§4 二次函数性质的再研究
4．1 二次函数的图像
知识点 二次函数的图像
[填一填]
1．二次函数
函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫作二次函数．它的定义域是R .
如果b ＝c ＝0，则函数变为y ＝ax 2.我们知道，它的图像是一条顶点为原点的抛物线．a >0时，抛物线开口向上，a <0时，抛物线开口向下．
2．二次函数的图像变换
(1)二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像可由y ＝x 2的图像横坐标不变，纵坐标伸长为原来的a 倍得到；
(2)二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像可由y ＝ax 2的图像向左(h >0)(或向右(h <0))平移|h |个单位，再向上(k >0)(或向下(k <0))平移|k |个单位得到；
(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像，可把它先配方，再由y ＝ax 2的图像平移得到；
(4)函数y ＝f (x ＋a )的图像可由y ＝f (x )的图像向左(a >0)(或向右(a <0))平移|a |个单位得到；
(5)函数y ＝f (x )＋k 的图像可由y ＝f (x )的图像向上(k >0)(或向下(k <0))平移|k |个单位得到．
[答一答]
1．函数y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像之间有怎样的关系？
提示：函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像可以由函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像向左(h >0)或向右(h <0)平移|h |个单位，再向上(k >0)或向下(k <0)平移|k |个单位得到．h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图像的平移变换，所以函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像形状相同，只是位置不同．
2．函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像之间有怎样的关系？
提示：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方可以得到其恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，从而可以知道，由y ＝ax 2的图像如何平移就得到y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，即y ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 2
4a (a ≠0)中，二次项系数a 决定着函数图
像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置，抛物
线的对称轴是直线x ＝－b 2a
，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点(－b 2a ，4ac －b 24a
)的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c ＝0时，抛物线经过坐标原点，当c >0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c <0时，交点在y 轴的负半轴．
作二次函数图像一般用描点作图法和平移变换法．
(1)描点作图法：①先找出顶点坐标，画出对称轴；②找出抛物线上关于对称轴对称的四个点；③把上述五点按从左到右的顺序用平滑的曲线连接起来．
如果题中涉及二次函数及其图像，那么只需画出图像，截取需要的部分即可．
(2)平移变换法：任意抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)都可转化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并且都可由y ＝ax 2的图像经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示．
①a 决定抛物线开口方向：a >0，开口向上；a <0，开口向下．
②c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即抛物线过点(0，c )，在画抛物线简图时常常用到．
③对称轴：直线x ＝－b 2a
.在对称轴的两侧，二次函数的单调性相反． ④顶点坐标：(－b 2a ，4ac －b 2
4a )．当a >0时，4ac －b 24a 是二次函数的最小值；当a <0时，4ac －b 24a 是二次函数的最大值．
⑤画二次函数的简图：求出顶点坐标，画出点(0，c )．注意开口方向及其对称轴，画出抛物线的简图，如图所示．
类型一 二次函数的定义
【例1】 当m 为何值时，函数y ＝(m －3)xm 2－9m ＋20是二次函数．
【思路探究】 根据定义y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
【解】 由题意得?????
m 2－9m ＋20＝2m －3≠0， 解得m ＝6或m ＝3且m ≠3，∴m ＝6，
∴当m ＝6时，函数y ＝(m －3)xm 2－9m ＋20是二次函数．
规律方法 不要忽略条件m －3≠0.
已知函数y ＝(4a ＋3)x 4a 2－a －1＋x －1是一个二次函数，求满足条件的a 的值．
解：由题意可得?????
4a ＋3≠0
4a 2－a －1＝2， 即??? a ≠－34a ＝－34或a ＝1，∴a ＝1.
即a 的值为1时，函数为二次函数．
类型二 二次函数的平移变换
【例2】 将抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5先向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．
【思路探究】 方法1：依据抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的关系，求出经过两次平移后的抛物线所对应的函数解析式．
方法2：由于抛物线的平移，其形状、开口方向不变，即a 相同，只是顶点的位置发生了改变，故先求抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5的顶点坐标，再求平移后抛物线的顶点坐标，从而得到函数解析式．
【解】 方法1：抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5＝－(x －1)2＋6，向下平移1个单位长度，得抛