探索勾股定理（一）
一、活动探究 观察下面两幅图：
（1）填表：
（2）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．
（3）如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积
（4）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形呢？
用符号表示为：
变形公式：（1）___________________________ ( 2 ) 二、勾股定理的简单应用
1、 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，
树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？
2、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度
3、直角三角形两边长为3和4，求第三边长的平方
4、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
想一想：观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+
基础训练:
1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．
2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ．
?225
100x
17a b
c
a
b
c C
B
3．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（π不取 近似值）
4．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．
5．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的
速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 km ．
提高训练
6．一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m ，梯子的顶端下滑2m 后，底端滑动 m ．
7．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和 是
cm 2．
8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）． （A ）24cm 2 （B ）36cm 2 （C ）48cm 2 （D ）60cm 2 9．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个 正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为 S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）．
（A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+ （C ）321S S S <+ （D ）无法确定
10．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的 路线探宝. 他们登陆后先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往 西走3km ，再折向北走6km 处往东一拐，仅走1km 就找到了宝藏，则 登陆点到埋宝藏点的直线距离为 km ．
3
2
1
S S S 3
2
1
6埋宝藏点
7cm
D
A
C
B 25
7
知识拓展
11．如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它恰好落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
8
6C
B
A
D E
1 探索勾股定理 1．勾股定理的探索 如图，在单位长度为1的方格纸中画一等腰直角三角形，然后向外作三个外正方形： 观察图形可知： (1)各正方形的面积：正方形①的面积S1为1，正方形②的面积S2为1，正方形③的面积S3为2； (2)各正方形面积之间的关系：S1＋S2＝S3； (3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方． 【例1】如图，Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形．回答下列问题： (1)a2＝__________，b2＝__________，c2＝__________； (2)a，b，c之间有什么关系？(用关系式表示) 分析：a2等于以BC为边长的正方形的面积16，b2等于以AC为边长的正方形的面积9，c2等于以AB为边长的正方形的面积25. 解：(1)16 9 25 (2)a2＋b2＝c2. 释疑点网格中求正方形的面积 求以AB为边长的正方形的面积时，可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDEF(如图)中去，它的面积等于正方形CDEF的面积减去它外围的4个小直角三角形的面积． 2．勾股定理 (1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边．
(2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即：勾2＋股2＝弦2. (3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2. 辨误区应用勾股定理的几个误区 (1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． (2)利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系式只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2. (3)勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助． 【例2－1】在△ABC中，∠C＝90°， (1)若a＝3，b＝4，则c＝__________； (2)若a＝6，c＝10，则b＝__________； (3)若a∶b＝3∶4，c＝5，则a＝__________，b＝__________. 解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，所以有关系式a2＋b2＝c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”． (1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝52，则c＝5； (2)b2＝c2－a2＝102－62＝82，则b＝8； (3)若a∶b＝3∶4，可设a＝3x，b＝4x， 于是(3x)2＋(4x)2＝52. 化简，得9x2＋16x2＝25， 即25x2＝25，x2＝1，x＝1(x＞0)． 因此a＝3x＝3，b＝4x＝4. 答案：(1)5 (2)8 (3)3 4 谈重点用勾股定理求边长 这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知两边长，就可以求出直角三角形第三边的长． 【例2－2】有一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000 m 处，过了20 s，飞机距离这个男孩头顶5 000 m，那么飞机每时飞行多少千米？ 分析：根据题意，可以先画出图形． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 000 m，AB＝5 000 m. 欲求飞机每时飞行多少千米，就须知道其20 s时间里飞行的路程，即图中CB的长．由于△ABC的斜边AB＝5 000 m，AC＝4 000 m，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算． 解：如图，AB＝5 000 m＝5 km，AC＝4 000 m＝4 km，
内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 会运用勾股定理解决有关的实际问题。 板块一 勾股定理 1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形 中两直角边的平方和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。 C A B c b a （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： ()2 2222142. ABCD S a b c ab a b c =+=+?∴+=正方形 D C B A （2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形： ()2 2222142. S c a b ab a b c =-+?∴+=正方形EFGH G F E H （3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： 2()()11 2222 ABCD a b a b S ab c ++= =?+梯形 222.a b c ∴+= 中考要求 勾股定理
c b a c b a E D C B A 3．勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222,,ABC AC BC AB ABC ?+=?在中如果那么是直角三角形。 4．勾股数： 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 板块一、勾股定理与探索规律简单综合 【例1】 已知ABC ?是边长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ?的斜边AC 为直角边，画第二个等腰 Rt ACD ?，再以Rt ACD ?的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ?，……，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． G F E D C B A 【例2】 如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角 线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去． （1）记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为234.....n a a a a ，，，，请求出 234a a a ，，的值； （2）根据以上规律写出n a 的表达式． 板块二、勾股定理逆定理 【例3】 已知a b c ，，是三角形的三边长，222221221a n n b n c n n =+=+=++， ，（n 为大于1的自然数）, 试说明ABC ?为直角三角形. 例题精讲
第一章勾股定理 1．探索勾股定理（一） 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书，北师大版八年级第一章第一节《探索勾股定理》第一课时。在本节课以前，学生学习了（三角形、正方形、梯形）一些图形的面积公式，还学习了三角形全等的判定和性质、直角三角形的有关性质以及整式运算中的完全平方公式（a＋b）2=a2＋2ab+b2。学生在这些原有的认知水平基础上，探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。我国是最早了解勾股定理的国家之一，这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为以后学习《解直角三角形》和《二次根式》奠定基础，在有关的物理计算中也离不开《勾股定理》，它在生活中的用途很大。 （二）、学生起点分析 八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．且他们勤于思考、乐于探究。(根据以上教材地位和学生情况，再结合《课程标准》的要求，我制定如下教学目标) 三、教学目标分析 （二）、教学目标 1、知识与技能目标 用数格子的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单
的计算和实际运用 2、过程与方法目标 在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观目标 （1）在探索勾股定理的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进学习数学的信心，感受数学之美。 （2）利用远程教育资源介绍中国古代勾股方面的成就，体现数学的文化价值。 （三）、教学重点及难点（根据《课程标准》的要求，以及为学生在今后解决有关几何问题。因此，本节课的教学重点和难点是）【教学重点】勾股定理及勾股定理的证明与简单运用 【教学难点】用拼图求面积的方法证明勾股定理 【难点成因】在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法）但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够，因此形成了难点。 【教具】教师准备：课件直角三角形 学生准备：四个全等的直角三角形 二、教学方法及教学手段的选择 针对八年级学生的认知结构和心理特征，本节课我选择的方法是：引导探索、讨论发现法（其意图是由浅到深，由特殊到一般的
探索勾股定理（一） 一、活动探究 观察下面两幅图： （1）填表： （2）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流． （3）如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c ，用直角三角形的边长来表示上图中正方形的面积 （4）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形呢？ 用符号表示为： 变形公式：（1）___________________________ ( 2 ) 二、勾股定理的简单应用 1、 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，
树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？ 2、求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度 3、直角三角形两边长为3和4，求第三边长的平方 4、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 想一想：观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+ 基础训练: 1．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米． 2．如图，小张为测量校园内池塘A ，B 两点的距离，他在池塘边选定一点 C ，使∠ABC ＝90°，并测得AC 长26m ，BC 长24m ，则A ，B 两点间的距离 为 m ． ?225 100x 17a b c a b c C B
探索勾股定理(2) 教学目标： 1.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想. 2. 掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题. 教学重点： 用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题. 教学难点： 验证勾股定理. 教法与学法指导： 学生上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证. 本节课是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题.本节课我采用的是“自主探究、当堂评价”的方法，通过拼图的方法，师生共同构证明出来勾股定理，应用勾股定理解决一些实际问题，提升能力． 课前准备：生∶四个全等的直角三角形图片师∶制作课件 一、回顾与复习 师：上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？ 、b和c如果用a分别表示直角三角形的两直角生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.cb 22=边和斜边，那么a 2＋勾股定理，对一般的直探索发现了师：上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形角三角形，勾股定理是否成立呢？. 生：成立活动目的：复习勾股定理内容；回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度. 二、拼图验证 师：这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？ (只有预习的同学会一些,因此提示：利用准备好的四个全等的直角三角形图片,拼出一个正方形) （教师可参与到学生的讨论中，发现同学们不足的地方，给予提示和指导）. 师：（利用投影机展示同学们拼的好一些的正方形） c b a
1.1 探索勾股定理 教案 【学习目标】 1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； 3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 要点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222 a b c +=． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的 目的． （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-． 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中，所以． 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中，所以． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以． 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】 类型一、勾股定理的直接应用 例题1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ． 【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】 解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12， 所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10． 【总结】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三： 【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）已知b ＝6，c ＝10，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10， ∴ 2222210664a c b =-=-=， ∴ a ＝8． （2）设3a k =，5c k =， ∵ ∠C ＝90°，b ＝32， ∴ 222a b c +=． 即222(3)32(5)k k +=． 解得k ＝8． ∴ 33824a k ==?=，55840c k ==?=． 类型二、与勾股定理有关的证明 例题2、阅读下面的材料
《探索勾股定理》第一课时说课稿 课题：“勾股定理”第一课时 内容：教材分析、教学过程设计、设计说明 一、教材分析 （一）教材所处的地位 这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书八年级第一章第一节探索勾股定理第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起过重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。 （二）根据课程标准，本课的教学目标是： 1、能说出勾股定理的内容。 2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 3、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。 4、通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。 （三）本课的教学重点：探索勾股定理 本课的教学难点：以直角三角形为边的正方形面积的计算。 二、教法与学法分析： 教法分析：针对初二年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，基本教学流程是：提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分。 学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。 三、教学过程设计
（一）提出问题： 首先创设这样一个问题情境：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生 的探究欲望,教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题。学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点，同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。（二）实验操作： 1、投影课本图1—1，图1—2的有关直角三角形问题，让学生计算正方形A,B, C的面积，学生可能有不同的方法，不管是通过直接数小方格的个数，还是将C 划分为4个全等的等腰直角三角形来求等等，各种方法都应予于肯定，并鼓励学生用语言进行表达，引导学生发现正方形A,B,C的面积之间的数量关系，从而学生通过正方形面积之间的关系容易发现对于等腰直角三角形而言满足两直角边的平方和等于斜边的平方。这样做有利于学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。 2、接着让学生思考：如果是其它一般的直角三角形，是否也具备这一结论呢？于是投影图1—3，图1—4，同样让学生计算正方形的面积，但正方形C的面积不易求出，可让学生在预先准备的方格纸上画出图形，在剪一剪，拼一拼后学生也不难发现对于一般的以整数为边长的直角三角形也有两直角边的平方和等于斜边的平方。这样设计不仅有利于突破难点，而且为归纳结论打下了基础，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到了提高，这对后面的学习及有帮助。 3、给出一个边长为0.5,1.2,1.3,这种含小数的直角三角形,让学生计算是否也满足这个结论，设计的目的是让学生体会到结论更具有一般性。 （三）归纳验证： 1、归纳通过对边长为整数的等腰直角三角形到一般直角三角形再到边长含小数的直角三角形三边关系的研究，让学生用数学语言概括出一般的结论，尽管学生
旅游度假式酒店案例分析． 目录普吉岛、丽江悦榕庄酒店1
金茂三亚丽思卡尔顿酒店2 旅游度假式酒店总结3 1 普吉岛、丽江悦榕庄酒店悦榕控股集团（Banyan Tree Holdings）度假酒店的开发及运营管理专家，水疗业务出众。?世界顶尖年，是）成立于1994 悦榕控股集团（BTH，Spa的跨国运营管理和开发公司的度假村、酒店和 年在新加坡证券交易所上市；集团董事局主席2006是何光平先生。?间、7336拥有全球28个国家超过个酒店及度假村间精品店、以及三座高尔夫球场，并荣获91Spa、多项酒店行业大奖。了100?“浪品牌定位“为浪漫而生的舞台”,品牌核心价值漫与亲密”。．
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课题 1、1 探索勾股定理 教材 义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第1节P2~ P6。 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。 授课教师: 刘洋 教学目标 1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。 2、能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。 3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。 教学重点、难点 重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。 难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。 教学方法 选择引导探索法，采用“问题情境----建立模型----解释、应用与拓展”的模式进行教学。 教具准备 多媒体课件；若干张已画好直角三角形的方格纸；剪刀；已剪好的纸片若干张。 教学过程 一、创设情境，引入新课 （师）请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图 试图与外星人沟通，在2002年的国际数学家大会上采用弦图 作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的 奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。 （设计意图：用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以 景激情，以情激思，引领学生进入学习情境。） 二、师生互动，探究新知 活动1：（观察图1）你知道正方形C的面积是多少吗？ 你是怎样得出上面结果的呢？ （生）独立思考后交流，采用直接数方格的办法，或者是 分割成几个等腰直角三角形的方法计算正方形C的面积。（多 媒体演示） （过渡语）同学们用数格子的方法发现了正方形C的面积，那么对于 下面图2中的正方形C，“数方格子”的方法还行得通吗？下面我们 一起来研究。 活动2：（观察你手中方格纸上的图2）正方形C的面积是多少？ 你是怎样得出结果的呢？
§1.1 探索勾股定理（一） 教学目标： 1、 经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推力意识，主动探 究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理 的意识及能力。 重点难点： 重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。 难点：勾股定理的发现 教学过程 一、 创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题 出示投影1 （章前的图文 p1）教师道白：介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，并结合课本p5谈一谈，讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 （书中的P2 图1—2）并回答： 1、 观察图1-2，正方形A 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。 正方形B 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。 正方形C 中有_______个小方格，即A 的面积为______个单位。 2、 你是怎样得出上面的结果的？在学生交流回答的基础上教师直接发问： 3、 图1—2中，A,B,C 之间的面积之间有什么关系？ 学生交流后形成共识，教师板书，A+B=C ，接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢？ 二、 做一做 出示投影3（书中P3图1—4）提问： 1、图1—3中，A,B,C 之间有什么关系？ 2、图1—4中，A,B,C 之间有什么关系? 3、 从图1—1，1—2，1—3，1|—4中你发现什么？ 学生讨论、交流形成共识后，教师总结： 以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边的正方形面积。 三、 议一议 1、 图1—1、1— 2、1— 3、1—4中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？ 2、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？ 在同学的交流基础上，老师板书： 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 22c b a =+ 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。
课题探索勾股定理（一）主备教师杨开丽 教 学 目 标 知识 技能 （1）了解勾股定理文化背景，体验勾股定理，探索和证明勾股定理. （2）用拼图方法证明勾股定理. （3）能熟练地运用勾股定理解决实际问题. 过程 方法 （1）通过自主探索，动手操作，引导学生得出“直角三角形的两直角边a， b的平方和，等于斜边c的平方，即a2+b2=c2”的结论. （2）逐步培养学生会观察、分析、概括等逻辑思维能力。 情感 态度 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学 习习惯。 教学 重点 证明、探索、运用勾股定理. 教学 难点 证明、探索勾股定理. 课时 安排 本课题教学共（ 2 ）课时，本课教学为第（ 1 ）课时。 课前准备： 教学过程 教学内容及问题情境学生活动设计意图 一、创设情境，导入新课 1、在图1中，左图是2002年在北京召开的第24届国际数学 家大会的会徽图案，右图就是著名的“赵爽弦图”. 图1 你能看出会徽与弦图之间的联系吗？ 2、相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯去朋友 家做客.在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯 却看着朋友家的地砖发呆.原来，朋友家的地砖是用一块块直角 三角形形状的地砖铺成的（如下图），他发现了地砖上的三个正 方形存在某种数量关系. 图2 这些图中有什么奥秘呢？下面我们一起来解读图中的奥秘. 学生看图，读 图 通过有背景的问题 和名人小故事，激发 学生的学习兴趣和 学习欲望，也开门见 山地直奔主题—— 解解读图中所蕴含 的秘密.
二、实践探索，大胆猜想 1、如图3，三个正方形围成的中间是什么图形？(等腰直角三角形) 我们也可以认为是由直角三角形的三边向三角形外作正方形所构成的. 你知道这三个正方形的面积分别是多少吗？你是怎么计算的？面积之间有什么关系？ 提问：等腰直角三角形是特殊的三角形,一般的直角三角形是否也有这样的特点? 图3 2、如图4，仍然可以看作是由直角三角形的三边向三角形外作正方形所构成的，你们 知道这三个正方形的面积分别是多少吗？又是怎么计算的？ 图4 请将结果填入下表，你能发现正方形A、B、C的面积关系吗？ 请将结果填入下表，你能发现正方形A、B、C的面积关系吗？ A的面积（单位面积）B的面积（单 位面积） C的面积（单 位面积） 图3 图4 即S A+S B=S C 3、猜想结论 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言： 如图：在Rt△ABC中, ∠C=90°, 则BC2+AC2=AB2 (或a2+b2=c2) 学生口答 学生观察图 形，分别计算 出三个三角形 的面积。 C三角形的面 积计算，引导 学生讨论交 流，采用割补 思想求出。 学生通过计 算填写好表 格，然后根据 得出的数据进 行分析，归纳 概括。 学生归纳总 结，得出推理 及公式的变 形。 用网格计算的形式 让学生通过计算来 验证猜想，为归纳提 供基础，同时，让学 生知道直角三角形 三边的关系. 训练学生的语言表 达能力和概括能力， 以及逻辑推理能力。 勾 股 弦
1.1.1探索勾股定理 一、教学目标叙写 １．学生通过预习教材1页，完成“引入”经历探索勾股定理． ２．学生通过合作探究“做一做”，验证猜想勾股定理，从而得出结论，进一步发展空间观念和推理能力． ３．学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力．４．学生通过完成“五、当堂评价”，运用勾股定理进行简单的推理和计算． 二、教学重难点 １．重点：勾股定理及其应用. 2.难点：勾股定理的探索过程. 三、教学过程 （一）、情景引入Array 1.02年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会 的会标:标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾 股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定 理．（板书课题） 2. 俄罗斯的伟大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多的土地吗？》中写出 一个故事： 有一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地。卖地的人提出了一个非常奇怪的地价：“每天1000卢布。”意思是：谁出1000卢布，那么他从日出到日落走过的路所围成的土地都归他；不过，如果日落之前买地的人回不到原来的出发点，那么他就一点土地也得不到。 巴河姆觉得条件对自己有利，于是付了1000卢布。第二天太阳刚刚从地平线升起，就连忙在草原上大步走去。他走了足足10俄了里才左拐弯，接着又走了许久，才再向左拐弯， 这样又走了2俄里，这时他发现天色已经不早，而自己离出发点还足足有17俄里，于是只 得改变方向，拼命朝出发点跑去，总算在日落之前赶回了出发点。可是，他还未站稳，两脚 一软，就倒地口吐鲜血而死。 你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？ （二）、自主探究 探究一：在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三条边之间的平方具有什么关系？与同伴进行交流。 探究二： （1）如图1-2：等腰直角三角形三边的平方分别是多少？它们满足上面所猜想的数量关系吗？ 你是如何计算的，与同伴进行交流。 （2）对于图1-3中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是如何计算的？
【学习目标】 1. 通过数格子或割、补等方法探索勾股定理，能正确说出勾股定理。 2. 能运用勾股定理进行简单的计算，解决求直角三角形三边之间的 数量关系的问题。 【学习重点】勾股定理的探索。 【学习难点】运用勾股定理，进行简单的计算。 【自学指导】自学课本2-3页，完成做一做。完成下列问题： 1. 请你任意画一个直角三角形，分别测量它的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与小组同学交流。 图中每个小方格代表一个单位面积 （1）观察图1， 正方形A中含有个小方格， 即它的面积是个单位面积。 正方形B的面积是个单位面积。 正方形C的面积是个单位面积。 （2）在图2中，正方形A、B、C中各含 几个小方格？它们的面积各是多少？ （3）你能发现两图中三个正方形 A、B、C的面积之间有什么关系吗？ （4）图3，正方形A的面积是个 单位面积，正方形B的面积是个 单位面积，正方形C的面积是个 单位面积。 问题：如何求正方形C的面积？有哪 些方法？正方形 A、B、C的面积之间 有什么关系吗？ 3. 勾股定理： 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
【自学检测】 1. 求下列图中字母所代表的正方形的面积。 2. 4,5，则第三边长的平方为 3. 求下列图中表示边的未知数x 、 【达标检测】 1. 求出下列直角三角形中未知边的长度。 2. 求斜边长为17cm 、一条直角边长为15cm 的直角三角形的面积。 3. 如图，求等腰三角形ABC 的面积。 4. 判断正误并说明理由： 若直角三角形的两条边长为6cm 、8cm ，则第三边长一定为10cm. 5. 直角三角形的两边长为4,5，则第三边长的平方为 【课时小结】 通过本节课学习，你学会了哪些知识?你心中还存在什么疑惑？ 【作业】 课本P5习题1.1 【反思】 5 3 z 6 8 5 y A B
八年级数学 探索勾股定理(1) 〖温故知新〗 1、指出右图直角三角形各部分的名称，并用符号表示这个直角三角形。 2、边长是a 的正方形的面积是 ， 〖学习目标〗 1、用数格子的办法体验勾股定理的探索过程。 2、理解勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 一、自学指导 } 1、观察课本第2页图1— 2、图1—3，直角三角形三边的平方分别是多少，完成下表（时间3分钟）与同伴交流（时间3分钟）。 A 的面积 B 的面积 C 的面积 可能的关系 … ： } : 总结： 勾股定理： _______三角形____________的_________等于__________。 如果用a ，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么关系可表示为： 。 ~ 符号语言： 二、自学检测 A 1、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°若a=3 b=4，则c=________。， B2、求下图中字母所代表正方形的面积和对应三角形的边长 | b a c C A B b a c C A B A B 125 169 100 、
7cm D A C B 7cm D A C B — 反思总结： 勾股定理的作用_________________________________________ 三、新知运用 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m，那么需要多长的钢索 · 巩固练习： A1、如图，求等腰三角形ABC的边AB上的高。 ！ 变式训练：B2、三角形ADC的面积是多少你能求出AC边上的高吗 } 反思总结： 1、运用勾股定理解决实际问题的格式： 四、中考链接 1、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，A、 B、C、D表示对应正方形的面积，A=9，B=16，C=36，D=64，则E=______;F=-________;G=________。 . 2、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面 积的和是cm2． 【 反思总结：
《探索勾股定理》说课稿 三亚市五中颜振慧 一、说教材 1、教材所处的地位、作用 “探索勾股定理”是北师大版八年级（上）第一章第一节的内容。本节有二课时，本课是第一课时，主要内容是勾股定理的探索及简单应用。勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要的结论，它有着广泛的应用，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。同时在勾股定理的探索中，让学生发展合情推理能力，为以后的学习打下基础。 2、教学目标 数学教学基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。强调以学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历探索的过程，使学生思维能力、情感态度、价值观都能得到进步、发展。因此在新的课改理念，新课程标准的指导下，结合本课教材、学生特点，确定如下目标： (1)知识目标：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，并会用勾股定理解决身边与实际生活中相关的数学问题。 (2)技能目标：在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索定理过程中，发展学生归纳、概括能力。 (3)情感与态度：培养学生积极参与、合作交流的意识，在探索定理过程中，体验获得成功的喜悦，锻炼克服困难的勇气。 3、教学的重、难点 勾股定理是重要定理，应用广泛，加上探索过程中，利用方格计算面积有一定的难度，因此本课重、难点为： 重点：探索和验证勾股定理的过程 难点：在方格纸上通过计算正方形面积方法探索勾股定理 二、说教法、学法 1、教法：本课采用教师引导和学生自主探索相结合的教学方法，在方格纸上学生通过观察、分析、归纳、计算以三角形的三边为边长的三个正方形的面积，引发学生的数学猜想，在教师的引导下由学生自己探究总结勾股定理，并运用Z+Z操作平台演示，使学生充分体会到探究学习的成就感，激发学习数学的兴趣。 2、学法：本节课教学主要通过学生自主探索、合作交流。注重学生整个探索过程，充分体现学生的主体地位。学生主要使用操作——观察——归纳——应用的学习方法。 三、学情分析 八年级的学生已具备一定的生活经验，对新事物容易产生兴趣，动手实践能力也比较强，在班级上已初步形成合作交流，勇于探索与实践的良好班风，估计本课的学习中学生能够在教师的引导和点拨下自主探索归纳勾股定理。 四、教学程序分析
1.1、探索勾股定理（二） 教学目标 1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯 2、掌握勾股定理和它的简单应用。 重点难点 重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理． 难点：用面积证勾股定理． 教学过程 一、创设问题情境，激发学生学习热情，导入课题 我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学们交流。在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中P7图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？同学们回答有两种可能：（1） 2)(b a + （2）2421c ab +? 在同学交流形成共识后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。 22421)(c ab b a +?= + 请同学们对上式进行化简，得到： 22222c ab b ab a +=++即 222c b a =+ 这就可以从理论上说明了勾股定理存在。 请同学们回去用别的拼图方法说明勾股定理。 二、讲解例题 例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？ 分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如右图，图中△ABC 的 ∠C ＝90°，AC = 4000米，AB=5000 米欲求飞机每时飞行多少千米， 就要知道20 秒时间里飞行的路程，即图中的CB 的长，由于△ ABC 的 斜边AB =5000米，AC= 4000 米，这样BC 就可以通过勾股定理得出， 这里一定要注意单位的换算。 解：由勾股定理得 )(945222222千米=-=-=AC AB BC 即 BC=3千米 飞机 20秒飞行3 千米．那么它 l 小时飞行的距离为： 5403203600=?（千米／时） 答：飞机每小时飞行 540千米。 三、议一议：展示投影 2（书中图1—9)观察上图应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否满足222c b a =+ 同学在议论交流形成共识后，老师总结。 勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
第一章勾股定理 1?探索勾股定理（三） 一.学生起点分析 学生的知识技能基础：本节课内容选自义务教育课程标准实验教科书北京师范人学版的数学教材八年级上册的第一章第一节，本节课为第三课时，课题为《拼图与勾股定理》。在本章的前血几节课中，学生己经学习了勾股定理，了解了勾股定理的广泛使用，学习了利用割补法计算图形的血积来验证勾股定理。 学生的活动经验基础：学生在初一学习过基木儿何图形的而积计算的一些方法，例如：割补法等，但运川面积法和割补思想解决问题意识和能力还不够，因此，可能还需要教师有意识的引导：在先前的学习过程屮，学生已经经历了一些拼图、图案设计的实践活动，如制作七巧板，这些都为木节课的活动（拼图对勾股定理进行无字的证明）奠定了一定的基础。 二、学习任务分析 本课题是学牛初步认识了“勾股定理”后，对勾股定理探究的加深与捉高，具有一定的挑战性。课本上设计了丰富的拼图活动，让学生经过自己的操作和思考，既经历验证勾股定理的过程，获得相应的数学活动经验，又能了解中外多种方法，开阔视野，感受古代人民的聪明才智。为此确定如下教学目标：知识与技能目标： 1.通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识Z间的内在联系； 2.经历综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、血积等的认识。 过程与方法目标： 1.经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的 文化价值； 2.通过验证过程中数为形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识Z间的内在联系。 3.通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念 与态度目标: 和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题的方法与经验。 1.通过丰富有趣的拼图活动增强对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学牛获得成功的体验和克服 困难的经丿力，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学牛的合作交流的意识和能力。 教学重点： 1.通过综合运用己有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、而积等的认识。 2.通过拼图验证勾股定理的过程，使学习获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。教学难点： 1.利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。 2.利川数形结合的方法验证勾股定理。 教学准备： 剪刀、双面胶、换纸板、直尺（或三角板）、铅笔、多媒体课件。
课题 1.1探索勾股定理课型新授课授课时间 教学目标知识与技能 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股 定理进行简单的计算和实际运用． 过程与方法 让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法． 情感态度与 价值观 通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化历史，激励学生发奋学习 重点 了解勾股定理的由来并能用它解决 一些简单问题 难点勾股定理的发现 方法教具 教学过程 教师活动学生活动设计意图第一环节：创设情境，引入新课 2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示 本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与 “勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理” 的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一 同探索勾股定理． 第二环节：探索发现勾股定理 1．探究活动一 内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图 形： ★问题：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现： 2．探究活动二 内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具 有该性质呢？ （1）观察下面两幅图： （2）填表： A的面积（单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） 独立思考 并回答问 题 填写表格 观察、计 算、探讨、 归纳进一 步发现一 般直角三 角形的性 质 独立完成 用自己的 语言进行 表达 紧扣课题，自 然引入 探究活 动二意在让 学生通过观 察、计算、探 讨、归纳进一 步发现一般 直角三角形 的性质．由于 正方形C的 面积计算是 一个难点，为 此设计了一 个交流环节 议一议意在 让学生在结 论2的基础 上，进一步发 现直角三角 形三边关系， 得到勾股定 理 巩固基本知 识和基本技