高二数学双曲线的简单性质导学案
1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解；
2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。学习重点双曲线的简单几何性质及其应用学习难点双曲线的简单几何性质及其应用学法指导类比归纳法学习过程学习笔记（教学设计）
【自主学习（预习案）】
阅读教材80-82页内容，完成下列问题：
一、自主学习：
1、双曲线的定义：
2、双曲线的标准方程：
3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？
【合作学习（探究案）】
小组合作完成下列问题探究
一、双曲线的几何性质类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程，研究它的几何性质。①范围：由双曲线的标准方程可得：
从而得x的范围：
；即双曲线在不等式和所表示的区域内。= 从而得y的范围为。
②对称性：以代，方程不变，这说明所以双曲线关于对称。同理，以代，方程不变得双曲线关于对称，以代，且以代，方程也不变，得双曲线关于对称。③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为（）A2（）；我们把（）（）也画在y轴上（如图）。线段分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为。④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为。思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？渐近线：双曲线的渐近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线和无限逼近，但永不相交。探究
二、双曲线的图像
1、根据上述五个性质，画出椭圆与双曲线的图象。探究
三、整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在y轴时的几何性质，完成下表。标准方程（a>0,b>0）(a>0,b>0)图象范围对称轴对称中心实虚轴顶点渐近线离心率a,b,c关系
【当堂检测】
例：求双曲线的实半轴长和虚半轴长焦坐标、顶点坐标、离心率。练习(1)
XXXXX：的实轴长虚轴长顶点坐标焦点坐标离心率；（2）的实轴长为虚轴长顶点坐标焦点坐标离心率渐近线方
程；（3）已知双曲线8kx2-ky2=2的一个焦点为（0，-2∕3），则K的值为；（4）顶点为A1( 0, -2 )，A2 ( 0, ) ,焦距为12的双曲线的标准方程是。
【当堂小结】
尝试自己编辑一道试题考查一下今天所学的知识。课后巩固（布置作业）】
课本83页 A组6，7
【纠错反思（教学反思）】
双曲线 1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 2．方程1112 2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-
高二数学双曲线的简单性质导学案 1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a、b、c、e的关系及其几何意义的理解； 2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。学习重点双曲线的简单几何性质及其应用学习难点双曲线的简单几何性质及其应用学法指导类比归纳法学习过程学习笔记（教学设计） 【自主学习（预习案）】 阅读教材80-82页内容，完成下列问题： 一、自主学习： 1、双曲线的定义： 2、双曲线的标准方程： 3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？ 【合作学习（探究案）】 小组合作完成下列问题探究 一、双曲线的几何性质类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程，研究它的几何性质。①范围：由双曲线的标准方程可得： 从而得x的范围：
；即双曲线在不等式和所表示的区域内。= 从而得y的范围为。 ②对称性：以代，方程不变，这说明所以双曲线关于对称。同理，以代，方程不变得双曲线关于对称，以代，且以代，方程也不变，得双曲线关于对称。③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为（）A2（）；我们把（）（）也画在y轴上（如图）。线段分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为。④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为。思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？渐近线：双曲线的渐近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线和无限逼近，但永不相交。探究 二、双曲线的图像 1、根据上述五个性质，画出椭圆与双曲线的图象。探究 三、整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在y轴时的几何性质，完成下表。标准方程（a>0,b>0）(a>0,b>0)图象范围对称轴对称中心实虚轴顶点渐近线离心率a,b,c关系 【当堂检测】 例：求双曲线的实半轴长和虚半轴长焦坐标、顶点坐标、离心率。练习(1) XXXXX：的实轴长虚轴长顶点坐标焦点坐标离心率；（2）的实轴长为虚轴长顶点坐标焦点坐标离心率渐近线方
双曲线的简单几何性质 一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹 （21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将 有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 cot 2 PF F F PF S b ?∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中2 22b a c +=a PF PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1， c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，
双曲线的简单几何性质 山丹一中周相年 教学目标: (1 知识目标 能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 . (2能力目标 通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 . (3 情感目标 通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 . 教学难点:双曲线的渐近线 . 教学方法:启发诱导、练讲结合 教学用具 :多媒体 教学过程: 一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?
问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究? 二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1. 范围: 双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 . 2. 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是 双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称 中心叫双曲线中心 . 3.顶点: (1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点 . (2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .
一、导学 标准方程 22 22 1x y a b -= 22 22 1y x a b -= 图形 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线 2．________________________________________________________的双曲线叫等轴双曲线。焦点在x 轴(y 轴)上得等轴双曲线的标准方程是___________________（ ） 3．双曲线的离心率e 的范围为______________,e 越大，双曲线的开口__________________ 二、导练 4．化双曲线方程为标准方程 （1）2 2 916144x y -= （2） 2 2 916144y x -=- （3）2 2 294x y -= 三、导疑 5．类比双曲线22221x y a b -=的几何性质探究。得出双曲线22 221y x a b -=的几何性质，并填好 导学案中表。
6．求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线方程 （1）2 2 916144x y -= （2） 2 2 916144y x -=- 四、评价 7．求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）顶点在x 轴上，两顶点间的距离是8，54 e = （2）焦点在y 轴上，焦距是16，43 e = 8．求与椭圆 2214924x y +=有公共焦点，且离心率54 e =的双曲线的方程。 9．求等轴双曲线的离心率和渐近线方程
2.2.2双曲线的几何性质（2） 学习目标：进一步掌握双曲线的几何性质，会利用定义、渐近线、离心率解决有关问题 一、导学 1． 复习双曲线的几何性质 二、导练 2．下列各对双曲线中，有相同离心率又有相同渐近线的是( ) 2222 A 11393x y x y -=-=和 2222 B 1133x x y y -=-=和 222 2C 1133 x y y x -=-=和 2222 D 11393 x x y y -=-=和 3．双曲线 22 1412 x y -=的焦点到渐近线的距离为________________________ 4．双曲线2 2 44kx y k +=的离心率小于2，则k 的取值范围是( ) (),0A -∞ ()3,0B - ()12,0C - ()12,1D - 三、导疑 5．12,F F 为双曲线221164x y -=的两个焦点，点P 在这双曲线上，且123 F PF π∠=，求12F PF 的面积。
北安一中高二数学导学案 主备人：陈叔彤 审阅人：高二数学组 备课日期 ：2012-10-17 课题：§双曲线简单几何性质知识点总结 课时： 课时 班级： 姓名： 【学习目标】 知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等 几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。 【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果. 【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】 1．范围： 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图 122 22=-b y a x 象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长 21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点， 这是两者的又一差异4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 a c a c e == 22范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：，e 越大，即渐112 222 2-=-=-= =e a c a a c a b k 近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
§2.2.2双曲线的简单几何性质(1) 学习目标 1．理解并掌握双曲线的几何性质． 学习过程 一、 课前准备： 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上； ②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =． 复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？ 二、新课导学： ※ 学习探究 问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22 221x y a b -=的几何性质? 范围：x ： y ： 对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）． 实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a =>． 渐近线： 双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为：0x y a b ±=． 问题2：双曲线22 221y x a b -=的几何性质? 图形： 范围：x ： y ： 对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．
顶点：（ ），（ ） 实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a =>． 渐近线：双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为： ． 新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线． ※ 典型例题 例1求双曲线2214925 x y -=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程． 变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 例2求双曲线的标准方程： 1.实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； 2.离心率 e =(5,3)M -； 3.渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2 M -． ※ 动手试试 练1．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程． 练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程． 三、总结提升： ※ 学习小结 双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线． ※ 知识拓展
双曲线的简单几何性质 在人教版《普通高中课程标准实验教科书（数学选修2-1）》中，针对双曲线的简单几何性质第一课时内容，笔者从教材分析、学生分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面设计这一节课的教学. 一、教材分析 （一）教材的地位与作用 本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，利用双曲线的标准方程研究其几何性质.它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个重要的考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质. （二）教学重点与难点的确定及依据 对圆锥曲线来说，双曲线有特殊的性质，而学生对双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法接受、理解和掌握有一定的困难.因此，在教学过程中我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地导出了双曲线的简单几何性质.这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受.因此，我把双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法作为重点.根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的难点. 教学重点:双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法. 解决办法： 1.欣赏优美的几何画板图形，以激发学生强烈的学习兴趣； 2.利用“几何画板”进行数学问题的探索以培养学生的创新能力. 教学难点:双曲线渐近线概念与性质. 解决办法：本节课我先选择由教师借助“几何画板”，利用描点法画出较为准确的图形，由学生先观察它的直观性质，然后再从方程出发给予证明. 二、学情分析与学法指导 学情分析：由于刚学习了椭圆有关问题，学生已经熟悉了图形——方程——性质的研究过程，学生已基本具有由方程研究曲线性质的能力.
§2.3.2双曲线的简单几何性质(2) 学习目标 1．根据双曲线的方程研究曲线的几何性质； 2．双曲线与直线的关系． 学习过程 一、课前准备 复习1：说出双曲线的几何性质? 复习2：双曲线的方程为 22 1 914 x y -=，其顶点坐标是( )，( )； 渐近线方程． 二、新课导学 ※学习探究 探究1：椭圆22 464 x y +=的焦点是？ 探究2：双曲线的一条渐近线方程是0 x=，则可设双曲线方程为？ 问题：若双曲线与22 464 x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0 x+=，则双曲线的方程是？ ※典型例题 例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．
例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165 x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹． 例3过双曲线22 136 x y -=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标． 变式：求AB ？ 思考：1AF B ?的周长？
※ 动手试试 练1．若椭圆22214x y a +=与双曲线22 12 x y a -=的焦点相同，则a =____. 练2 ．若双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为y =，求双曲线的焦点坐标． 三、总结提升 ※ 学习小结 1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合； 2．双曲线的另一定义； 3．直线与双曲线的位置关系． ※ 知识拓展 双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线． 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．若椭圆2212516x y +=和双曲线22 145 x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ?的值为（ ）． A ． 212 B ．84 C ．3 D ．21 2．以椭圆22 12516 x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A. 2211648x y -= B. 22 1927 x y -= C. 2211648x y -=或22 1927x y -= D. 以上都不对
课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （二） 教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养 教学重点：双曲线的渐近线、离心率 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．范围、对称性 由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方 向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线 过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的 平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（ 0=±b y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e x y Q B 1 B 2A 1A 2N M O
高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制： 审阅： 第二讲 双曲线（2课时） 班级 姓名 【考试说明】1.了双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、）2. 理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用. 【知识聚焦】（必须清楚、必须牢记） 1．双曲线定义 平面内与两个定点F 1，F 2的____________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做_____________，两焦点间的距离叫做_______________.集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.(1)当______________时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当_____________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当_____________时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 3实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率e ＝2是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0). 4.巧设双曲线方程 (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2 b 2＝t (t ≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2 n ＝1 (mn <0)．
【链接教材】（打好基础，奠基成长） 1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2 －y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2 －y 2 2 ＝1 D.x 22 －y 2 ＝1 高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制： 审阅： 3．(2014·广东)若实数k 满足0
四、双曲线 一、双曲线及其简单几何性质 （一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨 迹叫做双曲线。 定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。 ● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）； 当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。 双曲线12222=-b y a x 与122 22=-b x a y （a>0,b>0）的区别和联系
（二）双曲线的简单性质 1．范围： 由标准方程122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的 方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性： 对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4．离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e = = 22，叫做双曲线的离心率 范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越 大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义： 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 )0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双 曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 准线方程： 对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=， 相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线 c a x l 2 2:= ； 6．渐近线 过双曲线122 2 2=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线 围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0 =±b y a x ），这两条直线就是双曲线 的渐近线 双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
双曲线的几何性质（1） 【学习目标】 1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。 2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。 【自主学习】关于椭圆与双曲线性质的表格 渐近线 ①我们把两条直线y=±x a b 叫做双曲线的渐近线； ②双曲线12222=-b y a x 的各支向外延伸时，与直线y =±x a b 逐渐接近。 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比e =a c ，叫双曲线的离心率； 说明：①由c >a >0可得e >1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔。
【活动探究】 例1双曲线22169144x y -=的实轴长是 ，虚轴的长是 ，离心率是 ，顶点坐标是 ，渐近线方程是 . 例2求双曲线13 42 2=-y x 的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 例3 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为 43 ，求双曲线的标准方程。 【目标检测】 1.比较下列双曲线的形状， ①22 936x y -=；②2211612x y -= ； ③2213664x y -=；④22 1106y x -= 其中开口最大的是 ，开口最小的是 。 2. 离心率是椭圆16x 2＋25y 2=400的离心率的倒数，焦点是此椭圆长轴端点的双曲线的标准方程是___________________。 3.．中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为 3，焦距等于10的双曲线方程为______________________。 4．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是另一焦点，∠PF 1Q =π2 ，则这条双曲线的离心率等于_________。 5.渐近线方程是3x 02=±y ，一个焦点为F(-4,0)的双曲线方程为 。 6. 双曲线的离心率为 5 13，坐标轴为对称轴，且焦点在y 轴上，则此双曲线的渐近线方程是__________。
)0(12 2 22>>=+b a b y a x 学案：2.3.2双曲线的简单几何性质 【学习目标】 1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a 、b 、c 、e 的关系及其几何意义的理解。 2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。 【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。 【学习难点】渐近线方程的导出。 知识回顾 1、双曲线的定义： 》 2、双曲线的标准方程： 3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的 】 { 一、学习探究 （一）试一试 类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程 )0,0(,12 2 22>>=-b a b y a x ，研究它的几何性质。 ①范围 ：由双曲线的标准方程可得：=22 b y 从 而得x 的范围： ；即双曲线在不等式 和 所表示的区域内。22 a x = 从而得y 的 范围为 。 " 过程方法 性质 过程 - 范围 对称性 顶点 . 离心率
②对称性：以x -代x ，方程不变，这说明 所以双曲线关于 对称。同理，以y -代y ，方程不变 得双曲线关于 对称，以x -代x ，且以y -代y ，方程也不变，得双曲线关于 对称。 ③顶点：即双曲线与对称轴的交点。在方程122 22=-b y a x 里，令y=0,得x= 得到 双曲线的顶点坐标为1A （ ）2A （ ） ；我们把1B （ ）2B （ ）也画在y 轴上（如图）。线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。 ④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。 思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征 ○ 5双曲线特有性质-----渐近线： 《 双曲线22 221x y a b -=的渐近线方程为 ,双曲线各支向外延伸时，与它的 渐近线 ， 。 （二）想一想 1、根据上述五个性质，画出椭圆 191622=+y x 与双曲线19 162 2=-y x 的图象。 ) 二、学生展示 1）整合前面的探究结果，类比出双曲线焦点在y 轴时的几何性质，完成下表。 标准方程 122 22=-b y a x （a>0,b>0） 122 22=-b x a y (a>0,b>0) 图 象 % 范围 对称轴 对称中心 [
双曲线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程. 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学法指导】 本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程. 【知识要点】 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2 探究点一 双曲线的定义 问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|? 问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1） 6)5()5(2222=+--++y x y x ； （2）6)4()4(2 222=+--++y x y x （3）方程x ＝3y 2 －1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程 问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？ 问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？ 问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？ 例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和???? 94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 2 4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程. 跟踪训练1 （1）过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程是 ( ) A ．12 122 =-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2 －y 212＝1 D ．x 212－y 2＝1或y 2 12 －x 2＝1 （2）若双曲线以椭圆x 216＋y 2 9＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______ 探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 例2 已知双曲线的方程是x 216－y 2 8＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的 中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 2 5＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A ． 3 B ． 5 C ．5－ 3 D ．5＋ 3 例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程. 【当堂检测】 1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 2 9 ＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 4．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程. 【课堂小结】 1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.
《双曲线的简单几何性质》导学案 编写人：熊华丽 审核人：邓晖 编写时间：2014.1.9 班级：_________ 组别：_____ 组名：________________ 姓名：________ 【学习目标】 （1）通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等几何性质。 （2）了解双曲线中心、实轴、虚轴、渐近线等概念，以及它们的关系及其几何意义。 （3）通过探究，明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养我们类比、分析、归纳、猜想、概括、 论证等逻辑思维能力。 （4）通过类比旧知识，探索新知识，培养我们学习数学的兴趣，探索新知识的能力及勇于创新的精神。 【学习重难点】 学习重点：双曲线的简单几何性质。 学习难点：双曲线的离心率和渐近线。 【学习方法】：自主探究 合作交流 【学习思路】： 通过类比椭圆的几何性质，然后利用双曲线的图象探究它的几何性质，再利用几何性质解决实际 问题。 【知识链接】 复习1：双曲线的定义和标准方程是什么？ 复习2：椭圆有哪些简单几何性质？以焦点在x 轴上的椭圆 为例，并画出草图。 【学习过程】 以方程122 22=-b y a x 为例研究双曲线的简单几何性质 （一）范围 问题1：看图可知其范围是什么？ 问题2：类比椭圆，从双曲线方程如何研究其范围？ （二）对称性 问题3：看图可知其有怎样的对称性？ 问题4：类比椭圆，能否证明其对称性？ （三）顶点 问题5：双曲线的顶点有几个？坐标是什么？ 新知：双曲线的实轴：线段12A A ，长为2a ，半实轴长a ； 双曲线的虚轴：线段12B B ，长为2b ，半虚轴长b . 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，2 2 -y =x m(m =0) 反思：与椭圆比较，为什么),0(),,0(21b B b B -不叫双曲线的顶点？ （四）渐近线 新知： 练习：（1） ___________________________ （2） ___________________________ 反思：（1）等轴双曲线的渐近线是什么？ （2）能不能从双曲线的方程直接推出渐近线方程？ （五）离心率：a c e = 问题6：双曲线的离心率范围？ 问题7： 椭圆的离心率刻画了椭圆的圆扁程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性呢？（将 a c e = 与a b k =的联系起来） 反思：等轴双曲线的离心率等于多少？ A1求双曲线11692 2 =-x y 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近方程。 A2 求双曲线的标准方程： (1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； (2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上； 【归纳小结】 b y x a 直线叫做双曲线的渐近线. =±
1 §2.2.2双曲线的简单几何性质 鹤壁高中 蔡凤敏 2011.10.20 一、复习回顾----椭圆的几何性质 二、探究互动-------双曲线的简单几何性质 1．范围、对称性 由标准方程122 22 =-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方 向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展， 不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 ①范围：由双曲线的标准方程得，22 2210y x b a =-≥，进一步得： ． 这说明双曲线在不等式 所表示的区域； ②对称性：双曲线是以 轴和 轴为对称轴， 为称中心； 2．顶点：双曲线有 个顶点,是 特殊点： 实轴：21A A 长为 , a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为 ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有 个顶点，这是两者的又一差异 3.渐近线：直线 叫做双曲线22 221x y a b -=的渐近线； ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（1e >）． 4.等轴双曲线： 1）定义： 。 定义式：a b = 2）等轴双曲线的性质：①渐近线方程为： ；②渐近线互相 ；两条渐 近线的夹角是 ③e= 3）注意到等轴双曲线的特征a b =，则等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x 当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上。 5．共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x ka kb ，那么此双曲线方程就 一定是： 或写成 6．双曲线的草图 具体做法是： 7．离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率 范围： 双曲线形状与e 的关系：112 2 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越 ，即渐近线的斜率的绝对值就 ，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的 离心率越大，它的开口就越阔； 8．共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ,,a b c 关 系 范围 顶点 轴长 实轴长 虚轴长 焦点 焦距 | 对称性 对称轴 对称中心 离心率 e= 渐近线 ※ 典型例题 题型一 由方程研究双曲线的几何性质 例1．求双曲线 191622=-y x 与22 1916 y x -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图. x y Q B 1 B 2 A 1A 2 N M O