§6.3.一次函数的图象（二）
编制：赵凤雪 审核：
一、旧知回顾
（1）作函数图象有几个主要步骤？
（2）上节课中我们探究得到一次函数图象有什么特征？
（3）作一次函数图象需要描出几个点？
二、教学目标
1、了解正比例函数y=kx 的图象的特点。
2、会作正比例函数的图象。
3、理解一次函数及其图象的有关性质。
4、能熟练地作出一次函数的图象。
三、新知探究
1首先我们来研究一次函数的特例——正比例函数有关性质。
请大家在同一坐标系内作出正比例函数y=
21x ，y=x ，y=3x ，y=-2x 的图象。 如图：
2、议一议
（1）正比例函数y=kx 的图象有什么特点？
（2）你作正比例函数y=kx 的图象时描了几个点？
（3）直线y=2
1x ，y=x ，y=3x 中，哪一个与x 轴正方向所成的锐角最大？哪一与x 轴正方向所成的锐角最小？
小结：正比例函数的图象有以下特点：
（1）正比例函数的图象都经过坐标原点。
（2）作正比例函数y=kx 的图象时，除原点外，还需找一点，一般找（1,k ）点。
（3）在正比例函数y=kx 图象中，当k>0时，k 的值越大，函数图象与x 轴正方向所成的锐角越大。
（4）在正比例函数y=kx 的图象中，当k>0时，y 的值随x 值的增大而增大；当k<0时，y 的值随x 值的增大而减小。
3、做一做
在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x+6,y=-x,y=-x+6,y=5x 的图象。
一次函数y=kx+b 的图象的特点：在函数y=2x+6中，k>0，y 的值随x 值的增大而增大；在函数y=-x+6中，y 的值随x 值的增大而减小。
归纳总结一次函数图象的特点：
1.在一次函数y =kx +b 中
当0>k 时，y 随x 的增大而增大， 当b >0时，直线必过一、二、三象限；
当b <0时，直线必过一、三、四象限；
当0
2.当k >0时，k 的值越大，直线与x 轴的正方向所成的锐角越大.
3. 同一平面内，不重合的两条直线1111:b x k y l +=与2222:b x k y l +=
当21k k =时，21//l l ；
当21k k ≠时，1l 与2l 相交.
由上可知，一次函数y=kx+b 中，y 的值随x 的变化而变化的情况跟正比例函数的图象的性质相同。对照正比例函数图象的性质，可知一次函数的图象不过原点，但是和两
个坐标轴相交。在作一次函数的图象时，也需要描两个点。一般选取（0，b ），（-k
b ，0）比较简单。
4想一想 （1）x 从0开始逐渐增大时，y=2x+6和y=5x 哪一个值先达到20？这说明了什么？（2）直线y=-x 与y=-x+6的位置关系如何？
（3）直线y=2x+6与y=-x+6的位置关系如何？
四、巩固练习
1、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而增大的是（ ）
A 、y=-5x+3
B 、y=-x-7
C 、y=x 3-5
D 、y=-x 7+4
2、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ）
A 、y=
32x-8 B 、y=-x+3 C 、y=2x+5 D 、y=7x-6 3.你能找出下列四个一次函数对应的图象吗？请说出你的理由：
（1）12+-=x y ； （2）13-=x y ；
（3）x y =； （4）x y 32-
=.
4.（1）判断下列各组直线的位置关系：
（A ）x y =与1-=x y ；
（B ）213-
=x y 与2
1--=x y .
（2）已知直线532+=x y 与一条经过原点的直线l 平行，则这条直线l 的函数关系式为 .
5.（1）一次函数x y 3-=的图象经过 象限，y 随x 的增大而 ； （2）一次函数n mx y +=的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） 0,0)(< 0,0)(>>n m C 0,0)(<>n m D 6.小明骑车从家到学校，假设途中他始终保持相同的速度前进， 骑行时间的图象是下图中的 ；小明离学校的距离与他骑行时间的图象是下图中 的 . ) (C 分） 分） ( ) A ()B( 北师大版八年级上册数学4.3一次函数的图象（2）（导学案） 4.3一次函数的图象（2） 学习目标： 1、能熟练作出一次函数y=kx+b的图象． 2．通过画图归纳总结一次函数图象的性质，能说出函数中的k，b对函数图象的影响。3．已知函数的代数表达式作函数的图象． 4．理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系． 预习案 一、课前导学 阅读课本P86—P87，完成下列内容。 1、下列函数中，图象经过原点的为( ) A．y=5x+1 B．y=-5x-1 C．y=-5x D．y=51?x 2、作函数图象的基本步骤是 3、一次函数与正比例函数有何联系？ 二、尝试练习 1、如果直线经过一、二、四象限，则有（） A . k>0,b>0 B. k>0,b<0 C. k<0,b>0 D.k<0,b<0 2、下面哪个点不在函数的图像上（） A、（-5，13） B.（0.5，2） C（3，0） D（1，1） 3、函数y=－2x图象在（） A、第一、三象限 B、第二、四象限 C、第二、三象限 D、第三、四象限 4、函数y=－3x，y=5x，y=6x共同点是（） A、图象位于同样象限 B、y随x增大而减小bkxy??． C、图象经过原点 D、y随x增大而增大 5、若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________．． 6、下列所给的点在正比例函数y=2x的图象上的是（） A、（2，1） B、（1，2） C、（－2，1） D、（－1，2） 学习案 一、知识点拨 1、一次函数的图象的概念 2、作一次函数的基本步骤 3、一次函数图象上的点与函数关系式的对应关系 4、一次函数的性质 二、课内训练 1、一次函数的图象：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的_______和______，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的 _______．． 2、请作出正比例函数y=2x的图象． 解：列表: x … -2 -1 0 1 2 … y=2x 描点：以上表中5组对应值作为点的坐标，依次为___，___，____，____，____在直角坐标系内描出相应 的点． 连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x的图象．它是一条________ 由例1我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤：_______________ 3、动手操作，深化探索： （1）作出正比例函数y=?3x的图象． （2）请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来． ①满足关系式y=?3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=?3x的图象上吗？ ____________________ 一次函数的图象（2）教案 教学目标： 1、理解一次函数及其图象的有关性质。 2、能熟练地作出一次函数的图象。 教学重点：能熟练地作出一次函数的图象。 教学难点：一次函数的图象的性质。 课时安排：1课时 教学过程设计： 一、导入新课 上节课我们学习了如何画正比例函数的图象，步骤为①列表；②描点；③连线。 本节课我们进一步来研究一次函数的图象的画法及其性质。 二、新课学习 1、请大家在同一坐标系内作出一次函数y= -2x+1的图象。 列表： x…… y=－2x+1 …… 描点：连线： 2、做一做 在同一直角坐标系内作出一次函数y=2x+5的图象。 3、议一议 一次函数y=kx+b 的图象的特点： 分析：在函数y=2x+5中，k>0，y 的值随x 值的增大而增大；在函数y=-2x+1中，y 的值随x 值的增大而减小。 由上可知，一次函数y=kx+b 中，y 的值随x 的变化而变化的情况跟正比例函数的图象的性质相同。对照正比例函数图象的性质，可知一次函数的图象不过原点，但是和两个坐标轴相交。在作一次函数的图象时，只需要描两个点。 一般选取（0，b ），（-k b ，0）比较简单。 4、想一想 （1）x 从0开始逐渐增大时，y=2x+6和y=5x 哪一个值先达到20？这说明了什么？（y=5x 的函数值先达到20，这说明随着x 的增加，y=5x 的函数值比y=2x+6的函数值增加得快） （2）直线y=-x 与y=-x+6的位置关系如何？（平行,一次函数k 相同就平行） （3）直线y=2x+6与y=-x+6的位置关系如何？（相交） 三、随堂练习 1、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而增大的是（ ） A 、y=-5x+3 B 、y=-x-7 C 、y=x 3-5 D 、y=-x 7+4 2、下列一次函数中，y 的值随x 值的增大而减小的是（ ） A 、y=32x-8 B 、y= -x+3 C 、y=2x+5 D 、y=7x-6 3、若一次函数y = kx + 4的图象经过原点，则 k = 4. 写出m 的3个值，使相应的一次函数y = (2m －1)x+2的值都是随x 的增大而减小 四、本课小结 一次函数y=kx+b 的图象的特点。 五、堂清检测 在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=3x+9与y= -3x+9的图像。 六、分层作业 必做题： 知识技能 1 2 选做题：数学理解 3 教、学反思 一次函数的图像与性质 练习 1、一次函数y=2x-1的图象大致是（ ） 2、函数y ＝k （x －k ） （k ＜0 )的图象不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、若点A （2, 4）在函数y ＝k x －2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A 、（0，－2） B 、（1.5，0） C 、（8, 20） D 、（0.5，0.5）。 4、已知一次函数y=kx+b,y 随着x 的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是( ) A B C D 5、若把一次函数y=2x －3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( ) A y=2x B y=2x －6 C y=5x －3 D y=－x －3 6、已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示,则k 、b 的 符号是( ) (A)k>0,b>0 (B)k>0,b<0 (C)k<0,b>0 (D)k<0,b<0 7、直线y=2x+1与y=3x-1的交点P 的坐标为____，点P 到x 轴的距离为_______，点P 到y 轴的距离为______。 8、如图，一次函数y=ax+b 的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式ax+b<0的 解集是 9、点P （a,b ）点Q （c,d ）是一次函数y=-4x+3图像上的两个点，且a 二次函数的图像与性质 ①一般式：y ＝ax ＋bx ＋c （a≠0）； ②顶点式： ；①开口方向：当a>0时，开口向上；当②顶点坐标：；③对称轴方程： ；值越小，开口越大；，单调减区间为（－∞，），单调增区间为（ ，＋∞），单调减区间为（ ，＋∞），单调增区间为（－∞， ） A ．y=x 2 +3x －5 B ．y=－ 12 x 2 x C ．y= 12 x 2 +3x －5 D ．y= 12 x 2 2、若直线y=3x+m 经过第一、三、四象限，则抛物线y=（x －m ）2 +1的顶点必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、已知抛物线的顶点坐标为（1，9），它与x 轴交于A （－2，0），B 两点，则B 点坐标为（ ） A ．（1，0） B ．（2，0） C ．（3，0） D ．（4，0） 4、抛物线y=2（x+3）（x －1）的对称轴是（ ） A ．x=1 B ．x=－1 C ．x= 12 D ．x=－2 5、已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点（a ，－ 14 ）和（－a ，y 1），则y 1的值是_______． 4.3. 一次函数的图象 一、学生起点分析 八年级学生已在七年级学习了“变量之间的关系”，对利用图象表示变量之间的关系已有所认识，并能从图象中获取相关的信息，对函数与图象的联系还比较陌生，需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系． 二、教学任务分析 《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第三节．本节内容安排了2个课时，第1课时是让学生了解函数与对象的对应关系和作函数图象的步骤和方法，明确一次函数的图象是一条直线，能熟练地作出一次函数的图象。第2课时是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质．本课时是第一课时，教材注重学生在探索过程的体验，注重对函数与图象对应关系的认识． 为此本节课的教学目标是: 1．了解一次函数的图象是一条直线，能熟练作出一次函数的图象． 2．经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线． 3．已知函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力．4．理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系． 教学重点是: 初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线． 教学难点是: 理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系． 三、教学过程设计 本节课设计了七个教学环节： 第一环节：创设情境引入课题； 第二环节：画一次函数的图象； 第三环节：动手操作，深化探索； 第四环节：巩固练习，深化理解； 第五环节：课时小结； 第六环节：拓展探究； 第七环节：作业布置． 第一环节：创设情境引入课题 内容： 一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家的距离S（米）与小明出发的时间t（分）之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ S=80t（t≥0） 下面的图象能表示上面问题中的S与t的关系吗？ 我们说，上面的图象是函数S=80t（t≥0）的图象,这 就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象的特殊情况正比例函数的图象。 目的：通过学生比较熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望． 效果：学生通过对上述情景的分析，初步感受到函数与图象的联系，激发了学生的学习欲望． 第二环节：画正比例函数的图象 内容：首先我们来学习什么是函数的图象？ 把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象． 例1 请作出正比例函数y=2x的图象．解：列表: 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点． 一次函数的图像和性质练习题 1、函数：①y=-2x+3；②x+y=1；③xy=1；④y=1+x ；⑤y=221x +1；⑥y=0.5x 中，属一次函 数的有 ，属正比例函数的有 （只填序号） 2、当m= 时，y=() ()m x m x m +-+-112 2是一次函数。 3、已知函数y=()()112-++m x m 当m 时，y 是x 的一次函数，当m 为 时，y 是x 的正比例函数。 4.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过 点，经过(1)， ，一次函数(0)y kx b k =+≠经过(0)， 点，(0) ，点。 5.直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标 是 。与坐标轴围成的三角形的面积是 。 6.若一次函数(44)y mx m =--的图象过原点，则m 的值为 。 7.如果函数y x b =-的图象经过点(01)P ，，则它经过x 轴上的点的坐标为 。 8.一次函数3+-=x y 的图象经过点（ ，5）和（2， ）。 9、写出一条与直线y=2x -3平行，且经过点（2，7）的直线为 10.某函数具有下面两条性质：（1）它的图象是经过原点的一条直线；（2）y 随x 的增大而减小．请你写出一个满足上述条件的函数 。 11.写出一个图象与x 轴交点坐标为（3，0）的一次函数 12.写出一个图象与y 轴交点坐标为（0，－3）的一次函数 13.已知函数(3)2y m x =+-，要使函数值y 随自变量x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） Ａ．3m -≥ Ｂ．3m >- Ｃ．3m -≤ Ｄ．3m <- 14.一次函数(1)5y m x =++中，y 的值随x 的减小而减小，则m 的取值范围是（ ） Ａ．1m >- Ｂ．1m <- Ｃ．1m =- Ｄ．1m < 15．已知点A(-4, a),B(-2,b)都在一次函数y= 21x+k(k 为常数)的图像上,则a 与b 的大小关系是a____b(填”<””=”或”>”) 第54课时：一次函数（1） 主备：王静 雍亚波 班级 姓名 学号 一、 中考考点： 1．正比例、一次函数的意义 2、正比例、一次函数的图象与性质 3、用待定系数法求一次函数的表达式。 二、问题探索： (一)基础问题探索： 1、（1）已知函数12 )2(-++=k k x k y ，当k ＝______时它是正比例函数. （2）如果一次函数)1(-+=k kx y 的图象经过原点，那么k ＝_____，此时y 随x 的增大而 . （3）已知y 与12+x 成正比例，当2=x 时，10=y ，当1=x 时，=y _________. （4）请写出一个图象经过点（0,2）,且y 随x 的增大而减小的一次函数关系式：__________. （5）将直线y=2x 向上平移两个单位，所得函数关系式是 . (6)已知一次函数y=ax+b 的图象经过一、二、四象限，则函数y=bx-a 的图象经过 象限. (7)如果函数y=ax+b(a<0，b 1 ．（2010 浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与 坐标轴围成的三角形 .例如，图中的一次函数的图象与 x,y轴分别交于点A,B,则△ OAB 为此函数的坐标三角形 3 1 ）求函数y＝x＋ 3 的坐标三角形的三条边长； 3 2 ）若函数y＝x＋ b （ b 为常 数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积 【答案】 3 解：（1）∵ 直线y＝x＋ 3 与x轴的交点坐标为（4,0），与y 轴交点坐标为（0,3）， 4 ∴函数y＝x＋ 3 的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5. 4 （2）直线y＝3x＋ b 与x 轴的交点坐标为（ 4 b ,0），与y 轴交点坐标为（0,b）， 43 4 5 32 当b>0 时,b b b 16 ，得 b =4 ，此时,坐标三角形面积为； 33 3 4 5 32 当b<0 时， b b b 16 ，得 b = － 4 ，此时, 坐标三角形面积为. 33 3 综上,当函数y＝ 3 x＋ b 的坐标三角形周长为 16 时,面积为32． 43 2．．（2010 江西）已知直线经过点（ 1 ，2）和点（3，0），求这条直线的解读式. 解：设这直线的解读式是y kx b（k 0），将这两点的 坐标 （１， ２） 和 （３， 所以，这条直线的解读式为 y x 3 ． 3． （ 2010 北京） 如图，直线 y =2 x +3 与 x 轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B . ⑴ 求 A ， B 两点的坐标； kb 3k b 2, ，解 1, 3, ⑵ 过 B 点作直线BP与x轴相交于P，且使OP=2OA，求ΔABP 的面积. 【答案】解（1）令y=0，得x= 3∴ A点坐标为（3，0）. 22 令x=0 ，得y=3 ∴ B 点坐标为（0 ，3）. （2）设P 点坐标为（x，0），依题意，得x= ± 3. ∴P 点坐标为P1（3，0）或P2（－3，0）. 1 3 27 ∴S △ABP1= （3） 3 = 22 4 139 S△ABP2= （3 ） 3= . 224 27 9 ∴△ ABP 的面积为27或9 . 44 4．（2010 湖北随州）某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v（M/ 秒）与时间t（秒） 的关系如图a，A（10 ，5），B（130，5），C（135 ，0）. （1）求该同学骑自行车上学途中的速度v 与时间t 的函数关系式； （2）计算该同学从家到学校的路程（提示：在OA 和BC 段的运动过程中的平均速度 分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）； （3）如图b，直线x＝t（0≤t≤135 ），与图 a 的图象相交于P、Q，用字母S 表示图 中阴影部分面积，试求S 与t 的函数关系式； （4）由（2）（3），直接猜出在t 时刻，该同学离开家所超过的路程与此时S 的数量关 （. 北师大版八年级上册数学4.3一次函数的图象（1）（导学案） 4.3一次函数的图象（1） 学习目标： 1、了解一次函数的图象是一条直线，能熟练的作出正比例函数的图象，初步学会做函数图象的一般步骤。 2、经历正比例函数图象变化情况的探索过程，发展数形结合的能力和意识。 3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系． 预习案 一、课前导学 阅读课本P83—P84，完成下列内容。 1、下列函数：是一次函数的是，是正比例函数的是 2、函数有哪几种表示方法？ 3、一次函数与正比例函数有何联系？ 二、尝试练习 1、直线y=kx经过点（1，－2），那么k的值为（） A、－2 B、1 C、21 D、21? 2、在函数y=－6x中，y随x增大而。 3、函数y=－2x图象在（） A、第一、三象限 B、第二、四象限 C、第二、三象限 D、第三、四象限 4、函数y=－3x，y=5x，y=6x共同点是（） A、图象位于同样象限 B、y随x增大而减小 C、图象经过原点 D、y随x增大而增大 5、若点（1，3）在正比例函数y=kx的图象上，则此函数的解析式为________．． 6、下列所给的点在正比例函数y=2x的图象上的是（） 24(1)3(2)2(3)(4)25yxyxyyxx??????；；；； A、（2，1） B、（1，2） C、（－2，1） D、（－1，2） 学习案 一、知识点拨 1、一次函数的图象的概念 2、作一次函数的基本步骤 3、一次函数图象上的点与函数关系式的对应关系 4、一次函数的性质 二、课内训练 1、一次函数的图象：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的_______和______，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的 _______．． 2、请作出正比例函数y=2x的图象． 解：列表: x … -2 -1 0 1 2 … y=2x …… 描点：以上表中5组对应值作为点的坐标，依次为___，___，____，____，____在直角坐标系内描出相应的点． 连线：把这些点依次连接起来，得到y=2x的图象．它是一条_________ 由例1我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤：_______________ 3、动手操作，深化探索： （1）作出正比例函数y=?3x的图象． （2）请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来． ①满足关系式y=?3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=?3x的图象上吗？__________________ ②正比例函数y=?3x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=?3x 吗？__________ ③正比例函数y=kx的图象是 ______________________________________ ④思考：既然我们得出正比例函数y=kx的图象是一条直线．那么在画正比例函数图象 《一次函数的图像》 例1 某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后， （1）分别求出2≤x 和2≥x 时，y 与x 的函数关系式； （2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，则在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？ 例2 已知一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点)0,6(-A ，与y 轴交于点B ，若AOB ?的面积为12，且y 随x 增大而减小，求一次函数的解析式． 例3 作出53-=x y 的图像． 例 4 已知一次函数图象过点(4，1)和点(-2，4)．求函数解析式并画出图象．根据图象回答：(1)当x=-1时y 的值；(2)当y=2时x 的值；(3)图象与x 轴交点A 的坐标，与y 轴交点B 的坐标；（4）当x 为何制值时0,0,0y y y >=<；（5）当14x -<≤时y 的取值范围；（6）14y -<≤时x 的取值范围；（7）求AOB V 的面积；（8）方程1302 x -+=的解 例5 正比例函数或一次函数(y=kx+b)的图象如图所示，请确定k 、b 的情况： 例 6 在同一坐标系中，分别作出下列一次函数的图像： （1）23+=x y ； （2）x y 3= （3）23-=x y . 例7 在直角坐标系中，一次函数在y 轴上的交点坐标是B(0，5)，与x 轴交点A 的横坐标是图象与y 轴交点到原点距离的2倍，点C 的坐标是(6，0)，点P 的坐标是(0，y)，若四边形ABPC 的面积为S ，求S 关于y 的函数解析式，并求出自变量的取值范围；若∠PCO=30°时，求四边形ABPC 的面积． 一次函数的图象和性质的教学反思 本节课能基本完成教学任务。表现在对教学目标（1.会选取两个适当的点画出正比例函数与一次函数的图象。 2.能结合图象理解正比例函数和一次函数的性质。）的落实上比较到位，即课本的知识点能够较好的理解掌握，学生动手操作能力、合作探究能力也得到了进一步培养。 本节课在教学引导、自学、归纳、探究以及数学思想方法等方面都进行了积极的构思设计，学生能够在教师指导下进行类比自学，大胆探索。教学实践与教学设计基本符合。 教学设计过于理想化。特别是目标3（渗透数形结合思想和分类思想以及类比的学习方法，培养学生良好的思维品质）的落实上不太到位，学生对数学思想方法的理解严重缺乏，在今后的教学中应多次重复应用，努力培养学生的良好的思维品质。 大多数学生能积极合作，深入探究。但对于严重两极分化的学困生由于基础差，因而缺乏合作能力，没有合作意识。 （1）组织有效的小组学习。作为新课程倡导的三大学习方式之一，小组合作学习在形式上成为有别于传统教学一个最明显特征。它有力地挑战了教师“一言堂”的专制，同时也首次在课堂上给了学生自主、合作的机会 我们应该组织有效的小组合作学习。在讨论前要考虑各小组学生的实际情况，让学生独立思考，再在组内讨论交流。让每个学生都有均等参与的机会。小组讨论的时候，教师要深入到小组当中，了解合作的效果，讨论的情况等等，从而灵活地调整下一个教学环节。 （2）学生不会学习，教师引导不到位。——应加强对学生的学法指导，如本节课的“类比自学”。在教学过程中应充分调动学生的学习积极性和主动性，多给学生以鼓励，树立信心，培养兴趣，多给学生以学法指导，让学生学会学习。努力培养他们自主学习、合作探究的能力，敢于吃苦，善于思考的学习品质。 （3）在“类比自学”这一环节上教师应如何给予指导，教师应如何参与，还需进一步思考。学生在自学，教师干什么？ 知识序号：6 一、知识清单全练 1、根据一次函数图象获取信息，主要是图像与两坐标轴的交点，图像上标明的一些点的坐标及函数图像的增减性。 2、一次函数y=kx+b（k≠0）与x轴交于点（__，__），与y轴交于点（__，__）。 3、两个函数图像在一起时，哪个图像在上方，哪个图像对应的函数值就___，图像的_______对应的函数值相等。 4、一次函数图像上的点（x，y）的坐标就是对应的二元一次方程的一个___，反之也成立。 5、两个一次函数的交点（x，y），就是对应二元一次方程组的____，反之也成立。 二、基础闯关全练 3x-y=5 1、若一次函数y=3x-5与y=2x+7的交点P的坐标为(15,38),则方程组的解为___. 2x-y=7 2、在同一直角坐标系内分别作出一次函数y=2x+3与y=2x-3的图像这两个图像______交点 2x-y+3=0 (填”有”或”没有”),由此可知的解的情况是__________. 2x-y-3=0 x=a 3、如果一次函数y=3x+6与y=2x-4的交点坐标为(a,b),则是方程组( )的解 y=b y-3x=6 B. 3x+6+y=0 A. 2x+y=-4 2x-4-y=0 3x-y=-6 D. 3x-y=6 C. 2x-y-4=0 2x-y=4 5、作出函数y=4x-1的图像,并回答下列问题: (1) y的值随x值的增大怎样变化? (2) 图像与x轴的交点坐标是什么?与y轴的交点坐标呢? (3) 若函数y=-x+m2与y=4x-1的图像交于x轴上同一点,你能求出m的值吗? (4) 若一个正比例函数的图像与y=4x-1的图像互相平行,请写出此正比例函数解析式,并说明理由. 6、甲骑自行车从A地出发去距A地s千米的B地,每小时行15千米,甲出发两小时后,乙从A地骑摩托车出发去追甲,每小时行45千米,设甲用的时间为t小时. (1) 分别写出甲,乙所行路程y 甲和y 乙 与甲用的时间t的函数关系式,并在同一直角坐标系 画出它们的图像. (2) 根据函数图像回答乙在甲到达B地前能否追上甲? 7、图7.6-1中,l 1,l 2 分别是某个一次函数的图像,相交于P点.你认为P点坐标可看作是怎 样的二元一次方程组的解呢?并请求出P点坐标. 人教版初中九年级 课题19.2.2一次函数（2） 一、教学目标： 1.会画一次函数的图象；能从图象角度理解正比例函数与一次函数的关系 2. 在结合图象探究一次函数性质的过程中，增强学生数形结合的意识，渗透分类讨论的思想. 3. 能根据一次函数的图象和解析式y＝kx＋b(k≠0)理解k＞0和k＜0时图象的变化情况，从而理解一次函数的增减性. 二、教学重难点： 1.用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括一次函数的性质. 2. 理解一次函数的增减性. 三、教法说明：小组合作学习 四、教学过程： 1．知识回顾 （1）什么叫正比例函数？从解析式看，正比例函数与一次函数有什么关系？ (2)正比例函数有哪些性质？你是怎样得到这些性质的？ 正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗？ （3）从解析式上看，一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx只相差一个常数b，体现在图象上，又会有怎样的关系呢？ 这正是我们这节课所要探索的内容. 2. 新授课 【探究1】 列表―→描点―→连线 想一想 (1)一次函数y＝2x－3的图象是什么形状？ (2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是什么形状？它与y＝kx的图象有什么位置关系？ (3)我们知道，两点确定一条直线，由此能否更简便地画出一次函数的图象？怎样画？ [师生活动]教师引导学生总结：在坐标系中画出满足函数解析式的两点，过这两点画直线．即：画一次函数图象时可以只描出两个点. (1)y＝x＋1；(2)y＝3x＋1；(3)y＝－x＋1；(4)y＝－3x＋1. 仿照正比例函数的做法，你能看出当k的符号变化时，函数的增减性怎样变化吗？ 当k＞0时，直线左低右高，y随x的增大而增大； 当k＜0时，直线左高右低，y随x的增大而减小． 【探究3】[教材P91例2] 画出函数y＝－6x与y＝－6x＋5的图象． 观察：比较上面两个函数图象的异同点，根据自己的观察结果完成下题：(1)两个函数的图象都是__直线__，并且倾斜度__相同__； (2)函数y＝－6x的图象经过点(0，0)，函数y＝－6x＋5的图象与y 轴交于点__(0，5)__，即可以看作由直线y＝－6x向__上__平移__5__个单位得到； (3)比较两个函数的解析式，解释两个函数图象的位置关系． 师生活动：引导学生发现两直线的位置关系，并归纳一次函数的图象平移的规律． 【探究4】小组合作探究 例2请在不同的平面直角坐标系中分别画出函数， =x y - x = + y y的图象 = x x y 5.0 ,1 5.0 ,1 1 2 ,1 + = - - 2- 观察函数图象，请完成下表 2021中考数学一轮专题训练：一次函数的图象 与性质 一、选择题（本大题共10道小题） 1. 一次函数y＝－2x＋3的图象不经过的象限是() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若点P在一次函数y=-x+4的图象上，则点P一定不在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是() A. M(2，－3)，N(－4，6) B. M(－2，3)，N(4，6) C. M(－2，－3)，N(4，－6) D. M(2，3)，N(－4，6) 4. 关于直线l:y=kx+k(k≠0)，下列说法不正确的是() A.点(0，k)在l上 B.l经过定点(-1，0) C.当k>0时，y随x的增大而增大 D.l经过第一、二、三象限 5. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的图象可能是() 6. 如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P(1，3)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋4的解集是() A. x＞－2 B. x＞0 C. x＞1 D. x＜1 7. 若式子 k －1＋(k －1)0有意义，则一次函数y ＝(1－k )x ＋k －1的图象可能是 ( ) 8. (2019?威海)甲、乙施工队分别从两端修一段长度为 380米的公路．在施工过程 中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的． 下列说法错误的是 A ．甲队每天修路20米 B ．乙队第一天修路15米 C ．乙队技术改进后每天修路35米 D ．前七天甲、乙两队修路长度相等 9. (2019?娄底)如图，直线y x b =+和 2y k x =+与 x 轴分别交于点(2,0)A -，点 (3,0)B ，则020x b kx +>??+>? 解集为 A ．2x <- B ．3x > C ．2x <-或3x > D ．23x -<< 一次函数的性质和图像 目录一、函数的定义 （一）、一次函数的定义函数。 （二）、正比例函数的定义 二、函数的性质 （一）、一次函数的性质 （二）、正比例函数的性质 三、函数的图像 （一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 （二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 （三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是： （一次项系数）k决定图象的倾斜度。 （常数项）b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 （一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次 （二）用待定系数法确定解析式 六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。 1. (2015 山东省东营市) 如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2015的坐标是． 答案：（，） 2. (2015 湖南省怀化市) 一次函数y=kx+b（k≠0）在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k 和b的取值范围是（） A k＞0，b＞0 B k＜0，b＜0 C k＜0，b＞0 D k＞0，b＜0 答案：C 3. (2015 浙江省丽水市) 在平面直角坐标系中，过点（－2，3）的直线l经过一、二、三象限．若点（0，a），（－1，b），（c，－1）都在直线l上，则下列判断正确的是（） A．a＜b B．a＜3 C．b＜3 D．c＜－2 答案：D 4. (2015 四川省遂宁市) 直线y=2x ﹣4与y 轴的交点坐标是（ ） A ．（4，0） B ． （0，4） C ． （﹣4，0） D ． （0，﹣4） 答案： 分析： 令x=0，求出y 的值，即可求出与y 轴的交点坐标． 解答： 解：当x=0时，y=﹣4， 则函数与y 轴的交点为（0，﹣4）． 故选D ． 点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要知道，y 轴上的点的横坐标为0． 5. (2015 四川省眉山市) 关于一次函数y= 2x -l 的图象，下列说法正确的是 A ．图象经过第一、二、三象限 B ．图象经过第一、三、四象限 C ．图象经过第一、二、四象限 D ．图象经过第二、三、四象限 答案： 分析：根据一次函数图象的性质解答即可． 解答：解：∵一次函数y=2x ﹣l 的k=2＞0， ∴函数图象经过第一、三象限， ∵b=﹣1＜0， ∴函数图象与y 轴负半轴相交， ∴一次函数y=2x ﹣l 的图象经过第一、三、四象限． 故选B ． 点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限．k ＜0时，直线必经过二、四象限．b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交． 6. (2015 四川省泸州市) 若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数y kx b =+的大致图象可能是 课题：§6.3 一次函数的图象（1） 【学习目标】 1、理解函数图象的概念. 2、经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤. 3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系. 4、能较熟练作出一次函数的图象. 【学习重难点】 理解并掌握作一次函数图像的一般步骤. 【自学探究】 1、函数的概念：一般地，在某个变化过程中，有两个变量__ __和__ _， 如果给定一个_ __值，相应地就确定了一个_ __值，那么我们称____是____的函数，其中_ __是自变量,____是因变量. 2、若两个变量x, y间的关系式可以表示成y=kx+b (k,b为常数, k≠0)的形式， 则称y是x的（x为自变量，y为因变量）, 特别地,当b=0时，称y是x的函数 3、甲品牌拖拉机开始工作时,油箱中有油30升.如果每小时耗油6升,求油箱 中的余油量y（升）与工作时间x(时)之间的函数关系式. 【师生合作】 1、函数图象的概念 把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值作为点的和，在直角坐标系内描出它的，所有这些点组成的图形叫做该函数的. 注：由此概念，函数图象的每一个点的坐标都满足函数表达式。 2、作一次函数的图象 例1：作出一次函数y=2x-1的图象.（仿照课本187页例1完成.）根据图象的定义，需要先找点，所以要先列表。(计算后完成下表) 描点：以表中各组对应值作为点的坐标， 在直角坐标系内描出相应的点。 连线：把这些点依次连起来，得到y=2x+1 的图象，它是一条________。 完成之后请思考： 作一次函数图象的一般步骤是：__________、 ___________、 ___________. 做一做： （1）、按上面的步骤作出一次函数y=-2x+5的图象。 列表： 描点：以表中各组对应值作为点的 坐标，在直角坐标系内描出 相应的点。 连线：把这些点依次连起来，得到 y=-2x+5的图象，请在右边空白处作图。 （2）、在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y=-2x+5？ 议一议： 思考下列问题，把结果写在下面，在课堂上和同学讨论. （1）、满足关系式y=-2x+5的x ，y 所对应的点（x ，y ）都在一次函数y=-2x+5的图象上吗？ （2）、一次函数y=-2x+5的图象上的点（x ，y ）都满足关系式y=-2x+5吗？ o x y 一次函数练习--2 一、选择题 1、已知y 与x+3 成正比例，并且x=1 时，y=8，那么y 与x 之间的函 数关系式为………………………………………………………（） A、y=8x B、y=2x+6 C、y=8x+6 D、y=5x+3 2、若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（） A、一象限 B、二象限 C、三象限 D、四象限 3、直线y=-2x+4 与两坐标轴围成的三角形的面积是……………（） A、4 B、6 C、8 D、16 4、若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂 物体质量x（kg）之间的函数解析式分 别为y=k1x+a1 和y=k2x+a2，如图，所挂 物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y1， 乙弹簧长为y2，则y1 与y2 的大小关 系为………………………………………………………………（） A、y1>y2 B、y1=y2 C、y1 6、若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过第（ ）象限． A、一 B、二 C、三 D、四 7、一次函数y=kx+2 经过点（1，1），那么这个一次函数………（） A、y 随x 的增大而增大 B、y 随x 的增大而减小 C、图像经过原点 D、图像不经过第二象限 8、无论m 为何实数，直线y=x+2m 与y=-x+4 的交点不可能在…..（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3 3 9、要得到y=- 2 x-4 的图像，可把直线y= - 2 x……………………（） A、向左平移4 个单位 B、向右平移4 个单位 C、向上平移4 个单位 D、向下平移4 个单位 10、若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m 为常数）中的y 与x 成正比例， 则m 的值为………………………………………………..（） 1 1 A、m>- 4 B、m>5 C、m=- 4 D、m=5 11、若直线y=3x-1 与y=x-k 的交点在第四象限，则k 的取值范围 是………………………………………………………………..（） 1 1 1 A、k< 3 B、3 一次函数及其性质 ●知识点一一次函数的定义 一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当 时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数． ⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当，时，仍是一次函数． ⑶当，时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． ●知识点二一次函数的图象及其画法 ⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可． ①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直 线与两坐标轴的交点． ⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线． ●知识点三一次函数的性质 ⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大； ⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小． ●知识点四一次函数的图象、性质与、的符号 ⑴ 一次 函数 ， 符号 图象 性质随的增大而增大随的增大而减小 ⑵一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限． 当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号． 知识点五用待定系数法求一次函数的解析式 ⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法． ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式． 类型一：正比例函数与一次函数定义 1、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？ 思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0． 举一反三： 【变式1】如果函数是正比例函数，那么（）. A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0D．m=1 【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值．北师大版八年级上册数学43一次函数的图象2导学案
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