4．3.2 角的比较与运算
1．会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义；(重点)
2．掌握角平分线的概念，能够利用角平分线的定义解决相关计算问题，会用量角器画角的平分线；(难点)
3．经历比较角的大小、用量角器画角平分线、用折纸法确定角平分线的过程，积累活动经验，培养动手操作能力．(重点)
一、情境导入
有一天聪聪和明明各带了一把折扇(状态如下)．
下面是他们的一段对话：
聪聪：“我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些”．
明明：“我的折扇长一些，所以我的折扇的角也大一些”．
同学们有办法帮他们进行判断吗？ 二、合作探究
探究点一：角的比较
如图，射线OC ，OD 分别在∠AOB
的内部，外部，下列各式错误的是(
)
A ．∠AO
B <∠AOD B ．∠BO
C <∠AOB
C ．∠CO
D <∠AOD D ．∠AOB <∠AOC 解析：A.∠AOB 与∠AOD 的边OA 重合，
OB 在∠AOD 内，所以∠AOB <∠AOD ，A 正确；
同理B 、C 正确；D.∠AOB 和∠AOC 的边AO 重合，OC 在∠AOB 内，所以∠AOB >∠AOC .D 错误，故选D.
方法总结：此题主要考查了角的比较大小，解题的关键是掌握角比较大小的方法． 探究点二：角度的有关计算
【类型一】 利用角平分线进行角度的
计算
如图，∠AOB ＝120°，OD 平分
∠BOC ，OE 平分∠AOC .
(1)求∠EOD 的度数；
(2)若∠BOC ＝90
°，求∠AOE 的度数．
解析：(1)根据OD 平分∠BOC ，OE 平分
∠AOC 可知∠DOE ＝∠DOC ＋∠EOC ＝1
2(∠BOC
＋∠AOC )＝1
2
∠AOB ，由此即可得出结论；
(2)先根据∠BOC ＝90°求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论．
解：(1)∵∠AOB ＝120°，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，
∴∠EOD ＝∠DOC ＋∠EOC ＝1
2(∠BOC ＋
∠AOC )＝12∠AOB ＝1
2
×120°＝60°；
(2)∵∠AOB ＝120°，∠BOC ＝90°，∴∠AOC ＝120°－90°＝30°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝1
2
×30°＝15°.
方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键．
【类型二】 利用三角板叠合进行角度
的计算
如图，将一副三角板折叠放在一
起，使直角的顶点重合于点O ，则∠AOC ＋∠DOB ＝
( )
A ．120°
B ．180°
C ．150°
D ．135°
解析：由图可得∠AOC ＋∠DOB ＝∠AOB ＋∠COD ＝90°＋90°＝180°.故选B.
方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系． 【类型三】
折叠问题中角的计算
如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，C
点落在C ′，D 点落在D ′处．若∠EFC ＝119°，则∠BFC
′为( )
A ．58°
B ．45°
C ．60°
D ．42° 解析：∵将矩形ABCD 沿EF 折叠，C 点
落在C ′，D 点落在D ′处，∠EFC ＝119°，∴∠EFC ′＝∠EFC ＝119°，∠EFB ＝180°－∠EFC ＝61°，∴∠BFC ′＝∠EFC ′－∠EFB ＝119°－61°＝58°，故选A.
方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全
重合的，其角不变．
探究点三：角度的换算
计算：
(1)153°29′42″＋26°40′32″； (2)110°36′－90°37′28″； (3)62°24′17″×4； (4)102°43′21″÷3.
解析：(1)相同单位相加，超过60向上一位进1即可；(2)先借1°化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解；(3)每一个单位分别乘以4，分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可；(4)从度开始计算，余数乘以60继续除以3进行计算即可得解． 解：(1)153°29′42″＋26°40′32″＝179°69′74″＝180°10′14″；
(2)110°36′－90°37′28″＝109°95′60″－90°37′28″＝19°58′32″；
(3)62°24′17″×4＝248°96′68″＝249°37′8″；
(4)102°43′21″÷3＝102°42′81″÷3＝34°14′27″.
方法总结：角度的运算规律为：(1)加
减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1当60；(2)乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1；(3)除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽，就按题意要求，进行四舍五入．
三、板书设计
1．角的比较方法
(1)度量法；(2)叠合法．
2．角的计算
(1)角平分线；(2)角的折叠．
3.角度的换算
本节课的教学内容是角的大小的比较、角的和差关系，角的平分线．可利用类比线段的学习方法引出角的大小的比较的两种方法：度量法、叠合法．对于本节教学要把握以下几点：
1．首先在讲授知识的过程中，必须对旧的知识进行适当的复习，使学生能对角的知识有一个更深的记忆．
2．在角的形象比较中，要努力引导学生的思维方向．
3．重叠法是一个难点，但此法比较适用于实际中的比较．对于角度的计算要设计各个类型的教学．
七年级数学上册角的计算填空题练习 1、42.34°= °' '' 2、如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角是度． 3、18.36°= °′″． 4、钟表上11时40分钟时，时针与分针的夹角为度． 5、从3：15到3：30，钟表上的分针转过的角度是度． 6、如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有个角；画2条射线，图中共 有个角；画3条射线，图中共有个角，求画n条射线所得的角的个数 为（用含n的式子表示）。 7、上午8点30分，时钟的时针和分针所构成的锐角度数为． 8、如图，在直线AD上任取一点O，过点O作射线OB，OE平分∠DOB，OC平分∠AOB，∠BOC=26°时，∠BOE的度数是． 9、如图所示，∠AOB是平角，∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于度． 10、．已知∠α=36°14′25″，则∠α的余角的度数是． 11、不如图所示，两块三角尺的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数 是 . 12、如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的度数为．
13、计算33°52′+21°54′= ． 14、如果一个角是23°，那么这个角的余角是°． 15、如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB=155°，则∠COD=________，∠BOC=________ . 16、如图，OC平分∠AOB，若∠AOC=27°32′，则∠AOB=________． 17、如图，OA表示北偏东42°方向，OB表示南偏东53°方向，则∠AOB= ． 18、若一个角的余角与这个角的补角之和是200°，则这个角等于． 19、上午6点45分时，时针与分针的夹角是度． 20、若∠α的余角是48°，则∠α的补角为度． 21、如图，∠AOB与∠BOC互补，OM平分∠BOC，且∠BOM=35°，则∠AOB= °． 22、将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD=110°，则∠COB= 度． 23、已知α，β是两个钝角，计算(α＋β)的值，甲、乙、丙、丁四名同学算出了四种不同的答案，分别是24°，48°，76°，86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的是_________
余角补角 一、填空 1．∠α的补角是137°，则 ∠α=__________，∠α的余角是__________； 65°15′的角的余角是_________；35°59′的角的补角等于__________。 2．（1）一个角的补角是这个角的3倍，则这个角的余角为_________°. （2）一个角的补角比这个角的余角大______________。 C 3．如图，O 是直线AB 上的一点。 （1）若∠AOC =32°48′56″，则∠BOC=____°____′____″ （2）若∠BOC =5 3∠AOB ，则∠AOC=________°. 4．两条直线相交得到的四个角中，其中一个角是45°，则其余三个角分别是__________， ___________，__________。 5．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 是∠∠2=_____°，∠3=______° 6．如图4，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠若∠AOC=80°，则∠MON=__________° 7．下列说法正确的是 （ ） （A ） 两个互补的角中必有一个是钝角； （B ）一个角的补角一定比这个角大； （B ） 互补的两个角中，至少有一个角大于或等于直角； （C ） （D ）相等的角是对顶角 8．如图，直线AB 、CD 相交于O ，因为∠1+∠3=180°， ∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2，其推理根据是（ ）（A ）同角的余角相等 （B ）等角的余角相等 （C ）同角的补角相等 （D ）等角的补角相等 8．如果∠1与∠2互为补角，∠1 〉∠2，那么∠2的余角等于 （ ） （A ）2 1（∠1+∠2） （B ）2 1∠1 （C ）2 1（∠1-∠2） （D ）∠1-∠2 A B O E
4.5 角的运算 (1) 教学目标： 知识与技能：结合具体图形，了解可以用一个角表示两个角的和或差，会用等式表示角的和、差关系。会进行角的和、差运算。 过程与方法： 1．通过丰富的实例，进一步理解角的有关概念，学会角的计算。 2．进一步熟悉度、分、秒，会进行简单的换算。 情感态度与价值观： 1．通过在实际问题中体验用角表示物体所在位置的方向，来激发学生的学习兴趣，也 体验生活中的数学美。 2．通过角的计算，养成学生良好的心理品质，树立知识来源于实践又作用于实践的观 念。 教学重点： 1．进行角度和、差运算。 2．用角表示方向。 教学难点： 进行角的度、分、秒的换算。 教材分析： 本节是借助实际情景，通过自主探究让学生感知角，介绍它的表示方法。因此一定要 从实际生活情境、学生已有的数学知识和活动经验出发，在观察、操作、思考和交流等活动中进行。使学生掌握有关角的基本知识和技能，丰富和发展学生的数学活动经历和经验。培养学生良好的情感态度和主动参与、合作交流的意识，提高观察和分析等能力，重视几何语言的培养和训练。为进一步学习图形与空间知识打好基础。 教学方法： 启发引导，合作交流。 教具准备： 量角器、石英钟，印有“中国地图”的简图。课件、实物投影展台。 教材分析： 角是一种重要的图形，学好角的有关概念及运算，十分关键，因此本节的重点是通过 丰富的实例进一步理解有关概念，会计算角的和差，认识度、分、秒，会进行简单的换算。
重视方位角的有关知识的学习，通过活动理解借助角表示方向的意义。教学过程： 环节教师活动 活动 1 给学生每人发一张印有中国地图的简图。 (1)请用字母表示图中的每个城市。 (2)请用字母分别表示以北京为中心的每两个城 市之间的夹角。 (3)请用量角器测量出上述夹角的度数并与同伴激交流量法与读法。 情 引 入 活动 2 问题：（ 1）图中有几个角？ 你能说出这几个角之间的位置关系和大小吗？讲 授 B C 新 课 A 学生活动设计意图 巧设联系生活（ 1）学生动手 实际的情景问操，测量。 题，引入课题，（ 2）分组讨论 激发学生的学习交流。 热情。 创设问题情 境，使学生从中 发现数学，建立 模型，引发思考 让学生回 忆学过的描述 。 方法，师生共同 的办法．
4.3.2 角的比较与运算 【知识与技能】 1.会比较角的大小，能估计一个角的大小，在操作活动中认识角的平分线. 2.会进行度、分、秒的换算，并能解决角的运算题. 【过程与方法】 1.实际观察、操作，体会角的大小，培养学生的观察思维能力. 2.动手计算，熟练解决有关角的运算题，培养学生的计算能力. 【情感态度】 1.角的测量和折叠等，体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段. 2.帮助学生体验数学在生活中的用处，激发学生对数学的学习兴趣. 【教学重点】 角的大小比较方法. 【教学难点】 从图形中观察角的和、差关系. 一、情境导入,初步认识 问题1如图（1），已知线段AB和线段CD，如何比较这两条线段的大小呢？ 【教学说明】教师提出上面的问题，让学生回顾前面所学有关线段大小的比较方法，并请一名同学发言，再让其他同学补充. 问题2如图（2）已知∠ABC和∠DEF，如何比较角的大小？ 【教学说明】教师紧接问题1提出问题2，让学生分组讨论角的比较方法，提醒学生可类比问题1中的方法.在学生讨论过程中，教师深入学生中间巡视，观察并听取他们解决问题的方法和建议.注意教师不要急于给出结论，当学生自己说出方法时，教师
提出这就是我们要研究的新内容，调动学生的积极性，吸引其注意力. 二、思考探究，获取新知 【教学说明】在上一栏目中给出了两个问题让学生思考，它实际上引出了一个新问题——如何比较角的大小，一般地，学生一般会提出两种方法：一是度量法，即用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，二是叠合法，即把两个角叠合在一起比较大小，前一种方法，小学时学过，教学时重点探究第二种方法. 探究1 如图所示，平面有三组角，请用叠合法比较它们的大小. 演示：移动∠DEF,使其顶点E与∠ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，出现以下三种情况，如图所示： 【教学说明】观察演示后，教师让学生可以利用两副三角板演示以上过程，帮助理解比较两角的大小，回答教师提出的问题. ①EF与BC重合，∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF=∠ABC. ②EF落在∠ABC的内部，∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF<∠ABC. ③EF落在∠ABC的外部，∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF>∠ABC.以上探究过程最好通过投影显示的方式进行，因为通过直观的实物演示和投影（电脑）显示，既加强了角的比较的直观性，又可提高学生的兴趣.注意再次强调角的大小只与开口大小有关，与边的长短无关，以及角的符号与小于号、大于号书写时的区别.对于用度量法比较角的大小，教师可让学生自己动手量一量，但应让学生注意三点：对中、重合、读数. 探究2 如图∠1>∠2，把∠2移到∠1上，使它们的顶点重合，一边重合，会有几种情况？由此可以对角如何运算？ 【教学说明】教师让学生在练习本上画出.你如何把∠2移到∠1上，才能保证∠2的大小不变呢？讨论∠2如何移到∠1上，移动后有几种情况，在练习本上画出图形（有
1、．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC 等于( ) A ．70° B ．90° C ．105° D ．120° 2、如图，∠AOB =∠COD =90°，OC 平分∠AOB ，∠BOD =3∠DOE ．求：∠COE 的度数． 3、如图2，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若∠AOD=150°，则∠BOC 等于【 】 A ．30° B ．45° C ．50° D ．60° 4、（本题满分14分） （1）如图①，过平角AOB 的顶点O 画射线OC ， OD 、OE 分别是∠AOC 、∠BOC 的平分线. 射 线OD 与OE 之间有什么特殊的位置关系？为什么？ （2）如图②，∠AOB 是直角， OC 是∠AOB 内的一条射线，OD 、OE 分别是∠AOC 、∠BOC 的 平分线.∠DOE 的度数是多少？为什么？ （3）∠AOB 是直角， OC 是∠AOB 外的一条射线，OD 、OE 分别是∠AOC 、∠BOC 的平分线.∠ DOE 的度数是多少？为什么？ 5、如图所示已知90AOB ∠=?，30BOC ∠=?，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠； (1)?=∠_____MON ； (2)如图∠AOB ＝900，将OC 绕O 点向下旋转，使∠BOC ＝02x ，仍然分别作∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，能否求出∠MON 的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由． (3) AOB α∠=，BOC β∠=，仍然分别作∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，能否求出∠MON 的度数，若能，求MON ∠的度数；并从你的求解中看出什么什么规律吗？（3分） 第8题图
专题训练角的计算 类型1利用角度的和、差关系 找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算． 1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数． 解：因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°， 所以∠AO B＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°. 又因为∠BOD＝75°， 所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°. 2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°) (1)如图1所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD时，求∠CAE的度数； (2)如图2所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD时，求∠ACD的度数． 解：(1)因为∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＝4∠B AD， 所以5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°. 所以∠DAC＝4×18°＝72°. 因为∠DAE＝90°， 所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝18°. (2)因为∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝60°－∠BCD，∠ACE＝3∠BCD， 所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋60°－∠BCD＝90°. 解得∠BCD＝15°. 所以∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝90°＋15°＝105°. 类型2利用角平分线的性质 角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算．3．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数．
解：因为∠EOD＝28°46′，OD 平分∠COE， 所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′. 又因为∠AOB＝40°， 所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′. 4．已知∠AOB＝40°，OD 是∠BOC 的平分线． (1)如图1，当∠AOB 与∠BOC 互补时，求∠COD 的度数； (2)如图2，当∠AOB 与∠BOC 互余时，求∠COD 的度数． 解：(1)因为∠AOB 与∠BOC 互补， 所以∠AOB＋∠BOC ＝180°. 又因为∠AOB＝40°， 所以∠BOC＝180°－40°＝140°. 因为OD 是∠BOC 的平分线， 所以∠COD＝12 ∠BOC＝70°. (2)因为∠AOB 与∠BOC 互余， 所以∠AOB＋∠BOC＝90°. 又因为∠AOB＝40°， 所以∠BOC＝90°－40°＝50°. 因为OD 是∠BOC 的平分线， 所以∠COD＝12 ∠BOC＝25°. 类型3 利用方程思想求解 在解决有关余角、补角，角的比例关系或倍分关系问题时，常利用方程思想来求解，即通过设未知数，建立方程，通过解方程使问题得以解决． 5．一个角的余角比它的补角的23 还少40°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x °，根据题意，得 90－x ＝23 (180－x)－40. 解得x ＝30. 所以这个角的度数是30°.
4．3.2角的比较与运算 1．会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义；(重点) 2．掌握角平分线的概念，能够利用角平分线的定义解决相关计算问题，会用量角器画角的平分线；(难点) 3．经历比较角的大小、用量角器画角平分线、用折纸法确定角平分线的过程，积累活动经验，培养动手操作能力．(重点) 一、情境导入 有一天聪聪和明明各带了一把折扇(状态如下)． 下面是他们的一段对话： 聪聪：“我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些”． 明明：“我的折扇长一些，所以我的折扇的角也大一些”． 同学们有办法帮他们进行判断吗？ 二、合作探究 探究点一：角的比较 如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部，外部，下列各式错误的是( ) A．∠AOB<∠AOD B．∠BOC<∠AOB C．∠COD<∠AOD D．∠AOB<∠AOC 解析：A.∠AOB与∠AOD的边OA重合，OB在∠AOD内，所以∠AOB<∠AOD，A正确；同理B、C 正确；D.∠AOB和∠AOC的边AO重合，OC在∠AOB内，所以∠AOB>∠AOC.D错误，故选D. 方法总结：此题主要考查了角的比较大小，解题的关键是掌握角比较大小的方法． 探究点二：角度的有关计算
【类型一】 利用角平分线进行角度的计算 如图，∠AOB ＝120°，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC . (1)求∠EOD 的度数； (2)若∠BOC ＝90°，求∠AOE 的度数． 解析：(1)根据OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC 可知∠DOE ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC )＝12 ∠AOB ，由此即可得出结论； (2)先根据∠BOC ＝90°求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论． 解：(1)∵∠AOB ＝120°，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ， ∴∠EOD ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC )＝12∠AOB ＝12 ×120°＝60°； (2)∵∠AOB ＝120°，∠BOC ＝90°，∴∠AOC ＝120°－90°＝30°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝12 ×30°＝15°. 方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键． 【类型二】 利用三角板叠合进行角度的计算 如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则∠AOC ＋∠DOB ＝( ) A ．120° B ．180° C ．150° D ．135° 解析：由图可得∠AOC ＋∠DOB ＝∠AOB ＋∠COD ＝90°＋90°＝180°.故选B. 方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系． 【类型三】 折叠问题中角的计算 如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，C 点落在C ′，D 点落在D ′处．若∠EFC ＝119°，则∠BFC ′为( )
专题训练(九) 角的计算 类型1利用角度的和、差关系 找出待求的角与已知角的和、差关系，根据角度和、差来计算． 1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD的度数． 解：因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°， 所以∠AO B＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°. 又因为∠BOD＝75°， 所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°. 2．将一副三角板的两个顶点重叠放在一起．(两个三角板中的锐角分别为45°、45°和30°、60°) (1)如图1所示，在此种情形下，当∠DAC＝4∠BAD时，求∠CAE的度数； (2)如图2所示，在此种情形下，当∠ACE＝3∠BCD时，求∠ACD的度数． 解：(1)因为∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAC＝4∠B AD， 所以5∠BAD＝90°，即∠BAD＝18°. 所以∠DAC＝4×18°＝72°. 因为∠DAE＝90°， 所以∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝18°. (2)因为∠BCE＝∠DCE－∠BCD＝60°－∠BCD，∠ACE＝3∠BCD， 所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝3∠BCD＋60°－∠BCD＝90°.
解得∠BCD＝15°. 所以∠ACD＝∠ACB＋∠BC D＝90°＋15°＝105°. 类型2利用角平分线的性质 角的平分线将角分成两个相等的角，利用角平分线的这个性质，再结合角的和、差关系进行计算． 3．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数． 解：因为∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE， 所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′. 又因为∠AOB＝40°， 所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′. 4．已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线． (1)如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数； (2)如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数． 解：(1)因为∠AOB与∠BOC互补， 所以∠AOB＋∠BOC＝180°.
讲义 一、关于公式1+2+3+4+5+……+n= 的应用 1、如图，图中各有多少条线段？ 有（）条 有（）条 有（）条 有（）条 有（）条 2、如图，图中各有多少个角？ 有（）个角 有（）个角
有（）个角 3、如图，图中各有多少个交点？ 有（）个交点 有（）个交点 有（）个交点 有（）个交点 二、关于角度的计算 知识点： 角平分线定义： 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做 这个角的角平分线。 1 例1：如图，已知∠AOB是∠AOC的余角，∠AOD是∠AOC的补角，且BOD ∠ = BOC∠ 2 求∠BOD、∠AOC的度数 D C B
训练1、一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC的度数。 例2：已知，如图∠BOC为∠AOC内的一个锐角，射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC。（1）若∠AOB=90°，∠BOC=30°，求∠MON的度数； （2）若∠AOB=α，∠BOC=30°，求∠MON的度数； （3）若∠AOB=90°，∠BOC=β，还能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，说明理由。 （4）从前三问的结果你发现了什么规律？
例3：如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，点C 表示的数为6，BC=4，AB=12， （1）写出数轴上点A 、B 表示的数； （2）动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M 为AP 的中点，点N 在线段CQ 上，且CQ CN 3 1=，设运动时间为)0(>t t 秒。 ①求数轴上点M 、N 表示的数（用含t 的式子表示） ②t 为何值时，原点O 恰为线段PQ 的中点。 例4：点O 是直线AB 上一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC 。 （21）如图1，若∠AOC=40°，求∠DOE 的度数； （22）在如1中，若∠AOC=α，直接写出∠DOE 的度数（用含α的代数式表示） （23）将图1中的∠COD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置。 ①探究∠AOC 与∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足：)(2 12AOF AOC BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系。
【人教版】七年级上册：《角的比较与运算》课时练习 （含答案） 能力提升 1‘如图,如果∠AOB=∠COD,那么() A‘∠α>∠β B‘∠α<∠β C‘∠α=∠β D‘∠α+∠β=∠COD 2‘如图,OC是∠AOB的平分线,OD是∠BOC的平分线,则下列各式中正确的是( ) C‘∠BOD=∠AOB D‘∠BOC=∠AOB 3‘ 如图,把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若∠1=50°,则∠BFE=() A‘70°B‘65°
C‘60°D‘50° 4‘用一副三角板,不可能画出的角度是() A‘15°B‘75°C‘165°D‘145° 5‘已知∠AOB=30°,∠BOC=45°,则∠AOC=() A‘15°B‘75° C‘15°或75°D‘不能确定 6‘ 如图,将一副三角尺折叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,则∠AOC+∠ DOB= ‘ 7‘如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB,若∠EOB=55°,则∠BOD的度数是‘ 8‘如图,∠AOC=40°,∠BOD=50°,OM,ON分别是∠AOC,∠BOD的角平分线,则∠MON=‘ 9‘计算:
(1)153°19'42″+26°40'28″; (2)90°3″-57°21'44″; (3)33°15'16″×5‘ ★10‘如图,OD是∠AOB的平分线,OE是∠BOC的平分线,且∠AOC=130°,求∠DOE的度数‘
★11‘如图,∠1∶∠2∶∠3∶∠4=1∶1∶3∶4,求∠1,∠2,∠3,∠4的度数‘ 创新应用 ★12‘在飞机飞行时,飞行的方向是用飞行路线与实际的南北方向线之间的夹角大小来表示的‘如图,用AN(南北线)与飞行线之间顺时针方向夹角作为飞行方向角,从A到达B的飞行方向角为35°,从A到C的飞行方向角为60°,从A到D的飞行方向角为145°,试求AB与AC 之间夹角及AD与AC之间夹角的大小‘
专题训练(六) 角的有关计算 类型1 直接计算角的度数 1．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠3的度数． 2．如图，点A 、O 、E 在同一直线上，∠AOB ＝40°，∠EOD ＝28°46′，OD 平分∠COE ，求∠COB 的度数． 3．如图，∠AOB ＝∠COD ＝90°，OC 平分∠AOB ，∠BOD ＝3∠DOE ，试求∠COE 的度数． 类型2 运用方程思想求角的度数 4．如图，已知∠AOE 是平角，∠DOE ＝20°，OB 平分∠AOC ，且∠COD ∶∠BOC ＝2∶3，求∠B OC 的度数． 5．如图，已知∠1＝12∠BOC ，∠2＝∠AOD ＝3∠1，求∠1和∠2的度数．
类型3运用分类讨论思想求角的度数 6．下面是小明做的一道题目以及他的解题过程： 题目：在同一平面上，若∠BOA＝75°，∠BOC＝22°，求∠AOC的度数． 解：根据题意可画图，如图所示，AOC＝∠BOA－∠BOC＝75°－22°＝53°. 如果你是老师，能判小明满分吗？若能，请说明理由，若不能，请将错误指出来，并给出你认为正确的解法． 7．已知OC平分∠AOB，OD是∠BOC内的一条三等分线，试问∠AOB是∠COD的几倍？ 类型4运用整体思想求角的度数 8．如图所示，∠AOB＝90°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的大小．
参考答案 1．因为∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，所以∠1＋∠2＝65°15′＋78°30′＝143°45′.所以∠3＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－143°45′＝36°15′. 2.因为∠EOD ＝28°46′，OD 平分∠COE ，所以∠COE ＝2∠EOD ＝2×28°46′＝57°32′.因为∠AOB ＝40°，所以∠COB ＝180°－∠AOB －∠COE ＝180°－40°－57°32′＝82°28′. 3.因为∠AOB ＝90°，OC 平分∠AOB ，所以∠BOC ＝12 ∠AOB ＝45°.因为∠BOD ＝∠COD －∠BOC ＝90°－45°＝45°，∠BOD ＝3∠DOE ，所以∠DOE ＝15°.所以∠COE ＝∠COD －∠DOE ＝90°－15°＝75°. 4.设∠COD ＝2x °，则∠BOC ＝3x °.因为OB 平分∠AOC ，所以∠AOB ＝3x °.所以2x ＋3x ＋3x ＋20＝180.解得x ＝20.所以∠BOC ＝3×20°＝60°. 5.设∠1＝x °，则∠2＝∠AOD ＝3∠1＝3x °.因为∠1＝12 ∠BOC ，所以∠BOC ＝2x °.因为∠BOC ＋∠2＋∠AOD ＋∠1＝360°，所以2x ＋3x ＋3x ＋x ＝360.解得x ＝40.所以∠1＝40°，∠2＝120°. 6.小明不会得满分，他忽略了一种情况，正确解法：①如图1，∠AOC ＝∠BOA －∠BOC ＝75°－22°＝53°；②如图2，∠AOC ＝∠BOA ＋∠BOC ＝75°＋22°＝97°.综上所述：∠AOC 的度数为53°或97°. 7.如图1，∠COD ＝13 ∠BOC ，设∠COD ＝x ，则∠BOC ＝3x.因为OC 平分∠AOB ，所以∠AOB ＝2∠BOC ＝6x.即∠AOB ＝6∠COD ；如图2，∠BOD ＝13 ∠BOC ，则∠COD ＝23 ∠BOC ，设∠COD ＝2x ，则∠BOC ＝3x.同样∠AOB ＝6x ，即∠AOB ＝3·2x ＝3∠COD.故∠AOB 是∠COD 的6倍或3倍． 8.因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12 ∠BOC.所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC)＝12∠AOB ＝12 ×90°＝45°.
4．3．2 角的比较与运算（2） 学习目标：1．会进行度、分、秒的互化及角度的简单运算． 2．会进行角度的“加、减、乘、除”运算． 学习重点：度、分、秒的互化及角度的计算． 学习难点：角度的“除法”运算． 使用要求：1．阅读课本P140例1、例2； 2．尝试完成教材P140练习第2、3题； 3．限时20分钟完成本导学案（合作或独立完成均可）； 4．课前在小组内交流展示． 一、自主学习： 1．任意画两个角（一个小于90°，一个大于90°） 先估计这两个角的度数，然后再用角器量出这两个角的度数，试试你的判断能力． 2．什么是1°的角？什么是1′的角？什么是1″的角？还记得吗？ 如果不记得了，没关系，先看看书再完成下面的问题． （1）35°15′与35.15°相等吗？为什么？ )4 135(与35°15′相等吗？为什么？ （2）3 2平角＝________度， 51周角＝_______度． （3）3.32°＝______度_______分_______秒． 12°9′36″＝_______度． （完成上面的问题如果有困难，不妨与同学交流） 二、合作探究 1．计算：（1）46°55′＋23°35′ （2）46°55′－23°35′ （3）68°21′－32°48′ （4）23°35′×3 （5）15°23′18″×4 2．例1：如图∠AOC ＝53°17′，求∠BOC A B C O
3．例2：把一个周角6等分，每一份是多少度的角？ 那么把一个周角7等分，每一份的角度是多少？ 4．例3：如图，∠AOC ＝50°，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ， 求∠DOE 三、当堂检测： 1．P140练习第2、3题． 2．计算：122°48′÷3 四、拓展提高： 在上面的例3中，如果去掉“∠AOC ＝50°”这个条件，还能不能求出∠DOE 呢？ 五、学习小结： 六、作业：P143习题4.3第3、5、10、11题． E D C O B A
4.3.2角的比较与运算 1.如图,在∠AOB内部任取一点C,连接OC,则下列结论一定成立的是() A.∠AOC>∠BOC B.∠BOC<∠AOB C.∠AOC<∠BOC D.∠BOC>∠AOB 2.如图,若∠AOC=∠BOD,那么∠AOD与∠BOC的关系是() A.∠AOD>∠BOC B.∠AOD<∠BOC C.∠AOD=∠BOC D.无法确定 3.∠α和∠β的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且∠α>∠β,那么∠α的另一边落在∠β的 () A.另一边上 B.内部 C.外部 D.内部或另一边上 4.小明同学用一副三角尺画出了许多不同度数的角,但下列哪个度数的角画不出来() A.135° B.120° C.75° D.25° 5.已知∠AOB=70°,以O为端点作射线OC,使∠AOC=42°,则∠BOC的度数为() A.28° B.112° C.28°或112° D.68° 6.已知∠AOB=60°,∠AOC=∠AOB,射线OD平分∠BOC,则∠COD的度数为() A.20° B.40° C.20°或30° D.20°或40° 7.角α,β都是钝角,甲、乙、丙、丁四人计算(α+β)的结果依次为12°,44°,66°,88°,其中只有一人计算正确,那么算出正确答案的是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.如图,∠AOC为直角,OC是∠BOD的平分线,且∠AOB=34°,则∠AOD的度数为()
A.124° B.136° C.146° D.158° 8.已知三条不同的射线OA,OB,OC,有下列条件,其中能确定OC平分∠AOB的有() ①∠AOC=∠BOC; ②∠AOB=2∠AOC; ③∠AOC+∠BOC=∠AOB; ④∠BOC=∠AOB. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图点B,O,D在同一条直线上,若∠1=15°,∠2=105°,则∠AOC=°. 11.如图,O是直线AB上的一点,OC,OD,OE是从点O引出的三条射线,且∠1∶∠2∶∠3∶∠4=1∶2∶3∶4,则∠5=°. 12.比较两个角的大小,有以下两种方法: ①用量角器量度两个角的大小,用度数表示,则度数大的角大; ②构造图形,若一个角能包含(或覆盖)另一个角,则这个角大. 对于如图4-3-11所示给定的∠ABC与∠DEF,用以上两种方法分别比较它们的大小. 图4-3-11 13.如图,∠ABC是平角,过点B作一条射线BD将∠ABC分成∠DBA和∠DBC,当∠DBA是什么角时,满足下列要求: (1)∠DBA<∠DBC;(2)∠DBA>∠DBC;
角的计算 1、已知如图，∠AOB：∠BOC=3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE=12°，求∠DOE的度数． 2、如图所示，已知∠AOC=∠BOD=100°，且∠AOB：∠AOD=2：7，求∠BOC和∠COD 的度数． 3、如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD=∠EOC，∠COD=15°， 求：①∠EOC的大小；②∠AOD的大小． 4、如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB 的度数． 5、如图∠AOB=30°，∠BOC=70°，OE平分∠AOC，求∠BOE的度数． 6、如图，∠AOD=90°，∠AOB：∠BOC=1：3，OD平分∠BOC，则∠AOC=度．
7、如图，已知OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，如果∠AOE=140°，∠BOC 比∠COD 的2倍还多10°，那么∠AOB 是多少度？ 8、如图，已知∠BOC=2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD=20°，求∠AOB 的度数． 9、已知∠AOB=60°，从点O 引射线OC ，使∠AOC=40°，作∠AOC 的角平分线OD ， （1）依题意画出图形； （2）求∠BOD 的度数． 10、（1）如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数； （2）如果（1）中的∠AOB=α，∠BOC=β，其它条件不变，请用求α或β来表示∠MON 的度数． 11、 如图AOB α∠= ，OC 是一条射线，OM 平分AOC ∠ ，ON 平分BOC ∠ . （1）当15,45MOC NOC ∠=?∠=?时，求α的大小.（2）将射线OC 绕点O 按逆时针方向旋转一周.试用含 α的代数式表示MON ∠.
N M C O B A A O M B N C 1、．把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC 等于( ) A ．70° B．90° C ．105° D．120° 2、如图，∠AOB =∠COD =90°，OC 平分∠AOB ，∠BOD =3∠DOE ．求：∠COE 的度数． 3、如图2，一副三角板(直角顶点重合)摆放在桌面上，若∠AOD=150°，则∠BOC 等于【 】 A ．30° B ．45° C ．50° D ．60° 4、（本题满分14分） （1）如图①，过平角AOB 的顶点O 画射线OC ， OD 、OE 分别是∠AOC 、∠BOC 的平分线. 射 线OD 与OE 之间有什么特殊的位置关系？为什么？ （2）如图②，∠AOB 是直角， OC 是∠AOB 内的一条射线，OD 、OE 分别是∠AOC 、∠BOC 的 平分线.∠DOE 的度数是多少？为什么？ （3）∠AOB 是直角， OC 是∠AOB 外的一条射线，OD 、OE 分别是∠AOC 、∠BOC 的平分线.∠ DOE 的度数是多少？为什么？ 5、如图所示已知90AOB ∠=?，30BOC ∠=?，OM 平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠； (1)?=∠_____MON ； (2)如图∠AOB ＝900，将OC 绕O 点向下旋转，使∠BOC ＝0 2x ，仍然分别作∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，能否求出∠MON 的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由． (3) AOB α∠=，BOC β∠=，仍然分别作∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，能否求出∠MON 的度数，若能，求MON ∠的度数；并从你的求解中看出什么什么规律吗？（3分） 6、如图，∠AOB＝∠COD＝90,OC 平分 C B E D 第8题图