专题1 第3讲
1．(2017·重庆西北狼联盟试题)如图，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( C
)
A.3gR
2 B ．3gR
2 C.
33gR
2
D ．
3gR
3
解析 小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点，由此可知此时小球的速度与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝tan 30°2＝36，因此tan θ＝y x ＝y
3
2
R ，
则竖直位移y ＝
34R ，v 2
y ＝2gy ＝3gR 2，所以tan 30°＝v y 0
，v 0＝32
gR 33
＝33
2
gR ，选项C 正确．
2．(2017·江西名校质检)(多选)如图所示，在竖直平面内，位于P 、Q 两点的两个小球相向做平抛运动，二者恰好在M 点相遇．已知P 、Q 、M 三点组成边长为
L 的等边三角形，则下列说法正确的是( BC )
A ．两个小球相向做平拋运动的初速度一定相同
B ．两个小球从拋出到相遇，运动的时间一定相同
C ．两个小球相遇时的速度大小一定相等
D ．两个小球相遇时速度方向间的夹角为60°
解析 根据平抛运动规律，两个小球相向做平抛运动的初速度大小一定相等，方向相反，
选项A 错误；两个小球从抛出到相遇，竖直位移相等，根据平抛运动规律，两个小球从抛出到相遇，运动的时间一定相同，选项B 正确；两个小球从抛出到相遇过程机械能守恒，由机械能守恒定律，可知两个小球相遇时的速度大小一定相等，选项C 正确；两个小球相遇时位移方向间的夹角为60°，故速度方向间的夹角小于60°，选项D 错误．
3．(2017·全国卷Ⅱ)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直． 一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g )( B )
A.v 2
16g B ．v 28g
C ．v 24g
D ．v 22g
解析 设轨道半径为R ，小物块从轨道上端飞出时的速度为v 1，由于轨道光滑，根据机械能守恒定律，有mg ×2R ＝12m v 2－1
2m v 21，小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分
解有x ＝v 1t,2R ＝1
2
gt 2，求得x ＝
－16????R －v 2
8g 2＋v 4
4g
2，因此当R －v 2
8g ＝0，即R ＝v
2
8g 时，x
取得最大值，选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．
4．(2017·安徽师大附中模拟)(多选)如图所示，BOD 是半圆的水平直径，OC 为竖直半径，半圆半径为R .现有质量相同的a 、b 两个小球分别从A 、B 两点以一定的初速度水平抛出，分别击中半圆轨道上的D 点和C 点，已知b 球击中C 点时动能为E k ，A 点在B 点正上方且A 、B 间距为R ，不计空气阻力，则( AD )
A ．a 球击中D 点时动能为1.6E k
B ．a 球击中D 点时动能为1.25E k
C ．a 、b 两球初速度之比为1：1
D ．a 、b 小球与轨道碰撞瞬间，重力的瞬时功率之比为1：1
解析 由平抛运动规律有水平位移x ＝v 0t ，竖直位移y ＝1
2gt 2＝R ，知运动时间t 相同，而
x A ＝2R ＝2x B ，则v A ＝2v B ；竖直方向速度满足v 2y ＝2gR ，解得v y ＝2gR ，v 2
B ＝12gR ；a 、b 小球与轨道碰撞瞬间，重力的瞬时功率为P ＝mg v y 相等，比值为1∶1，则选项
C 错误，
D 正确；b 小球击中C 点时的动能
E k ＝12m v 2B ＋12m v 2y ＝12m v 2B ＋mgR ＝54mgR ，a 小球击中D 点时的动能E k A ＝12m v 2A ＋12m v 2y ＝42
m v 2B ＋mgR ＝2mgR ＝1.6E k ，则选项A 正确，B 错误．
5．(2017·辽宁实验中学期中)如图所示，轻绳的一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的小球(可视为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力T 、轻绳与竖直线OP 的夹角θ满足关系式T ＝a ＋b cos θ，式中a 、b 为常数．若不计空气阻力，则当地的重力加速度为( D )
A.b 2m B ．2b m
C ．3b m
D ．
b 3m
解析 设小球通过P 点时的速度为v 0，绳长为R . 当θ＝0°时，有T 1＝a ＋b ＝m v 20
R ＋mg ，①
当θ＝180°时，有T 2＝a －b ＝m v 2
R －mg .
由机械能守恒定律得12m v 20＝mg ·2R ＋1
2m v 2， 则T 2＝a －b ＝m v 20
R －5mg ，②
①②两式相减得g ＝
b
3m
，选项D 正确． 6．(2017·湖北武汉调考)(多选)如图所示，半径为R 的14圆弧轨道与半径为R
2的光滑半圆
弧轨道通过图示方式组合在一起，A 、B 分别为半圆弧轨道的最高点和最低点，O 为半圆弧的圆心．现让一可视为质点的小球从B 点以一定的初速度沿半圆弧轨道运动，恰好通过最高点A 后落在1
4
圆弧轨道上的C 点，不计空气阻力，重力加速度为g ，则下列说法中正确的
是( BD )
A ．小球运动到A 点时所受合力为零
B ．小球从B 点出发时的初速度大小为52
gR C ．C 点与A 点的高度差为3R
5
D ．小球到达C 点时的动能为25－1
4
mgR
解析 由于小球刚好能通过半圆弧轨道的最高点A ，故小球在A 点由重力提供其做圆周运动的向心力，选项A 错误；在A 点时，有mg ＝m v 2A
r ，其中r ＝R 2，解得v A ＝
gR
2
，由机械能守恒定律可得12m v 2B ＝mgR ＋12
m v 2
A ，代入数据，可解得v
B ＝5
2
gR ，选项B 正确；由平抛运动规律，可得x ＝v A t ，y ＝12gt 2，由几何关系可得x 2＋y 2＝R 2
，联立求解得y ＝(5－1)R 2，
故C 点与A 点的高度差为(5－1)R 2，选项C 错误；由动能定理可知E k C ＝1
2m v 2A ＋mgy ，解得
E k C ＝25－1
4
mgR ，选项D 正确．
7．(2016·浙江卷)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P 是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .(重力加速度为g )
(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间； (2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
(3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系．