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1
邱启荣华北电力大学数理系QQIR@https://www.doczj.com/doc/015924657.html,
第五章相似矩阵与二次型
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2
第一节向量的内积、长度及正交性
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3
定义1维向量
设有n ,
,2121??????
????????=??????????????=n n y y y y x x x x []n n y x y x y x y x +++= 2211,令[].
,的与为向量称y x y x 内积（一）、内积的定义及性质
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4
说明
1
维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
()4≥n n [].
, :,,, 2 y x y x y x T =为内积可用矩阵记号表示向量都是列如果内积是向量的一种运算上页下页返回结束
5
内积的运算性质
():,,,为实数维向量为其中λn z y x [][];
,,)1(x y y x =[][];
,,)
2(y x y x λλ=[][][];
,,,)
3(z y z x z y x +=+.
0],[0,0],)[4(>≠≥x x x x x 时有且当上页下页返回结束
6
定义2 非负性.1齐次性.2三角不等式.3[],
,22221n x x x x x x +++=
=
令
().
或的维向量为称x n x 长度范数向量的长度具有下述性质：
;0,0;0,0==>≠x x x x 时当时当;
x x λλ=.
y x y x +≤+（二）、向量的长度及性质
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7
维向量间的夹角
单位向量及n ()().
1,5,1,33,2,2,1的夹角与求向量==βα例解β
αβαθ?=
cos ∵2262318=?=.
4
π
θ=
∴().
,11 为称时当x x =单位向量()[]y
x y
x y x ,arccos ,0,02=≠≠θ时当.
的与维向量称为y x n 夹角上页下页返回结束
8
１正交的概念
２正交向量组的概念
.
,0],[y x y x 与称向量时当=正交.
,0,与任何向量都正交则若由定义知 x x =若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．
（三）正交向量组的概念及求法
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9
,002
1
111≠=?≠ααααT
由.
01=λ从而有.02===r λλ 同理可得.
,,,21线性无关故r ααα 使
设有r λλλ,,,21 证明0
2211=+++r λααλαλ 得
左乘上式两端以,1a T 0111=ααλT
３正交向量组的性质
线性无关.
,,,则非零向量,是一组两两正交的,
,,维向量若定理r r n αααααα 2121 1上页下页返回结束
10
例1已知三维向量空间中两个向量
??
??
???????=??????????=121,11121αα正交，试求使构成三维空间的一个正交基.
3α321ααα,,４向量空间的正交基
.
,,,,,,,,,,, 212121的正交基向量空间是则称组是两两正交的非零向量且的一个基是向量空间若V V r r r ααααααααα 上页下页返回结束
11
即??
?=+?==++=0
2],[0
],[3213232131x x x x x x αααα解之得
.
0,231=?=x x x 则有
若令,13=x ????
???????=??????????=1013213x x x α由上可知构成三维空间的一个正交基.
321ααα,,则有0
],[],[3231==αααα解().,,0,,
213213正交且分别与设ααα≠=T
x x x 上页下页返回结束
12
５规范正交基
.
,,,,,,,,)( ,,, 3212121 的一个规范正交基是则称向量两两正交且都是单位如果的一个基是向量空间维向量设定义V e e e e e e R V V e e e n r r n r ?.212100,212100,002121,00
21214321????
?
??
????????=??????????????=??
????
?????????=??????????????=e e e e 例如
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13
.212100,212100,002121,0021214321???????????
?
???=??????????????=?
????????????
??=??????????????=e e e e ??
?====≠=.
4,3,2,1,,1],[.
4,3,2,1,,0],[j i j i e e j i j i e e j i j i 且且由于.
,,,44321的一个规范正交基为所以R e e e e 上页下页返回结束
14
.1000,01
00,0010,00014321?????
?
????????=????
??????????=??????????????=??????????????=εεεε同理可知
.
4的一个规范正交基也为R 上页下页返回结束
15
（1）正交化，取，
11a b =[][]
,
,,1112122b b b a b a b ?=,,,,21的一个基为向量空间若V a a a r ６求规范正交基的方法
称为这样一个问题价等与使位向量的单就是要找一组两两正交的一个规范正交基要求的一个基是向量空间设,,,,,,,,,,,,,,,,,21212121r r r r e e e e e e V V αααααα .
,,, 21范正交化这个基规把r ααα 上页下页返回结束
16
1
11122221111]
,[]
,[],[],[],[],[????????
=r r r r r r r r r b b b a b b b b a b b b b a b a b .
,,,,,,111等价与且两两正交那么r r r a a b b b b （2）单位化，取
,,,,222111r
r r b b e b b e b b e ===
.
,,,21的一个规范正交基为那么V e e e r 2
22321113133]
,[]
,[],[],[b b b a b b b b a b a b ??
=上页下页返回结束
17
例２用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1(321?=?==a a a 正交规范化.
解先正交化，()
1,1,1,111==a b [][]
1
112122,,b b b a b a b ?=()()1,1,1,11
1114
114,0,1,1++++??
?=()3,1,2,0??=取.,,,,,11 称为的过程向量组构造出正交上述由线性无关向量组r r b b a a 施密特正交化过程
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18
2
22321113133]
,[]
,[],[],[b b b a b b b b a b a b ??
=()()()3,1,2,014141,1,1,14
8
1,1,5,3??????=()0,2,1,1?=再单位化，()?
????
???=??==143,141,142,03,1,2,0141
222b b e ()???????=?==0,62,61,610,2,1,161333b b
e 得规范正交向量组如下
()?
?
?
???===21,21,21,211,1,1,121111b b e
上页下页返回结束19
例3
.
,
,
,
,
,
1
1
1
3
2
1
3
2
1
两两正交
使
求一组非零向量
已知
a
a
a
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
解
.0
,0
,
3
2
1
1
3
2
=
+
+
=
x
x
x
x
a
a
a T即
应满足方程
.
1
1
,
1
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=ξ
ξ
它的基础解系为
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20
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
,
1
2
ξ
=
a.
]
,
[
]
,
[
1
1
1
2
1
2
3
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ?
=
a
于是得
其中,2
]
,
[,1
]
,
[
1
1
2
1
=
=ξ
ξ
ξ
ξ
,
1
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
a.
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
a
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21
问题：如何求
123
x x x
++=
两两正交的基础解系？
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22
证明E
A
A T=
E
=
定义4()
.
,
1
正交矩阵
为
称
则
即
满足
阶方阵
若
A
A
A
E
A
A
A
n T
T=
=?
定理
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
nn
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
1
2
22
12
1
21
11
2
1
2
22
21
1
12
11
为正交矩阵的充要条件是的列向量都
是单位向量且两两正交．
A A
（四）、正交矩阵与正交变换
上页下页返回结束
23
()E
T
n
T
T
n
=
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?α
α
α
α
α
α
,
,
,2
1
2
1
E
T
n
n
T
n
T
n
T
n
T
T
T
n
T
T
=
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
()n
j
i
j
i
j
i
ij
T
j
i
,
,2,1
,
,0
;
,1
=
?
?
?
≠
=
=
=
?
当
当
δ
α
α
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24
性质正交变换保持向量的长度不变．
证明,
为正交变换
设Px
y=
.x
x
x
Px
P
x
y
y
y T
T
T
T=
=
=
=
则有
例５判别下列矩阵是否为正交阵．
(),
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
3
1
2
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
().
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
定义5若为正交阵，则线性变换称为正
交变换．
Px
y=
P
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25
解
()????
????
?????121312112131211
1,
021********≠×+×??
?
????+???????×所以它不是正交矩阵．
考察矩阵的第一列和第二列，由于
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26
?????????????????????
?
979494949198949891?????????????????
?
97949
494
9198
949891T
所以它是正交矩阵．
????
??????=10
0010001
由于
()?????????????????????
?97949
4949198
949891
2上页下页返回结束
27
例5.3.3 设
()12322141,,212,331222A αααβ?????
????
==?=????
?????????
验证矩阵A 是一个正交矩阵，并将用
β线性表示出来.
123,,ααα上页下页返回结束
28
第二节方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值和特征向量的性质
上页下页返回结束29
说明() ,0,0.
n A A E x A E
A λλλλ?=?=阶方阵的特征值就是使齐次线性方程组有非零解的值即满足方程的都是矩阵的特征值一、特征值与特征向量的概念
定义5.1.1 设为阶矩阵，若存在非零
向量及数，使等式
A n αλA αλα
=成立，则称是矩阵的一个特征值，是属于的特征向量。
λA αλ上页下页返回结束
30
2.0
A E λ?=?
2
1
22221112
11=???λ
λλnn n n n n a a a a a a a a a
次方程为未知数的一元称以n λ0
=?E A λ. 的为A 特征方程,,次多项式的它是n λ记()E A f λλ?=称其
.
的为方阵A 特征多项式
上页下页返回结束
31
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
();
det .1E A A λ?的特征多项式
计算();
,,,
,0det .2 21的全部特征值就是的全部根求特征方程A E A n λλλλ =?()3. , 0
i i A E x λλ?=对于特征值求齐次方程组
的一个基础解系,则A 的对应于全部特
征向量是
12,,,s ηηη i λ1122s s
k k k ηηη+++ 12,,,s k k k 其中是任意不全为零的数。
上页下页返回结束
32
注：注意到与是同解方程组。为在计算过程中少出错，用
求特征向量。
()0A E x λ?=()0E A x λ?=()0A E x λ?=上页下页返回结束33
11
12
132122
233132
33
||a a a E A a a a a a a λλλλ????=??????32
112233111322231112313332
332122()||a a a a a a a a a
A a a a a a a λλλ=?++??
+++?????
上页下页返回结束
34
二、特征值和特征向量的性质
定理5.1.1若n 阶矩阵的n 个特征值为，则有
()ij n n A a ×=12,,,n λλλ ;)1(221121nn n a a a +++=+++ λλλ.
)2(21A n =λλλ 上页下页返回结束
35
证明：若n 阶矩阵的n 个特征值为
，则有
()ij n n A a ×=12,,,n λλλ 11
12121222121
2
(-)(-)(-)
n n
n n n nn
a a a a a a a a a λλλλλλλλλ??????=??? 利用多项式根与系数的关系可得，
;)1(221121nn n a a a +++=+++ λλλ.
)2(21A n =λλλ 上页下页返回结束
36
n 阶方阵的主对角线上n 个元素之和称为A 的迹(trace)，记作.
()ij n n A a ×=)(A tr 12();
n tr A λλλ+++=
上页下页返回结束
37
例5.1.1 求矩阵的特征值与
特征向量.
504316023A ????
=??????
解矩阵A 的特征多项式为
(1)(3)(7)
E A λλλλ?=+??||0E A λ?=令，得A 的特征值为
7
,3,1321==?=λλλ上页下页返回结束
38
对于特征值，解齐次线性方程组
11λ=?((1))()0
A E x A E x ??=+=由2106043326~012024000A E ?
???
??????+=?
???????????
??得基础解系,所以A 的对应于的全部特征向量为1(2,6,3)T η=?1
1λ=?111,(0)
k k η≠504316023A ??
??=??
????
上页下页返回结束
39
对于特征值，解齐次线性方程组
23λ=(3)0
A E x ?=由
得基础解系,所以A 的对应于的全部特征向量为2(2,0,1)T η=?23λ=222,(0)
k k η≠2041023326~010021000A E ????
?????=?????
????????
504316023A ??
??=??
????
上页下页返回结束
40
对于特征值，解齐次线性方程组
37λ=(7)0
A E x ?=由
得基础解系,所以A 的对应于的全部特征向量为3(2,2,1)
T
η=37
λ=333,(0)
k k η≠2041027366~012024000A E ??????
?????=???????????????
504316023A ??
??=??
????
上页下页返回结束
41
例5.1.2 求矩阵的特征值与
特征向量。
122212221A ????
=??????
解矩阵A 的特征多项式为
2
(5)(1)E A λλλ?=?+||0E A λ?=令，得A 的特征值为
1235,1
λλλ===?有何特点？
E A
λ?上页下页返回结束
42
对于特征值，解齐次线性方程组
15λ=(5)0
A E x ?=由
得基础解系,所以A 的对应于的全部特征向量为1(1,1,1)T η=15
λ=111,(0)
k k η≠4221211015242~011~011224000000A E ?????????
???????=??????????????????????
122212221A ??
??=??
????
上页下页返回结束
43
对于特征值，解齐次线性方程组
231λλ==?((1))()0
A E x A E x ??=+=由
2221
11222~0
0022200
0A E ????????+=???????????
?
得基础解系所以A 的对应于的全部特征向量为
23
(1,1,0),(1,0,1)T
T
ηη=?=??231λλ==?222223,(,)
k k k k ηη+不同时为零122212221A ??
??=??
????
上页下页返回结束
44
例5.1.3 求矩阵的特征值与
特征向量。
102121130A ???
??=???
????
上页下页返回结束
45
例
.
201034011的特征值和特征向量求矩阵?
????
???
?
???=A 解,
)1()2(2010340
11 2
λλλ
λλ
λ??=?????=?E A A 的特征多项式为
.
1,2321===λλλ的特征值为所以A 由
解方程时当.0)2(,21=?=x E A λ上页下页返回结束
46
,0000100010010140132~?
????
???
?
??
?
?
??
????
???=?E A ,
1001???
?
??????=p 得基础解系.
2)0(11的全部特征值是对应于所以=≠λk p k 由
解方程时当.0)(,132=?==x E A λλ,
000210101101024012~?
??
????????????????
???=?E A 上页下页返回结束
47
,
1212?
????
???
?
???=p 得基础解系.
1)0(322的全部特征值是对应于所以==≠λλk p k 上页下页返回结束
48
对于一般矩阵或工程中出现的矩阵，其特征值不易简单的求出。在数值分析中，将专门的介绍特征值的计算方法。我们也可利用Matlab 软件来计算。
eig(A)
上页下页返回结束
49
121212125.1.2 ,,,,,,,.,,,,,,,.m m m m A m p p p p p p λλλλλλ 定理设是方阵的个特征值依次是与之对应的特征向量如果各不相等则线性无关证明使
设有常数m x x x ,,,21 .02211=+++m m p x p x p x 则
(),02211=+++m m p x p x p x A 即,0222111=+++m m m p x p x p x λλλ 类推之，有
.
0222111=+++m m k m
k k p x p x p x λλλ ()
1,,2,1?=m k 上页下页返回结束
50
把上列各式合写成矩阵形式，得
()????
??
???????????11221
1
12211111,,,m m m m m m m p x p x p x λλλλλλ ()
0,,0,0 =于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩.,0,,i λ()(),
0,,0,0,,,2211 =m m p x p x p x ().,,2,10m j p x j j ==即,0≠j p 但().,,2,10m j x j ==故.
,,,21线性无关所以向量组m p p p 上页下页返回结束
51
注意
１.属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
２.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．
上页下页返回结束
52
()即有
的特征向量的
的属于特征值同时是如果设因为,,,2121λλλλ≠A x x
Ax x Ax 21,λλ==x x 21λλ=?(),
021=??x λλ,021≠?λλ由于,0=x 则.
与定义矛盾上页下页返回结束
53
定理5.1.3 设为n 阶可逆矩阵的特征值，n 维非零列向量为的对应于的特征向量，则λA αλA （1）;
≠λ（2）是的特征值，
为对应于特征值的特征向量;
1A ?1A ?1
λ?1λ?α（3）
是的特征值，为对应于特征值的特征向量;
*A *A ||/A λ||/A λα上页下页返回结束
54
可得
由x Ax λ=()()x A x A Ax A 111???==λλx
x A 11??=?λ,0,
A λ≠当可逆时.
, 1111的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故????λλA x A
上页下页返回结束
55
定理5.1.4 设
是的特征值，非零列向量为的对
应于的特征向量，则是的特征值，
是对应的特征向量.
λA αλA ()?λ()A ?α
0101(),()m m m
m a a a A a E a A a A ?λλλ?=+++=+++ 上页下页返回结束
56
例5.1.6已知向量是矩阵
(1,,1)T
k α=??
????????=211121112A 的逆矩阵的特征向量, 试求常数k 的值. 1?A 解：设是对应于特征值λ的特征向量, 则由可得
α1?A 1A αλα?=上页下页返回结束
57
1AA A A ααλαλα
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?????11 21
1
121
11211k k λ由此可得方程组??
?=+=+k
k k )22(1)3(λλ其解为
1 ,4
1
;2 ,12211==
?==k k λλ2
?=k 2
?=k 于是, 当或1时,
是的特征向量。2?=k α上页下页返回结束
58
例5.1.7已知3阶方阵A 的3个特征值为
1231,2
λλλ===-1,设，求。
325B A A =?B 上页下页返回结束
59
例设A 是阶方阵，其特征多项式为
n ()0
111a a a A E f n n n A ++++=?=??λλλλλ .
的特征多项式求A T 解
()A E f T
A T ?=λλ0
111a a a n n n ++++=??λλλ ()T
A E ?=λA
E ?=λ上页下页返回结束
60
().
,0det ,2,
0A 3E det :4 的一个特征值求满足条件阶方阵设?<==+A A E AA A T 思考题
上课材料之二： 第二章 数学基础 (Mathematics) 第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms) 第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms) 2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为： v a a a a a a a a a a A mn m m n n ij ? ???? ???????== 2122221 11211][ 矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij 但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==n k kj ik ij b a c 1 ，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立 的： ● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？ 向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。 如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。 矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。 显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '， ● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。 ● 可逆矩阵（inverse matrix ），如果n 级方阵(square matrix)A 和B ，满足AB=BA=I 。 则称A 、B 是可逆矩阵，显然1 -=B A ，1 -=A B 。如下结果是成立的：
第五章 相似矩阵 §1 特征值与特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值与特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日
摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题 进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal
第五章：相似矩阵及二次型 本章要求：1. 理解矩阵特征值、特征向量及有关性质，熟练掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。 2. 理解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。 3. 掌握实对称矩阵化为对角阵的方法。 4. 理解二次型的定义，掌握二次型在实数域上化标准形、规范形的方法。 5. 理解正定矩阵与正定二次型、会判定二次型的定性。 §1 向量的内积、长度及正交性 内容：向量的内积；内积的性质；向量的长度（范数）；长度的性质；单位向量；施瓦茨不等式[][][]y y x x y x , ,,2 ≤；n 维向量x 与y 的夹角[] y x y x ,arccos =θ ；正交；正交 的向量组一定线性无关；规范正交基；基的规范正交化；施密特正交化过程；正交矩阵；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量都是单位向量，且两两正交；方阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量都是单位向量，且两两正交；正交矩阵A 的n 个列（行）向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基；正交变换；正交变换不改变线段的长度。 重点：正交的向量组一定线性无关；施密特正交化法；基的规范正交化；正交阵判定的两种方法。 §2 方阵的特征值与特征向量 内容：矩阵的特征值与特征向量；A 的特征方程；A 的特征值就是特征方程的解； A 的特征多项式 ()λ λλ λ---= nn n n n n a a a a a a a a a f 2 1 2222111211；
若λ是 A 的特征值，则 ()λ?也是()A ?的特征值；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。 重点：熟练掌握特征值和特征向量的求解方法；特征值的性质；特征值互不相等，则对应的特征向量线性无关。 §3 相 似 矩 阵 内容：相似矩阵；相似变换；相似变换矩阵；若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A 与 B 的特征值也相同； 设???? ?? ? ? ?=Λn λλλ 2 1 ，则有 1）,2 1???? ?? ? ? ?=Λk n k k k λλλ ()()() ().21?????? ? ? ?=Λn λ?λ?λ?? 2）若n 阶矩阵A 与Λ相似，则n λλλ,,,21 即为A 的n 个特征值。 重点：矩阵可对角化的条件：n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似（即 A 能对角化）的充分必要条件为A 有 n 个线性无关的特征向量；若 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则A 与对角矩阵相似。 §4 实对称矩阵的对角化 内容：实对称矩阵的特征值和特征向量的性质：实对称矩阵的特征值为实数，对应的特征向量可以取实向量；对称矩阵的特征值若不相等，则对应的特征向量正交；实对称矩阵的对角化：对称矩阵一定能对角化。 重点：实对称阵 A 对角化的步骤：
1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得
【最新整理，下载后即可编辑】 第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要 条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点： (1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化. 3．教学难点：矩阵的相似对角化. 4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的 运算:AX .从矩阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形. 5．教学内容： §5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的概念 在一些应用问题中常会用到一系列的运算:. ,,,,2 X A X A AX k
为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使 X AX λ=，这样的数λ 和向量X 就是方阵的特征值与特征向量. 定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为 A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量． 下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程： 0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ 0)(det =-?A E λ 特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ 特征多项式： λ λλλλ?---= -=nn n n n n a a a a a a a a a E A 2 1 22221112 11)(det )( ])1([011 10n n n n n a a a a a -=++++=--λλλ A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？ 定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21 则 (1) nn n a a a +++=++ 221121λλλ ) (1A tr a n i ii ==∑= 称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和) (2) A n n i i ==∏=λλλλ 211 例1 求 ?? ????????--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页.
§1 二次型的矩阵表示 一、二次型的定义 1.问题的引入 在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 ax 2+2bxy+cy 2=f （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ? ?????+=-=θθθθcos sin sin cos ' '''y x y y x x （2） 把方程（1）化成标准方程。在二次曲面的研究中也有类似的情况。 (1)的左端是一个二次齐次多项式。从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含有平方项。二次齐次多项式不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到。这一章就是来介绍它的一些最基本的性质。 2．n 元二次型 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的x 1,x 2,…,x n 的二次齐次多项式 f (x 1,x 2,…,x n ) = a 1121x +2a 12x 1x 2+…+2a 1n x 1x n +a 222 2x +… +2a 2n x 2x n +…+a nn x 2n （3）
称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。例如 x 21+x 1x 2+3x 1x 2+2x +4x 2x 3+3x 2 3 就是有理数域上的一个三元二次型。为了以后讨论上的方便，在（3）中，x i x j （i 第五章 相似矩阵 §1 特征值和特征向量 特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都和特征值有关，在 工程技术及其理论研究方面都有很重要的使用。 定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足： (1)AX X λ=。 则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。 例如矩阵1000A ??= ? ??，取11= 0X ?? ???，20=1X ?? ???，则有 11=1AX X ?，22=0AX X ?，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征 向量。 （1）式又可以写成 ()0 (2)E A X λ-=。 即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有 ||0 (3)E A λ-=。 （3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。 对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。 例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。 证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。 两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。又 2A E =，所以 2(1)0X λ-=。由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。 例2：求矩阵110430102A -?? ?=- ? ??? 的特征值和特征向量。 解：因 21 10||430(2)(1)1 02 E A λλλλλλ+--= -=----。 所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。 当2λ=时， 第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ??==11111a b , ???? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ? ? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a 解 根据施密特正交化方法 ??? ? ? ??-==110111a b ? ? ?? ? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ? ? ?? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b 2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3 设x 为n 维列向量 x T x 1 令H E 2xx T 证明H 是对称的正交阵 证明 因为 H T (E 2xx T )T E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T E 2xx T 所以H 是对称矩阵 因为 H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T ) E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E 所以H 是正交矩阵 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A B 是n 阶正交阵, 故A 1 A T B 1 B T (AB )T (AB )B T A T AB B 1A 1AB E 故AB 也是正交阵. 5-1向量的内积与方阵的特征值 1．设λ为矩阵A 的特征值，且0≠λ，则 λ A 为 的特征值。 ;.; .; .; .1*1--A d A c A b A a λλ 2．设A 为n 阶实对称阵，21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关； 1.x c 与2x 线性无关； 0.21=+x x d 3．设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠，且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量，则当 满足时，2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ； 0.1=k b 且02≠k ； 0.1≠k c 且02≠k ； 0.21=?k k d 4．设n 阶方阵A 的特征值全不为零，则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5.设矩阵??? ? ? ??--=314020112A ,求A 的特征值及特征向量. 6．试用施密特法把向量组?? ??? ???? ???---=011 101110 11 1),,(321a a a 正交化。 7．设A 与B 都为n 阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于1或—1。 9．设x 为n 维列向量且1=x x T ，而T xx E H 2-=，试证H 是对称的正交矩阵。 习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1．设A 与B 为n 阶方阵，则B A =是A 与B 相似的 。 .a 充分条件； .b 必要条件； .c 充要条件； .d 无关 条件 2.对实对称阵?? ? ???-=???? ??=10 01,10 01 B A ，有A 与B 。 .a 互为逆矩阵； .b 相似； .c 等价； .d 正交 3. n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 a. 矩阵A 有n 个特征值； b. 矩阵A 有n 个线性无关的特 征向量； c. 矩阵A 的行列式0≠A ； d. 矩阵A 的特征多项式有重根 4. 设n 阶矩阵A 与B 相似，则 。 a.A 与B 正交； b. A 与B 有相同的特征向量； c. A 与B 等价； d. A 与B 相同的特征值。 5.若A 与B 是相似矩阵，证明T A 与T B 也相似。 第五章 相似矩阵 自测题 一、选择题 1．矩阵1111??= ??? A 的非零特征值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.-1 2．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -?? ?=- ? ??? 的三个特征值，则321λλλ=（ ） A. -4 B. 0 C.2 D. 4 3．设1λ，2λ，3λ为矩阵111131111A -?? ?=- ? ??? 的三个特征值，则123λ+λ+λ=（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4．若矩阵A 与B 相似，则下列说法错误的是（ ） A. A 与B 等价 B. A 与B 合同 C. ||||=A B D. A 与B 有相同的特征值 5．设矩阵??? ? ??=2123A ，则下列向量中是A 的特征向量的是（ ） A. ???? ??-10 B. ???? ??12 C. ???? ??00 D. ??? ? ??-k k 6. 矩阵A 与B 相似，则说法错误的是（ ） A.有相同的特征多项式 B. 有相同的特征值 C. 有相同的特征向量 D. =A B 7.设n 阶矩阵A 满足20+=E A ,则A 必有一个特征值等于( ) A. 2 B. -2 C. 1/2 D. -1/2 8.n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是（ ） A. A 有n 个不同的特征值 B. A 为实对称矩阵 C. A 有n 个不同的特征向量 D. A 有n 个线性无关的特征向量 9. 对于n 阶方阵A 与B 相似，下列命题错误的是（ ） A. A 与B 的特征值相同 B. 存在可逆矩阵Q P , ，使得B PAQ = C. A 与B 的行列式相同 D. 存在可逆矩阵P ，使得B AP P =-1 二、填空题 1．3阶方阵A 的特征值为3,1,2-，则A =___________ 第五章 二次型 在解析几何中，为了便于研究二次曲线 122=++cy bxy ax 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 ???'+'='-'=θθθ θcos sin sin cos y x y y x x 把方程化为标准形式 122='+'y c x m . 这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题. 第一节 二次型及其矩阵 分布图示 ★ 引言 ★ 二次型的定义 ★ 例1 ★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 线性变换 ★ 例6 ★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1 内容要点 一、二次型的概念 定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 n n n n n n n n n nn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122 222221112122222),,,(--+++++++++++= 称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型. 只含有平方项的二次型 2 222211n n y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式). 二、二次型的矩阵 取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=于是 ∑== ++++++++++++=n j i j i ij n nn n n n n n n n n n x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1 ,22211222 22212211121122 11121),,,( 线性代数练习纸 [ 第五章 ] 相似矩阵及二次型 5-1 向量的内积与方阵的特征值 A 1．设 为矩阵 A 的特征值，且 0 ，则 为 的特征值。 a. 1 A; b.A * ; c. A; d.A 1 ; 2．设 A 为 n 阶实对称阵， x 1, x 2 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 a. x 1T x 2 1 b. x 1 与 x 2 线性相关； c. x 1 与 x 2 线性无关； d. x 1 x 2 0 3．设 1 , 2 都为 n 阶矩阵 A 的特征值 ( 1 2 ) ，且 x 1 , x 2 分别为对应于 1 , 2 的特征向量， 则当 满足时， x k x k x 2 必为 A 的特征向量。 1 1 2 a. k 1 0 且 k 2 0 ； b. k 1 0 且 k 2 0 ； c. k 1 0 且 k 2 0 ； d. k 1 k 2 0 4．设 n 阶方阵 A 的特征值全不为零，则 。 a. r ( A) n; b. r ( A) n; c.r ( A) n; d.r ( A) n 2 1 1 5. 设矩阵 A 0 2 0 , 求 A 的特征值及特征向量 . 4 1 3 班级：姓名：序号： 111 6．试用施密特法把向量组( a1, a2 011 , a3 ) 正交化。 11 110 7．设A与B都为n阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于 1 或— 1。 9．设x为n维列向量且x T x 1 ，而 H E 2 xx T，试证 H 是对称的正交矩阵。 第六章 二次型 第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形 教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩 阵表示方法. 教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程： 一、二次型的概念 定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 22 2 121112221212112323221,1(,, ,)22222n nn n n n n n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++ ++++++ （1） 称为二次型. 附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在. 例1 ()2 2 2 12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++ 都为实二次型； 二、二次线性与对称矩阵 在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1） 式可化为 11121121 222212121 2 (,,,)(,, ,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ???? ??? ??? == ??? ??????? 称12(,, ,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称 为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =. 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 3 3 2 1 4 第五章 相似矩阵及二次型 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1) (a 1, a 2, a 3) 1 1 1 1 2 4 1 3 9 解 根据施密特正交化方法 1 b 1 a 1 1 1 [b ,a ] 1 b a 1 2 b 0 2 2 [b ,b ] 1 1 1 1 1 b a [b 1,a 3] [b 2,a 3]b 1 2 3 3 [b ,b ] 1 [b ,b ] 2 3 1 1 1 2 2 (2) (a 1, a 2, a 3) 解 根据施密特正交化方法 1 0 b 1 a 1 1 1 b 2 a 2 [b 1,a 2]b [b ,b ] 1 1 1 b a [b 1,a 3]b 1 [b 2,a 3] 1 3 3 3 [b ,b ] 1 b [b ,b ] 2 5 3 1 1 2 2 1 8 4 9 9 9 8 1 4 9 9 9 4 4 7 9 9 9 2 下列矩阵是不是正交阵: 1 1 1 2 3 (1) 1 1 2 1 2 ; 1 1 1 3 2 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵 (2) 解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为 正交阵 3 设 x 为 n 维列向量 x T x 1 令 H E 2xx T 证明 H 是对称 的正交阵 证明 因为 H T (E 2xx T )T E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T E 2xx T 所以 H 是对称矩阵 因为 H T H HH (E 2xx T )(E 2xx T ) E 2xx T 2xx T (2xx T )(2xx T ) E 4xx T 4x (x T x )x T E 4xx T 4xx T E 所以 H 是正交矩阵 4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵 证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A 1 A T B 1 B T 第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点： (1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化. 3．教学难点：矩阵的相似对角化. 4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的运算:AX .从矩 阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使 X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征 向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形. 5．教学内容： §5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的概念 在一些应用问题中常会用到一系列的运算: .,,,,2 X A X A AX k 为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使X AX λ=，这样的数λ 和向量X 就是方阵的特征值与特征向量. 定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量． 下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程： 0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ 0)(det =-?A E λ 特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ 特征多项式： λλλλλ?---= -=nn n n n n a a a a a a a a a E A 2 1 22221112 11)(det )( ])1([01110n n n n n a a a a a -=++++=--λλλ A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？ 定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21 则 (1) nn n a a a +++=++ 221121λλλ ) (1A tr a n i ii ==∑= 称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和) (2)A n n i i ==∏=λλλλ 211 例1 求 ?? ??? ?????--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页. 2. 特征向量的性质 方阵A 关于特征值i λ的特征向量是齐次线性方程组0)(=-X A I i λ 的非零解。由齐次线性方程组解得性质得：当21,X X 是A 对应于i λ 的特征向量时，它们的任何非零线性组合：)0(2211≠+X k X k 仍是A 关于i λ的特征向量。在此，我们重点关注矩阵A 的特征向量的线性 相关性。 定理2：设r X X X ,21，是矩阵A 的不同特征值所对应的特征向量， 则r X X X ,21，是线性无关的。 定理3：矩阵A 的s 个不同特征值所对应的s 组各自线性无关的特征 向量并在一起仍是线性无关的。 定理4：设0λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值，则0λ对应的特征向量中 线性无关的最大个数.t ≤ 由以上定理可知，若A 有n 个互异的特征值：,,,21n λλλ 则每个i λ仅 对应一个线性无关的特征向量，从而A 共有n 各线性无关的特征向量。 第五章 相似矩阵及二次型 讲授内容：§5.1向量的内积 教学目的和要求：理解向量的内积，长度，角度，基的Schmidt 正交化过程 教学重点：向量的内积的运算及性质 教学难点：基的Schmidt 正交化过程。 教学方法与手段：传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程： 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题. 定义1.内积：设实向量),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, 称实数 n n b a b a b a +++= 2211],[βα为α与β的内积． 算律：),,,(21n a a a =α, ),,,(21n b b b =β, ),,,(21n c c c =γ (1) ],[],[αββα= (2) ],[],[βαβαk k = （k 为常数） (3) ],[],[],[γβγαγβα+=+ (4) θα≠时, 0],[>αα；θα=时, 0],[=αα． (5) ],[],[],[2 ββααβα?≤ 证(5) R ∈?t , 由0],[≥++βαβαt t 可得 0],[],[2],[2 ≥++t t βββααα ?≤?00],[],[4],[42 ≤?-ββααβα ],[],[],[2 ββααβα?≤? 2．范数：设实向量α, 称实数 ],[ααα= 为α的范数． 性质：(1) θα≠时, 0>α；θα=时, 0=α． (2) αα?=k k )R (∈?k (3) βαβα+≤+ (4) βαβ α-≤- 证(3) ],[],[2],[],[2 βββαααβαβαβα++=++=+ () 2 2 2 2β α β βαα+= ++≤ 证(4) )(,γαβγβαβαγ-+=+=?-= γβαγβα≤-?+≤ γβαγαβ-≥-?-+≤)( 3．夹角：设实向量θα≠,θβ≠, 称 β αβα?] ,[arccos = )0(π?≤≤ 为α与β之间 的夹角． 正交：若0],[=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥． (1) θα≠,θβ≠时, βα⊥2 π ?= ?； (2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而?无意义． 单位化：若θα≠, 称αα α1 0= 为与α同方向的单位向量． 定义2. 当=0时，称向量与正交．（显然，若 =0，则 与任何向量都正交）． 向量的正交性可推广到多个向量的情形. 定义 3. 已知 个非零向量，若 =0 ，则称 为正交向量组． 定义4. 若向量组 为正交向量组，且| |=1，则称 为标准正交向量组． 例如，维单位向量组= ， ， 是正交向量组． 正交向量组有下述重要性质： 定理1 正交向量组是线性无关的向量组． 定理的逆命题一般不成立，但是任一线性无关的向量组总可以通过如下所述的正交化过程，构成正交化向量组，进而通过单位化，构成标准正交向量组． 4．正交基：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 若)(0],[j i j i ≠=αα, 称r αα,,1 为V 的 正交基；若还有),,2,1(1 r i i ==α,称r αα,,1 为V 的标准正交基． 例如：n R 的标准正交基为n e e ,,1 ． 矩阵的相似与合同及其等价条件研究 （数学与统计学院 09级数学与应用数学一班） 指导老师：王晶晶 引言 矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别方法给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助. 1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念 1.1矩阵等价的定义[1] 定义 1.1 如果矩阵A 可以有矩阵B 经过有限次初等变换得到，称A 与B 是等价的. 由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到： 定义1.2 如果n 阶矩阵A 可以由n 阶矩阵B 进过有限次初等变换得到，则称A 与B 是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述： 定义1.3 设矩阵A ,B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 和Q ,使得B PAQ =,则称矩阵A 与B 等价，记作A ∽B . 1.2 矩阵相似的定义[2] 定义 1.4 设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，如果存在一个是n 阶可逆矩阵P ，使得 B AP P =-1,则称矩阵A 与矩阵B 相似，记作A ～B . 1.2.1 n 阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]: 性质1.1 反身性，即任一n 阶矩阵A 与自身相似. 性质1.2 对称性，即如果A ～B ，则B ～A . 性质1.3 传递性，如果A ～B ，B ～C ，则A ～C . 性质1.4 P A k AP P k P A k A k P 221122111)(+=+--. （2 1,k k 是任意常数） 5-1向量的内积与方阵的特征值 1.设λ为矩阵A 的特征值,且0≠λ,则λA 为 的特征值。 ;.;.;.;.1*1--A d A c A b A a λλ 2.设A 为n 阶实对称阵,21,x x 为A 的不同特征值对应的特征向量,则 。 1.21=x x a T 1.x b 与2x 线性相关; 1.x c 与2x 线性无关; 0.21=+x x d 3.设21,λλ都为n 阶矩阵A 的特征值)(21λλ≠,且21,x x 分别为对应于21,λλ的特征向量,则当 满足时,2211x k x k x +=必为A 的特征向量。 0.1=k a 且02=k ; 0.1=k b 且02≠k ; 0.1≠k c 且02≠k ; 0.21=?k k d 4.设n 阶方阵A 的特征值全不为零,则 。 n A r d n A r c n A r b n A r a <≤≠=)(.;)(.;)(.;)(. 5、设矩阵???? ? ??--=314020 112A ,求A 的特征值及特征向量、 6.试用施密特法把向量组????? ???????---=011101110111),,(321a a a 正交化。 7.设A 与B 都为n 阶正交阵,证明:AB 也就是正交阵。 8.证明:正交阵的行列式必定等于1或—1。 9.设x 为n 维列向量且1=x x T ,而T xx E H 2-=,试证H 就是对称的正交矩阵。 习题5-2 相似矩阵与对称矩阵的对角化 1.设A 与B 为n 阶方阵,则B A =就是A 与B 相似的 。 .a 充分条件; .b 必要条件; .c 充要条件; .d 无关条件 2、对实对称阵?? ????-=??????=1001,1001B A ,有A 与B 。 .a 互为逆矩阵; .b 相似; .c 等价; .d 正交 3、 n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件就是 。 a 、 矩阵A 有n 个特征值; b 、 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量; c 、 矩阵A 的行列式0≠A ; d 、 矩阵A 的特征多项式有重根 4、 设n 阶矩阵A 与B 相似,则 。 a 、A 与B 正交; b 、 A 与B 有相同的特征向量; c 、 A 与B 等价; d 、 A 与B 相同的特征值。 5、若A 与B 就是相似矩阵,证明T A 与T B 也相似。 6、设方阵??????????------=12422421x A 与????????? ?-=Λ45y 相似,求x 与y 。 7、设三阶方阵A 的特征值1,—2,2,且2 35A A B -=,求B 的特征值与B 。 8、设矩阵?? ????--=3113A ,①求A 的特征值,②求E+1-A 的特征值。线性代数第五章 相似矩阵
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