闵行区2017学年第二学期九年级质量调研考试
数 学 试 卷
（考试时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要
步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．在下列各式中，二次单项式是（ ）
（A ）21x +； （B ）21
3
xy ；
（C ）2xy ；
（D ）21
()2
-．
2．下列运算结果正确的是（ ） （A ）222()a b a b +=+；
（B ）2323a a a +=；
（C ）325a a a ?=； （D ）11
2(0)2a a a
-=
≠． 3．在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k
y k x
=≠图像在每个象限内y 随着x 的增大而减小，那么它的图像的两个分支分别在（ ） （A ）第一、三象限； （B ）第二、四象限； （C ）第一、二象限；
（D ）第三、四象限．
4．有9名学生参加校民乐决赛，最终成绩各不相同，其中一名同学想要知道自己是否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
（A ）平均数； （B ）中位数； （C ）众数； （D ）方差．
5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） （A ）当AB = BC 时，四边形ABCD 是菱形； （B ）当AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是菱形； （C ）当∠ABC = 90o
时，四边形ABCD 是矩形；
（D ）当AC = BD 时，四边形ABCD 是正方形．
6．点A 在圆O 上，已知圆O 的半径是4，如果点A 到直线a 的距离是8，那么圆O 与直线a 的位置关系可能是（ ）
（A ）相交； （B ）相离； （C ）相切或相交； （D ）相切或相离．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：21+2-= _ ．
8．在实数范围内分解因式：243x -= _ ．
91=的解是 _ ．
10．已知关于x 的方程230x x m --=没有实数根，那么m 的取值范围是 _ ．
11．已知直线(0)y kx b k =+≠与直线1
3
y x =-平行，且截距为5，那么这条直线的解析式为 _ ．
12．一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当小杰过马路时，恰巧
是绿灯的概率是 _ ．
13．已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频
率是，那么第六组的频数是 _ ．
14．如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE = 2ED ．设BA a =，BC b =，那么CE = _ （用
a 、
b 的式子表示）．
15．如果二次函数2111y a x b x c =++（10a ≠，1a 、1b 、1c 是常数）与2222y a x b x c =++（20a ≠，2a 、2b 、
2c 是常数）满足1a 与2a 互为相反数，1b 与2b 相等，1c 与2c 互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函
数”．请直接写出函数232y x x =-+-的“亚旋转函数”为 _ ．
16．如果正n 边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为 _ ．（用锐角α的三角比表示） 17．如图，一辆小汽车在公路l 上由东向西行驶，已知测速探头M 到公路l 的距离MN 为9米，测得此车
从点A 行驶到点B 所用的时间为秒，并测得点A 的俯角为30o
，点B 的俯角为60o
．那么此车从A 到B 的平均速度为 _ 米/秒．
1.732≈
1.414≈）
18．在直角梯形ABCD 中，AB // CD ，∠DAB = 90o
，AB = 12，DC = 7，5
cos 13
ABC ∠=
，点E 在线段AD 上，将△ABE 沿BE 翻折，点A 恰巧落在对角线BD 上点P 处，那么PD = _ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
1
2018
3
(1)
2cos 45+8-+--．
20．（本题满分10分）
解方程组：22
1;
20.y x x xy y -=??--=?
A
B
D
C
（第14题图）
E
A
B
D C
（第18题图）
A
B
M
N （第17题图）
l
21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知一次函数24y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内作直角三角形ABC ，且∠BAC = 90o
，1
tan 2
ABC ∠=
． （1）求点C 的坐标；
（2）在第一象限内有一点M （1，m ），且点M 与点
C 位于直线AB 的同侧，使得ABC ABM S S ??=2
求点M 的坐标．
22．（本题满分10分）
为了响应上海市市政府“绿色出行”的号召，减轻校门口道路拥堵的现状，王强决定改父母开车接送为自己骑车上学．已知他家离学校千米，上下班高峰时段，驾车的平均速度比自行车平均速度快15千米／小时，骑自行车所用时间比驾车所用时间多
1
4
小时，求自行车的平均速度
（第21题图）
23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．
（1）求证：BF BC AB BD ?=?； （2）求证：四边形ADGF 是菱形．
24．（本题满分12分，其中每小题各4分）
如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于 点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）．
A
B
E
G
C
F D
（第23题图）
（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB ；
（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为 底的等腰三角形，求Q 点的坐标．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）
如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB = 90o
，AC =6，BC = 8，点F 在线段AB 上，以点B 为圆心，BF 为半径的圆交BC 于点E ，射线AE 交圆B 于点D （点D 、E 不重合）．
（1）如果设BF = x ，EF = y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域； （2）如果2ED EF ，求ED 的长；
（3）联结CD 、BD ，请判断四边形ABDC 是否为直角梯形说明理由．
（备用图）
C
B
A
（第25题图）
C
B
E
F D
A
闵行区2017学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ；2．C ；3．A ；4．B ；5．D ；6．D ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．5； 8．
2x x +（； 9．1x =； 10．94m <-； 11．1
53
y x =-+； 12．
512； 13．8； 14．13
a b -； 15．2132y x x =+-； 16．5cot 2α（或5
2tan α）；
17．； 18
．12．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19
．解：原式112+……………………………………（2分+2分+2分+2分）
2=．……………………………………………………………………（2分）
20．解：由②得：20x y -=，+0x y =…………………………………………（2分）
原方程组可化为120y x x y -=??
-=?，1
y x x y -=??+=?………………………………（2分）
解得原方程组的解为21x y =-??=-?，12
1
2x y ?=-
????=??…………………………………（5分）
∴原方程组的解是21x y =-??=-?，12
12
x y ?=-
????=??……………………………………（1分）
21．解：（1）令0y =，则240x -+=，解得：2x =，∴点A 坐标是（2，0）．
令0x =，则4y =，∴点B 坐标是（0，4）．………………………（1分）
∴AB ===1分）
∵90BAC ∠=，1
tan 2
ABC ∠=
，∴AC =． 过C 点作CD ⊥x 轴于点D ，易得OBA DAC ??∽．…………………（1分） ∴2AD =，1CD =，∴点C 坐标是（4，1）．………………………（1分）
（2
）11
522
ABC S AB AC ?=
?=?．………………………………（1分）
∵2ABM ABC S S ??=，∴5
2
ABM S ?=．……………………………………（1分）
∵(1M ，)m ，∴点M 在直线1x =上；
令直线1x =与线段AB 交于点E ，2ME m =-；……………………（1分） 分别过点A 、B 作直线1x =的垂线，垂足分别是点F 、G ，
∴AF +BG = OA = 2；……………………………………………………（1分） ∴111
()222
ABM BME AME S S S ME BG ME AF ME BG AF ??=+=?+?=+
115
2222
ME OA ME =?=??=…………………（1分） ∴52ME =
，522m -=，92m =，∴(1M ，9
2
）．……………………（1分）
22．解：设自行车的平均速度是x 千米／时．………………………………………（1分）
根据题意，列方程得
7.57.51
154
x x -=+；……………………………………（3分） 化简得：2154500x x +-=；………………………………………………（2分） 解得：115x =，230x =-；…………………………………………………（2分） 经检验，115x =是原方程的根，且符合题意，230x =-不符合题意舍去．（1分） 答：自行车的平均速度是15千米／时．………………………………………（1分）
23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．
∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，
∴ABF CBD ??∽．…………………………………………………（1分）
∴
AB BF
BC BD
=
．………………………………………………………（1分） ∴BF BC AB BD ?=?．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠FAB ．………………（1分）
∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，
∴ABF GBF ??≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，
∴ABD GBD ??≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，
∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）
24．解：（1）把B （1，0）和C （0，3）代入22y ax x c =-+中，
得9603a c c ++=??=?，解得1
3a c =-??=?
．……………………………………（2分）
∴抛物线的解析式是：223y x x =--+．……………………………（1分） ∴顶点坐标D （－1，4）．……………………………………………（1分） （2）令0y =，则2230x x --+=，13x =-，21x =，∴A （－3，0）
∴3OA OC ==，∴∠CAO =∠OCA ．…………………………………（1分）
在Rt BOC ?中，1
tan 3
OB OCB OC ∠=
=．………………………………（1分）
∵AC =DC ，AD =，
∴2220AC DC +=，220AD =；
∴222AC DC AD +=，ACD ?是直角三角形且90ACD ∠=，
∴1
tan 3
DC DAC AC ∠=
=， 又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC =∠OCB ．…………………（1分） ∴DAC CAO BCO OCA ∠+∠=∠+∠，
即DAB ACB ∠=∠．……………………………………………………（1分） （3）令(Q x ，)y 且满足223y x x =--+，(3A -,0)，(1D -，4）
∵ADQ ?是以AD 为底的等腰三角形，
∴22QD QA =，即2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-， 化简得：220x y -+=．………………………………………………（1分） 由2
22023
x y y x x -+=??=--+?，……………………………………………………（1分）
解得11x y ?=????=??
，22x y ?=????=??．
∴点Q
的坐标是31148?-+ ??
，31148?--- ??
．…（2分）
25．解：（1）在Rt △ABC 中，6AC =，8BC =，90ACB ∠=
∴10AB =．……………………………………………………………（1分） 过E 作EH ⊥AB ，垂足是H ，
易得：35EH x =，45BH x =，1
5
FH x =．…………………………（1分）
在Rt△EHF中，
22 222
31
55
EF EH FH x x
????
=+=+
? ?
????
，
∴(08)
y x x
=<<．………………………………………（1分+1分）（2）取ED的中点P，联结BP交ED于点G
∵2
ED EF
=，P是ED的中点，∴EP EF PD
==．
∴∠FBE =∠EBP =∠PBD．
∵EP EF
=，BP过圆心，∴BG⊥ED，ED =2EG =2DG．…………（1分）又∵∠CEA =∠DEB，
∴∠CAE=∠EBP=∠ABC．……………………………………………（1分）
又∵BE是公共边，∴BEH BEG
??
≌．∴
3
5
EH EG GD x
===．
在Rt△CEA中，∵AC = 6，8
BC=，tan tan AC CE
CAE ABC
BC AC
∠=∠==，
∴
66339
tan
822
CE AC CAE
??
=?∠===．……………………………（1分）
∴
91697
8
2222
BE=-=-=．……………………………………………（1分）
∴
66721
2
5525
ED EG x
===?=．……………………………………（1分）
（3）四边形ABDC不可能为直角梯形．…………………………………（1分）
①当CD∥AB时，如果四边形ABDC是直角梯形，
只可能∠ABD =∠CDB = 90o．
在Rt△CBD中，∵8
BC=，
∴
32
cos
5 CD BC BCD
=?∠=，
24
sin 5
BD BC BCD BE =?∠=
=． ∴32
1651025CD AB ==
，328153245CE BE -==； ∴
CD CE
AB BE
≠
． ∴CD 不平行于AB ，与CD ∥AB 矛盾．
∴四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………（2分） ②当AC ∥BD 时，如果四边形ABDC 只可能∠ACD =∠CDB = 90o
．
∵AC ∥BD ，∠ACB = 90o
， ∴∠ACB =∠CBD = 90o
． ∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o
． 与∠ACD =∠CDB = 90o
矛盾．
∴四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………（2分）