}={1}⊆A ;若x =2，则4-2a +3a -5=0，得a =1, 此时B ={2,-1} A.综上所述，当2≤a ＜10时，均有A ∩B =B .18.(本小题满分12分)解不等式：(1)1＜|x -2|≤3;(2)|x -5|-|2x +3|＜1.分析:解含绝对值的不等式应根据绝对值的概念去掉绝对值符号，(2)中可采用零点分区间法去绝对值符号.(1)解法一:原不等式即⎪⎩⎪⎨⎧≤->-.32,12x x由①得x ＜1或x ＞3.由②得-1≤x ≤5(如图).所以原不等式的解集为{x |-1≤x ＜1或3＜x ≤5}.解法二:原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集.⎩⎨⎧≤-<≥-321,02x x 或⎩⎨⎧≤--<<-,3)2(1,02x x 即1＜x -2≤3或-3≤x -2＜-1,解得3＜x ≤5或-1≤x ＜1.所以原不等式组的解集为{x |-1≤x ＜1或3＜x ≤5}. (2)解:①当x ≥5时，原不等式可化为 (x -5)-(2x +3)＜1, 解得x ≥5.②当-32≤x ＜5时，原不等式可化为-(x -5)-(2x +3)＜1, 解得31＜x ＜5.① ②③当x ＜-32时，原不等式可化为 -(x -5)+(2x +3)＜1,解得x ＜-7. 综上可知，原不等式的解集为{x |x ＞31或x ＜-7}. 19.(本小题满分12分)已知U ={x |x 2-3x +2≥0},A ={x ||x -2|＞1},B ={x |21--x x ≥0},求A ∩B , A ∪B ,(U A )∪B ,A ∩(U B ).解:∵U ={x |x 2-3x +2≥0}={x |(x -2)(x -1)≥0}={x |x ≥2或x ≤1}, A ={x ||x -2|＞1}={x |x -2＞1或x -2＜-1}={x |x ＞3或x ＜1},B ={x |⎩⎨⎧≠-≥--020)2)(1(x x x }={x |x ＞2或x ≤1}.由图(1)可知,A ∩B ={x |x ＞3或x ＜1},A ∪B ={x |x ＞2或x ≤1}.图(1)由图(2)可知U A ={x |2≤x ≤3或x =1},易知U B ={x |x =2}.图(2)由图(3)可知,(U A )∪B ={x |x ≥2或x ≤1}=U .图(3)由图(4)可知,A ∩(U B )=∅.图(4)。
2009届高三综合测试（一）文科基础（时间：120分钟，每题2分，满分：150分）本试卷共75题，全部是选择题。
每题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求，请按要求把它填涂在答题卡的相应位置。
1．有专家指出，除非人类认识到自身行为对气候变化的长期影响，并采取切实行动来减缓这种影响，否则，人们所熟悉的自然界将不再存在。
这提醒我们A．必须尊重客观规律，按客观规律办事B．必须从根本上控制自然界的变化C．必须运用先进的科学技术改变自然规律D．必须放弃工业化的发展道路2．荀子说：“天有常道矣，地有常数矣，君子有常体矣。
”这种说法体现了A．人可以认识和把握规律 B．规律是客观的，不以人的意志为转移C．我们必须不能违背规律 D．规律是普遍的3．以下选项中最能表现主观能动性的是①天意从来高难问，人生由命非由他②长风破浪会有时，直挂云帆济沧海③请君莫奏前朝曲，听唱新翻杨柳枝④抽刀断水水更流，举杯消愁愁更愁A．①③ B．②④ C．②③ D．①④4．狄德罗认为研究自然有三种方法：通过观察收集材料；通过思考把材料组合起来；通过实验证实组合的结果。
这蕴含的哲理是A．认识的范围局限于自然界B．实践是认识发展的动力C．实践是检验真理的标准D．实践是认识的目的和归宿5．《2004-2010年全国红色旅游发展规划纲要》中指出，红色旅游是一项社会系统工程，是政治工程、社会工程、精品工程和文物保护工程的综合体。
这项事业需要各地区各部门齐心协力、共同推进。
从哲学上看，这说明A．整体功能总是大于各部分功能之和B．整体和部分有着严格的界限C．具有全局观念和整体观念，才能实现最优目标D．部分功能的变化会影响整体的功能6．据有关资料显示，一节一号电池烂在地里，能使1平方米的土壤失去耕种价值；一粒纽扣电池可以使600吨水受到污染；废旧电池如果随便丢弃或者和生活垃圾一起掩埋，其渗出的重金属物质将会渗进土壤、污染地下水，进而影响到和人类息息相关的动物和植物，破坏人类的生活环境，并最终危及人类的健康。
本资料来源于《七彩教育网》 2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编（上） 01集合与简易逻辑一、选择题1、（四川省成都市2009届高三入学摸底测试）设集合M ={ X | X ：：： 2},集合N ={ x| 0：：： x ：：： 1,}则下列关系中正确的是(A) M U N =R (B) M “N 工{x|0 ：： x ::: 1} (C) N M答案：Bk 12、(河南省实验中学2008-2009学年高三第二次月考)设集合M = {x|x,k ・Z}，N2 4k 1={x|x ,k Z}则 4 2A.M=N B M NC.M 二 ND.M N= >答案：B23、 （河南省实验中学 2008-2009学年高三第二次月考）集合M= {x||x -3|v 4} , N= {x|x + x —2 V 0, x € Z},贝U M N A.{0} B.{2}C.「D. {x|2_x_7}答案：A4、 （湖北省武汉市教科院 2009届高三第一次调考）已知集合错误！不能通过编辑域代码创建 对象。
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B •错误！不能通过编辑域代码创建对象。
C .错误！不能通过编辑域代码创建对象。
D •①答案：A2009届咼三第一次调考）“ p 或q 是假命题”是"非 p 为真命题”B •必要不充分条件D •既不充分又不必要条件 6、湖南省长郡中学2009届高三第二次月考）设集合设集合P={y y =x 2}, Q ={y|x 2 +y 2 =2},则 P D Q 等于（）A . { 1}B . {( 1, 1),( -1,1)}C .{ 0, -2 }D . [0,答案：D(D) M 门 N 二5、（湖北省武汉市教科院 的（）A .充分不必要条件 C .充要条件 答案：A7、(2008 年重庆一中高2009 级第一次月考)集合M =<x y = #x _2}, N = {y y = Q x _ 2〉,则M n N二（）A. （2,二）B. [2, ：：）C. ND.答案：B8、（2008年重庆一中高2009级第一次月考“x（x—5）＜0成立”是X—成立”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A9、（湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题）已知映射f : A—；B，其中A二B二R，对应法则f ： y = —X2 2x，对于实数k B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是A. k 1B. k _1C. k 1D. Z1答案：A10、（安徽省潜山县三环中学2009届高三上学期第三次联考）已知I为实数集，M 二{X|X2 -2x :：:0}, N ={x|x _1}，则M - （C I N）=（）.A. {x|0 ：：x ：：1}B. {x|0 ：：x ：：2}C. {x|x ：：1}D. ■-答案：A211、（北京五中12 月考）设集合M 二{x|x -x ：：： 0}, P 二{x||x|：：： 2}，贝UA. M ' PB. M 「P = M C . M P = M D . M P = R答案：B12、（北京市东城区2009届高三部分学校月考）如果命题’J（p或q）”为假命题，贝UA . p，q均为真命题B . p，q均为假命题C . p，q中至少有一个为真命题D . p，q中至多有一个为真命题答案：C13、（甘肃省兰州一中2008 —2009高三上学期第三次月考）已知集合M ={x| 亍_0}, N 二{y |y = 3x21,x R},则M「N= （）（x T）A .B . {x | x - 1}C . {x | x 1}D . {x|x_1 或x ：： 0}答案：C14、（广东省广州市2008-2009学年高三第一学期中段学业质量监测）已知全集1=：0,1,2,3〔集合M =「0,1,2[ N =；0,2,3〔则M 一C]N =（）115、（广东省广州市2008-2009学年高三第一学期中段学业质量监测 ）设命题p :曲线y16、（广东省深圳中学 2008 —2009学年度高三第一学段考试 ）如图，U 是全集，M 、P 、S 是 U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. (MP) SB.(MP) SC . (M P) C USD . (M P) C U S答案：C17、（广东省深圳中学2008 — 2009学年度高三第一学段考试）已知集合A 二｛-1冷，B 二｛x|mx =1｝,且A B 二 A,则m 的值为（ ）答案：A｛a, b ,1｝，也可表示为｛a 2, a ■ b,0｝，则 a 2009 ■ b 2009 的值为a答案：B19、（河北省衡水中学 2008 — 2009学年度第一学期期中考试）若2A:a ・ R,|ap ：1,B:x 的二次方程:x （a 1）x0的一个根大于零，另一个根小于零，则A 是B 的A 充分不必要条件B 必要不充分条件A. 1 答案：AB. 2,3?C. ：0,1,2；D. '■在点-1,e 处的切线方程是 则（） :y - -ex;命题 q :a, b 是任意实数A p 或q ”为真B p 且q ”为真C . p 假q 真 答案：AD . p ,q 均为假命题A .1或—1或 0B . —1C . 1 或一1D . 018、（河北省衡水中学 2008— 2009学年度第一学期期中考试 ）含有三个实数的集合可表示为A.0B.-1C.1D. _1C充要条件D既不充分也不必要条件答案：A120、（四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测）设集合A={x|—1v x€, x€ N}, 集合B = {2 , 3}，则A U B等于A、{1 , 2, 3}B、{0 , 1 , 2, 3}C、{2}D、{—1, 0, 1, 2, 3}答案：B21、（湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题）集合{（ X, y） | y = f（X）}门{（X, y） I X =1}元素个数为（）.A. 1B. 0C. 0个或1个 D .无法确定答案：C22、（江西省崇仁一中2009届高三第四次月考）已知集合M ={y y = 2X, XA 0 ,N ={y y=j2x_x2},则M 门N 等于（）A. 0B. {仆C. {yy"}D. {yy 畠1}答案：A23、（辽宁省大连市第二十四中学2009 届高三高考模拟）M二{x | ^ 2x 1}, N二{ y I y二-x2}，则M , N两个集合的关系是（）A. M - N ^{（ -1,1）］B. M - N 二①C. M ND. N M答案：D24、（辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟）* = 2或y-2 ”是“<^ -4 ”的（）A •必要而不充分条件B •充分而不要条件C.充要条件 D .既不充分又不必要条件答案：A25、（山东省德州市宁津高中2008-2009学年高三第一次月考）设函数f （x）=1 n（x-1）（2 -X）的定义域是A,函数g（x） = IgC，a x…2X 1）的定义域是B,若A —B ,则正数a的取值范围是A. a >3B. a > 3C. a .5D. a A. 5答案：B26、（山东省临沂高新区实验中学2008-2009学年高三12月月考）已知全集I -{1,2,3,4,5,6},集合A ={1,3,4,5},集合B ={1,4},则A 一C I B 等于A. {1 , 4}B. {2 , 6}C. {3 , 5}D. {2 , 3, 5, 6}27、(山东省临沂高新区实验中学2008-2009学年高三12月月考)若f(x)是R上的增函数，且f( - 1) = -4,f(2) = 2,设P= {x|f(x + t) + 1 v 3},Q = {x|f(x) v—4}，若'X P ”是'X Q ”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是A. t <-1B. t-1C. t -3D. t 3答案：D28、(天津市汉沽一中2008~2009学年度高三第四次月考试题)设全集U ^{0,1, 2, 3, 4}，集合A ={0,1,2}，集合B ={2, 3}，则E AUB=A. 一B. {1, 2, 3, 4}C. {0, 1,2, 3,4}D. {2,3, 4}答案：D29、(厦门市第二外国语学校2008—2009学年高三数学第四次月考)已知集合M ={ x|(x + 2)(x-1) < 0 } , N ={ x| x + 1 < 0 }，贝U M n N =( )A. ( - 1 , 1)B. (- 2, 1)C. (- 2,- 1)D. (1 , 2)答案：C30、(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)设全集为U=R , A= \x :: 1,B= 'xx • 0」.那么C U(A B)=()A• •一 B. '0,V C.：i-R,0】1, ：：D. d答案：A 提示：A U B = R1 —31、(重庆市大足中学2009年高考数学模拟试题)已知P：—• 2, Q: •. X ：：：1.。
第一章 集合与简易逻辑(二)●知识网络简易逻辑逻辑联结词四种命题及其关系充分条件与必要条件简单命题与复合命题逻辑联结词或、且、非●范题精讲【例1】 判断下列语句是否是命题,若不是,请说明理由;若是,判断命题的真假. (1)质数是奇数;(2)偶数的平方是偶数; (3)3x >x ; (4)x 2-x +2>0;(5)我一定学好数学;(6)这是多么好的时代啊!分析:判断语句是否是命题,关键是看能否判定其真假. 解:(1)是命题,且是假命题.因为2是质数也是偶数. (2)是命题,且是真命题.(3)不是命题.因为x 是未知数,不能判断其真假. (4)是命题,且是真命题.因为x 2-x +2=(x -21)2+47>0对任意x ∈R 都成立.(5)不是命题.祈使句不是命题. (6)不是命题.感叹句不是命题.评注:表达命题的语句一般是陈述句,祈使句、感叹句、疑问句都不是命题.同时应注意,只有能够判断真假的陈述句才是命题,否则也不是命题.【例2】 有命题a 、b 、c 、d 、e ，已知： ①a 是b 的必要条件； ②b 是d 的充要条件；③由d 不可推出c ，但c 可推出d ； ④c ⇒e 成立，e 又等价于b . 问：(1)d 是a 的什么条件？ (2)a 是c 的什么条件？ (3)c 是b 的什么条件？ (4)d 是e 的什么条件？分析:本题条件之间有较多的交叉，从文字叙述的条件来推理容易混淆，但是若将各个命题间的关系用“⇒”“⇐”“”联接起来，形成一个网络，那么就易解答了.ad cbe解:把已知的a 、b 、c 、d 、e 间的关系表示出来，构成上图，那么， (1)∵a ⇐bd ,∴d 是a 的充分不必要条件. (2)∵a ⇐bd ⇐c 或a ⇐be ⇐c ,∴a 是c 的必要不充分条件. (3)∵bd ⇐c 或be ⇐c ,∴c 是d 的充分不必要条件. (4)∵ebd ,∴d 是e 的充要条件.评注:将语言叙述符号化，可以起到简化推理过程的作用,这是一种常用的方法. 【例3】 求证：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)至多有两个不相等的实根. 分析:本题直接证明比较困难，可采用反证法.证明:假设方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有三个不相等的实根x 1、x 2、x 3，则ax 12+bx 1+c =0， ① ax 22+bx 2+c =0， ② ax 32+bx 3+c =0. ③ ①-②得a (x 12-x 22)+b (x 1-x 2)=0.∵x 1≠x 2,∴a (x 1+x 2)+b =0. ④ 同理,由①-③得a (x 1+x 3)+b =0. ⑤ ④-⑤得a (x 2-x 3)=0.∵x 2≠x 3,∴a =0.这与已知a ≠0矛盾,∴假设不成立，原命题成立. 评注:反证法的关键是归谬，即推出矛盾，常有以下几种情形：①与已知条件矛盾； ②与定义、定理、公理矛盾；③自相矛盾；④与假设矛盾.反证法常用于以下问题的证明：①否定性问题；②唯一性问题；③“至多”“至少”问题；④条件较少，直接证明困难的问题.【例4】 已知p :{x |⎩⎨⎧≤-≥+01002x x },q :{x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0},若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.分析:先写出⌝p 和⌝q ，然后由⌝q ⌝p 但⌝p ⇒⌝q ,求得m 的取值范围. 解法一:p 即{x |-2≤x ≤10}，∴⌝p :A ={x |x ＜-2或x ＞10}, ⌝q :B ={x |x ＜1-m 或x ＞1+m ,m ＞0}. ∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴B A ⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥⇒-≤->101,921,0m m m m即m 的取值范围是{m |m ≥9}.解法二:∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件. ∴p 是q 的充分不必要条件.而p :P ={x |-2≤x ≤10},q :Q ={x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0}.∴PQ ,即⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥⇒-≤->.101.921,0m m m m∴m 的取值范围是{m |m ≥9}.评注:对于充分必要条件的判断,除了直接使用定义及其等价命题进行判断外,还可以根据集合的包含关系来判断条件与结论之间的逻辑关系:设p 包含的对象组成集合A ,q 包含的对象组成集合B ,若A B ,则p 是q 的充分不必要条件;若A B ,则p 是q 的必要不充分条件;若A =B ,则p 是q 的充要条件;若A B 且B A ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.●试题详解高中同步测控优化训练(三) 第一章 集合与简易逻辑(二)(A 卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列语句不是命题的有①x 2-3=0 ②与一条直线相交的两直线平行吗 ③3+1=5 ④5x -3＞6 A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④解析:可以判断真假的语句(包括式子)叫做命题.其中①④在不给定变量值之前，无法判定真假；②是问句，不涉及真假.答案:C2.下列命题为简单命题的是 A.5和10是20的约数B.正方形的对角线垂直平分C.6是无理数D.方程x 2+x +2=0没有实数根解析:不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，A 、B 是p 且q 的形式，D 是非p 的形式. 答案:C3.下列理解错误的是A.命题3≤3是p 且q 形式的复合命题，其中p :3＜3,q :3=3.所以“3≤3”是假命题B.“2是偶质数”是一个p 且q 形式的复合命题，其中p :2 是偶数，q :2是质数C.“不等式|x |＜-1无实数解”的否定形式是“不等式|x |＜-1有实数解”D.“2001＞2008或2008＞2001”是真命题解析:命题3≤3是p 或q 形式的复合命题，其中p :3＜3,q :3=3.所以“3≤3”是真命题. 答案:A4.如果命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，那么 A.命题“非p ”与命题“非q ”的真值不同 B.命题p 与命题“非q ”的真值相同 C.命题q 与命题“非p ”的真值相同 D.命题“非p 且非q ”是真命题解析:由“p 且q ”是假命题可知，p 和q 至少有一个是假命题，由“p 或q ”是假命题可知，p 和q 都是假命题.这样“非p ”和“非q ”就都是真命题.由真值表可知，“非p 且非q ”是真命题.答案:D5.给出命题:p:3>1,q:4∈{2,3},则在下列三个复合命题:“p且q”“p或q”“非p”中,真命题的个数为A.0B.3C.2D.1解析:因为p真q假,由复合命题的真值表可知:“p且q”为假,“p或q”为真,“非p”为假.答案:D6.命题“若A∩B=A,则A⊆B”的逆否命题是A.若A∪B≠A,则A⊇BB.若A∩B≠A,则A BC.若A B,则A∩B≠AD.若A⊇B,则A∩B≠A答案:C7.在如下图所示的电路图中，“开关A的闭合”是“灯泡B亮”的_________条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要解析:由“A闭合”“B亮”可知是B亮的必要不充分条件.答案:B8.用反证法证明命题“a、b∈N*,ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是A.a、b都能被5整除B.a、b都不能被5整除C.a不能被5整除D.a、b有一个不能被5整除答案:B9.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，那么丁是甲的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由甲⇒乙丙⇐丁,可知丁甲且甲丁,所以丁是甲的既不充分也不必要条件.答案:D10.已知a为非零实数，x为实数，则命题“x∈{-a,a}”是“|x|=a”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:当a ＞0时，x ∈{-a ,a }|x |=a ;当a ＜0时，x ∈{-a ,a } |x |=a .答案:D第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.分别用“p 或q ”“p 且q ”“非p ”填空. (1)命题“3的值不超过2”是_______形式;(2)命题“方程(x -2)(x -3)=0的解是x =2或x =3”是_______形式; (3)命题“方程(x -2)2+(y -3)2=0的解是⎩⎨⎧==3,2y x ”是_______形式.答案:(1)非p (2)p 或q (3)p 且q 12.“a ≥5,且b ≥2”的否定是_______. 答案:a ＜5或b ＜213.函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)过原点的充要条件是_______. 答案:c =014.给定下列命题：①若k ＞0，则方程x 2+2x -k=0有实数根； ②“若a ＞b ，则a +c ＞b +c ”的否命题； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy =0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题. 其中真命题的序号是________. 解析:∵①Δ=4-4(-k)=4+4k ＞0, ∴是真命题. ②否命题：“若a ≤b ，则a +c ≤b +c ”是真命题. ③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题. ④否命题：“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”是真命题. 答案:①②④三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分10分)写出下面“p 或q ”“p 且q ”“非p ”“非q ”形式的复合命题，并判断真假.p ：7是21的约数；q ：7是26的约数.解:因为p 真q 假,所以①p 或q ：7是21的约数或是26的约数(真). ②p 且q ：7是21的约数且是26的约数(假). ③非p ：7不是21的约数(假). ④非q ：7不是26的约数(真).16.(本小题满分10分)证明：ax 2+bx +c =0有一根是1的充要条件是a +b +c =0. 分析:证题的关键是要分清a +b +c =0是条件,ax 2+bx +c =0是结论. 证明:先证必要性.由ax 2+bx +c =0有一根为1，把它代入方程，即得a +b +c =0. 再证充分性.由a +b +c =0,得a =-b -c ，代入ax 2+bx +c =0,得 (-b -c )x 2+bx +c =0,-bx 2-cx 2+bx +c =0，bx (1-x )+c (1-x 2)=0,(1-x )［bx +c (1+x )］=0, (1-x )(bx +cx +c )=0,∴x =1是方程ax 2+bx +c =0的一个根.17.(本小题满分10分)判断命题"若a ＞0，则方程x 2+x -a =0有实数根"的逆否命题的真假. 解法一:∵a ＞0,∴a ＞0＞-41.∴1+4a ＞0.∴方程x 2+x -a =0的判别式Δ=1+4a ＞0. ∴方程有实数根，原命题为真.而原命题与逆否命题等价，故逆否命题为真.解法二:原命题：若a ＞0,则方程x 2+x -a =0有实数根.其逆否命题为：若方程x 2+x -a =0无实根，则a ≤0.∵x 2+x -a =0无实根，则Δ=1+4a ＜0，即a ＜-41.从而a ＜-41<0,原命题的逆否命题为真.18.(本小题满分12分)已知A ：|5x -2|＞3，B ：5412-+x x ＞0,则非A 是非B 的什么条件？并写出解答过程.解法一:化简A 、B 得A ：{x |x ＜-51或x ＞1},B ：{x |x ＜-5或x ＞1}.∵A B 但B ⇒A ，∴B 是A 的充分不必要条件.∴它的逆否命题:非A 是非B 的充分不必要条件. 解法二:化简A 、B 得 A :{x |x ＜-51或x ＞1},B :{x |x ＜-5或x ＞1}.∴非A ：{x |-51≤x ≤1}，非B ：{x |-5≤x ≤1}.∵非A非B ,∴非A 是非B 的充分不必要条件.19.(本小题满分12分)已知p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的负根；q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根.若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围.解:若方程x2+mx +1=0有两个不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆.0,042m m解得m ＞2，即p :m ＞2.若方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根， 则Δ=16(m -2)2-16=16(m 2-4m +3)＜0. 解得1＜m ＜3,即q :1＜m ＜3.∵p 或q 为真，∴p 、q 至少有一为真.又p 且q 为假，∴p 、q 至少有一为假.因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真、q 为假或p 为假、q 为真.∴⎩⎨⎧≥≤>31,2m m m 或或⎩⎨⎧<<≤.31,2m m解得m ≥3或1＜m ≤2.。
一、选择题1.(2009年 广 东 卷 文 )已 知 全 集 UR， 则 正 确 表 示 集 合 M{ 1,0,1} 和Nx | x 2x 0关系的韦恩（Venn ）图是()答案B分析由 Nx | x 2x 0，得 N { 1,0} ，则 NM , 选B.2. （ 2009 全国卷Ⅰ理）设会合 A=｛ 4，5， 7， 9｝， B=｛ 3， 4， 7， 8， 9｝，全集 U=A U B ，则会合 u ( AI B) 中的元素共有（）A. 3 个B. 4个C. 5个 D. 6 个解： A U B {3,4,5,7,8,9} ， A I B{4,7,9} C U ( A I B){3,5,8} 应选 A 。
也可用摩根律： C U ( A I B) (C U A) U (C U B)答案 A3. （ 2009 浙江理）设 U R ， A { x | x 0} ， B { x | x 1} ，则 A I e U B ( )A ． { x | 0 x 1}B ． { x | 0 x 1}C ． { x | x 0}D ． { x | x 1}答案 B分析对于 C Bx x 1 ，所以 A Ie U B { x | 0 x 1}U4. （ 2009 浙江理）设 U R ， A { x | x 0} ， B { x | x 1} ，则 A I e U B ( )A ． { x | 0 x 1}B ． { x | 0 x 1}C ． { x | x 0}D ． { x | x 1}答案 B分析对于C U Bx x 1 ，所以 A I e U B { x | 0 x 1} ．5. （ 2009 浙江文）设 UR ， A{ x | x 0} ， B { x | x1} ，则 A I e U B （）A ． { x | 0 x 1}B ． { x | 0 x 1}C ． { x | x 0}D ． { x | x 1}答案 B【命题企图】本小题主要观察了会合中的补集、交集的知识，在会合的运算观察对于会合理解和掌握的程度，自然也很好地观察了不等式的基天性质．分析 对于 C Bx x 1 ，所以 A I e U B { x | 0 x 1} ．U6.（ 2009 北京文）设会合 A{ x |1 x 2}, B { x x2 1} ，则 A U B（）21 A ． { x 1 x 2}B．{ x |x 1}2C ． { x | x 2} D． { x |1 x 2}答案 A分析本题主要观察会合的基本运算以及简单的不等式的解法 . 属于基础知识、基本运算的观察∵ A{ x | 1 x2}, B { x x 21} x | 1 x1 ，2∴ A U B { x1 x2} ，应选 A.7.(2009 山东卷理 ) 会合 A 0,2, a , B1,a 2 , 若 A U B0,1,2,4,16 , 则 a 的值为()答案 D分析 ∵ A0,2, a , B1,a 2 , A U B0,1,2,4,16 ∴ a 216∴ a 4 , 应选 D.a 4【命题立意】 : 本题观察了会合的并集运算 , 并用察看法获得相对应的元素 , 进而求得答案 ,本题属于简单题 .8. (2009 山东卷文 ) 会合 A 0,2, a , B 1,a 2 , 若 A U B 0,1,2,4,16 , 则 a 的值为()答案 D分析 ∵ A0,2, a , B1,a 2 , A U B0,1,2,4,16 ∴ a 2 16∴ a 4 , 应选 D.a 4【命题立意】 : 本题观察了会合的并集运算 , 并用察看法获得相对应的元素 , 进而求得答案 ,本题属于简单题 .9. （ 2009 全国卷Ⅱ文）已知全集 U ={1 ， 2， 3，4， 5， 6，7， 8} ， M ={1 ， 3， 5，7} ， N ={5 ，6， 7} ，则 C ( M U N )=( )uA.{5 ， 7}B.{2 ，4}C. {2.4.8}D. {1， 3， 5， 6， 7}答案 C分析 本题观察会合运算能力。
数学单元检测试卷（圆锥曲线）一、填空题（每小题5分）1．当8<k<17时，曲线221178x y k k +=--与221817x y +=有相同的A ．焦点B ．准线C ．焦距D ．离心率2．已知圆锥曲线2214x y λ+=的离心率[22e ∈，则实数λ的取值范围是 A ．[-2，0] B ．[-3，1] C ．[-2，-1] D ．[-2，1]3．已知m ，n 为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0与nx 2+my 2=mn 所表示的示意曲线是4．当0<k<13时，关于x kx =的实根个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．过抛物线y 2=2px （p>0）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，则抛物线方程为A ．y 2=9xB ．y 2=6xC ．y 2=3xD ．y 26．已知双曲线221:1169x y C -=的左准线为l ，左、右焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点是F 2，若C 1与C 2的一个交点为P ，则|PF 2|的值等于A ．40B ．32C ．8D ．47．若抛物线y 2=2x 上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）关于直线y=x+b 对称，且y 1y 2=-1则实数b 的值为A ．52-B ．52C ．12D ．-128．已知椭圆中心在坐标原点，离心率为12，A 、C 分别为上、下顶点，B 为左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 交于点D ，则∠BDC 正切值是A ．-B ．3C ．D ．33+9．已知椭圆中心在坐标原点O ，右焦点为F ，右准线为l ，若l 上存在点M ，使线段OM 的中垂线经过点F ，则椭圆离心率的取值范围是A ．[2B ．C ．D ．(0,210．两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y=-2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后，反射光线恰好通过椭圆C：22221x ya b+=（a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离心率为12且x2-x1=65，则椭圆C的方程为A．22143x y+=B．22186x y+=C．2211612x y+=D．22413x y+=二、填空题（每小题5分）11．过双曲线2212yx-=的右焦点，作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有2条，则λ范围是。
一、选择题1.(2009年 广 东 卷 文 )已 知 全 集 UR， 则 正 确 表 示 集 合 M{ 1,0,1} 和Nx | x 2x 0关系的韦恩（Venn ）图是()答案B解析由 Nx | x 2x 0，得 N { 1,0} ，则 NM , 选B.2. （ 2009 全国卷Ⅰ理）设集合 A=｛ 4，5， 7， 9｝， B=｛ 3， 4， 7， 8， 9｝，全集 U=A U B ，则集合 u ( AI B) 中的元素共有（）A. 3 个B. 4个C. 5个 D. 6 个解： A U B {3,4,5,7,8,9} ， A I B{4,7,9} C U ( A I B){3,5,8} 故选 A 。
也可用摩根律： C U ( A I B) (C U A) U (C U B)答案 A3. （ 2009 浙江理）设 U R ， A { x | x 0} ， B { x | x 1} ，则 A I e U B ( )A ． { x | 0 x 1}B ． { x | 0 x 1}C ． { x | x 0}D ． { x | x 1}答案 B解析对于 C Bx x 1 ，因此 A Ie U B { x | 0 x 1}U4. （ 2009 浙江理）设 U R ， A { x | x 0} ， B { x | x 1} ，则 A I e U B ( )A ． { x | 0 x 1}B ． { x | 0 x 1}C ． { x | x 0}D ． { x | x 1}答案 B解析对于C U Bx x 1 ，因此 A I e U B { x | 0 x 1} ．5. （ 2009 浙江文）设 UR ， A{ x | x 0} ， B { x | x1} ，则 A I e U B （）A ． { x | 0 x 1}B ． { x | 0 x 1}C ． { x | x 0}D ． { x | x 1}答案 B【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识，在集合的运算考查对于集合理解和掌握的程度，当然也很好地考查了不等式的基本性质．解析 对于 C Bx x 1 ，因此 A I e U B { x | 0 x 1} ．U6.（ 2009 北京文）设集合 A{ x |1 x 2}, B { x x2 1} ，则 A U B（）21 A ． { x 1 x 2}B．{ x |x 1}2C ． { x | x 2} D． { x |1 x 2}答案 A解析本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法 . 属于基础知识、基本运算的考查∵ A{ x | 1 x2}, B { x x 21} x | 1 x1 ，2∴ A U B { x1 x2} ，故选 A.7.(2009 山东卷理 ) 集合 A 0,2, a , B1,a 2 , 若 A U B0,1,2,4,16 , 则 a 的值为()A.0B.1C.2D.4答案 D解析 ∵ A0,2, a , B1,a 2 , A U B0,1,2,4,16 ∴ a 216∴ a 4 , 故选 D.a 4【命题立意】 : 本题考查了集合的并集运算 , 并用观察法得到相对应的元素 , 从而求得答案 ,本题属于容易题 .8. (2009 山东卷文 ) 集合 A 0,2, a , B 1,a 2 , 若 A U B 0,1,2,4,16 , 则 a 的值为()A.0B.1C.2D.4答案 D解析 ∵ A0,2, a , B1,a 2 , A U B0,1,2,4,16 ∴ a 2 16∴ a 4 , 故选 D.a 4【命题立意】 : 本题考查了集合的并集运算 , 并用观察法得到相对应的元素 , 从而求得答案 ,本题属于容易题 .9. （ 2009 全国卷Ⅱ文）已知全集 U ={1 ， 2， 3，4， 5， 6，7， 8} ， M ={1 ， 3， 5，7} ， N ={5 ，6， 7} ，则 C ( M U N )=( )uA.{5 ， 7}B.{2 ，4}C. {2.4.8}D. {1， 3， 5， 6， 7}答案 C解析 本题考查集合运算能力。
2009年课改区高考数学试卷分类汇编—— 集合与简易逻辑、排列组合与二项式定理一、选择题1.(2009年广东卷文)已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是【答案】B【解读】由{}2|0N x x x =+=，得{1,0}N =-，则N M ⊂,选B.2.（2009浙江理）设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð( )A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x >答案：B【解读】 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B =ð{|01}x x <≤．3.（2009浙江理）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C【解读】对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的4.（2009浙江理）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：C【解读】对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的5.（2009浙江理）设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð( )A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤ C ．{|0}x x < D ．{|1}x x >答案：B【解读】 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B =ð{|01}x x <≤．6.（2009浙江文）设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U AB =ð（ ）A ．{|01}x x ≤< B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >7． B 【命题意图】本小题主要考查了集合中的补集、交集的知识，在集合的运算考查对于集合理解和掌握的程度，当然也很好地考查了不等式的基本性质．【解读】 对于{}1U C B x x =≤，因此U A B =ð{|01}x x <≤．8.（2009浙江文）“0x >”是“0x ≠”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．【解读】对于“0x >”⇒“0x ≠”；反之不一定成立，因此“0x >”是“0x ≠”的充分而不必要条件．9.(2009山东卷理)集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4【解读】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D. 答案:D【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.10.(2009山东卷文)集合{}0,2,A a =,{}21,B a=,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4 【解读】:∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.答案:D【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.11.（2009广东卷理）已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 【解读】由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个，选B. 12.（2009安徽卷理）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是 （A ） 11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 (B){}23x x <<（C ） 122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ (D)112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭[解读]集合1{|12},{|3}2A x x B x x x =-<<=<->或，∴1{|1}2AB x x =-<<-选D13.（2009安徽卷文）若集合，则是A ．{1，2，3} B. {1，2} C. {4，5} D. {1，2，3，4，5} 【解读】解不等式得{}1|32A x x =-<<∵{}1||5B x x N x +=∈≤ ∴{}1,2A B =,选B 。
一、选择题1．下列命题中：①命题“若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则2a =”的逆否命题；②命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题；③命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．设原命题：若2a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假状况是（ ）A ．原命题与逆命题均为真命题B ．原命题真，逆命题假C ．原命题假，逆命题真D ．原命题与逆命题均为真命题 3．命题“ax 2－2ax + 3 > 0恒成立”是假命题, 则实数a 的取值范围是( ) A ．a < 0或a ≥3B ．a ≤0或a ≥3C ．a < 0或a >3D ．0<a <34．设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C ⋃⋂=A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}5．"tan 1"α=是""4πα=的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件6．已知,αβR ∈，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知p ：02x ≤≤，q ：2230x x --≥，则p 是q ⌝的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．充分必要条件 8．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠ ，则2320x x -+≠”B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．对于命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 9．设集合{}1,0,1,2,3A =-， 2{|30}B x x x =->，则()R A C B （ ）A ．{－1}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}10．已知函数()31f x x ax =--，则()f x 在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A ．[]0,3a ∈ B ．()0,5a ∈C ．()0,3a ∈D ．()1,3a ∈11．以下四个命题中错误．．的是（ ） A ．若样本1x 、2x 、、5x 的平均数是2，方差是2，则数据12x 、22x 、、52x 的平均数是4，方差是4B ．ln 0x <是1x <的充分不必要条件C ．样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率D ．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于3”和事件“向上点数不小于4”是对立事件12．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B ，则()U C A B （ ）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}二、填空题13．设:5x α≤-或1x ≥，:2321m x m β-≤≤+，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围_______________. 14．命题“∀x ∈[4π，3π]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_____． 15．已知集合{|(1,2)(0,1),}P a a m m R ==-+∈，{|(2,1)(1,1),}Q b b n n R ==+-∈，则P Q =_________.16．已知集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则RA B =__________．17．已知下列命题：①命题“213x R x x ∃∈+>，”的否定是“213x R x x ∀∈+<，”；②已知,p q 为两个命题，若p q ∨“”为假命题，则()()“”p q ⌝⌝∧为真命题；③“2a >”是“5a >”的充分不必要条件；④“若0,xy =则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中 真命题的序号是__________．（写出所有满足题意的序号） 18．下列有关命题的说法正确的是___（请填写所有正确的命题序号）． ①命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”； ②命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题； ③条件2:p x x ≥-，条件:q x x =，则p 是q 的充分不必要条件；④已知0x >时，()()10x f x '-<，若ABC ∆是锐角三角形，则()()sin cos f A f B >. 19．若集合A ＝{x|2≤x≤3}，集合B ＝{x|ax －2＝0，a ∈Z}，且B ⊆A ，则实数a ＝________.20．已知函数1,()1,M x Mf x x M∈⎧=⎨-∉⎩（M 为非空数集），对于两个集合,A B ，定义{}()?()1A B A B x f x f x ∆==-，已知{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则A B ∆=__________．三、解答题21．设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，(0)a >，命题:q 实数x 满足(3)(2)0x x --≥．（1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；（用区间表示）（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．（用区间表示） 22．设m R ∈，命题2:043p x x <-<，命题:(1)(3)0q x m x m -+--<. （1）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.23．已知命题:p 直线y x m =+与焦点在x 轴上的椭圆2216x y m+=无公共点，命题:q 方程2212x y m t m t -=---表示双曲线． （1）若命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数t 的取值范围． 24．已知{}2680A x x x =-+≤，201B x x ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}260C x x mx =-+<，且“x AB ∈”是“xC ∈”的充分不必要条件.（1）求AB ；（2）求实数m 的取值范围.25．已知函数()f x =A ，()()()lg 12(1)g x x a a x a ⎡⎤=---<⎣⎦的定义域为B .（1）求A .（2）记2222222040/2/22300B A AB v v a m s m s S --===-⨯ :q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．26．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】根据原命题和逆否命题同真假来判断①是真命题，根据定义写出命题的否命题和命题的否定，再判断②③的真假即可. 【详解】①中，若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则()1210a ⨯+⨯-=，则2a =.故该命题是真命题，其逆否命题也是真命题；②中，命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题是：“若1a =，则210a -=”，易见若1a =，则21a =，则210a -=，故“若1a =，则210a -=”是真命题；③中，命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定是“对任意的0ω<，函数()sin y x ωϕ=+存在最小正周期”， 对任意的0ω<，函数()sin y x ωϕ=+存在最小正周期2T πω=，故命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定是真命题.故①②③均为真命题. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：一般互为逆否的两个命题判断真假时，可以选择容易的进行判断，则另一个就同真假.2．B解析：B 【分析】写出原命题的逆否命题，判断其逆否命题为真，从而得到原命题也为真. 【详解】原命题的逆否命题为：若,a b 中没有一个大于等于1，则2a b +<，等价于“若1,1a b <<，则2a b +<”，显然这个命题是对的，所以原命题正确； 原命题的逆命题为：“若,a b 中至少有一个不小于1，则2a b +≥”，取5,5a b ==-则,a b 中至少有一个不小于1，但0a b +=，所以原命题的逆命题不正确. 【点睛】至少有一个的否定为“0个”，“不小于”等价于“大于等于”，同时注意若原命题的真假性不好判断，而等价于判断其逆否命题.3．A解析：A 【分析】根据题意得出命题“x R ∃∈，2230ax ax -+≤”是真命题，然后对a 分情况讨论，根据题意得出关于a 的不等式，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，即命题“x R ∃∈，2230ax ax -+≤”是真命题. 当0a =时，2230ax ax -+≤不成立； 当0a <时，合乎题意；当0a >时，则24120a a ∆=-≥，解得3a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是0a <或3a ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查由全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B =-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C =-.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.5．B解析：B 【解析】 由"tan 1"α=，得，而""4πα=得"tan 1"α=，所以"tan 1"α=是""4πα=的必要非充分条件. 故选B6．D解析：D 【详解】 若2παβ==则tan ,tan αβ不存在，若tan tan αβ=，可得k απβ=+，故选D7．C解析：C 【分析】设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，根据集合之间的包含关系，即可求解.【详解】因为q ：2230x x --≥， 所以q ⌝：2230x x --<，设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，则(1,3)N =-， 所以M N ,所以p 是q ⌝的充分不必要条件， 故选：C 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，集合的真子集，考查了推理能力，属于中档题.8．B解析：B 【分析】由原命题与逆否命题的关系即可判断A ；由复合命题的真值表即可判断B ; 由特称命题的否定是全称命题即可判断C ；根据充分必要条件的定义即可判断D ；． 【详解】A ．命题：“若p 则q ”的逆否命题为：“若￢q 则￢p ”，故A 正确；B ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故B 错．C ．由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0，则￢p 为：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0，故C 正确；D ．由x 2﹣3x +2＞0解得，x ＞2或x ＜1，故x ＞2可推出x 2﹣3x +2＞0，但x 2﹣3x +2＞0推不出x ＞2，故“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，即D 正确 故选B ． 【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题．9．B解析：B 【分析】解出集合B ，进而求出R C B ，即可得到()R A C B ⋂. 【详解】{}{}{}23003,03,R B x x x x x x C B x x =->=∴=≤≤或故(){}{}{}1,0,1,2,3030,1,2,3R A C B x x ⋂=-⋂≤≤=. 故选B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，属基础题.10．D解析：D 【分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案.由已知，()23[,3)f x x a a a =-∈--‘，当0a ≤时，'()0f x ≥，当3a ≥时，'()0f x ≤，所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥，故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为(0,3)，A 、B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件.故选：D 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.11．A解析：A 【分析】利用平均数和方差公式可判断A 选项的正误；解不等式ln 0x <，利用集合的包含关系可判断B 选项的正误；根据频率直方图的概念可判断C 选项的正误；根据对立事件的概念可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，样本1x 、2x 、、5x 的平均数为1234525x x x x x x ++++==，方差为()()()()()222221234522222225x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==， 数据12x 、22x 、、52x 的平均数是1234522222245x x x x x x x ++++'===，方差为()()()()()2222212345224242424245x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦'=()()()()()2222212345242222244285x x x x x s ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦===⨯=，A 选项错误；对于B 选项，解不等式ln 0x <，得01x <<，{}01x x << {}1x x <，所以，ln 0x <是1x <的充分不必要条件，B 选项正确；对于C 选项，由频率分布直方图的概念可知，样本频率分布直方图中的小矩形的面积就是对应组的频率，C 选项正确；对于D 选项，抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于3”即为：向上的点数为1或2或3，事件“向上点数不小于4”即为：向上的点数为4或5或6， 这两个事件互为对立事件，D 选项正确.【点睛】本题考查命题正误的判断，涉及平均数、方差的计算、充分不必要条件的判断、频率直方图和对立事件概念的理解，考查推理能力，属于中等题.12．B解析：B 【分析】根据补集的运算，求得{3,5}U C A =，再根据集合交集的运算，即可求得()U C A B ⋂. 【详解】由题意，全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，可得{3,5}U C A =， 所以()U C A B {3,5}.故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.二、填空题13．或【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可【详解】解：或若是的必要条件则或故或故答案为：或【点睛】本题考查了充分必要条件考查集合的包含关系属于基础题解析：3m ≤-或2m ≥ 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m 的范围即可． 【详解】解：:5x α-或1x ，:2321m x m β-+， 若α是β的必要条件， 则231m -或215m +-， 故2m 或3m -， 故答案为：2m 或3m -． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，属于基础题．14．【分析】将条件转化为时再利用在的单调性求出的最大值即可【详解】是真命题时在的单调递增时取得最大值为即的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了转化思想将恒成立问题转化为最值问题再通过正切函数的单调性【分析】将条件“[4x π∀∈，]3π，tan x m ”转化为“[4x π∈，]3π时，(tan )max m x ”，再利用tan y x=在[4π，]3π的单调性求出tan x 的最大值即可． 【详解】“[4x π∀∈，]3π，tan x m ”是真命题，[4x π∴∈，]3π时，(tan )max m x ，tan y x =在[4π，]3π的单调递增，3x π∴=时，tan x ，3m∴，即m【点睛】本题主要考查了转化思想，将恒成立问题转化为最值问题，再通过正切函数的单调性求出函数的最值即可，属于中档题．15．【分析】根据向量的坐标运算可求得集合P 与集合Q 再结合交集的运算即可求解【详解】集合则集合则由集合的交集定义可知解方程组可得所以故答案为:【点睛】本题考查了向量的坐标运算集合交集的定义属于基础题 解析：(){}1,2【分析】根据向量的坐标运算,可求得集合P 与集合Q,再结合交集的运算即可求解. 【详解】集合{|(1,2)(0,1),}P a a m m R ==-+∈ 则(){}1,2P m =-+集合{|(2,1)(1,1),}Q b b n n R ==+-∈则(){}2,1Q n n =-+由集合的交集定义可知1221nm n =-⎧⎨-+=+⎩解方程组可得14n m =⎧⎨=⎩所以(){}1,2P Q ⋂=故答案为: (){}1,2【点睛】本题考查了向量的坐标运算,集合交集的定义,属于基础题.16．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题 解析：[]2,3【分析】根据集合的交集补集运算即可求解. 【详解】因为{}2B x x =<， 所以RB ={}2x x ≥因此RAB ={}{}32=[2,3]x x x x ≤⋂≥.故答案为[]2,3 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.17．②【分析】①写出命题的否定即可判定正误；②由为假命题得到命题都是假命题由此可判断结论正确；③由时不成立反之成立由此可判断得到结论；④举例说明原命题是假命题得出它的逆否命题也为假命题【详解】对于①中命解析：② 【分析】①写出命题“213x R x x ∃∈+>，”的否定，即可判定正误；②由p q ∨“”为假命题，得到命题,p q 都是假命题，由此可判断结论正确；③由2a >时，5a >不成立，反之成立，由此可判断得到结论； ④举例说明原命题是假命题，得出它的逆否命题也为假命题． 【详解】对于①中，命题“213x R x x ∃∈+>，”的否定为“213x R x x ∀∈+≤，”，所以不正确；对于②中，命题,p q 满足p q ∨“”为假命题，得到命题,p q 都是假命题，所以,p q ⌝⌝都是真命题，所以()()“”p q ⌝⌝∧为真命题，所以是正确的；对于③中，当2a >时，则5a >不一定成立，当5a >时，则2a >成立，所以2a >是5a >成立的必要不充分条件，所以不正确；对于④中，“若0,xy =则0x =且0y =”是假命题，如3,0x y ==时，所以它的逆否命题也是假命题，所以是错误的； 故真命题的序号是②． 【点睛】本题主要考查了命题的否定，复合命题的真假判定，充分与必要条件的判断问题，同时考查了四种命题之间的关系的应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，着重考查了推理与论证能力．18．②④【分析】根据否命题与原命题的关系可判断命题①的真假；判断出原命题的真假可判断出其逆否命题的真假从而判断出命题②的真假；解出不等式以及根据集合的包含关系得出命题③的真假；根据得出函数在上的单调性由 解析：②④【分析】根据否命题与原命题的关系可判断命题①的真假；判断出原命题的真假可判断出其逆否命题的真假，从而判断出命题②的真假；解出不等式2x x ≥-以及x x =，根据集合的包含关系得出命题③的真假；根据()()10x f x '-<得出函数()y f x =在()0,1上的单调性，由ABC ∆是锐角三角形，得出sin cos A B >，结合函数()y f x =的单调性判断命题④的真假.【详解】对于①，命题“若21x =，则1x =”的否命题是：“若21x ≠，则1x ≠”，故错误；对于②，命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，则它的逆否命题也是真命题，故正确；对于③，条件2:p x x ≥- ，即为1x ≤-或0x ≥；条件:q x x =，即为0x ≥；则q 是p的充分不必要条件，故错误；对于④，0x >时，()()10x f x '-<，当01x <<时，()0f x '>，则()f x 在()0,1上是增函数；当ABC ∆是锐角三角形，2A B π+>，即2A B π>-， 所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，则()()sin cos f A f B >，故正确. 故答案为②④.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及四种命题、充分必要条件的判断以及函数单调性的应用，解题时应根据这些基础知识进行判断，考查推理能力，属于中等题. 19．0或1【分析】根据B ⊆A 讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅分别求出a 的范围；【详解】∵B ⊆A 若B=∅则a=0；若B≠∅则因为若2∈B ∴2a ﹣2=0∴a=1若3∈B 则3a ﹣2=0∴a=∵a ∈Z ∴a≠∴a解析：0或1【分析】根据B ⊆A ，讨论两种情况：①B=∅；②B≠∅，分别求出a 的范围； 【详解】∵B ⊆A ，若B=∅，则a=0；若B≠∅，则因为若2∈B ，∴2a ﹣2=0，∴a=1，若3∈B ，则3a ﹣2=0，∴a=32，∵a ∈Z ，∴a≠32， ∴a=0或1，故答案为a=0或1．【点睛】 此题主要考查集合关系中的参数的取值问题，此题是一道基础题，注意a 是整数． 20．【解析】∵函数（为非空数集）对于两个集合定义∴故答案为解析：{0,1,4,5}【解析】∵函数()1,1,M x M f x x M∈⎧=⎨-∉⎩（M 为非空数集）．对于两个集合,A B ，定义()(){}•1A B A B x f x f x ∆==-，{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，∴{}0145A B ，，，=，故答案为{}0,1,4,5． 三、解答题21．（1）[)2,3；（2）()1,2．【分析】（1）若1a =，化简命题p ，p q ∧为真命题得，p q ，均为真命题，即1323x x <<⎧⎨≤≤⎩化简即可； （2）q 是p 的充分不必要条件，得233a a <⎧⎨>⎩，化简即可. 【详解】 由题意得，当p 为真命题时：当0a >时，3a x a <<； 当q 为真命题时：23x ≤≤． （1）若1a =，有:13p x <<， 则当p q ∧为真命题，有1323x x <<⎧⎨≤≤⎩，得23x ≤<． 所以当1a =，p q ∧为真命题， x 的取值范围是[)2,3（2）q 是p 的充分不必要条件，则233a a <⎧⎨>⎩， 得12a <<． q 是p 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是()1,2【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．22．（1）{}|24x x <<；（2）{}|13m m ≤≤【分析】（1）解不等式2043x x <-<即可求解；（2）设命题p 成立对应集合A ，命题q 成立对应集合B ，由题意可得A 是B 的真子集，利用数轴即可求解.【详解】（1）若p 为真命题，则2043x x <-<，即240x ->且243x x -<，由240x ->得2x >或2x <-，由243x x -<可得14x -<<，所以解集为：{}|24x x <<，故实数x 的取值范围为{}|24x x <<，（2）由（1）知：p 为真命题，则24x <<，设{}|24A x x =<<，由(1)(3)0x m x m -+--<可得13m x m -<<+，设{}|13B x m x m =-<<+， 若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，所以1234m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得： 13m ≤≤， 经检验当1m =和3m =时满足A 是B 的真子集，所以实数m 的取值范围是{}|13m m ≤≤【点睛】结论点睛：从集合的观点判断命题的充分条件和必要条件的规则（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．23．（1）36m <<；（2）6t ≥或1t ≤【分析】（1）由椭圆方程的特征知06m <<，联立直线与椭圆的方程，根据0<列出不等式解出即可得m 的取值范围；（2）根据双曲线方程的特征得出q 为真时对应的m 的取值范围，结合命题p 是命题q 的充分不必要条件列出不等式即可得结果.【详解】（1）∵椭圆2216x y m+=的焦点在x 轴上，∴06m <<，又∵直线y x m =+与椭圆无公共点， 由2216x y m y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22612660m x mx m m +++-=， ∴()()24320m m m ∆=--+<，结合06m <<，可得36m <<，即命题p 是真命题，实数m 的取值范围为36m <<.（2）:q 方程2212x y m t m t -=---表示双曲线， ∴()()20m t m t --->，解得2m t >+或m t <，又∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴6t ≥或23t +≤，解得6t ≥或1t ≤，即实数t 的取值范围6t ≥或1t ≤.【点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、不等式的解法及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.24．（1）[]2,4A B ⋂=；（2）11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【分析】（1）解出集合A 、B ，利用交集的定义可求得集合A B ； （2）根据题意可得知A B C ，可知，不等式260x mx -+<在区间[]2,4上恒成立，可得出关于实数m 的不等式组，即可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）{}[]26802,4A x x x =-+≤=，()201,1B x x ⎧⎫=≥=+∞⎨⎬-⎩⎭，[]2,4A B ∴=； （2）因为“x AB ∈”是“xC ∈”的充分不必要条件，A B ∴ C ， 设()26f x x mx =-+，由题意可知，不等式()0f x <在区间[]2,4上恒成立， 则()()2102042240f m f m ⎧=-<⎪⎨=-<⎪⎩，解得112m >. 因此，实数m 的取值范围是11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查了二次不等式在区间上恒成立问题的求解，考查计算能力，属于中等题.25．（1） {|11}A x x x =≥≤-或 (2)][1,2,12⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【分析】 （1）根据二次根式有意义条件,可解不等式得定义域A.（2）根据对数函数真数大于0,解不等式得集合B.根据p 是q 的的必要不充分条件,即可得关于a 的不等式,进而求得a 的取值范围.【详解】（1）要使()f x 有意义，则()()3x 22x 0-+-≥化简整理得()()x 1x 10+-≥解得x 1x 1≥≤-或∴ A {x |x 1x 1}=≥≤-或（2）要使()g x 有意义，则()()x a 12a x ]0--->即()()x a 1x 2a ]0---<又a 1<a 12a ∴+>B {x |2a x a 1}∴=<<+ p 是q 的必要不充分条件B ∴是A 的真子集2a 1a 11∴≥+≤-或 解得1a 1a 22≤<≤-或 a ∴的取值范围为][1,2,12⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,充分必要条件的应用,根据集合的关系求参数的取值范围,属于基础题.26．（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【分析】（1）命题p 为真，只需[]()2min 21,20,3x m m x -≥-∈，根据一次函数的单调性，转化为求关于m 的一元二次不等式；（2）命题q 为真，只需[]()2min 1,1,10x x m x -+-∈-≤，根据二次函数的性质，求出m 的范围，依题意求出p 真q 假，和p 假q 真时，实数m 的取值范围.【详解】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤，所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 依题意命题,p q 一真一假， 若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤. 【点睛】本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.。
一、选择题1．以下四个命题中，真命题的是（ ）A ．()0π,sin tan x x x ∃∈=，B ．ABC 中，sin sin cos cos A B A B +=+是2C π=的充要条件C ．在一次跳伞训练中，甲，乙两位同学各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示p q ∧ D ．∀∈θR ，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数 2．“21x >”是“2x >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>是真命题，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．13a < B ．103a <≤ C ．13a >D ．13a ≤4．已知{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，那么“10a >”是“数列{}n S 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，则对于实数a ，b ，“a b >”是“()()f a f b <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．设集合{1,2,3,4}A =，{1,0,2,3}B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C ⋃⋂=A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}9．“1x >”是“12log (2)0x +<”的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．已知在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则“113a =”是“数列{}n a 唯一”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠ ，则2320x x -+≠”B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．对于命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件12．已知a ，b R ∈，“1a b +<”是“11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．设:5x α≤-或1x ≥，:2321m x m β-≤≤+，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围_______________.14．已知集合{|(1,2)(0,1),}P a a m m R ==-+∈，{|(2,1)(1,1),}Q b b n n R ==+-∈，则P Q =_________.15．已知集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则RAB =__________．16．已知命题“0x ∃∈[1，2]， 200210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为______．17．已知函数1,()1,M x Mf x x M ∈⎧=⎨-∉⎩（M 为非空数集），对于两个集合,A B ，定义{}()?()1A B A B x f x f x ∆==-，已知{0,1,2,3}A =，{2,3,4,5}B =，则A B ∆=__________．18．在正项等比数列{}n a 中，已知120151a a <=，若集合1212111|0,t t A t a a a t N a a a *⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-++-≤∈⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则A 中元素个数为______．19．下列命题中，正确的是___________.(写出所有正确命题的编号) ①在中，是的充要条件；②函数的最大值是；③若命题“，使得”是假命题，则； ④若函数，则函数在区间内必有零点.20．记集合[],A a b =，当,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()223sin cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则b a -的最小值是______.三、解答题21．已知集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<<，{}5C x a x a =-<<. （1）求AB ，()R A B ⋂；（2）若()C A B ⊆⋃，求a 的取值范围.22．设命题p ：12≤x ≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若q 是p 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围.23．设集合{}22240A x x x =+-≥，集合1,11B y y x x x ⎧⎫==+>-⎨⎬+⎩⎭，集合1C x ax a ⎧⎛⎫=-⎨ ⎪⎝⎭⎩()}60x +≤．（1）求A B ；（2）若C A ⊆，求实数a 的取值范围．24．设全集U =R ，集合{}12A x x =-≤≤，{}40B x x p =+<. （1）若2p =，求A B ；（2）若UB A ⊆，求实数p 的取值范围.25．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立. （1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围. 26．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17S =，集合{}128,,,X x x x =是集合S 的一个含有8个元素的子集.（1）当{}1,2,5,7,11,13,16,17X =时，设,(1,8)i j x x X i j ∈≤≤， ①写出方程3i j x x -=的解（,i j x x ）；②若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，写出k 的所有可能取值；（2）证明：对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程i j x x k -=(1,8)i j ≤≤至少有三组不同的解.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分析()0π,sin tan x x x ∀∈≠，即得A 错误；利用充要条件的定义判断B 正确；利用复合命题的定义判断C 错误；通过特殊值验证D 错误即可. 【详解】 选项A 中，,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0,tan 0x x ><，即sin tan x x ≠；2x π=时，sin 1x =，tan x 无意义；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，设()sin tan sin sin cos x h x x x x x =-=-，则()32211cos cos 0cos cos xh x x x x-'=-=>，故()tan sin h x x x =-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()()tan sin 00h x x x h =->=，即sin tan x x <；综上可知，()0π,sin tan x x x ∀∈≠，，故A 错误；选项B 中，ABC 中，若sin sin cos cos A B A B +=+，则sin cos cos sin A A B B -=-，44A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin sin 44A B ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又33,,,444444A B ππππππ⎛⎫⎛⎫-∈--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故44A B ππ-=-或44A B πππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2A B π+=或A B π-=，ABC 中A B π-≠，故2A B π+=，即2C π=；反过来，若2C π=，则2A B π+=，结合诱导公式可知，sin sin cos 2A B B π⎛⎫=-=⎪⎝⎭，sin sin cos 2B A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以sin sin cos cos A B A B +=+；综上，sin sin cos cos A B A B +=+是2C π=的充要条件，故B 正确；选项C 中，依题意，命题p ⌝是“甲没有降落在指定范围”， q ⌝是“乙没有降落在指定范围”，故复合命题()()p q ⌝∨⌝ 是“至少有一位学员没有降落在指定范围”，故C 错误； 选项D 中，存在2πθ=时，函数()sin 2cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，满足()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，故D 错误. 故选：B. 【点睛】 方法点睛：（1）证明或判断全称命题为真命题时，要证明对于,()x I p x ∀∈成立；证明或判断它是假命题时，只需要找到一个反例，说明其不成立即可.（2）证明或判断特称命题为真命题时，只需要找到一个情况，说明其成立即可；证明或判断它是假命题时，要证明对于,()x I p x ∀∈⌝成立.2．B解析：B 【分析】设{}21A x x =>，{}2B x x =>，然后根据集合包含关系分析充分性和必要性. 【详解】设{}{211A x x x x =>=>或}1x <-，设{}2B x x =>，可得B A ，所以“21x >”是“2x >”的必要不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：充分性和必要性的判断方法：1、定义法，2、命题法，3、传递法，4、集合法.3．C解析：C 【分析】由题意可得2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠即可求解. 【详解】若命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>是真命题， 则2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立， 当0a =时，230x +>可得：32x >-不满足对于x ∈R 恒成立，所以0a =不符合题意；当0a ≠时，需满足04430a a >⎧⎨∆=-⨯<⎩解得13a >，所以实数a 的取值范围是13a >， 故选：C 【点睛】关键点点睛：对于2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，需讨论0a =和0a ≠，当0a ≠时，结合二次函数图象即可得等价条件.4．B解析：B 【分析】分别从充分性和必要性入手进行分析即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，充分性：当10a >，0q <时，111n n nn S a S a q ++-==，无法判断其正负，显然数列{}n S 为不一定是递增数列，充分性不成立；必要性：当数列{}n S 为递增数列时，10n n n S S a --=>，可得10a >，必要性成立. 故“10a >”是“数列{}n S 为递增数列”的必要而不充分条件. 故选：B . 【点睛】方法点睛：证明或判断充分性和必要性的常用方法：①定义法，②等价法，③集合包含关系法.5．A解析：A 【分析】计算直线平行等价于1a =或2a =-，根据范围大小关系得到答案. 【详解】直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行，则()12a a +=，1a =或2a =-，验证均不重合，满足.故“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.6．A解析：A 【详解】因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或， 因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A. 7．B解析：B 【分析】根据充分条件与必要条件的判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解. 【详解】解：∵定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上单调递减，∴()y f x =在(),0-∞上单调递增，∴当(),0a ∈-∞，(),0b ∈-∞时，如1,2a b =-=-，满足a b > ，但()()>f a f b ，所以由“a b >”推不出“()()f a f b <”，反之，当a R ∈，b R ∈时，“()()f a f b <”⇒“a b >”⇒“a b >”， 故对于实数a ，b ，“a b >”是“()()f a f b <”的必要不充分条件， 故选：B . 【点睛】本题以函数的奇偶性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B =-，结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C =-.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.9．B解析：B 【详解】 试题分析：12log (2)0x +<211x x ⇒+>⇒>-，故正确答案是充分不必要条件，故选B.考点：充分必要条件.解析：C 【分析】根据条件“在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项”求解数列{}n a ，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】在等比数列{}n a 中，120,2a a >+是11a +与33a +的等比中项，则2213(2)(1)(3)a a a +=++，22213134433a a a a a a ++=+++，设{}n a 的公比为q ，则22222111114433a q a q a q a a q ++=+++，211430q q a -+-=（*），10a >，因为1114164(3)40a a ∆=--=+>，所以此方程一定有两不等实解，当等比数列{}n a 只有一解时，方程（*）的两解中一解为0q =需舍去，此时113a =； 若113a =，方程（*）有一个解是0q =，另一解4q =．数列{}n a 只有一解， 由上分析知113a =是数列{}n a 唯一的充要条件． 故选：C ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是解题关键．11．B解析：B 【分析】由原命题与逆否命题的关系即可判断A ；由复合命题的真值表即可判断B ; 由特称命题的否定是全称命题即可判断C ；根据充分必要条件的定义即可判断D ；． 【详解】A ．命题：“若p 则q ”的逆否命题为：“若￢q 则￢p ”，故A 正确；B ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故B 错．C ．由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0，则￢p 为：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0，故C 正确；D ．由x 2﹣3x +2＞0解得，x ＞2或x ＜1，故x ＞2可推出x 2﹣3x +2＞0，但x 2﹣3x +2＞0推不出x ＞2，故“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，即D 正确 故选B ． 【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题．解析：C 【分析】由绝对值不等式的基本性质，集合充分必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由题意，a ，b R ∈，1a b +<，可得1a b a b +≤+<且1a b a b -≤+<，所以充分性是成立的；反之11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩，可得1111a b a b -<+<⎧⎨-<-<⎩，即1a b +<，所以必要性是成立的，综上可得：a ，b R ∈，1a b +<是11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩成立的充要条件．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的基本性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，其中解答中熟练应用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．二、填空题13．或【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可【详解】解：或若是的必要条件则或故或故答案为：或【点睛】本题考查了充分必要条件考查集合的包含关系属于基础题解析：3m ≤-或2m ≥ 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m 的范围即可． 【详解】解：:5x α-或1x ，:2321m x m β-+， 若α是β的必要条件， 则231m -或215m +-， 故2m 或3m -， 故答案为：2m 或3m -． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，属于基础题．14．【分析】根据向量的坐标运算可求得集合P 与集合Q 再结合交集的运算即可求解【详解】集合则集合则由集合的交集定义可知解方程组可得所以故答案为:【点睛】本题考查了向量的坐标运算集合交集的定义属于基础题 解析：(){}1,2【分析】根据向量的坐标运算,可求得集合P 与集合Q,再结合交集的运算即可求解. 【详解】集合{|(1,2)(0,1),}P a a m m R ==-+∈ 则(){}1,2P m =-+集合{|(2,1)(1,1),}Q b b n n R ==+-∈则(){}2,1Q n n =-+由集合的交集定义可知1221nm n =-⎧⎨-+=+⎩解方程组可得14n m =⎧⎨=⎩所以(){}1,2P Q ⋂=故答案为: (){}1,2【点睛】本题考查了向量的坐标运算,集合交集的定义,属于基础题.15．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题 解析：[]2,3【分析】根据集合的交集补集运算即可求解. 【详解】因为{}2B x x =<， 所以RB ={}2x x ≥因此RAB ={}{}32=[2,3]x x x x ≤⋂≥.故答案为[]2,3 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.16．【分析】由题意可得2a ＜x0在12的最大值运用对勾函数的单调性可得最大值即可得到所求a 的范围【详解】命题∃x0∈12x02﹣2ax0+1＞0是真命题即有2a ＜x0在12的最大值由x0在12递增可得x解析：5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意可得2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a 的范围． 【详解】命题“∃x 0∈[1，2]，x 02﹣2ax 0+1＞0”是真命题， 即有2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值， 由x 001x +在[1，2]递增，可得x 0＝2取得最大值52， 则2a 52＜，可得a 54＜， 则实数a 的取值范围为（﹣∞，54）． 故答案为（﹣∞，54）． 【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．17．【解析】∵函数（为非空数集）对于两个集合定义∴故答案为 解析：{0,1,4,5}【解析】 ∵函数()1,1,M x Mf x x M ∈⎧=⎨-∉⎩（M 为非空数集）．对于两个集合,A B ，定义()(){}•1A B A B x f x f x ∆==-，{}0,1,2,3A =，{}2,3,4,5B =，∴{}0145A B ，，，=，故答案为{}0,1,4,5．18．4029【解析】试题分析：设等比数列公比为的公比为因为所以即所以解得考点：等比数列求和公式解析：4029 【解析】试题分析：设等比数列公比为{}n a 的公比为，因为，所以,,即，所以，解得.考点：等比数列求和公式.19．①③④【分析】根据正弦定理及三角形的性质可判断（1）；利用均值不等式可判断（2）；利用假命题求参数的范围可判断（3）；利用零点存在性定理可判断（4）【详解】解：对于（1）sinA＞sinB⇔2Rsi解析：①③④【分析】根据正弦定理，及三角形的性质，可判断（1）；利用均值不等式，可判断（2）；利用假命题求参数的范围，可判断（3）；利用零点存在性定理，可判断（4）.【详解】解：对于（1），sin A＞sin B⇔2R sin A＞2R sin B⇔a＞b⇔A＞B（其中R为△ABC外接圆半径），故（1）正确；对于（2），x21x+=--（1﹣x21x+-）+1≤﹣1＝﹣+1，当且仅当x＝12）错误；对于（3），若命题“x R∃∈，使得()2310ax a x+-+≤”是假命题⇔命题：“∀x∈R，使得ax2+（a﹣3）x+1＞0”恒成立．∵a＝0时，不符合题意，∴2(3)40aa a⎧⎨=--<⎩＞∴1a9<<，故（3）正确；对于（4），∵()12af a b c=++=-，∴3a+2b+2c＝0，∴32c a b=--．又f（0）＝c，f（2）＝4a+2b+c，∴f（2）＝a﹣c．（i）当c＞0时，有f（0）＞0，又∵a＞0，∴()102af=-＜，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，故在区间（0，2）内至少有一个零点．（ii）当c≤0时，f（1）＜0，f（0）＝c≤0，f（2）＝a﹣c＞0，∴函数f（x）在区间（1，2）内有一零点，故（4）正确.故正确答案为：①③④【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，熟练掌握正弦定理，均值不等式，二次函数的，图象和性质，函数零点存在定理，是解答的关键．20．3【分析】利用倍角公式和差公式化简利用三角函数的单调性可得根据是的必要条件可得即可得出结论【详解】根据题意可得：∵∴即是的必要条件则∴∴即故答案为：3【点睛】本题考查了倍角公式和差公式三角函数的单调解析：3【分析】利用倍角公式、和差公式化简()fθ，利用三角函数的单调性可得B，根据“x A∈”是“x B ∈”的必要条件，可得B A ⊆，即可得出结论． 【详解】根据题意可得：()2cos 2cos 2sin 216f πθθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭. ∵,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴()[]0,3fθ∈，即[]0,3B =“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆ ∴03a b ≤⎧⎨≥⎩∴303b a -≥-=，即()min 3b a -=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）{}210x x <<，{|23x x <<或}710x ≤<；（2）(-∞，3]．. 【分析】（1）直接利用集合并集、补集、交集的运算法则求解即可；（2）由题意分类讨论C φ=、C φ≠，根据包含关系列不等式，从而可求实数a 的取值范围． 【详解】（1）因为集合{}37A x x =≤<，{}210B x x =<< 所以{}210A B x x ⋃=<<， ∵{3RA x x =<或}7x ≥，∴(){|23RA B x x ⋂=<<或}710x ≤<；（2）由（1）知{}210A B x x ⋃=<<，①当C =∅时，满足()C A B ⊆⊂，此时5a a -≥，得52a ≤； ②当C ≠∅时，要()C A B ⊆⋃，则55210a a a a -<⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，解得532a <≤；由①②得，3a ≤，综上所述，所求实数a 的取值范围为(-∞，3]． 【点睛】本题考查了集合的化简与运算，同时考查利用包含关系求参数，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．22．[0，1]2【分析】求出q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合子集关系进行求解即可． 【详解】由2(21)(1)0x a x a a -+++得1a x a +， 若q 是p 的必要不充分条件，则1[2，1][a ，1]a +，即1211aa ⎧⎪⎨⎪+⎩，得120a a ⎧⎪⎨⎪⎩，得102a， 即实数a 的取值范围是[0，1]2，【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出命题的等价条件，转化为集合关系是解决本题的关键，属于容易题． 23．（1）[)4,+∞；（2）1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）解二次不等式求出集合A ，利用基本不等式求出集合B ，进而可得A B ；（2）由()2160a x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，知0a ≠，分0a >和0a <两类讨论，利用C A ⊆，即可求得a 的取值范围． 【详解】解：（1）集合{}22240A x x x =+-≥, 即满足()()640x x +-≥,解一元二次不等式可得{6A x x =≤-或}4x ≥, 而集合1,11B y y x x x ⎧⎫==+>-⎨⎬+⎩⎭, 则111111y x x x x =+=++-++11≥=,当且仅当111x x +=+时,即0x =时取等号 所以{}1B y y =≥；由集合交集运算可得{6A B x x ⋂=≤-或}4x ≥{}1y y ⋂≥{}4x x =≥ 即[)4,AB =+∞；（2）集合()160C x ax x a ⎧⎫⎛⎫=-+≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭． 则0a ≠．化简可得()2160a x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭当0a >时,可得216C x x a ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭,{6A x x =≤-或}4x ≥ 则C A ⊆不成立．当0a <时,可得{6C x x =≤-或21x a ⎫≥⎬⎭若C A ⊆,则214a≤,解得102a -≤<或102a <≤． 又由于0a <,所以102a -≤<. 综上可知,当C A ⊆时实数a 的取值范围为1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查交集及其运算，考查集合的包含关系，考查学生计算能力和分类讨论的思想，是中档题.24．（1）112A B x x ⎧⎫⋂=-≤<-⎨⎬⎩⎭（2）4p ≥ 【分析】（1）根据交集的概念和运算，求得A B .（2）根据UB A ⊆列不等式，解不等式求得实数p 的取值范围.【详解】 （1）∵2p =， ∴12B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭， ∴112A B x x ⎧⎫⋂=-≤<-⎨⎬⎩⎭. （2）∵4p B x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{1UA x x =<-或}2x >，又∵UB A ⊆，∴144pp -≤-⇒≥. 【点睛】本小题主要考查交集、补集的概念和运算，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于中档题.25．（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【分析】（1）命题p 为真，只需[]()2min 21,20,3x m m x -≥-∈，根据一次函数的单调性，转化为求关于m 的一元二次不等式；（2）命题q 为真，只需[]()2min 1,1,10x x m x -+-∈-≤，根据二次函数的性质，求出m 的范围，依题意求出p 真q 假，和p 假q 真时，实数m 的取值范围. 【详解】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立， 而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤， 所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立， 只需()2min10x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤，即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 依题意命题,p q 一真一假，若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤，综上，1m <或524m <≤. 【点睛】本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.26．（1）①(,)(5,2),(16,13)i j x x =②4，6.（2）证明见详解.【分析】（1）①根据两个元素之差为3，结合集合X 的元素，即可求得；②根据题意要求，写出集合X 中从小到大8个数中所有的差值（限定为正数）的可能，计算每个差值出现的次数，即可求得k ；（2）采用反证法，假设不存在满足条件的k ，根据差数的范围推出矛盾即可. 【详解】（1）①方程3i j x x -=的解有：(,)(5,2),(16,13)i j x x =. ②以下规定两数的差均为正，则：列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1,3,2,4,2,3,1； 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4,5,6,6,5,4； 中间相隔二数的两数差：6,9,8,9,6； 中间相隔三数的两数差：10,11,11,10； 中间相隔四数的两数差：12,14,12； 中间相隔五数的两数差：15,15； 中间相隔六数的两数差：16.这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次， 所以k 的可能取值有4，6. （2）证明：不妨设128117x x x ≤<<<≤，记1(1,2,,7)i i i a x x i +=-=，2(1,2,,6)i i i b x x i +=-=，共13个差数.假设不存在满足条件的k ，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而127126()()2(126)749a a a b b b +++++++≥++++= ①又127126818721()()()()a a a b b b x x x x x x +++++++=-++--81722()()2161446x x x x =-+-≤⨯+=，这与①矛盾.故假设不成立，结论成立.即对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程i j x x k -=(1,8)i j ≤≤至少有三组不同的解. 【点睛】本题考查集合新定义问题，涉及反证法的使用，本题的关键是要理解题意，小心计算，大胆求证.。
一、选择题1．下列命题中：①命题“若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则2a =”的逆否命题；②命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题；③命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定.其中真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．若a 、b 是两个单位向量，其夹角是θ，则“32ππθ<<”是“1a b ->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a b b a ->+-”的( )（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知集合{}2|40A x R x x =∈-<，{}|28xB x R =∈<，则A B =（ ）A ．()0,3B ．()3,4C ．()0,4D ．(),3-∞5．已知集合{}1A x x =>-，{}2B x x =<，则A B =（ ）A ．()1,-+∞B ．(),2-∞C ．1,2D ．R6．设a ，b 都是不等于1的正数，则“log 3log 31a b >>”是“33a b <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件7．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+<”C ．若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件 8．设a 、b 是实数，则“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．在下列三个结论中，正确的有（ ） ①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件. A ．①② B ．②③ C ．①③D ．①②③10．不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，则a 的取值范围为（ ） A ．–11a ≤≤B ．–11a ≤<C ．–11a <<D ．11a -<≤11．已知平面向量a 和b ，则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．不等式220mx mx --<对任意x ∈R 恒成立的充要条件是m ∈__________．14．已知：条件p ：120x-≥和q ：()()22110x a x a a -+++<，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______.15．命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则m 的取值范围是________. 16．已知集合{}3A x x =≤，{}2B x x =<，则RA B =__________．17．方程2210ax x 至少有一个正实数根的充要条件是________；18．已知集合1,2,3,{}4,5,6X Y Z ⋃⋃=，若1,21,2,3,4,5}{},3{,X Y X Y X ⋂=⋃=∉，则集合X Y Z 、、所有可能的情况有_________种.19．已知集合{}ln(21)A x y x ==-，{}2230B x x x =--≤，则A B __________．20．若集合{}1,3,A x =，{}21,B x=，且{}1,3,A B x ⋃=，则x =___________．三、解答题21．已知非空集合S 的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x ，y ∈S (x 、y 可以相同)，有x +y ∈S 且x -y ∈S .（1）集合S 能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由； （2）证明：若3∈S 且5∈S ，则S =Z .22．已知集合{}{}|25,|121.A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-（1）若AB =∅，求实数m 的取值范围； （2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.23．若集合A={x|x 2+5x ﹣6=0}，B={x|x 2+2（m+1）x+m 2﹣3=0}． （1）若m=0，写出A ∪B 的子集； （2）若A∩B=B ，求实数m 的取值范围．24．已知全集U={x ∈N|1≤x≤6}，集合A={x |x 2-6x +8=0}，集合B={3，4，5，6}． （1）求A∩B ，A ∪B ；（2）写出集合（∁U A ）∩B 的所有子集．25．已知条件{}2:230,p x A x x x x R ∈=--≤∈，条件{}22:240,q x B x x mx m x R ∈=-+-≤∈.（1）若[]0,3AB =，求实数m 的值；（2）若p ⌝是q 的必要条件，求实数m 的取值范围.26．已知p ：实数x 满足不等式()()()300x a x a a --<>，q ：实数x 满足不等式2201log 3x x x -⎧>⎪+⎨⎪<⎩． （1）当1a =时，p q ∧为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据原命题和逆否命题同真假来判断①是真命题，根据定义写出命题的否命题和命题的否定，再判断②③的真假即可. 【详解】①中，若1l ：210ax y +-=与2l ：0x y -=垂直，则()1210a ⨯+⨯-=，则2a =.故该命题是真命题，其逆否命题也是真命题；②中，命题“若1a ≠，则210a -≠”的否命题是：“若1a =，则210a -=”，易见若1a =，则21a =，则210a -=，故“若1a =，则210a -=”是真命题；③中，命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定是“对任意的0ω<，函数()sin y x ωϕ=+存在最小正周期”， 对任意的0ω<，函数()sin y x ωϕ=+存在最小正周期2T πω=，故命题“存在0ω<，函数()sin y x ωϕ=+不存在最小正周期”的否定是真命题.故①②③均为真命题. 故选：D.【点睛】 思路点睛：一般互为逆否的两个命题判断真假时，可以选择容易的进行判断，则另一个就同真假.2．A解析：A 【分析】求出1a b ->时θ的范围，然后由充分必要条件的定义判断． 【详解】由题意222()222cos a b a b a a b b -=-=-⋅+=-1>，则1cos 2θ<，∴,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 因此32ππθ<<时，满足,3πθπ⎛⎤∈⎥⎝⎦，但,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时不一定满足32ππθ<<．应为充分不必要条件． 故选：A ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，实际上可以根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则（1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆； （2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．3．C解析：C 【分析】构造函数()ln f x x x =+，据a ，b 的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可． 【详解】设()ln f x x x =+，显然()f x 在(0,)+∞上单调递增，a b >，所以()()f a f b >ln ln a a b b ∴+>+，即ln ln a b b a ->+-，故充分性成立， 因为ln ln a b b a ->+-ln ln a a b b ∴+>+，所以()()f a f b >，a b ∴>，故必要性成立，故“a b >”是“ln ln a b b a ->+-”的充要条件， 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了构造函数法的应用，是基础题．4．A解析：A 【分析】解不等式确定集合,A B 后再由交集定义计算． 【详解】由题意{|04}A x x =<<，{|3}B x x =<，∴{|03}(0,3)A B x x =<<=．故选：A ． 【点睛】本题考查求集合的交集运算，考查解一元二次不等式和指数不等式，属于基本题．5．C解析：C 【分析】由集合的交集运算即可得出结果. 【详解】{|12}=(1,2)=-<<-A B x x故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了计算能力，属于一般题目.6．B解析：B 【分析】由已知结合对数不等式的性质可得13a b <<<，得到33a b <；反之，由33a b <，不一定有log 3log 31a b >>成立，再由充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：a ，b 都是不等于1的正数，由log 3log 31a b >>，得13a b <<<，33a b ∴<；反之，由33a b <，得a b <，若01a <<，1b >，则log 30a <，故log 3log 31a b >>不成立．∴ “log 3log 31a b >>”是“33a b <”的充分不必要条件．【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．7．B解析：B 【分析】根据逆否命题的概念，准确改写，可判定A 正确的；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B 不正确；根据复合命题的真假判定方法，可判定C 是正确的；根据充要条件的判定方法，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，根据逆否命题的概念，可得命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，所以A 正确的；对于B 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020x x -+≤”，所以B 不正确；对于C 中，根据复合命题的真假判定方法，若“p 且q ”为真命题，则p ，q 均为真命题，所以C 是正确的；对于D 中，不等式2430x x ++>，解得3x <-或1x >-，所以“1x >-”是“2430x x ++>”的充分不必要条件，所以D 正确. 综上可得，命题错误为选项B. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到四种命题的改写，全称命题与存在性命题的关系，以及复合命题的真假判定和充分条件、必要条件的判定等知识的综合应用，属于基础题.8．A解析：A 【分析】由2b aa b +≥可推导出0ab >，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由2b a a b +≥可得()22222022a b b a a b ab a b ab ab-+-+-==≥，()20a b -≥，则0ab >，则“0a >，0b >”⇒“0ab >”，但“0ab >”⇒“0a >，0b >”. 所以，“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分不必要条件. 故选：A.本题考查充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于中等题.9．C解析：C 【分析】①，证明x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确；②，在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误；③,证明“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 【详解】①，x 2>4即2x >或2x <-，x 3<－8即2x <-，因为2x >或2x <-成立时，2x <-不一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的不充分条件；因为2x <-成立时，2x >或2x <-一定成立，所以x 2>4是x 3<－8的必要条件.即x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确. ②， AB 2＋BC 2＝AC 2成立时，ABC 为直角三角形一定成立；当ABC 为直角三角形成立时，AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，所以在ABC 中，AB 2＋AC 2＝BC 2是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.③,即判断“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的什么条件，由于a 2＋b 2=0即0,0a b ==，所以“0,0a b ==”是“a 2＋b 2=0”的充要条件，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件，所以该命题正确. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查逆否命题和原命题的等价性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．D解析：D 【分析】求解一元二次不等式可得220x x --<的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解即可. 【详解】由不等式220x x --<，得12x -<<，∵不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，∴()2,1a a +⫋()12-，， 则221112a a a a ⎧<+⎪≥-⎨⎪+≤⎩且1a ≥-与212a +≤的等号不同时成立，解得11a -<≤， ∴a 的取值范围为11a -<≤， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题.11．C解析：C 【分析】||||b a b =-两边平方得出22()b a b =-，展开等价变形得出102b a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】22||||()b a b b a b =-⇔=-22221122020022b a a b b a a b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⇔=-⋅+⇔-⋅=⇔⋅-=⇔-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的充分必要条件 故选：C 【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．二、填空题13．【分析】先根据一元二次不等式恒成立得再根据充要条件概念即可得答案【详解】解：当时显然满足条件当时由一元二次不等式恒成立得：解得：综上所以不等式对任意恒成立的充要条件是故答案为：【点睛】本题考查充要条 解析：(]8,0-【分析】先根据一元二次不等式恒成立得(]8,0m ∈-，再根据充要条件概念即可得答案. 【详解】解：当0m =时，显然满足条件，当0m ≠时，由一元二次不等式恒成立得：280m m m ⎧+<⎨<⎩，解得：80m -<<综上，(]8,0m ∈-，所以不等式220mx mx --<对任意x ∈R 恒成立的充要条件是(]8,0m ∈-， 故答案为：(]8,0- 【点睛】本题考查充要条件的求解，一元二次不等式恒成立问题，是基础题.14．【分析】根据是的必要不充分条件得到计算得到答案【详解】即；即是的必要不充分条件故得到解得故答案为：【点睛】本题考查了根据必要不充分条件求参数意在考查学生的推断能力 解析：102-<≤a【分析】根据p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得到{}1012x x x a x a ≠⎧⎫<≤⊂<<+⎨⎬⎩⎭，计算得到答案. 【详解】120x-≥，即102x <≤；()()22110x a x a a -+++<，即1a x a <<+.p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，故{}1012x x x a x a ≠⎧⎫<≤⊂<<+⎨⎬⎩⎭，得到0112a a ≤⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得102-<≤a .故答案为：102-<≤a .【点睛】本题考查了根据必要不充分条件求参数，意在考查学生的推断能力.15．【分析】对分类讨论计算可得【详解】解：因为命题使得不等式是真命题当时恒成立满足条件；当时则解得综上可得即故答案为：【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围属于中档题 解析：[]0,4【分析】对m 分类讨论，计算可得. 【详解】解：因为命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题 当0m =时，10≥恒成立，满足条件； 当0m ≠时，则240m m m >⎧⎨-≤⎩解得04m <≤ 综上可得04m ≤≤即[]0,4m ∈ 故答案为：[]0,4 【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，属于中档题.16．【分析】根据集合的交集补集运算即可求解【详解】因为所以因此故答案为【点睛】本题主要考查了集合的补集交集运算属于中档题 解析：[]2,3【分析】根据集合的交集补集运算即可求解. 【详解】因为{}2B x x =<， 所以RB ={}2x x ≥因此RAB ={}{}32=[2,3]x x x x ≤⋂≥.故答案为[]2,3 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于中档题.17．【分析】讨论和三种情况计算得到答案【详解】当时方程为满足条件当时方程恒有两个解且两根一正一负满足条件当时即此时两根均为正数满足条件综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了充要条件分类讨论是一个常用的方 解析：[)1,a ∈-+∞【分析】讨论0a =，0a >和0a <三种情况，计算得到答案.【详解】当0a =时，方程为1210,2x x -==满足条件. 当0a >时，2210,440ax x a 方程恒有两个解，且1210x x a =-<，两根一正一负，满足条件当0a <时，2210,4401ax x a a ，即01a ，此时，1210x x a=->， 1220x x a +=->，两根均为正数，满足条件 综上所述：1a ≥-故答案为：[)1,a ∈-+∞【点睛】本题考查了充要条件，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.18．【分析】通过确定XYZ 的子集利用乘法公式即可得到答案【详解】根据题意可知由于可知Z 共有种可能而有4种可能故共有种可能所以答案为128【点睛】本题主要考查子集相关概念乘法分步原理意在考查学生的分析能力 解析：128【分析】通过确定X,Y ,Z 的子集，利用乘法公式即可得到答案.【详解】根据题意，可知1,2,1,236{}{},{}Z X Y ⊆⊆⊆，，由于{6}Z ⊆，可知Z 共有 52=32种可能，而(){4},5X Y ⊆⋃有4种可能，故共有432=128⨯种可能，所以答案为128.【点睛】本题主要考查子集相关概念，乘法分步原理，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度较大.19．(或用区间表示为【解析】分析：先根据真数大于零得集合A 再解一元二次不等式得集合B 最后根据交集定义求结果详解：因为所以因为所以因此点睛：求集合的交并补时一般先化简集合再由交并补的定义求解在进行集合的运 解析：13|22x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭(或用区间表示为13(,]22. 【解析】分析：先根据真数大于零得集合A,再解一元二次不等式得集合B ，最后根据交集定义求结果.详解：因为210x ->，所以12x >因为2230x x --≤，所以312x -≤≤因此13(,]22A B ⋂=. 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 20．0或【解析】由题意得解析：0或【解析】由题意得2223,1,3,10x x x x x x x 或或==≠≠≠⇒=±三、解答题21．（1）{}0；（2）证明见解析.【分析】（1）若a S ∈，分析0a ≠和0a =可得答案；（2）集合S 的元素都是整数，利用已知得到非空集合S 是所有整数构成的集合.然后再由5S ∈，3S ∈， 532S -=∈得到{}|2,x x k k Z =∈ S ，且{}|21,x x k k Z =+∈ S 可得答案.【详解】（1）能，理由如下：若a S ∈，且0a ≠，由题意知a 的所有整数倍的数都是S 中的元素，所以S 是无限集；若a S ∈，且0a =，则{}0S =，,x y S x y S +∈-∈符合题意，且{}0S =是有限集，所以集合S 能为有限集，即{}0S =.（2）证明：因为非空集合S 的元素都是整数，且()(),x y Z x y Z +∈-∈,由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，所以321S -=∈，所以112S +=∈，123S +=∈，134S +=∈，， 110S -=∈，011S -=-∈，112S --=-∈，213S--=-∈， 所以非空集合S 是所有整数构成的集合.由5S ∈，3S ∈，所以532S -=∈，因为,x y S x y S +∈-∈，所以224,220S S +=∈-=∈，246,242S S +=∈-=-∈，268,264S S +=∈-=-∈， ，所以2的所有整数倍的数都是S 中的元素，即{}|2,x x k k Z =∈ S ，且321S -=∈，所以21,x k k Z =+∈也是集合S 中的元素，即{}|21,x x k k Z =+∈ S ，{}|2,x x k k Z =∈{}|21,x x k k Z Z =+∈=，综上所述，S Z =.【点睛】本题考查对集合性质的理解，关键点是理解,x y S x y S +∈-∈，考查了学生分析问题、解决问题的能力，以及推理能力.22．（1）(,2)(4,)-∞⋃+∞；（2）(],3-∞.【分析】（1）由AB =∅分类讨论B =∅、B ≠∅，分别列不等式求m 的范围，取并集即可.（2）由条件知B A ⊆，讨论B =∅、B ≠∅，分别列不等式求m 的范围，取并集即可； 【详解】（1）x ∈R 时，A B =∅知：当B =∅时，121m m +>-得2m <；当B ≠∅时，15121m m m +>⎧⎨+≤-⎩或212121m m m -<-⎧⎨+≤-⎩， 解得4m >；综上，∴m 的取值范围为(,2)(4,)-∞⋃+∞；（2）由A B A ⋃=知：B A ⊆，当B =∅时，121m m +>-得2m <；当B ≠∅时，12215121m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩解得23m ≤≤；综上可得3m ≤，即m 的取值范围是(],3-∞；【点睛】易错点睛：若集合A 不是空集，（1）A B =∅，则要分B =∅以及B ≠∅两种情况讨论；（2）A B A ⋃=知：B A ⊆，则要分B =∅以及B ≠∅两种情况讨论.23．（1）A ∪B 的子集：Φ，{﹣6}，{﹣3}，{1}，{﹣6，﹣3}，{﹣6，1}，{﹣3，1}，{﹣6，﹣3，1}（2）m 的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【分析】（1）由x 2+5x ﹣6=0得6,1x x =-=或,所以{1-6}A =，，当0m =时，化简{}1,3B =-,求出A ∪B {}6,3,1=--，写出子集即可（2）由A B B ⋂=知B A ⊆,对判别式进行分类讨论即可.【详解】（1）根据题意，m=0时，B={1，﹣3}，A ∪B={﹣6，﹣3，1}；∴A ∪B 的子集：Φ，{﹣6}，{﹣3}，{1}，{﹣6，﹣3}，{﹣6，1}，{﹣3，1}，{﹣6，﹣3，1}，（2）由已知B ⊆A ， •①m ＜﹣2时，B=Φ，成立‚②m=﹣2时，B={1}⊆A ，成立ƒ③m ＞﹣2时，若B ⊆A ，则B={﹣6，1}； ∴⇒m 无解，综上所述：m 的取值范围是（﹣∞，﹣2]．【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，子集的概念，分类讨论的思想，属于中档题. 24．（1）{}2,3,4,5,6；（2）见解析.【分析】化简集合U 和A ，（1）根据交集和并集的概念得到A∩B 与A ∪B ；（2）根据集合的交集补集的概念求出（∁U A ）∩B ，再写出它的所有子集．【详解】全集U={x ∈N|1≤x≤6}={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x 2-6x+8=0}={x|x=2或x=4}={2，4}，集合B={3，4，5，6}；（1）A∩B={4}，A ∪B={2，3，4，5，6}；（2）∁U A={1，3，5，6}，∴（∁U A ）∩B={3，5，6}，它的所有子集是∅，{3}，{5}，{6}，{3，5}，{3，6}，{5，6}，{3，5，6}共8个．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．25．（1）2m =；（2）()(),35,-∞-+∞. 【分析】（1）求出集合A 、B ，根据交集运算结果得出关于m 的等式和不等式，即可求出实数m 的值；（2）求出A R ，由p ⌝是q 的必要条件，可得出RB A ⊆，可得出关于实数m 的不等式，即可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）{}[]2230,1,3A x x x x R =--≤∈=-，{}()(){}[]222402202,2B x x mx m x x m x m m m ⎡⎤⎡⎤=-+-≤=-+⋅--≤=-+⎣⎦⎣⎦， 又[]0,3A B ⋂=，则2023m m -=⎧⎨+≥⎩，解得2m =； （2）()(),13,R A =-∞-⋃+∞，且p ⌝是q 的必要条件，则R B A ⊆，所以，21m +<-或23m ->，解得3m <-或5m >.因此，实数m 的取值范围是()(),35,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了利用交集的结果求参数，同时也考查了利用必要条件求参数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（1）()2,3x ∈；（2）[)20,8,3a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）分别解二次不等式和分式不等式得x 的范围，求它们的交集可得结论； （2）求出命题p 对应的集合A ，再求出q ⌝对应的集合B ，由A B ⊆可得a 的范围．【详解】（1）当1a =时，p ：实数x 满足13x <<q ：x 满足0812x x x <<⎧⎨-⎩或，即x 满足28x <<； ∵p q ∧为真命题，∴p 、q 都为真命题，于是有1328x x <<⎧⎨<<⎩，即23x <<，故()2,3x ∈． （2）记{}|3A x a x a =<<，{2B x x =≤，或}8x ≥由p 是q ⌝的充分不必要条件知A B ，从而有32a ≤或8a ≥ ,又0a > 故[)20,8,3a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查复合命题的真假，考查充分必要条件．掌握复合命题真值表、充分必要条件与集合包含关系是解题关键．。
一、选择题1．由实数x ，﹣x ，|x |，2x ，33x -组成的集合中，元素最多有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个2．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ）A ．-3或-1或2B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或23．若集合{}2560A x x x =+-=，{}222(1)30B x x m x m =+++-=.若{}1A B ⋂=,求实数m 的值为（ ） A ．0B ．-2C ．2D ．0或-24．设集合{,}A a b =,{}220,,B a b =-,若A B ⊆,则⋅=a b （ ）A ．-1B ．1C ．-1或1D ．05．下列各式中，正确的是（ ）A ．{}22x x ⊆≤B ．{32x x ∈>且}1x <C ．{}{}41,21,x x k k Z x x k k Z =±∈≠=+∈D ．{}{}31,32,x x k k Z x x k k Z =+∈==-∈6．集合{}*|421A x x N =--∈，则A 的真子集个数是（ ） A ．63B ．127C ．255D ．5117．设集合1{|0}x A x x a-=≥-，集合{}21B x x =->，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是 （） A ．1a ≤B ．3a ≤C ．13a ≤≤D ．3a ≥8．能正确表示集合{}02M x x =∈≤≤R 和集合{}20N x x x =∈-=R 的关系的韦恩图的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知集合{}|15A x x =≤<，{}|3B x a x a =-<≤+.若B A B =，则a 的取值范围为（ ） A ．3,12⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．(],1-∞-D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．若集合2{||31|2},{|0},1x A x x B x x -=-≥=≤-则()R C A B =（ ）A ．1[,2]3-B ．∅C ．1(,)(1,2]3-∞-⋃ D ．1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭11．已知集合A ，B 是实数集R 的子集，定义{},A B x x A x B -=∈∉，若集合1113A y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭，，{}21,12B y y x x ==--≤≤，则B A -=（ ）A ．[]1,1-B ．[)1,1-C ．[]0,1D ．[)0,112．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x >-B ．{3}x x |<-C ．{|3}x x ≤-D ．{|23}x x ≤<二、填空题13．在①AB A =，②A B ⋂≠∅，③R BC A ⊆这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a 存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.问题：已知集合{}20,,log (1)1,1x a A xx R B x x x R x -⎧⎫=<∈=-≤∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，是否存在实数a ，使得___________？14．设不等式20x ax b ++≤的解集为[]A m n =，，不等式()()2101x x x ++>-的解集为B ，若()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩，则m n +=__________. 15．用列举法表示集合*6,5A aN a Z a ⎧⎫=∈∈=⎨⎬-⎩⎭__________．16．已知集合{}10,A x ax x R =+=∈，集合{}2280B x x x =--=，若A B ⊆,则a 所有可能取值构成的集合为______________17．设全集U =R ，1|11A x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}2|540B x x x =-+>，则()U AC B =______.18．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．若{|[][2][3],01}A y y x x x x ==++≤≤，则A 中所有元素的和为_______．19．设集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆，记G(B)为B 中元素的最大值和最小值之和，则对所有的B ，G(B)的平均值是_______.20．已知集合{}1,2,3,4,5P =，若,A B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(,)A B 的个数为____．三、解答题21．已知全集为R ，集合{}26A x x =≤≤， {}3782B x x x =-≥-. （1）求AB ， ()RC A B ⋂；（2）若{}44M x a x a =-≤≤+，且R A C M ⊆，求a 的取值范围. 22．设全集U =R ，集合{}lg()0A x x a =->，{}2340B x x x =--<． （1）当1a =时，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．23．已知集合2{|320}A x ax x =-+=，其中a 为常数，且a R ∈． （1）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．24．已知集合{121}A xa x a =-<<+∣，{}03B x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ；()U A B ⋂. （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.25．设集合1|2432x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22|3210B x x mx m m =-+--<． （1）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数； （2）若B =∅，求m 的取值范围； （3）若A B ⊇，求m 的取值范围．26．设集合{}|36A x x =≤<，集合{}|19B x x =<≤. 求：（1）AB ；（2）()R C A B ⋃.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据绝对值的定义和开平方、立方的方法,应对x 分0,0,0x x x >=<三种情况分类讨论,根据讨论结果可得答案. 【详解】当0x >时，0x x x ===-<，此时集合共有2个元素，当0x =时，0x x x ====-=，此时集合共有1个元素，当0x <时，0x x -===>，此时集合共有2个元素，综上所述，此集合最多有2个元素. 故选：A . 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断及根式的化简求值,其中解答本题的关键是利用分类讨论思想,对x 分三种情况进行讨论,是基础题.2．C解析：C 【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}； 若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性： a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}； a =−1时,1−a =2(舍)， 本题选择C 选项.3．D解析：D 【分析】根据A ∩B ＝{1}可得出，1∈B ，从而得出1是方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0的根，1代入方程即可求出m 的值； 【详解】 A ＝{﹣6，1}； ∵A ∩B ＝{1}； ∴1∈B ；即1是方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0的根； ∴1+2（m +1）+m 2﹣3＝0； ∴m 2+2m ＝0； ∴m ＝0或m ＝﹣2；当m ＝0时，B ＝{﹣3，1}，满足A ∩B ＝{1}； 当m ＝﹣2时，B ＝{1}，满足A ∩B ＝{1}； ∴m ＝0或m ＝﹣2； 故选：D 【点睛】考查交集的定义及运算，元素与集合的关系，描述法、列举法的定义，一元二次方程实根的情况,是基础题．4．A解析：A 【分析】由集合的包含关系得,a b 的方程组，求解即可 【详解】A B ⊆，由集合元素互异性得0,0,a b a b ≠≠≠ 则22a a b b ⎧=⎨=-⎩ 或22b a a b ⎧=⎨=-⎩ 解得11a b =⎧⎨=-⎩或11b a =⎧⎨=-⎩故选： A 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查元素的互异性，是基础题5．D解析：D 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系即可求解. 【详解】因为2与集合{}2x x ≤的关系是属于或者不属于，故A 选项错误； 因为{2x x >且}1x <是空集，3不是集合中的元素，故B 选项错误；因为集合{}{}41,,21,x x k k Z x x k k Z =±∈=+∈都表示奇数构成的集合，相等，故C 选项错误；因为集合{}{}31,,32,x x k k Z x x k k Z =+∈=-∈都表示被3整数余1的整数构成的集合，故D 选项正确. 【点睛】本题主要考查了集合的描述法，元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于中档题.6．B解析：B 【分析】先求得{}*|421A x x N =--∈的元素个数,再求真子集个数即可.【详解】由{}*|421A x x N=--∈,则421x --为正整数.则21x -可能的取值为0,1,2,3,故210,1,2,3x -=±±±,故x 共7个解.即{}*|421A x x N =--∈的元素个数为7故A 的真子集个数为721127-=故选：B 【点睛】本题主要考查集合中元素个数的求解与知识点：元素个数为n 的集合的真子集有21n -个. 属于基础题型.7．C解析：C 【解析】 【分析】先求出集合B ，比较a 与1的大小关系，结合B A ⊆，可求出实数a 的取值范围. 【详解】解不等式21x ->，即21x -<-或21x ->，解得1x <或3x >，{1B x x ∴=<或}3x >.①当1a =时，{}1A x x =≠，则B A ⊆成立，符合题意； ②当1a <时，{A x x a =<或}1x ≥，B A ⊄，不符合题意；③当1a >时，{1A x x =≤或}x a >，由B A ⊆，可得出3a ≤，此时13a .综上所述，实数a 的取值范围是13a ≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查集合之间关系的判断，涉及分式、绝对值不等式的解法，解分式不等式一般要转化为整式不等式，有参数时，一般要分类讨论．8．B解析：B 【分析】根据题意，{0N =，1}，而{|02}M x R x =∈，易得N 是M 的子集，分析选项可得答案． 【详解】{}{}{}200,102N x x x M x x =∈-==⊆=∈≤≤R R ，故选B.【点睛】本题考查集合间关系的判断以及用venn 图表示集合的关系，判断出M 、N 的关系，是解题的关键．9．C解析：C 【分析】首先确定B A ⊂，分B φ=和B φ≠两种情况讨论，求a 的取值范围. 【详解】B A B =B A ∴⊂，当B φ=时，332a a a -≥+⇒≤-； 当B φ≠时，3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，312a ∴-<≤- ， 综上：1a ≤-， 故选C. 【点睛】本题考查根据集合的包含关系，求参数取值范围，意在考查分类讨论的思想，属于基础题型.10．D解析：D 【分析】解绝对值不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，求得集合A 的补集，然后求此补集和集合B 的并集，由此得出正确选项. 【详解】由|31|2x -≥得312x -≤-或312x -≥，解得13x ≤-或1x ≥，故1,13R C A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由201x x -≤-得()()12010x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得12x <≤，所以()R C A B =1,1(1,2]3⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合补集、并集的计算，属于基础题.11．B解析：B 【分析】先根据题意得{}13A y y =≤≤，{}13B y y =-≤≤，再根据集合运算即可得答案. 【详解】解：根据题意得{}111133A y y x y y x ⎧⎫==≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，， {}{}21,1213B y y x x y y ==--≤≤=-≤≤，再根据集合的运算得}{11B A y y -=-≤<. 故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，函数值域的求解，考查运算能力，是中档题.12．C解析：C 【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-， 所以AB {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题.二、填空题13．答案见解析【分析】求得集合化简集合分三种情况讨论得到集合；再分别得若选择①若选择②若选择③时实数a 的取值范围【详解】当时；当时；当时若选择①则当时要使则所以当时满足题意当时不满足题意所以选择①则实数解析：答案见解析 【分析】求得集合[1,1)B =-，化简集合{()(1)0,}A xx a x x R =-+<∈∣，分1a >-，1a =-，1a <-三种情况讨论得到集合A ；再分别得若选择①，若选择②，若选择③时，实数a的取值范围. 【详解】{}2log (1)1,R [1,1)B x x x =-≤∈=-∣，0,{()(1)0,}1x a A x x R x x a x x R x -⎧⎫=<∈=-+<∈⎨⎬+⎩⎭∣∣，当1a >-时，(1,)A a =-； 当1a =-时，A =∅； 当1a <-时，(,1)A a =- 若选择①AB A =，则A B ⊆，当1a >-时，要使(1,)[1,1)a -⊆-，则1a ≤，所以11a -<≤ 当1a =-时，A =∅，满足题意 当1a <-时，(,1)A a =-不满足题意 所以选择①，则实数a 的取值范围是[-1,1] 若选择②A B ⋂≠∅，当1a >-时，(1,),[1,1)A a B =-=-，满足题意； 当1a =-时，A =∅，不满足题意；当1a <-时，(,1),[1,1)A a B =-=-，不满足题意 所以选择②，则实数a 的取值范围是(1,)-+∞. 若选择③RB A ⊆，当1a >-时，(1,),(,1][,)RA a A a =-=-∞-⋃+∞，而[1,1)B =-，不满足题意当1a =-时，,R RA A =∅=，而[1,1)B =-，满足题意当1a <-时，(,1),(,][1,)RA a A a =-=-∞⋃-+∞，而[1,1)B =-，满足题意.所以选择③，则实数a 的取值范围是(,1]-∞-，综上得：若选择①，则实数a 的取值范围是[-1,1]；若选择②，则实数a 的取值范围是(1,)-+∞；若选择③，则实数a 的取值范围是(,1]-∞-.【点睛】本题考查集合间的包含关系，集合间的运算，属于中档题.14．【分析】计算得到根据得到得到答案【详解】则或即故故故答案为：【点睛】本题考查了不等式的解集根据集合的运算结果求参数意在考查学生的综合应用能力 解析：2【分析】计算得到()()2,11,B =--+∞，根据()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩得到[]1,3A =-，得到答案.【详解】()()2101x x x ++>-，则1x >或21x -<<-，即()()2,11,B =--+∞.()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩，故[]1,3A =-，故2m n +=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了不等式的解集，根据集合的运算结果求参数，意在考查学生的综合应用能力.15．【分析】对整数取值并使为正整数这样即可找到所有满足条件的值从而用列举法表示出集合【详解】因为且所以可以取234所以故答案为：【点睛】考查描述法列举法表示集合的定义清楚表示整数集属于基础题 解析：{}1,2,3,4-【分析】对整数a 取值，并使65a-为正整数，这样即可找到所有满足条件的a 值，从而用列举法表示出集合A ．【详解】 因为a Z ∈且*65N a∈- 所以a 可以取1-，2，3，4. 所以{}1,2,3,4A =- 故答案为：{}1,2,3,4- 【点睛】考查描述法、列举法表示集合的定义，清楚Z 表示整数集，属于基础题.16．【分析】先化简集合利用分类讨论和即可求出构成的集合【详解】由可得:即:解得或故:由可得:当时方程无实数解此时满足当时方程的实数解为故:由可得:或解得或的所有取值构成的集合为:故答案为:【点睛】本题主解析：11{0,,}24- 【分析】先化简集合B ,利用A B ⊆,分类讨论=0a 和0a ≠,即可求出构成a 的集合. 【详解】由{}2280B x x x =--=可得:2280x x --= 即:()()240x x +-= 解得2x =-或4x = 故:{}2,4B =- {}10,A x ax x R =+=∈由10ax += 可得:1ax =-当0a =时,方程1ax =-无实数解,此时A =∅,满足A B ⊆ 当0a ≠时,方程1ax =-的实数解为1x a =-,故:1{}A a=- 由A B ⊆可得:12a -=-或14a -= 解得12a =或14a =-a 的所有取值构成的集合为:11{0,,}24-.故答案为:11{0,,}24-. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系以及一元二次方程的解法,要注意集合A 是集合B 的子集时,集合A 有可能是空集.17．【分析】解不等式求出集合根据补集与交集的定义写出【详解】全集；∴∴故答案为：【点睛】本题考查集合的运算解题是先解不等式确定集合然后再根据集合运算的定义计算解析：{}|24x x <≤【分析】解不等式求出集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出()U A C B ⋂.【详解】全集U =R ，{}1|1|111A x x x x ⎧⎫⎪⎪=<=->⎨⎬-⎪⎪⎩⎭{}|02x x x =<>或； {}{}2|540|14B x x x x x x =-+>=<>或，∴{}|14U C B x x =≤≤，∴(){}|24U AC B x x =<≤.故答案为：{}|24x x <≤. 【点睛】本题考查集合的运算，解题是先解不等式确定集合,A B ，然后再根据集合运算的定义计算．18．【分析】分5种情况讨论的范围计算函数值并求元素的和【详解】①当时；②当时；③当时；④时；⑤当时则中所有元素的和为故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型需读懂题意并能理解应用分类讨论解决问题本题的难解析：12【分析】 分103x ≤<，1132x ≤<，1223x ≤<，213x ≤<，1x =，5种情况讨论2,3x x 的范围，计算函数值，并求元素的和.【详解】①当103x ≤<时， 220,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)30,1x ∈， ∴ [][][]230x x x ===，[][][]230x x x ++= ；②当1132x ≤<时，22,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，331,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ， [][]20,x x ∴==[]31x =，[][][]231x x x ∴++=；③当1223x ≤<时，[)21,2x ∈ ，33,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[]0x ∴=，[]21x = ，[]31x = ，[][][]232x x x ∴++=； ④213x ≤<时，42,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)32,3x ∈ []0x ∴=，[]21x =，[]32x =，[][][]233x x x ∴++=；⑤当1x =时[]1x =，[]22x =，[]33x = ，[][][]236x x x ∴++={}0,1,2,3,6A ∴=，则A 中所有元素的和为0123612++++=.故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型，需读懂题意，并能理解，应用，分类讨论解决问题，本题的难点是分类较多，不要遗漏每种情况19．4【分析】根据题意列出所有可能的集合B 求出相应的求出平均数即可【详解】因为集合若且所以集合B 为：当时当时当时当时当时当时当时则G(B)的平均值是故答案为：【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系考查学 解析：4【分析】根据题意列出所有可能的集合B ，求出相应的()G B ，求出平均数即可.【详解】因为集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆所以集合B 为：{}{}{}{}{}{}{}1231,21,32,31,2,3，，，，，，当{}1B =时，()112G B =+=当{}2B =时，()224G B =+=当{}3B =时，()336G B =+=当{}1,2B =时，()123G B =+=当{}1,3B =时，()134G B =+=当{}2,3B =时，()235G B =+=当{}1,2,3B =时，()134G B =+=则G(B)的平均值是246345447++++++= 故答案为：4【点睛】 本题主要考查了集合间的包含关系，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题. 20．49【分析】分中的最大数为中的最大数为中的最大数为中的最大数为四种情况根据题意列举出满足条件的集合即可得出结果【详解】当中的最大数为即时；所以满足题意的集合对的个数为个；当中的最大数为即时；即满足题 解析：49【分析】分A 中的最大数为1，A 中的最大数为2，A 中的最大数为3，A 中的最大数为4，四种情况，根据题意列举出满足条件的集合,A B ，即可得出结果.【详解】当A 中的最大数为1，即{1}A =时，{2}B =，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{2,3,4,5}； 所以满足题意的集合对(,)A B 的个数为15个；当A 中的最大数为2，即{2},{1,2}A =时，{3}=B ，{4}，{5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{3,4,5}；即满足题意的集合对(,)A B 的个数为2714⨯=个；当A 中的最大数为3，即{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}A =时，{4},{5},{4,5}B =，即满足题意的集合对(,)A B 的个数4312⨯=个；当A 中的最大数为4，即{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}A =时，{5}B =，即满足题意的集合对(,)A B 的个数为8个；所以总共个数为49个．【点睛】本题主要考查集合的应用，灵活运用子集的概念，用列举法表示集合即可，属于常考题型.三、解答题21．（1）{}2A B x x ⋃=≥, (){}36R C A B x x x ⋂=或(2) ()(),210,-∞-⋃+∞【分析】（1）先求出集合B ，于是可得A B ⋃和A B ⋂，进而得到()R C A B ⋂；（2）先求出R C M ，再将R A C M ⊆转化为不等式求解，可得所求范围．【详解】（1）∵{}{}37823B x x x x x =-≥-=≥， ∴{}2A B x x ⋃=≥，{}36A B x x ⋂=≤≤，∴(){}3,6R C A B x x x ⋂=或． (2)由题意知M φ≠，且{}4,4R C M x x a x a =-+或. ∵{}26A x x =≤≤，R A C M ⊆，∴46a ->或42a +<，解得10a >或2a <-.故实数a 的取值范围为()(),210,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查集合的基本运算，解题时根据要求逐步求解即可，其中解答（2）的关键是将集合间的包含关系转化为不等式来求解，容易出现的错误是忽视不等式中的等号能否成立． 22．（1）(2,4]A B ⋂=；（2）(,2]-∞-.【分析】（1）当1a =时确定集合A ，根据交集的定义求解.（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，得出a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，由lg(1)0x ->得11x ->，解得2x >，所以(2,)A =+∞， 由{}2340B x x x =--<解得[]1,4B =-，所以(2,4]A B ⋂=.（2）{}{}lg()01A x x a x x a =->=+， {}2340B x x x =--<得{}|14B x x =-<<，由A B A ⋃=得B A ⊆，所以(1,4)(1,)a -⊆++∞，所以11a ≤-+，解得2a ≤-，所以实数a 的取值范围是(,2]-∞-.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，注意正确求解集合，再者就是能正确判断集合之间的关系.23．（1）9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）对a 分类讨论：0a =，解出即可判断出是否满足题意．0a ≠时，A 中至少有一个元素，满足0∆，解得a 范围即可得出．（2）对a 分类讨论：0a =，直接验证是否满足题意．0a ≠时，由A 中至多有一个元素，可得0∆≤，解得a 范围即可得出．【详解】解：（1）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至少有一个元素，∴980a ∆=-，解得98a ，0a ≠． 综上可得：a 的取值范围是9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． （2）0a =，由320x -+=，解得23x =，满足题意，因此0a =． 0a ≠时，A 中至多有一个元素，∴980a ∆=-，解得98a． 综上可得：a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】 本题考查了集合的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．24．（1）1|32x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，1|02x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）{1|2a a ≤-或}4a ≥. 【分析】（1）化简集合，利用集合的交并补运算求解即可；（2）讨论A =∅，A ≠∅两种情况，列出相应的不等式，求解即可得出答案.【详解】 （1）若12a =时，12,{03}2A x x B x x ⎧⎫=-<<=<≤⎨⎬⎩⎭∣∣ ∴1|32A B x x ⎧⎫⋃=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U B x x =≤或3}x > 所以()1|02U A B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由A B =∅知当A =∅时，121,2a a a -≥+∴≤-当A ≠∅时，21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩4a ∴≥或122a -<≤- 综上：a 的取值范围是{1|2a a ≤-或}4a ≥. 【点睛】本题主要考查了集合的交并补混合运算以及根据交集的结果求参数的范围，属于中档题. 25．（1）254个；（2）2m =-；（3）2m =-或12m -【分析】（1）利用指数函数的性质化简集合A ，再利用子集个数公式求解即可；（2）由由B =∅，223210x mx m m -+--<无解，则其对应的方程的0∆≤ （3）讨论三种情况，分别化简集合B ，利用包含关系列不等式求出m 的范围，综合三种情况可得结果.【详解】解：化简集合{|25}A x x =-≤≤，集合{}|(1)(21)0B x x m x m =-+--<. （1）{},2,1,0,1,2,3,4,5x Z A ∈∴=--,即A 中含有8个元素，故A 的非空真子集数为822254-=个.（2）由B =∅，则22(3)4(21)0m m m ∆=----≤，得2(2)0m +≤，得2m =-.（3）①2m =-时，B A =∅⊆；②当2m <-时，()()21120m m m +--=+<，所以()21,1B m m =+-,因此，要B A ⊆，则只要21236152m m m +≥-⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩，所以m 的值不存在； ③当2m >- 时,()1,21B m m =-+ ，因此，要B A ⊆，则只要1212215m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩. 综上所述，知m 的取值范围是2m =-或12m -≤≤.【点睛】本题考查集合的真子集个数的求数,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.26．（1）{}|36A B x x ⋂=≤<；（2）()R C A B R ⋃=【分析】（1）根据集合的交集运算即可（2）根据集合的补集、并集运算.【详解】因为集合{}|36A x x =≤<，集合{}|19B x x =<≤所以{}|36A B x x ⋂=≤<.所以{|3R C A x x =<或}6x ≥，∴R C A B R ⋃=.【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集，并集运算，属于容易题.。
数学单元检测试卷（集合与简易逻辑）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列语句中是命题的有： （1）1+sin30º=23； （2）面积相等的两个三角形必全等；（3）不等式02322>--x x 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-2,21； （4）这是一条快活的鱼； A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z m m x x M ,61|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z n n x x N ,312|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z p p x x P ,612|，则M 、N 、P 满足关系A ．M=N ⊆P B.M ⊆N=P C. M ⊆N ⊆P D N ⊆P ⊆M 3．若关于x 的不等式1-x ax <1的解集为{x|x <1或x > 2},则实数a 的值为A.1B.0C.2D.214．已知集合M=｛a 2, a+1,-3｝, N=｛a-3, 2a-1, a 2+1｝, 若M ∩N=｛-3｝, 则a 的值是A -1B 0C 1D 2 5．设集合A={x|11+-x x < 0},B={x||x-1|<a},则“a=1”是“A ∩B ≠∅”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 6．若集合A ⊆B, A ⊆C, B=｛0,1,2,3,4,7,8｝, C=｛0,3,4,7,8｝, 则满足条件的集合A 的个数为A. 16 B 15 C 32 D 31 7．若二次不等式ax 2+bx+c > 0的解集是{x|51< x <41},那么不等式2cx 2-2bx-a < 0的解集是A.{x|x< -10或x > 1}B.{x|－41< x <51} C.{x|4< x <5} D.{x|-5< x < -4}8．若不等式13642222<++++x x k kx x 对∈x R 恒成立,则实数k 的取值范围是A.R B (1,3) C (∞-,1) D (∞-,1) (3, +∞) 9．不等式)0(222>+<-a a x x a 的解集是 A ．)0,2(aB.),[]54.(+∞--∞a a C.],0(a D.],0(]54,[a a a --10. 下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是①3:62:2+++=>-<m mx x y q m m p ；，或有两个不同的零点②()()()x f y q x f x f p ==-:1:；是偶函数 ③βαβαtan tan :cos cos :==q p ；④A C B C q A B A p U U ⊆=::；A.①②B.②③C.③④D. ①④二、填空题：（本大题共5小题；每小题5分，共25分）把答案填在题中的横线上。
11．设P 和Q 是两个集合，定义集合Q P -={}Q x P x x ∉∈且,|，如{}1l o g 2<=x x P ，{}12<-=x x Q 那么Q P -等于 ___ 。
12．不等式0122||2≤---x x x 成立的充要条件是 。
13．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅ ，（1）b 的取值范围是 ；（2）若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ． 14．设有两个命题：命题P ：不等式a x x >--+12的解集是R ；命题Q ：关于x 的不等式1212++≤-+-a a x x 的解集为空集。
若满足“P 或Q ”真，“P 且Q ”假，则实数a 的取值范围是 ； 15．给出下列命题：① 过一点与已知曲线相切的直线有用只有一条；② 函数)21(121)(-≠+-=x x x x f 对称中心是（－21，21）；③ 已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N*)的前n 项和，若S 7>S 5，则S 9>S 3；④ 函数f (x )=x |x |+p x +q(x ∈R)为奇函数的充要条件是q =0； ⑤ 已知a ，b ，m 均是正数，且a <b ，则ba mb m a >++.其中真命题的序号是 （将所有真命题的序号都填上）。
三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）16．（本题满分12分）集合A ={x |x 2－3x ＋2=0}， B ={x |x 2－a x ＋a －1=0} ，C ={x |x 2－m x ＋2=0}，若A ∪B =A ， A ∩C =C ，求实数a 、m 之值。
17．（本题满分12分） (1)解关于x 的不等式：)0,(3122≠∈-+>+k R k kx kx(2)如果上述不等式的解集为（3，+∞），求k 的值(3)如果x =3在解集中，求实数k 的取值范围。
18．（本题满分12分）已知a > 0,a ≠1,设p:函数y =log a (x+1)在(0,∞)上单调递减;q:曲线y = x 2+(2a-3)x+1与x 轴交于不同的两点,如果p 且q 为假命题,p 或q 为真命题,求a 的取值范围.19．（本题满分12分）求证：一元二次方程02=++c bx ax 最个不相等的实根。
20．（本题满分13分）设使函数|3||4|)(-++=x x x f 取最小值的x 的集合为A ，函数)34ln(2+++=k x kx y 的定义域为B ，若A B Ø,试求k 的取值范围。
21．（本题满分14分）已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -∉，则称集合A 具有性质P ．（I ）检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)2k k n -≤；（III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．数学（一）（集合与简易逻辑）参考答案一、选择题11．0(, ]112．2[, 2[)4- , )3-13．（1）-∞(, )2- （2）2914．}013|{<<--<a a a 或15．②③④⑤三、解答题：16．由A ={1, 2}，A B A = 知A B ⊆,∵0)2(44)1(4222≥-=+-=--=∆a a a a a , ∴Φ≠B , ∴若B ∈2，代入得 3=a ，此时B ={1, 2}，有A =B ，∴A B A = ,显然B ∈1.若0=∆，2=a ，B ={1},由C C A = 知，若082<-=∆m ，即2222<<-m 时，Φ=C 若22=m ，}2{=C ，不合题意，舍去. 22-=m ，}2{-=C ，亦不合题，舍去 若C ∈1，则m =3，此时 C ={1, 2}，有C C A = . 若C ∈2，则m =3，同上.故a =2或3，m =3或2222<<-m .17．（1）原不等式可化为：3)2(2-+>+x k x k 即32)1(2-->-k k x k当k =1时，∈x R; 当k >1时，1322--->k k kx ; 当k <1时，1322---<k k kx .（2）由（1）知， 313212=--->k k k k 5=⇒k .（3）由（1）知，k =1时，适合题意 313212<--->k k k k 或 313212<--->k k k k 解得：1051<<<<k k 或.综合上述：51<<k18．由题意知p 与q 中有且只有一个为真命题，当0<a <1时，函数()1log +=x y a 在(0, +∞)上单调递减； 当a >1，函数()1log+=x ya在(0, +∞)上不是单调递减；曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于两点等价于04)32(2>--a ，即21<a 或25>a（1）若p 正确，q 不正确，即函数()1log +=x y a 在(0, +∞)上单调递减，曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴不交于两点，因此0(∈a , ))25,1(]1,21([)1 ，即)1,21[∈a .（2）若p 不正确，q 正确，即函数()1log +=x y a 在(0,+∞)上不是单调递减，曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴交于两点，因此1(∈a , 25()21,0(() ∞+, ))+∞.综上，a 取值范围为21[, 25()1 , )+∞.19．（反证法）：假设方程有三个或三个以上不相等的实根x 1, x 2, x 3则 000323222121=++=++=++c bx ax c bx ax c bx ax 由①－②得 0)(21=++b x x a ④ 由①－③得 0)(31=++b x x a ⑤由④－⑤得 0)(32=-x x a ，∵0≠a ，∴32x x =,这与假设321x x x ≠≠矛盾，所以原方程最多只有两个不相等实根20．由题设}34|{≤≤-=x x A ，}034|{2>+++=k x kx x B 由A ØB 知，4[-∈x ,3]时，恒有0342>+++k x kx 34)1(2-->+x x k ，∴1342+-->x x k .记134)(2+--=x x x g ，∵222)1()232(2)('+-+=x x x x g ,故4[-∈x , ]2-，0)('>x g ，)(x g 递增,故2[-∈x , )21，①②③0)('<x g ，)(x g 递减,故21[∈x , 3)，0)('>x g ，)(x g 递减,故只要)3()2(g k g k >->1>⇒k ，所以k 的取值范围是(1, )+∞21．（I ）集合{0, 1, 2, 3}不具有性质P ．集合1{-, 2, 3}具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2k 个．因为0A ∉，所以()(12)i i a a T i k ∉= ，，，，；又因为当a A ∈时，a A -∉时，a A -∉，所以当()i j a a T ∈，时，()(12)j i a a T i j k ∉= ，，，，，．从而，集合T 中元素的个数最多为21(1)()22k k k k --=，即(1)2k k n -≤．（III ）m n =，证明如下：（1） 对于()a b S ∈，，根据定义，a A∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．如果(a , b )与(c , d )是S 的不同元素，那么a =c 与b =d 中至少有一个不成立，从而a +b =c +d 与b =d 中也至少有一个不成立．故(a +b , b )与(c +d , d )也是T 的不同元素．可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤， （2）对于()a b T ∈，，根据定义，A a ∈，b A ∈，且a b A -∈，从而()a b b S -∈，．如果(a , b )与(c , d ) 是T 的不同元素，那么a =c 与b =d 中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立， 故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素．可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤，由（1）（2）可知，m n =．。
