2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（三）
数学（理）试题
一、单选题 1．已知集合(){}2
2,|2,,A x y x
y x y =+≤∈∈N N ，则A 中元素的个数为（ ）
A ．4
B ．9
C ．8
D ．6
【答案】A
【分析】根据题中条件，分别讨论0x =和1x =两种情况，即可得出结果. 【详解】因为2
2
2x y +≤，x N ∈，y ∈N ， 当0x =时，0y =，1；
当1x =时，0y =，1，所以共有4个元素， 故选：A.
【点睛】本题主要考查判断集合中元素的个数，属于基础题型. 2．若()12z i i +=，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．1i + B ．i -
C ．－1
D ．1i -
【答案】C
【分析】由题意得21i
z i
=+，然后根据复数的运算法则化简计算，然后确定其共轭复数虚部.
【详解】因为()12z i i +=，所以()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()
z -===+++-，1z i =-，虚部为1-. 故选：C.
【点睛】本题考查复数的相关概念及化简计算，属于基础题.
3．已知随机变量i X 满足()1i i P X p ==，()01,1,2i i P X p i ==-=，若
212
11
p p <<<，则（ ） A ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X < B ．()()12E X E X > ， ()()12D X D X < C ．()()12E X E X < ， ()()12D X D X >
D ．()()12
E X E X > ， ()()12D X D X > 【答案】C
【分析】根据题目已知条件写出12,X X 的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项. 【详解】依题意可知：
由于
212
11p p <<<，不妨设1223,34p p ==.故
121223,,34EX EX EX EX ==<,121223
,,916
DX DX DX DX ==>，故选C.
【点睛】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.
4．设函数()()311log 2,13,1
x x x f x x -?+-<=?≥?，求()()325log 15f f -+=（ ）
A ．16
B ．8
C ．15
D ．9
【答案】D
【分析】直接利用分段函数的关系式和对数的运算的应用求出结果 【详解】33(25)1log [2(25)]1log 27134f -=+--=+=+=；
33log 151log 53(log 15)335f -===
3(25)(log 15)459f f ∴-+=+=，
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数，对数的运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题
5．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，.若F 到双曲线的
一条渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（ ）
A ．22
184
x y -=
B ．22
144x y -=
C ．22
188x y -=
D ．22
148
x y -=
【答案】B
【分析】利用焦点到渐近线的距离可解得b
，再根据离心率e =可解得a ，则
可得出双曲线的方程.
【详解】由题意得(),0F c -，设双曲线的一条渐近线为b
y x a
=
，即0bx ay -=，由点
2b ==
，又2c e ====2a =，
所以双曲线的方程为：22
144
x y -=.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线方程的求解，考查双曲线的渐近线、离心率等知识点的运用，较简单.
6．
已知向量(b →
=，向量a →在b →
方向上的投影为-4，若a b b λ→→→
??+⊥ ???
，则实数λ
的值为（ ） A ．3 B ．
1
2
C ．
13
D ．
23
【答案】B
【分析】
由(b →
=，根据向量模的方法求得b →
，再根据a →在b →
方向上的投影为-4，
求得4a b b →
→
→
=- ，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出
实数λ的值.
【详解】解：由题可知(b →
=
，则2b →
==，
∵a →在b →
方向上的投影为4-，
∴
4a b
b
→
→
→
=- ，则4a b b →→→
=- ，
又a b b λ→→→??+⊥ ???
，∴0a b b λ→→→
??+= ???，
即2
0a b b λ→→
→+= ，即2
40b b λ→
→-+=，
则840λ-+=，解得：1
2
λ=. 故选：B.
【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，以及向量的模的求法和向量垂直的性质基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
7．在ABC 中，()2
2sin sin sin sin sin B C A B C -=-，则tan A =（ ） A ．3 B ．
12
C ．
13
D ．
3 【答案】A
【分析】运用正弦定理化边，再运用余弦定理求角即可得答案.
【详解】由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得
222b c a bc +-=，
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， 因为0180A <
【点睛】本题考查正余弦定理的应用，属于基础题.
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）
A ．
3225++B ．
13
C 251
++D 1225
++
【答案】D
【分析】根据三视图，还原几何体，再进行几何计算即可得答案.
【详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示的四棱锥P ABCD -，
四棱锥P ABCD -的高为1，四边形ABCD 是边长为1的正方形， 则111122
PCD S =
??=△，15
152PBC
S =
??=
， 121222PAB S ?=
=
△，12
1222
PAD S ?==△， 则四棱锥P ABCD -的侧面积为125
2
+，
故选：D.
【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图，几何体的侧面积的计算，考查空间思维能力和运算能力，是中档题. 9．已知α，β为锐角，4tan 3α=
，()5cos αβ+=tan αβ
（ ）
A ．24
7
-
B ．55
-
C ．211
-
D ．-2
【答案】C
【分析】根据同角三角函数关系可求得tan()αβ+和tan2α，变形
2()αβααβ-=-+，利用两角和差正切公式可求得结果.
【详解】因为α，β为锐角，所以(0)παβ+∈，
.又因为5
cos()αβ+=，
所以sin()αβ+= 5
=，因此tan()2αβ+=-.因为4tan 3α=，
所以2
2tan tan 21tan ααα=
=- 24
7
-，因此，tan 2tan()2
tan tan 21tan 2tan()11
()[()]ααβαβααβααβ-+-=-+=
=-++，
故选：C.
【点睛】本题考查同角三角函数值的求解、两角和差正切公式的应用；关键是能够利用已知角配凑出所求角的形式，从而利用两角和差正切公式来进行求解；易错点是忽略角所处的范围，造成同角三角函数值求解时出现符号错误.属于基础题.
10．已知函数211
2()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则a =（ ）
A ．1
B ．1
3
-
C ．
13
D ．
12
【答案】D
【分析】把函数等价转化为偶函数2()(e e )cos 2t t
g t t a t -=+++-，利用偶函数性质，
()g t 有唯一零点，由(0)0g =得解.
【详解】因为2
1
(1)()(1)(e
e )cos(1)2x x
f x x a x ---=-+++--，
令1x t -= 则2
()(e e )cos 2t
t
g t t a t -=+++-， 因为函数()2
1
12(1(s ))co 1x x x x a e
e f x x --+=-+++--有唯一零点，
所以()g t 也有唯一零点，且()g t 为偶函数，图象关于y 轴对称，由偶函数对称性得
(0)0g =，所以2120a +-=，解得12
a =
， 故选：D.
【点睛】本题考查函数零点的情况求参数的值，属于中档题.
11．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，1l 与C 交于P ，Q 两点，2l 与C 交于M ，N 两点，设POQ △的面积为1S ，MON △的面积为
2S （O 为坐标原点），则22
12S S +的最小值为（ ）
A ．10
B ．16
C ．14
D ．12
【答案】B
【分析】设1l ：1y kx =+与抛物线方程联立后，利用韦达定理可以k 表示出21S 和2
2S ，
再利用基本不等式即可求最小值.
【详解】设11()P x y ，，22()Q x y ，，直线1l ：1(0)y kx k =+≠，
联立方程241x y y kx ?=?=+?，
，
消y 得2440x kx --=，因为216160k ?=+>，
所以124x x k +=，124x x =-，
所以2||4(1)PQ k ==+， 又原点O 到直线1l
的距离为d =
，
所以21S = 2
4(1)k +，同理222141S k ??=+ ???
，
所以2
2
2
12218416S S k k ??
+=++
??
?
≥，当且仅当“1k =±”时取等号， 故22
12S S +的最小值为16，
故选：B
【点睛】圆锥曲线中的最值问题通常需要用韦达定理构建函数关系式，自变量可以使直线的斜率或点的坐标，利用基本不等式或导数求出最值，属于难题.
12．已知3log 4a =，2log 3b =，0.2log 0.09c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．a b c <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
【答案】C
【分析】根据题中条件，由对数函数的性质，确定a ，b ，c 的大致范围，即可得出结果.
【详解】因为33log 42log 2a ==，24log 32log 3b ==，0.20.2log 0.092log 0.3c ==，
33320log 2log log 3<=<=
，422113
log 3log 3log 224
=>=， 23
340.20.20.223log 0.2log 0.3log 0.234
=<<=， 即334log 42log 20,3a ??==∈ ???，432log 32b =>，
0.20.243log 0.092log 0.3,32c ??
==∈ ???
，
综上，a c b <<. 故选：C.
【点睛】本题主要考查比较对数的大小，熟记对数函数的性质即可，属于基础题型.
二、填空题
13．已知实数x ，y 满足条件11y x x y x ≤??
+≥??≤?
，则2z y x =-的最小值是________.
【答案】2-
【分析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可求出最值.
【详解】画出约束条件11y x x y x ≤??
+≥??≤?
表示的平面区域如下，
因为2z y x =-可化为2y x z =+， 则z 表示直线2y x z =+在y 轴上的截距，
由图像可得，当直线2y x z =+过点1,0A 时，在y 轴上的截距最小，即z 最小； 所以min 022=-=-z
当目标函数2y x z =+经过点(1
0)，时，z 取得最小值2-. 故答案为：2-.
【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题型.
14．在5
22y x x ??- ??
?的展开式中，3
xy 的系数是________.
【答案】80-
【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可.
【详解】在5
22y x x ??- ?
?
?的展开式中，通项公式为10315(2)r r r r
r T C x y -+=-， 令3r =，可得3
xy 的系数为80-. 故答案为：80-
【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.
15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，π
3
BAC ∠=，其外接球表面积为16π，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为________. 【答案】
83
【分析】设ABC 的外心为点O '，外接球的球心为O ，过点O 作OD PA ⊥于点D ，令AB a ，PD DA OO h '===，由222DO DP PO +=得2
2
143
a h +=，所以
33
(4)2
P ABC V h h -=
-，利用导数求解体积的最大值. 【详解】如图所示，
令AB a ，PD DA OO h '===，则BO AO ''==3
3
DO a =
，外接球表面积为16π， 所以半径2r
，在Rt PDO △中，222DO DP PO +=，即2
2
343h ??+= ? ???
，即2
2143
a h +=， 得2
2
3(4)a h =-，所以体积
21132334P ABC ABC V S PA a h -==△ 2333
(4)62
a h h h ==-，
令33()(4)2f h h h =-(0)h >，2
3()(43)2f h h '=-，()f h 在230?? ? ???，上单调递增，在23??
+∞ ? ???，上单调递减，
所以23h =时，P ABC V -的最大值为
2383f ??= ? ???
. 故答案为：
8
3
【点睛】本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.
16．已知函数()()()sin 0f x x ω?ω=+>，π2
?≤
，下述五个结论：①若π5?=，
且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点；②若π
4
?=
，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有3个极小值点；③若π5?=，且()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，则()f x 在π0,10??
???
上单调
递增
；④若π
4?=
，且()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范围是1519,88??????
；⑤若()f x 的图象关于π4x =
对称，π4x =-为它的一个零点，且在π5π,1836??
???
上单调，则
ω的最大值为11.其中所有正确结论的编号是________.
【答案】①③④
【分析】画出()f x 的大致图象，即可判断①②； 对于③，由题可得
<1229510ω≤，当100πx ?
?∈ ???
，时，55105ππππx ωω<+<
+，所以491051002
π
πππ
ω+
<<，故判断③；
对于④，由4254
π
πππω+<≤得ω范围，故可判断④；
对于⑤，由题知2()21πT k Z k =∈+，又()f x 在51836ππ??
???，上单调，所以6πT ≥，
11
2
k ≤
，将5k =，4k =代入验证即可. 【详解】①若π
5?=，()f x 在[02]π，
上有5个零点，可画出大致图象，
由图3可知，()f x 在(02)π，
有且仅有3个极大值点，故①正确； ②若π
4
?=
，且()f x 在[02]π，
有且仅有4个零点，同样由图可知()f x 在[02]π，有且仅有2个极小值点，故②错误； ③若π
5?=
，由()f x 在[02]π，上有5个零点，得2429255πππ<ωω≤，即
<1229510
ω≤，当100πx ??∈ ???
，时，55105ππππx ωω<+<
+，所以491051002ππππω+<<，所以()f x 在001π?
? ???
，上单调递增，故③正确； ④若π
4?=
，因为02x π≤≤，∴02x πωω≤≤，∴2444
πππx πωω++≤≤，因为()f x 在[02]π，
有且仅有4个零点，所以4254ππππω+<≤，所以1519
88
ω<≤，所以④正确；
⑤若()f x 的图象关于π
4x =对称，π4x =-为它的零点，则224
πkT T =
+(k Z ∈，T 为周期)， 得2()21πT k Z k =
∈+，又()f x 在51836ππ??
???
，上单调，所以6πT ≥，112k ≤， 又当5k =时，11ω=，π4?=-
，()f x 在51836ππ??
???
，上不单调； 当4k =时，9ω=，π
4?=，()f x 在51836ππ?? ???
，上单调，满足题意，故ω的最大值为9，故⑤不正确. 故答案为：①③④
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与极值相关概念，考查了数形结合的思想，考查学生的逻辑推理与运算求解能力.
三、解答题
17．已知等比数列{}n a 满足124a a +=，318a a -=，在公差不为0的等差数列{}n b ，
中，24b =，且1b ，2b ，4b 成等比数列. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记1122n n n T a b a b a b =++
+，求n T .
【答案】（1）1
3-=n n a ，2n b n =；（2）(21)31
2
n n n T -+=
. 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，结合条件求出1a 和q ，根据等比数列的通项公式，即可求出数列{}n a 的通项公式；设等差数列{}n b 的公差为d ，结合条件，根据等比中项的性质即可求出1b 和d ，最后根据等差数列的通项公式，即可求出数列{}n b 的通项公式；
（2）由于1122n n n T a b a b a b =++
+，利用错位相减法进行求和，即可得出结果.
【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
124a a +=，318a a -=，
则112
1148a a q a q a +=??
-=?，
，
得11a =，3q =，所以13-=n n a ， 设等差数列{}n b 的公差为d ，
∵24b =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，
221422()(2)b b b b d b d ∴==-+，
2d ∴=，12b =，∴2n b n =.
（2）1122n n n T a b a b a b =++
+，
12112343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n ---∴=?+?++++-+……，① 21332343(2)3(22)3(2)k n n n T k n n -=?+?++++-+……，②
②?①得212122323233(2)n n
n T n -=-?-?-?--?+…， 即2(21)31n
n T n =-+，
∴(21)31
2
n n n T -+=
. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及等比中项的性质和利用错位相
减法求和，考查化简运算能力.
18．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：
（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？并指出是正相关还是负相关
（2）求特征量y 关于x 的回归方程，并预测当特征量x 为12时特征量y 的值； （3）设特征量x 满足()2
~,X N
μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2
σ
近似为样本方
差2s ，求()3.813.4P
X <<.
附：参考公式：相关系数(
)()
n
i
i
x x y y r -?-=
∑()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==-?-=
-∑∑，
a y bx =-.
1.414≈ 3.2= 1.8≈，若()2
~,X N
μσ，则
()68.26%P X μσμσ-<<+=，()2295.44%P X μσμσ-<<+=
【答案】（1）可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系；负相关；（2）?0.5612.92y
x =-+；12x =时，? 6.2y
=；（3）0.8185. 【分析】（1）根据题中数据，结合相关系数的公式，求出相关系数，即可判断出结论；
（2）根据最小二乘法，求出?b
，?a ，即可得出线性回归方程，从而可得预测值； （3）根据正态分布的对称性，根据题中条件，即可求出结果.
【详解】（1）由题意得51135755i i x x ===
=∑，51145
955
i i y y ====∑， 55
1
1
()()5212510889811757928
i
i
i i
i i x x y y x y x y ==--=-=?+?+?+?+?-??=-∑∑，
5
2
1
()
50i
i x x =-=∑，5
21
()16i i y y =-=∑，因而相关系数
1
2
2
1
1
()()
0.9950165
2
()()
n
i
i
i n n
i
i
i i x x y y r x x y y ===--=
=
=≈-?--∑∑∑ .
由于||0.99r ≈很接近1，说明x ，y 线性相关性很强，
因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系.由于0r <，故其关系为负相关.
（2）由（1）知，1
2
1
()
()
28
?0.5650
()
n
i
i i n
i
i x x y y b
x x ==---==
=--∑∑，∴??9(0.56)712.92a
y bx =-=-?-=， 则所求的回归方程是?0.5612.92y
x =-+. 当特征量x 为12时，可预测特征量?0.561212.92 6.2y
=-?+=. （3）由（1）知，7x μ==，又由
22222221
[(27)(57)(87)(97)(117)]105
s σ==-+-+-+-+-=，
得 3.2σ≈，从而
11
(3.813.4)()(22)0.818522
P X P X P X μσμσμσμσ<<=
-<<++-<<+=.
【点睛】本题考查相关系数的计算以及线性相关性的判定，考查最小二乘法求回归方程，根据回归方程进行预测，考查正态分布指定区间的概率，属于常考题型.
19．如图所示，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点.
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30°，求三棱锥A PMC -的体积. 【答案】（1）证明见详解；（2）
163
. 【分析】（1）连接OB ，先证明OP AC ⊥，再证明OP OB ⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明PO ⊥平面ABC ；
（2）以O 为坐标原点，以OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设(,2,0)(02)M a a a -<≤，利用空间向量分别计算平面MPA
的法向量n ，取平面PAC 的法向量(2,0,0)OB =，利用法向量夹角的余弦值为3
求解a 的值，得出点M 的位置，然后计算三棱锥A PMC -的体积.
【详解】（1）证明：因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且
23OP =.
如图，连接OB ，因为2
AB BC AC ==，所以ABC 为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1
22
OB AC =
=. 则222OP OB PB +=，所以PO OB ⊥，
由OP OB ⊥，OP AC ⊥，AC ?平面ABC ，OB ?平面ABC ，且AC OB O =,
所以PO ⊥平面ABC .
（2）如图所示，以O 为坐标原点，以OB 、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.
由已知得(0,0,0)O ，(2,0,0)B ，(0,2,0)A -，(0,2,0)C ，(0,0,3)P ，
(0,2,3)AP =，
取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =，设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则
(,4,0)
AM a a
=-，
设平面P AM的法向量为(,,)
n x y z
=，由0
AP n?=，0
AM n?=，
得
2230
(4)0
y z
ax a y
?+=
?
?
+-
=
??
，
，
可取(3(4)
n a
=-，3)
a a
-
，，所以
222
23(4)
cos,
23(4)3
a
OB n
a a a
-
??=
-++
.
由已知可得
3
|cos,|
2
OB
??=
n，所以
222
23|4|3
=
2
23(4)3
a
a a a
-
-++
，解得4
a=-(舍
去)，
4
3
a=，
则
114163
423
3239
A PMC P AMC
V V
--
==????=，所以三棱锥A PMC
-的体积为
163
.
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查利用空间向量方法解决二面角问题，考查学生的基本运算能力、逻辑推理能力，难度较大. 解决夹角问题时，平面法向量的计算是关键.
20．已知函数()()
2
x
f x e ax x R
-
=-∈，()()
ln11
g x x
=+-.
（1）当
1
2
a=-时，求函数()
f x的最小值；
（2）若0
x≥时，()()0
f x
g x
-+≥，求实数a的取值范围.
【答案】（1）1；（2）[1,)
-+∞.
【分析】（1）将
1
2
a=-代入，然后求导，利用导数分析函数()
f x的单调性并确定其
（2）若0x ≥时，()()0f x g x -+≥，则2ln(1)10x e ax x +++-≥，
令()2ln(1)1x
h x e ax x =+++-，当1a ≥-时，可证()0h x '
≥恒成立，则函数()h x 在区间[0)+∞，
上单调递增，则()(0)0h x h ≥=成立；当1a <-时，令1
()21
x x e a x ?=+
++， 求导可分析得到()0x ?'≥，则()()h x x ?'=在区间[0)+∞，
上单调递增，由于(0)220a ?=+<，则()()0h x x ?'==在[0)+∞，上存在零点，设0()0h x '=，则可得
函数()h x 在区间0(0,)x 上单调递减，所以0()(0)0h x h <=（舍）.综上可得出a 的取值范围.
【详解】（1）当12
a =-
时，函数的解析式为()x f x e x -=+，则()1x
f x e -'=-+， 由()10x
f e x -'=-+=，得0x =，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，
所以函数在区间(0)+∞，
上单调递增，在区间(0)-∞，上单调递减， 函数的最小值为0
(0)01f e =+=.
（2）若0x ≥时，()()0f x g x -+≥，即2ln(1)10x
e ax x +++-≥()，
令()2ln(1)1x
h x e ax x =+++-，则1
()21
x
h x e a x '=+
++. ①若1a ≥-，由（1）知1x e x -+≥，即e 1x x -≥-，故e 1x x ≥+，
11()2(1)2222011x h x e a x a a a x x '=+
+≥+++≥=+≥++， ∴函数()h x 在区间[0)+∞，
上单调递增，∴()(0)0h x h ≥=，∴（）式成立； ②若1a <-，令1()21
x
x e a x ?=+++，则2221(1)1()0(1)(1)x x
x e x e x x ?+-'=-=++≥，
∴函数()?x 在区间[0)+∞，
上单调递增，由于(0)220a ?=+<， 2111
(2)212210121212a a e a a a a a a
?--=+
+-++=+>---≥，故0(02)x a ?∈-，，使得0()0x ?=，
则当00x x <<时，0()()0x x ??<=，即()0h x '<，∴函数()h x 在区间0(0)x ，上单
∴0()(0)0h x h <=，即（）式不恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,)-+∞.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查根据不等式恒成立问题求解参数的取值范围,难度较大.解答时，分类讨论得出原函数的单调性是解题的核心.
21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12，且抛物线2
4y x =的焦点恰好
是椭圆C 的一个焦点. （1）求椭圆C 的方程；
（2）与圆2
2
2x y +=相切的直线:l y kx t =+交椭圆C 于,M N 两点，若椭圆上存在点P 满足()()0OP OM ON μμ=+>，O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的取值
范围.
【答案】（1）22
143
x y +=；（2
）??. 【分析】（1）根据离心率和焦点坐标可构造方程求得,,a b c ，进而得到椭圆方程； （2）根据直线与圆相切可求得2t 的范围，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用2MON S S μ=△，可将所求面积整理为关于k 的函数，通过求解函数的值域可求得所求面积的取值范围.
【详解】（1）设椭圆的焦距为2c ， 离心率为
1
2，∴12
c a =，又点()1,0是抛物线和椭圆的焦点， ∴1c =，24a =，2223b a c ∴=-=，
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
（2）∵直线:l y kx t =+与圆22
2x y +=相切，
∴原点到直线l
的距离为d r =
==()2221t k =+，∴22t ≥.
设()11M x y ，，()22N x y ，，()00P x y ，，
由22143y kx t x y =+???+=??，，消去y 得：()2224384120k x ktx t +++-=，
∴122843kt x x k -+=+，2122
412
43
t x x k -=+， ∴()121226243
t
y y k x x t k +=++=
+，
∵()OP OM ON μ=+，∴0202843
643kt x k t y k μμ-?=??+??=?+?
，
又P 在椭圆C 上，∴22
22864343143
kt t k k μμ????- ? ?++????+=
，∴μ=设MN 的中点为E ，则()
2OP OM ON OE μμ=+=， ∴四边形OMPN
的面积1
222
MON S S MN d MN μμ==?
?=△
=
=
=
==
令()2222111143243k f k k k +??
==- ?++??
，
∵2433k +≥，∴
()11
32
f k ≤<，∴2S
≤<， ∴四边形OMPN 面积的取值范围为??.
【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、直线与圆位置关系的应用、椭圆中的四边形面积问题的求解；求解面积取值范围的关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数关系式的形式，利用函数值域的求解方法求得所求的范围，属于较难题.
22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t α
α=+??=+?
（t 为参数，0πα≤<）
，在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C
的极坐标方程为
ρ=
（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点的直角坐标为()1,2，求直线l 的极坐标方程. 【答案】（1）l 的普通方程为1x =或2tan (1)y x α-=-；C 的直角坐标方程为
22
1416
x y +=；
（2）2cos sin 40ρθρθ+-= 【分析】（1）分π2
α=
和π
2α≠两种情况，即可得出直线的普通方程；根据曲线的极坐
标方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出C 的直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入22
1416
x y +=，根据弦中点坐标，求出tan 2α
，即可
得出直线的直角坐标方程，从而可得到其极坐标方程. 【详解】（1）当π2
α=
时，l 的普通方程为1x =； 当π
2α≠时，l 的普通方程为
2tan (1)y x α-=-，
即(tan )2tan 0x y αα-+-=.
由ρ=
2222223cos 316x y x ρρθ+=++=，
即22
1416
x y +=.
（2）将1cos 2sin x t y t αα=+??=+?
，，代入22
1416x y +=中，整理得
22(13cos )(8cos 4sin )80t t ααα+++-=，
依题意得120t t +=，即2
8cos 4sin 013cos αα
α
+-
=+，即8cos 4sin 0αα+=，得tan 2α，
所以直线l 的斜率为2-，直线l 的一般方程为240x y +-=， 则直线l 的极坐标方程为2cos sin 40ρθρθ+-=.