专题限时集训(十八) 导数的应用
[A 组 高考达标]
一、选择题
1．(2016·四川高考)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4
D ．2
D [由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x <－2或x >2时，f ′(x )>0；当－2 ∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.] 2．(2016·枣庄模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，f ′(x )为其导函数，若对于任意实数x ，有f (x )－f ′(x )＞0，则( ) A ．e f (2 015)＞f (2 016) B ．e f (2 015)＜f (2 016) C ．e f (2 015)＝f (2 016) D ．e f (2 015)与f (2 016)大小不能确定 A [令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x ，因为f (x )－f ′(x ) ＞0，所以g ′(x )＜0，所以函数g (x )在R 上单调递减，所以g (2 015)＞g (2 016)，即f (2 015)e 2 015＞f (2 016) e 2 016，所以e f (2 015)＞f (2 016)，故选A.] 3．(2016·安庆模拟)已知函数f (x )＝e x x 2－k ? ???? 2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯 一一个极值点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－∞，e] B ．[0，e] C ．(－∞，e) D ．[0，e) A [f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ? ???? －2x 2＋1x ＝(x －2)? ???? e x x －k x 2(x ＞0)．设g (x )＝e x x ， 则g ′(x )＝(x －1)e x x 2，则g (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． ∴g(x)在(0，＋∞)上有最小值，为g(1)＝e, 结合g(x)＝e x x与y＝k的图象可知， 要满足题意，只需k≤e，选A.] 4．(2016·邯郸一模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为() A．3B．4 C．5D．6 A[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，原题等价于方程3x2＋2ax＋b＝0有两个不等实数根x1，x2，且x1＜x2，x∈(－∞，x1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴x1为极大值点，x2为极小值点．∴方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等实根，f(x)＝x1或f(x)＝x2.∵f(x1)＝x1， ∴由图知f(x)＝x1有两个不同的解，f(x)＝x2仅有一个解．故选A.] 5．(2016·合肥二模)定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)＜2恒成立，则使x2f(x)－f(1)＜x2－1成立的实数x的取值范围为() 【导学号：85952069】A．{x|x≠±1} B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1) B[设g(x)＝x2[f(x)－1]，则由f(x)为偶函数得g(x)＝x2[f(x)－1]为偶函数．又因为g′(x)＝2x[f(x)－1]＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]，且2f(x)＋xf′(x)＜2，即2f(x)＋xf′(x)－2＜0，所以当x＞0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]＜0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递减；当x＜0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]＞0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递增，则不等式x2f(x)－f(1)＜x2－1?x2f(x)－x2＜f(1)－1?g(x)＜g(1)?|x|＞1，解得x＜－1或x＞1，故选B.] 二、填空题 6．(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________． y＝－2x－1[因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所 以f′(x)＝1 x－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3 ＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.] 7．(2016·长沙一模)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意的实数x，有f(x)＞f′(x)，且y＝f(x)－1是奇函数，则不等式f(x)＜e x的解集为________． (0，＋∞)[由题意令g(x)＝f(x) e x， 则g′(x)＝f′(x)·e x－f(x)·(e x)′ e2x ＝f′(x)－f(x) e x. 因为f(x)＞f′(x)，所以g′(x)＜0， 即g(x)在R上是单调递减函数， 因为y＝f(x)－1为奇函数，所以f(0)－1＝0，即f(0)＝1，g(0)＝1， 则不等式f(x)＜e x等价为f(x) e x＜1＝g(0)， 即g(x)＜g(0)， 解得x＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．] 8．(2016·郑州一模)已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，若直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线，则a的取值范围为________． a＜1 3[f(x)＝x 3－3ax(a∈R)，则f′(x)＝3x2－3a， 若直线x＋y＋m＝0对任意的m∈R都不是曲线y＝f(x)的切线， 则直线的斜率为－1，f′(x)＝3x2－3a与直线x＋y＋m＝0没有交点，又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率， 则当x＝0时取最小值，－3a＞－1， 则a的取值范围为a＜1 3.] 三、解答题 9．(2016·潍坊二模)已知函数f (x )＝a x ＋b ln x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝x . (1)求函数f (x )的单调区间及极值； (2)若?x ≥1，f (x )≤kx 恒成立，求k 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝bx －a x 2，2分 故f ′(1)＝b －a ＝1， 又f (1)＝a ，点(1，a )在直线y ＝x 上， ∴a ＝1，则b ＝2. ∴f (x )＝1 x ＋2ln x 且f ′(x )＝2x －1x 2， 当0＜x ＜12时，f ′(x )＜0，当x ＞1 2时， f ′(x )＞0， 故函数f (x )的单调增区间为? ????12，＋∞，单调减区间为? ? ???0，12， f (x )极小值＝f ? ???? 12＝2－2ln 2，无极大值.6分 (2)由题意知，k ≥f (x )x ＝2ln x x ＋1 x 2(x ≥1)恒成立， 令g (x )＝2ln x x ＋1 x 2(x ≥1)， 则g ′(x )＝ 2－2ln x x 2－2x 3＝2(x －x ln x －1) x 3 (x ≥1)，8分 令h (x )＝x －x ln x －1(x ≥1)， 则h ′(x )＝－ln x (x ≥1)， 当x ≥1时，h ′(x )≤0，h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 故h (x )≤h (1)＝0，故g ′(x )≤0， ∴g (x )在[1，＋∞)上为减函数， 故g (x )的最大值为g (1)＝1，∴k ≥1.12分 10．(2016·北京高考)设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件． [解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ， 所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c .2分 (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4. 令f ′(x )＝0，得3x 2 ＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23. f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下： 所以，当c ＞0且c －3227＜0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈? ???－2，－23，x 3 ∈? ?? ?? －23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0. 由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈? ? ???0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三 个不同零点.8分 (3)证明：当Δ＝4a 2－12b ＜0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＞0，x ∈(－∞，＋∞)， 此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增， 所以f (x )不可能有三个不同零点． 当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(x 0，＋∞)上单调递增． 所以f (x )不可能有三个不同零点.10分 综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b ＞0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件． 当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b ＞0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点， 所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件． 因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件.13分 [B 组 名校冲刺] 一、选择题 1．(2016·江西赣中南五校联考)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈? ???? －π2，π2满足 f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＞0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( ) A.2f ? ????－π3＜f ? ???? －π4 B.2f ? ????π3＜f ? ????π4 C ．f (0)＞2f ? ????π3 D ．f (0)＞2f ? ?? ?? π4 A [令g (x )＝f (x ) cos x ，则 g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(cos x )′ cos 2x ＝ f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2 x ，由对任意的x ∈? ?? ?? －π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＞0，可得g ′(x )＞0，即函数g (x )在? ????－π2，π2上为增函数，则g ? ????－π3＜g ? ???? －π4， 即f ? ????－π3cos ? ????－π3＜f ? ???? －π4cos ? ?? ??－π4， 即2f ? ????－π3＜f ? ?? ?? －π4.故选A.] 2．(2016·忻州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ＞0，b ∈R )，若对任意x ＞0，f (x )≥f (1)，则( ) A ．ln a ＜－2b B ．ln a ≤－2b C ．ln a ＞－2b D ．ln a ≥－2b A [f ′(x )＝2ax ＋b －1 x ，由题意可知f ′(1)＝0，即2a ＋b ＝1，由选项可知， 只需比较ln a ＋2b 与0的大小，而b ＝1－2a ，所以只需判断ln a ＋2－4a 的符号．构造一个新函数g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1x －4，令g ′(x )＝0，得x ＝1 4，当x ＜14时，g (x )为增函数，当x ＞14时，g (x )为减函数，所以对任意x ＞0有g (x )≤g ? ??? ?14＝1－ln 4＜0，所以有g (a )＝2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a ＜0?ln a ＜－2b ，故选A.] 3．(2016·深圳一模)已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x 有两个不同零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C.? ? ???－∞，1＋e e 2 D.? ? ???0，1＋e e 2 A [令g (x )＝ln x ，h (x )＝ax 2－x ， 将问题转化为两个函数图象交点的问题． 当a ≤0时，g (x )和h (x )的图象只有一个交点，不满足题意； 当a ＞0时，由ln x －ax 2＋x ＝0，得a ＝x ＋ln x x 2. 令r (x )＝ x ＋ln x x 2，则 r ′(x )＝? ? ? ??1＋1x ·x 2－(ln x ＋x )·2x x 4 ＝ 1－x －2ln x x 3 ， 当0＜x ＜1时，r ′(x )＞0，r (x )是单调增函数， 当x ＞1时，r ′(x )＜0，r (x )是单调减函数，且x ＋ln x x 2＞0，∴0＜a ＜1. ∴a 的取值范围是(0,1)．故选A.] 4．(2016·南昌模拟)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) 【导学号：85952070】 A ．(－∞，0) B.? ? ???0，12 C ．(0,1) D ．(0，＋∞) B [∵f (x )＝x (ln x －ax )， ∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1， 由题意可知f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点， 令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1 x ， 令g (x )＝ ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln x x 2， ∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 又∵当x →0时，g (x )→－∞， 当x →＋∞时，g (x )→0，而g (x )max ＝g (1)＝1， ∴只需0＜2a ＜1?0＜a ＜1 2.] 二、填空题 5．(2016·皖南八校联考)已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式x e x ＜1 k ＋2x －x 2 恒成 立，则实数k 的取值范围为________． [0，e －1) [依题意，知k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0,2)恒成立，从而k ≥0，所以由x e x ＜1k ＋2x －x 2 可得k ＜e x x ＋x 2－2x .令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，则f ′(x ) ＝e x (x －1)x 2＋2(x －1)＝(x －1)? ?? ??e x x 2＋2. 令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(1,2)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0,1)上单调递减，所以k ＜f (x )min ＝f (1)＝e －1，故实数k 的取值范围是[0，e －1)．] 6．(2016·武汉模拟)已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋1 2x 2，且存在实数x 0使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则m 的取值范围为________． [1，＋∞) [g ′(x )＝g ′(1)e x － 1－g (0)＋x ，当x ＝1时， g (0)＝1，由g (0)＝g ′(1)e 0－1，解得g ′(1)＝e ，所以g (x )＝e x －x ＋12x 2，则g ′(x )＝e x －1＋x ，当x ＜0时，g ′(x )＜0，当x ＞0时，g ′(x )＞0，所以当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1，根据题意将不等式转化为2m －1≥g (x )min ＝1，所以m ≥1.] 三、解答题 7．(2016·全国甲卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)． (1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)， f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1 x－3，f′(1)＝－2. 故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.4分 (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0等价于ln x－a(x－1) x＋1 ＞0. 设g(x)＝ln x－a(x－1) x＋1 ， 则g′(x)＝1 x－ 2a (x＋1)2 ＝ x2＋2(1－a)x＋1 x(x＋1)2 ，g(1)＝0.8分 ①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1＞0，故g′(x)＞0，g(x)在(1，＋∞)单调递增，因此g(x)＞0； ②当a＞2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－(a－1)2－1，x2＝a－1＋(a－1)2－1. 由x2＞1和x1x2＝1得x1＜1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)＜0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)＜0. 综上，a的取值范围是(－∞，2].12分 8．(2016·四川高考)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝1 x－ e e x，其中a∈R，e ＝2.718…为自然对数的底数． (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x>1时，g(x)>0； (3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立． [解](1)由题意得f′(x)＝2ax－1 x＝ 2ax2－1 x(x>0)． 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减． 当a>0时，由f′(x)＝0有x＝1 2a ， 当x ∈? ? ???0， 12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈? ???? 12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增.4分 (2)证明：令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ， 从而g (x )＝1x －1 e x －1>0.8分 (3)由(2)知，当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0. 故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0 2a >1. 由(1)有f ? ????12a ?? 12a >0， 所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立.11分 当a ≥1 2时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)． 当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2 >0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0， 即f (x )>g (x )恒成立． 综上，a ∈???? ?? 12，＋∞.14分 高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十） 一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点 （2，f （2））处的切线斜率为（ ） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ．y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2 :23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范 围为0,4π?? ???? ，则点P 的横坐标的取值范围为（ ） A ． []0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--???? D ．1,12?? ???? 5. 已知2 3 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++++L ，则(0)f '=（ ）． A ． n B ．1n - C ． (1)2 n n - D ． 1 (1)2 n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（ ） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9. 已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线C ，若曲线C 不存在与直线1 2 y x =垂直的切线，则实数m 的取值范围是（ ） A. 12m ≤- B. 1 2 m >- C. 2m ≤ D. 2m > 10. 函数y=f （x ）的图象如图所示，则导函数 y=f'（x ）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 11..设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有2 '()() 0xf x f x x -<恒成立，则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(－2,0)∪(2,+∞) B ． (－∞,－2)∪(0,2) C. (－∞,－2)∪(2,+∞) D． (－2,0)∪(0,2) 12.设f （x ）=cosx ﹣sinx ，把f （x ）的图象按向量=（m ，0）（m ＞0）平移后，图象恰好为函数y=﹣f′（x ）的图象，则m 的值可以为（ ） 【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础，这是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查： 一是导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义； 二是导数的应用，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，已成为高考热点问题； 三是应用导数解决实际问题． 【知识梳理】 1．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在点处的切线的，其切线方程是． 注意：函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别：． 2．导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件． f x 如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0． (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件． f x 当函数在某个区间内恒有() '＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调 f x 性． 注意：导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件． 3． 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题． (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有． (3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的 ． 4． 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′＝ ； (2)(cos x )′＝ ； (3)(e x )′＝ ； (4)(a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (5)(x a )′＝ ； (6)(log e x )′＝ ； (7)(log a x )′＝ (a >0，且a ≠1)； (8)′＝ ； (9)??????? ? f (x ) g (x )′＝ (g (x )≠0) ． 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的 2017年导数及其应用专题复习 知识点复习 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率： ()() 2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='=' →?=)()(lim )(000 00 ；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线() y f x =在点 ()() 00,x f x P 处的切线的斜 率． 4、常见函数的导数公式： ①' C 0=； ②1 ')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin ' =； ④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x ' ''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()() ()()()2 0f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数' ' ()y f x =； （3）解不等式' ()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 2019届高三一轮复习理科数学专题卷 专题五 导数及其应用 考点13：导数的概念及运算（1,2题） 考点14：导数的应用（3-11题，13-15题，17-22题） 考点15：定积分的计算（12题，16题） 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I 卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是最符合题目要求的。） 1.【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 函数()2sin f x x =的导数是（ ） A.2sin x B.22sin x C.2cos x D.sin 2x 2．【来源】2017-2018年河北武邑中学高二理周考 考点13 易 已知()21cos 4 f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ） 3.【2017课标II ，理11】 考点14 易 若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 4．【来源】2017届湖北孝感市高三理上学期第一次统考 考点14 中难 若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2e a b + +的取值范围是（ ） A.2,2e e ??++∞ ??? B.[),e +∞ C.[)2,+∞ D.[)2,e 5．【来源】2017届福建闽侯县三中高三上期中 考点14 难 已知函数2x y =的图象在点),(2 00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的图象 相切，则0x 必满足（ ） （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 导数及其应用专题训练 (时间:100分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是() A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1 2.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.函数f(x)=-的图象大致为() 4.已知函数f(x)=a x+x2-x ln a,对任意的x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒 成立,则a的取值范围为() A.[e2,+∞) B.[e,+∞) C.[2,e] D.[e,e2] 5.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),若f'(x)-f(x)<-3,f(0)=4,则不等式f(x)>e x+3的解集是() A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,0) 6.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线方程是() A.y=-2x+3 B.y=x C.y=3x-2 D.y=2x-1 7.若正项递增等比数列{a n}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),则a6+λa7的最小值为() A.-2 B.-4 C.2 D.4 8.已知函数f(x)为R内的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-e x+1-m cos x,记a=-2f(- 2),b=-f(-1),c=3f(3),则a,b,c之间的大小关系是() A.b 1.导数应用之函数单调性 题组1： 1.求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间. 2.求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间. 3.求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间. 4.求函数1 ()ln f x x x =的单调区间. 5.求函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x =-+++的单调区间. 题组2： 1.讨论函数43 22411()(0)43 f x x ax a x a a =+-+>的单调区间. 2.讨论函数3 2 ()3912f x x ax x =+--的单调区间. 3.求函数321()(2)4132 m f x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间. 4.讨论函数1ln )1()(2 +++=ax x a x f 的单调性. 5.讨论函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-的单调性. 题组3： 1.设函数3 2 ()1f x x ax x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调区间； (2)设函数()f x 在区间21()33 --， 是减函数,求a 的取值围． 2.(1)已知函数2 ()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,数a 的取值围. (2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,数a 的取值围. 3.已知函数3 2 ()(3)x f x x x ax b e -=+++. (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间； (2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-＞.解：（1）当a="b=" -3时，f （x ）=(x+3x-3x-3)e ，故 = (3) 分 当x<-3或0 导数及应用（２） 1.设)12ln()(2++=x b x x f )0(≠b ○1若)(x f 为增函数，求b 的范围 ○2若1=b ，求证对任意正整数n ，不等式)(n f n <恒成立 2.)(x f 为定义在),0(+∞的非负可导函数，且0)()('≤+x f x xf 对任意正数a, b 若b a <，则必有 Ａ.)()(a bf b af ≤ Ｂ. )()(b af a bf ≤ Ｃ. )()(b f a af ≤ Ｄ. )()(b bf a af ≥ 3.1)(32+++=x x ax x f ○1讨论)(x f 单调区间 ○2若)(x f 在)31 ,32 (--为减函数，求a 取值范围 4.设,0(ln 1 )(>=x x x x f 且)1±x ○1求)(x f 单调区间 ○2a x x >1 2对任意)1,0(∈x 成立，求a 的范围 1.1)(3++=x ax x f 有极值充要条件为 Ａ.0>a Ｂ. 0≥a Ｃ. 0 5.)1(ln )1(21 )(2>-+-=a x a ax x x f 证明：若5--x x x f x f 6.证明121 sin 2121212........654321+<+<-???n n n n 导数及其应用大题精选 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 1 ．已知函数)0()(>++ =a c x b ax x f 的图象在点(1,)1(f )处的切线方程为1-=x y . (1)用a 表示出c b ,; (2)若x x f ln )(≥在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围. 2 ．已知2 ()I 若()f x 在x=1处取得极值,求a 的值; ()II 求()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 的最小值为1,求a 的取值范围 . 4 ．已知函数 ()ln f x x x =. (Ⅰ)求()f x 的单调区间; (Ⅱ) 当1k ≤时,求证:()1f x kx ≥-恒成立. 5 ．已知函数()ln a f x x x =- ,其中a ∈R . (Ⅰ)当2a =时,求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意(1,)x ∈+∞,都有()2f x x >-+,求a 的取值范围. 6 ．已知函数 2()4ln f x ax x =-,a ∈R . (Ⅰ)当1 2 a = 时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)讨论()f x 的单调性. 7 ．已知函数 ()e (1)x f x x =+. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的(,0)x ∈-∞,都有()f x k >,求k 的取值范围. 8 ．已知函数 a ax x x f 23)(3+-=,)(R a ∈. (Ⅰ) 求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)曲线)(x f y =与x 轴有且只有一个公共点,求a 的取值范围. 9 ．已知函数 22()2ln (0)f x x a x a =->. (Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间; (Ⅲ)若()f x 在[1]e ， 上没有零点,求实数a 的取值范围. 10．已知曲线 ()x f x ax e =-(0)a >. (Ⅰ)求曲线在点(0,(0)f )处的切线; (Ⅱ)若存在实数0x 使得0()0f x ≥,求a 的取值范围. 导数第2节 导数的应用（1）单调性 1.（优质专题天津文20（1）） 已知函数4 ()4,,f x x x x =-∈R 求()f x 的单调性； 2.(优质专题广东文21）设函数32()()f x x kx x k =-+∈R ． (1) 当1k =，求函数()f x 的单调区间； 3.（优质专题四川文21（1））已知函数()2 2 2ln 2f x x x x ax a =-+-+，其中0a >. 设()g x 为()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性； 4.（优质专题全国2文21(1)）设函数()() 21e x f x x =-. （1）讨论()f x 的单调性； 5.（优质专题重庆文19（1））已知函数()()32f x ax x a =+∈R 在4 3 x =-处取得极值. 若()()e x g x f x =，讨论()g x 的单调性. 6.（优质专题湖北文21） 设0a >，0b >，已知函数()1 ax b f x x += +． （1） 当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性； 7.（优质专题江苏19（1））已知函数()32f x x ax b =++(),a b ∈R ．试讨论()f x 的单调性. 8.（优质专题山东文20（1））设()()2 ln 21f x x x ax a x =-+-，a ∈R . （1）令()()g x f x '=，求()g x 的单调区间； 9.（优质专题新课标2卷文21(1)）已知函数()()=ln +1f x x a x -.讨论()f x 的单调性. 10.（优质专题全国1文21*（1））已知函数()() 2 e e x x f x a a x =--. （1）讨论()f x 的单调性； 南昌市高考数学一轮基础复习：专题3 导数及其应用B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2017高二下·宜春期中) 已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（） A . 函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点 B . 函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点 C . 函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点 D . 函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点 2. （2分） (2017高二下·绵阳期中) 已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式（x﹣1）f′（x）＜0的解集为（） A . （﹣∞，）∪（1，2） B . （﹣1，1）∪（1，3） C . （﹣1，）∪（3，+∞） D . （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 3. （2分）由直线，，与曲线所围成的图形的面积等于（） A . 3 B . C . 1 D . 4. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数的切线方程为，则（） A . 2 B . 1 C . 3 D . 0 5. （2分） (2019高二下·丰台期末) 已知是定义在上的奇函数，，当时， ，则使得成立的的取值范围是（） A . B . C . D . 6. （2分）已知f(x)＝x3＋x ，若a，b，，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值（） A . 一定大于0 B . 一定等于0 C . 一定小于0 D . 正负都有可能 7. （2分）定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（） A . B . C . D . 8. （2分）设函数，则是（） A . 奇函数，且在（0,1）上是增函数 B . 奇函数，且在（0,1）上是减函数 C . 偶函数，且在（0,1）上是增函数 D . 偶函数，且在（0,1）上是减函数 9. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 定义在R上的可导函数f（x）满足f（1）=1，且2f′（x）＞1，当x∈[﹣， ]时，不等式f（2cosx）＞﹣2sin2 的解集为（） A . （，） B . （﹣，） C . （0，） D . （﹣，） 10. （2分） (2016高二下·江门期中) 设函数f（x）= +lnx，则（） (1)当aHb 时，讨论函数f (X)的单调性; 全国名校高中数学二轮专题提分优质专题汇编(附详解) 导数第2节 导数的应用(1)单调性 1.(优质专题天津文 20( 1))已知函数f(x) =4X -X 4 ,X 迂R ,求f(x)的单调性; 4.(优质专题全国2文21(1))设函数f (x ) = (1 —x 2 )eX . (1)讨论f ( X )的单调性; 2.(2013 广东文 21)设函数 f(x) = x 3-kx 2+x (k 迂 R ). (1)当k =1，求函数f (x)的单调区间; 3 2 4 5.(优质专题重庆文19 (1))已知函数f ( x )= ax 3 +x 2 ( a W R )在x = -—处取得极值. 3 若g (X ) = f ( X )eX ，讨论g (X )的单 调性. 3.(优质专题四川文21 (1))已知函数f(x)=-2xlnx + x 2 -2ax+a 2 ，其中a>0. 6. ( 2013湖北文21) 设a^O ，b^O ，已知函数 ax+ b 设g (X )为f (X )的导函数，讨论g (X )的单调性; 心x+1 全国名校高中数学二轮专题提分优质专题汇编(附详解) 7.(优质专题江苏19( 1))已知函数f (x)= x' + ax2 +b(a,b壬R).试讨论f(x)的单调性. 9.(优质专题新课标2卷文21(1))已知函数f ( X)=lnx+a 1- X).讨论f ( X)的单调性. 8.(优质专题山东文20( 1))设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x，a迂R . 10.(优质专题全国1文21*( 1))已知函数f( x)= e x(e x-a)—a2x. (1)令g(x )= f '(X )，求g(x )的单调区间; (1)讨论f(X)的单调性; 《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考 点一 导数的概念，物理意义的应用 例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可 导，且(2)f '=， 求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 一、导数应用 1． 单调区间：一般地，设函数 )(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)( 导数及其应用 1、函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数在0x x =处的瞬时变化率是 ，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即= . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 )(x f y =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000)(x f y =0x )(x f y =0x )(0'x f 0|'x x y =)(0'x f x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 7.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 8.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数 '()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区 间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 9.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 高二上学期《导数及其应用》 单元测试（数学文） （满分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 2 4)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 2 1< b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ ） A ．3 B ． 52 C ．2 D ．32 9．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分） 11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．导数及导数应用专题练习题
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