专题八传送带与板块模型
一、运动时间的讨论
例题1：(水平放置的传送带)如图所示，水平放置的传送带以速度v=2m/s匀速向右运行，现将一质量为2kg的小物体轻轻地放在传送带A端，物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.2，若A端与B端相距4 m，求物体由A到B 的时间和物体到B端时的速度分别是多少？
变式训练1：如图所示，传送带的水平部分长为L，传动速率为v，在其左端无初速释放一小木块，若木块与传送带间的动摩擦因数为μ，则木块从左端运动到右端的时间不可能是 ( )
A.L
v
＋
v
2μg
B.
L
v
C.
2L
μg
D.
2L
v
例题2：(倾斜放置的传送带)如图所示，传送带与地面的倾角θ=37°，从A端到B端的长度为16m，传送带以v0=10m/s的速度沿逆时针方向转动。在传送带上端A处无初速地放置一个质量为0.5kg的物体，它与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.5，求物体从A端运动到B端所需的时间是多少？
(sin37°=0.6，cos37°=0.8 g=10m/s2)
二、相对滑动及能量转换的讨论
1．在例题1中当小物体与传送带相对静止时，转化为能的能量是多少？
2．在例题2中求物体从顶端滑到底端的过程中，摩擦力对物体做的功以及产生的热各是多少？
例题3：利用皮带运输机将物体由地面运送到高出水平地面的C平台上，C平台离地面的竖直高度为5m，已知皮带和物体间的动摩擦因数为0.75，运输机的皮带以2m/s的速度匀速顺时针运动且皮带和轮子之间不打滑．(g＝10m/s2，sin37°＝0.6)
(1)如图所示，若两个皮带轮相同，半径都是25cm，则此时轮子转动的角速度是多大？
(2)假设皮带在运送物体的过程中始终是紧的．为了将地面上的物体运送到平台上，皮带的倾角θ最大不能超过多少？
(3)皮带运输机架设好之后，皮带与水平面的夹角为θ＝30°.现将质量为1kg的
小物体轻轻地放在皮带的A处，运送到C处．试求由于运送此物体，运输机比空
载时多消耗的能量．
例题4.如图所示，质量M=8.0kg的小车放在光滑的水平面上，给小车施加一个水平向右的恒力F=8.0N。当向右运动的速度达到u0=1.5m/s时，有一物块以水平向左的初速度v0=1.0m/s滑上小车的右端。小物块的质量m=2.0kg，物块与小车表面的动摩擦因数μ=0.20。设小车足够长，重力加速度g=10m/s2。
求：
（1）物块从滑上小车开始，经过多长的时间速度减小为零。
（2）物块在小车上相对滑动的过程，物块相对地面的位移。
（3）物块在小车上相对小车滑动的过程中，系统产生的能？（保留两位有效数字）
例题5、（１４分）如图所示为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B两端相距3m ，另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ= 37o， C 、D两端相距 4.45 m ，B 、C 相距很近。水平部分AB以 5m/s的速率顺时针转动。将质量为 10 kg 的一袋大米放在A端，到达B端后，速度大小不变地传到倾斜的CD部分，米袋与
传送带间的动摩擦因数均为 0.5 。试求：
（1）若 CD 部分传送带不运转，求米袋沿传送带所能上升的最大距离。
（2）若要米袋能被送到D端，求CD部分顺时针运转的速度应满足
的条件及米袋从C端到D端所用时间的取值围。
例题6．(14分)如图所示，一光滑的曲面与长L = 2 m的水平传送带左端平滑连接，一滑块从曲面上某位置由静止开始下滑，滑块与传送带间的动摩擦因数μ= 0.5．传送带离地面的高度h0 = 0.8 m。现让滑块从曲面上离传送带高度h1 = 1.8 m的A处开始下滑，则：
(l)若传送带固定不动，求滑块落地点与传送带右端的水平距离；
(2)若传送带以速率V0 = 5 m／s顺时针匀速带动，求滑块在传送带上运动的时间。
例题7（ 13分）如图所示，质量为m=1kg的滑块，在水平力作用下静止在倾角为θ=30o在光滑斜面上，斜面的末端B与水平传送带相接（物块经过此位置滑上皮带时无能量损失），传送带的运行速度为v0=3m/s，长为L=1.4m；今将水平力撤去，当滑块滑到传送带右端C时，恰好与传送带速度相同。滑块与传送带间的动摩擦因数为μ=0.25。g=10m/s2求：
（1）水平作用力力F大小
（2）滑块下滑的高度。
（3）若滑块进入传送带速度大于3m/s，滑块在传送带上滑行的整个过
程中产生的热量。
例题8．（15分）如图所示，水平光滑地面上放一质量M=3kg的小车，左侧靠在竖直墙上，小车的四分之一圆弧轨道AB是光滑的，最低点B与粗糙的水平轨道BC相切，质量m=1kg的小滑块从A点正上方距BC竖直高度h=1.8m处无初速下落，滑过圆弧轨道后沿水平方向在小车上滑动，当小车与滑块达到共同速度后，小车与右侧的竖直墙壁发生碰撞，小车立即原速率反弹，之后滑块从车上掉下做自由落体运动，已知滑块与BC间的动摩擦因数μ=0.3，g=10m/s2，不计空气阻力，求：
（1）滑块到达小车上B点时的速度大小；
θ
D
（2）滑块自B 点到与小车共速所用时间； （3）BC 的长度。
例9．(2011·卷·24)如图3所示，在高出水平地面h ＝1.8 m 的光滑平台上放置一质量M ＝2 kg 、由两种不同材料连接成一体的薄板A ，其右段长度l 1＝0.2 m 且表面光滑，左段表面粗糙．在A 最右端放有可视为质点的物块B ，其质量
m ＝1 kg.B 与A 左段间动摩擦因数μ＝0.4.开始时二者均静止，现对A 施加F ＝20 N 水平向右的恒力，待B 脱离A (A
尚未露出平台)后，将A 取走．B 离开平台后的落地点与平台右边缘的水平距离x ＝1.2 m ．(取g ＝10 m/s 2
)求： (1)B 离开平台时的速度vB.
(2)B 从开始运动到刚脱离A 时，B 运动的时间t B 和位移x B . (3)A 左端的长度l 2.
例10．如图13所示，质量为m 0＝4 kg 的木板静止在光滑的水平面上，在木板的右端放置一个质量m ＝1 kg ，大小可
以忽略的铁块，铁块与木板之间的动摩擦因数μ＝0.4，在铁块上施加一个水平向左的恒力F ＝8 N ，铁块在长L ＝6 m 的木板上滑动．取g ＝10 m/s 2
.求： (1)经过多长时间铁块运动到木板的左端；
(2)在铁块到达木板左端的过程中，恒力F 对铁块所做的功； (3)在铁块到达木板左端时，铁块和木板的总动能．
例11（10卷）22.（20分）如图所示，物体A 放在足够长的木板B 上，木板B 静止于水平面。t=0时，电动机通过水平细绳以恒力F 拉木板B ，使它做初速度为零，加速度a B =1.0m/s 2
的匀加速直线运动。已知A 的质量m A 和B 的质量m B 均为2.0kg,A 、B 之间的动摩擦因数1μ=0.05，B 与水平面之间的动摩擦因数2μ=0.1，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等，重力加速度g 取10m/s 2
。求 （1）物体A 刚运动时的加速度a A （2）t=1.0s 时，电动机的输出功率P ；
（3）若t=1.0s 时，将电动机的输出功率立即调整为P`=5W ，并在以后的运动过程中始终保持这一功率不变，t=3.8s 时物体A 的速度为1.2m/s 。则在t=1.0s 到t=3.8s 这段时间木板B 的位移为多少？
图3
图13
例12（13年新课标Ⅱ２５）.（１８分）
一长木板在水平地面上运动，在ｔ=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度－时间图像如图所示。己知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦.物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g＝１０ｍ／ｓ２求:
(1)物块与木板间；木板与地面间的动摩擦因数:
(2)从ｔ＝０时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小.
例13.【2013高考】. (16 分)如图所示,将小砝码置于桌面上的薄纸板上,用水平向右的拉力将纸板迅速抽出, 砝码的移动很小,几乎观察不到,这就是大家熟悉的惯性演示实验. 若砝码和纸板的质量分别为m1和m2,各接触面间的动摩擦因数均为μ. 重力加速度为g.
（1）当纸板相对砝码运动时，求纸板所受摩擦力的大小；
(2)要使纸板相对砝码运动,,求需所拉力的大小；
(3)本实验中,m1 =0. 5 kg,m2 =0. 1 kg,μ=0. 2,砝码与纸板左端的距离d =0. 1 m,取g =10 m/ s2. 若砝码移动的距离超过l =0. 002 m,人眼就能感知. 为确保实验成功,纸板所需的拉力至少多大?
例1 解析：小物体放在A 端时初速度为零，且相对于传送带向左运动，所以小物体受到向右的滑动摩擦力，小物体在该力作用下向前加速，a=μg,当小物体的速度与传送带的速度相等时，两者相对静止，摩擦力突变为零，小物体开始做匀速直线运动。所以小物体的运动可以分两个阶段，先由零开始匀加速运动，后做匀速直线运动。 小物体做匀加速运动，达到带速2m/s 所需的时间 1v
t s a
== 在此时间小物体对地的位移m at x 12
12
==
以后小物体以2m/s 做匀速直线运动的时间 s s v x s t AB 5.12
3
==-=
' 物体由A 到B 的时间T=1s+1.5s=2.5s ，且到达B 端时的速度为2m/s.
讨论：若带长L 和动摩擦因数μ已知，则当带速v 多大时，传送时间最短？
22
()()22v v v L v T vT a g a a a
μ=+-=-
=22L v
L v
T T v a
v a
=
+=当
时最短 此时22v aL gL μ==这说明小物体一直被加速过去且达到另一端时恰与带同速时间最短。
变式训练 1.解析：因木块运动到右端的过程不同，对应的时间也不同，水平传送带传送物体一般存在以下三种情况（1）若一直匀加速至右端仍未达带速，则L ＝12μgt 2
，得：t ＝2L μg
，C 正确；（2）若一直加速到右端时的速度恰
好与带速v 相等，则L ＝0＋v 2t ，有：t ＝2L v ，D 正确；（3）若先匀加速到带速v ，再匀速到右端，则v2
2μg ＋v ?
???t －v μg ＝L ，有：t ＝L v ＋v
2μg
，A 正确，木块不可能一直匀速至右端，故B 不可能．
例 2 解析：物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带施加给物体一沿斜面向下的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，受力分析如图（a ）所示；当物体加速至与传送带速度相等时，由于μ＜tanθ，物体在重力作用下将继续加速，此后物体的速度大于传送带的速度，传送带给物体沿传送带向上的滑动摩擦力，但合力沿传送带向下，物体继续加速下滑，受力分析如图(b)所示。综上可知，滑动摩擦力的方向在获得共同速度的瞬间发生了“突变”。 物体与带同速前由牛顿第二定律，得
mgsinθ＋μmgcosθ=ma 1 a 1=gsinθ＋μgcosθ=10m/s 2
物体加速至与传送带速度相等需要的时间为t 1＝v 0/a 1＝1s 物体对地的位移为2
1115162
x a t m m =
= 可知物体加速到10m/s 时仍未到达B 点。
第二阶段的受力分析如图(b)所示，应用牛顿第二定律，有
mgsinθ－μmgcosθ＝ma 2， a 2＝2m/s 2
设第二阶段物体滑动到B 端的时间为t 2，带长为L 则 202221
2
L x v t a t -=+
解得t 2＝1s ，ｔ2′=-11s （舍去） 故物体经历的总时间ｔ=t 1＋t 2=2s
从上述问题1和问题2可以看出，传送带对物体的摩擦力，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻。这一点应特别注意。 1解析：在小物体从开始加速至与传送带达到共同速度的过程中
小物体对地的位移：m g v a v x 1222
2===
μ 传送带运动的位移：m g
v vt x 22
==='μ 小物体相对传送带滑动的位移：m g v x x x 122
==-'=?μ 摩擦产生的热：J mv g v mg x mg Q 42
1
222==?
=??=μμμ 本题可得出的结论是：从静止放到水平匀速运动的传送带上的物体，在达到与传送带同速的过程中，转化为能的能量值和物体增加的动能值相等。因为物体在该过程中的对地位移与传送带相对物体的位移大小是相等的。 2解析：物体与带同速前摩擦力做正功，J x mg W 10cos 1=?=θμ
物体与带同速后摩擦力做负功，J x L mg W 22)(cos 2-=-?-=θμ 全程摩擦力所做的功J W W W 1221-=+= 全过程中物体与带的相对位移
m
t v x L x t v S 6)()(2010=--+-=
全过程中生的热 J S mg Q 12cos =?=θμ
该题目的关键在于分析清楚物理过程，分成两段处理，正确分析物体受力情况，求出物体和传送带的对地位移，以及物体和传送带间的相对位移。
例3.解析：(1)轮子做圆周运动，根据公式：v ＝ωr 可得轮子转动的角速度为：ω＝8rad/s
(2)要将物体运送到平台上，物体所受到的力应该满足：μmgcos θ>mgsin θ tan θ<μ＝0.75 所以θ<37°
(3)P 物体放在皮带上先做匀加速运动，当速度达到皮带的速度时做匀速运动，物体匀加速运动时，根据牛顿第二定律可得：μmgcos θ－mgsin θ＝ma
解得物体的加速度为：a ＝μgcos θ－gsin θ＝1.5m/s 2
物体速度达到2m/s 所经过的位移为m a v S 3
422==
物体与皮带开始接触的点通过的位移为：m a v vt S 3
82==
=' 物体与皮带的相对位移为m S S S 3
4=
-'=? 因滑动摩擦产生的热量为：Q ＝μmgcos θ·Δs ＝8.7J 因此运送此物体运输机比空载时多消耗的电能为：
J mv mgh Q E 7.602
1
2=++=?
例4.解：（1）设物块滑上小车后，做加速度为m a 的匀变速运动，经过时间t 1速度减为零m ma mg =μ 100t a v m -= 解得 m a =2m/s 2
g
v t μ0
1=
=0.5s （2）小车做加速度为m a 的匀加速运动，根据牛顿第二定律：F －μmg=m Ma 解得 M
mg
F a m μ-=
设经过t 物块与小车具有共同的速度v ，物块对地的位移为s 1，小车运动的位移为s 2，取向右为正方向。
则，对物块：v =－v 0+a m t 20121
t a t v s m +-=... 对小车：t a u v m +=0 (2)
022
1t a t u s m +-=……
联立解得：s 1=1.1m ，s 2=3.2m …… （3）系统产生的能：E=μmg(s 2－s 1)=8.4J
例题5、（1） 米袋在 AB 上加速时的加速度 a o = μmg /m = μg = 0.5×10 = 5 m/s 2
１分
米袋的速度达到 v o = 5 m/s 时，滑行的距离 s o = v o 2/2 a o = 52
/2×5 = 2.5 m < d AB = 3 m １分 因此米袋在到达 B 点之前就有了与传送带相同的速度 1分 设米袋在 CD 上运动的加速度大小为 a ，
由牛顿第二定律，有：mg sin θ + μmg cos θ = ma ２分 代入数据解得 a = 10 m/s 2
1’
所以能滑上的最大距离 s = v o 2/2a = 52
/2×10 = 1.25 m （２分） 2’
（2） 设 CD 部分运转速度为 v 1 时米袋恰能到达 D 点（即米袋到达 D 点时速度恰好为零），
则米袋速度减为 v 1 之前的加速度为 a 1 = - g （sin θ + μcos θ） = - 10 m/s 2
１分
米袋速度小于 v 1 至减为零前的加速度为 a 2 = - g （sin θ - μcos θ） = - 2 m/s 2
1分
由 [（v 12 - v o 2）/2 a 1 ] + [（0 - v 12
）/2 a 2] = 4.45 m １分 解得 v 1 = 4 m/s ，即要把米袋送到 D 点，CD 部分的速度 v CD ≥ v 1 = 4 m/s 1分 米袋恰能运到D 点所用时间最长为 t max = [（v 1 - v o ）/a 1] +[（0 - v 1）/a 2] = 2.1s 1分
若 CD 部分传送带的速度较大，使米袋沿 CD 上滑时所受摩擦力一直沿皮带向上，则所用时间最短，此种情况米袋加速度一直为 a 2 。由 s CD = v o t max + 12
a 2 t max 2
１分
解得 t max = 1.16 s
∴ 所求的时间 t 的围为1.16 s ≤ t ≤ 2.1 s （1分）
例6
例7．解：（1）滑块受到水平推力F 、重力mg 和支持力N 处于平衡，如图所示，水平推力 F=mgtanθ……① -------2分 F=
N 3
3
10 -------1分 （2）设滑块从高为h 处下滑，到达斜面底端速度为v
下滑过程机械能守恒：22
1mv mgh =∴gh v 2=……②-----1分
若滑块冲上传送带时的速度小于传送带速度，则 滑块在带上由于受到向右的滑动摩擦力而做匀加速运动；根据
动能定理有：221
2021mv mv mgL -=μ……③ -----2分
∴L h g
v μ-=22
0…… h=0.1m -------1分
若滑块冲上传送带时的速度大于传送带的速度，则滑块由于受到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动；根据
动能定理：221
2021mv mv mgL -=-μ……⑤ -2分
L h g
v μ+=22
0……⑥ h=0.8m -------1分
（3）设滑块在传送带上运动的时间为t ，则t 时间传送带的位移： s =v 0t
2
21mv mgh =……⑦ -------1分
at v v -=0……⑧ -------1分
滑块相对传送带滑动的位移s L s -=?………⑨ -------1分 相对滑动生成的热量s mg Q ??=μ
……⑩ -------1分
12【解析】（1）从t=0时开始，木板与物块之间的摩擦力使物块加速，使木板减速，此过程一直持续到物块和木板具有共同速度为止。
由图可知，在t １=0.5s 时，物块和木板的速度相同，设t=0到t=t １时间间隔，物块和木板的加速度大小分别a 1和a 2，则1
11
v a t =
①01
21
v v a t -=
② 式中v 0=5m/s ，v 1=1m/s 分别为木板在t=0、t=t 1时速度的大小。
设物块和木板的质量为m ，物块和木板间、木板和地面间的动摩擦因素分别为μ1和μ2，由牛顿第二定律得 μ1mg=ma ③（μ1+2μ2）mg=ma ④ 以上各式联立解得：μ1=0.2 ⑤ μ2=0.3
⑥
（2）在1t 时刻后，地面对木板的摩擦力阻碍木板运动，物块与木板之间的摩擦力改变方向。设物块与木板之间
的摩擦力大小为f ，物块和木板的加速度大小分别为/1a 和/2a ，则由牛顿第二定律得/1
f ma = ⑦ /22
2mg f ma μ-= ⑧ 假设1f mg μ<，则//12a a = ，由⑤⑥⑦⑧式得21f mg mg μμ=>，与假设矛盾。故1
f m
g μ= ⑨ 由⑦⑨式知，物块加速度的大小/11a a =：物块的v －t 图像如图中点划线所示。
由运动学公式可推知，物块和木板相对于地面的运动距离分别为2
11
1
22v s a =? ⑩
2
12121/2
22v v v s t a +=+ ?
物块相对于木板的位移的大小为：21s
s s =- ?
联立①⑤⑥⑧⑨⑩??式解得：S ＝1.125m
【答案】（1）μ1=0.2 μ2=0.3 （2）S ＝1.125m 10：解（1）砝码对纸板的摩擦力11f m g μ=
桌面对纸板的摩擦力212()f m m g μ=+ 12f f f +=解得：12(2)f m m g μ=+ （2）设砝码的加速度为a 1，纸板的加速度为a 2，则：111f m a = ，1222F f f m a --= 发生相对运动有：a 1＜a 2 解得：122()F
m m g μ+
(3)纸板抽出前，砝码运动的距离：211112x a t =
，纸板运动的距离：21211
2
d x a t += 纸板抽出后，砝码在桌面上运动的距离：2
23212
x a t =，12l x x =+
由题意知：a 1=a 3, 1132a t a t =,解得：122122.4d F m m g N l μ??
??=++
= ???????