极值点偏移问题的两种常见解法之比较
浅谈部分导数压轴题的解法
在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且
12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12
02
x x x +=
，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12
02
x x x +≠
的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、，
1212()()f x f x x x
的任意两个变量12x x 、，1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？
两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,,a b
a b L a b a b a a b -?≠?
=-??=?
对数平均数与算术平均数、
(,)2
a b
L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式）
下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ①
ln ln a b a b -<
-，
ln ln a b
a b
-<-，
只须证：ln a b <，
1x =>，只须证：1
2ln ,1x x x x
≤-> 设1
()2ln ,1f x x x x x
=-+>，则222
21(1)()10x f x x x x -'=--=-<，所以()f x
在(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0f x f <=，即12ln x x x
<-
，
ln ln a b
a b --
②再证：ln ln 2a b a b
a b -+<
- 要证：ln ln 2a b a b
a b -+<-，只须证：1ln
21a a
b b a b
-<+
令1a x b =>，则只须证：1ln 12x x x -<+，只须证2ln 1112
x x x -<>+，
设2ln ()112
x
g x x =--
+，1x >，则22221(1)()0(1)22(1)x g x x x x x --'=-=<++ 所以()g x 在区间(1,)+∞内单调递减，所以()g(1)0g x <=，即2ln 112
x
x -<
+， 故
ln ln 2
a b a b
a b -+<
- 综上述，当0,0a b >>
(,)2a b
L a b +≤≤
例1 （2016年高考数学全国Ⅰ理科第21题）已知函数2
)1()2()(-+-=x a e x x f x
有
两个零点．
（Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ． 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，
当0a =时，()(2)0x
f x x e =-=，得2x =，只有一个零点，不合题意； 当0a ≠时，()(1)[2]x f x x e a '=-+
当0a >时，由()0f x '=得，1x =，由()0f x '>得，1x >，由()0f x '<得，1x <， 故，1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，所以min ()(1)0f x f e ==-< 又(2)0f a =>，故在区间(1,2)内存在一个零点2x ，即212x << 由21
lim (2)lim
lim 0,x
x x x x x x x e e e
--→-∞
→-∞→-∞--===-又2(1)0a x ->，所以，()f x 在区间 (,1)-∞存在唯一零点1x ，即11x <， 故0a >时，()f x 存在两个零点；
当0a <时，由()0f x '=得，1ln(2)x x a ==-或， 若ln(2)1a -=，即2
e
a =-时，()0f x '≥，故()f x 在R 上单调递增，与题意不符 若ln(2)1a ->，即02
e
a -
<<时，易证()=(1)0f x f e =-<极大值故()f x 在R 上只有一 个零点，若ln(2)1a -<，即2
e
a <-时，易证
()=(ln(2)f x f a -极大值2
(ln (2)4ln(2)5)0a a a =---+<，故()f x 在R 上只有一个零点
综上述，0a >
（Ⅱ）解法一、根据函数的单调性证明 由（Ⅰ）知，0a >且1212
x x <<<
令2()()(2)(2),1x
x
h x f x f x x e xe x -=--=-+>，则2(1)2
(1)(e 1)
()x x x h x e ----'= 因为1x >，所以2(1)
10,10x x e
-->->，所以()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞内单调递增
所以()(1)0h x h >=，即()(2)f x f x >-，所以22()(2)f x f x >-，所以
12()(2)f x f x >-，
因为121,21x x <-<，()f x 在区间(,1)-∞内单调递减，所以122x x <-，即122x x +< 解法二、利用对数平均不等式证明
由（Ⅰ）知，0a >，又(0)2f a =- 所以， 当02a <≤时，10x ≤且212x <<，故122x x +<
当2a >时，12012x x <<<<，又因为12
122
212(2)(2)(1)(1)x x x e x e a x x --=-=--- 即12
1222
12(2)(2)(1)(1)x x x e x e x x --=--
所以111222ln(2)2ln(1)ln(2)2ln(1)x x x x x x -+--=-+--
所以12122112ln(2)ln(2)2(ln(1)ln(1))(2)(2)
x x x x x x x x -------=-=---
所以121212
1212ln(1)ln(1)(2)(2)412
ln(2)ln(2)ln(2)ln(2)2
x x x x x x x x x x ---------=<------
所以
1212122ln(1)ln(1)
22ln(2)ln(2)x x x x x x +----<--- ①
下面用反证法证明不等式①成立
因为12012x x <<<<，所以12220x x ->->，所以12ln(2)ln(2)0x x ---> 假设122x x +≥，当122x x +=，1
212122ln(1)ln(1)
02=02ln(2)ln(2)
x x x x x x +----=---且,与①矛盾； 当122x x +>时1212122ln(1)ln(1)
02<02ln(2)ln(2)
x x x x x x +---->---且,与①矛盾，故假设不成立 所以122x x +<
例2 （2011年高考数学辽宁卷理科第21题）已知函数2
()ln (2)f x x ax a x =-+-
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若曲线()y f x =与x 轴交于A B 、两点，A B 、中点的横坐标为0x ，证明：
0()0f x '<
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞
1(12)(1)
()2(2)x ax f x ax a x x
+-'=
-+-=
当0a ≤时，()0f x '>在区间(0,)+∞内恒成立，即()f x 在区间(0,)+∞内单调递增 当0a >时，由()f x '>0，得函数()f x 的递增区间1
(0,)a
， 由()f x '<0，得函数()f x 的递减区间1(,)a
+∞ （Ⅱ）解法一、根据函数的单调性求解
设点A B 、的横坐标分别为12x x 、，则1202x x x +=，且121
0x x a
<<< 由（Ⅰ）知，当0a >时，max 111
[()]=[()]()ln 1
f x f x f a a a ==+-极大值
因为函数()f x 有两个不同的零点，所以max [()]0f x >，所以01a <<
要证0000(12)(1)()0x ax f x x +-'=
<，只须证01ax >，即证122
x x a
+>
令2()()()h x f x f x a =--=21ln ln()22,0x x ax x a a ---+<<
则212(1)()202(2)a ax h x a x ax x ax -'=+
-=>--，所以()h x 在1
(0,)a
内单调递增 所以1()()0h x h a <=，即2()()f x f x a <- 因为1210x x a <<<，所以112()()f x f x a <-，所以212
()()f x f x a <-
又21121,x x a a a >->，且()f x 在区间1
(,)a +∞内单调递减
所以212x x a >-，即122
x x a
+>，故0()0f x '<
解法二、利用对数平均不等式求解
设点A B 、的坐标分别为12(,0)(,0)A x B x 、，则12
02x x x += 由（Ⅰ）知，当0a >时，max
111[()]=[()]()ln 1f x f x f a a a
==+-极大值
因为函数()f x 有两个不同的零点，所以max [()]0f x >，所以01a <<
因为2
1112
222ln (2)0
ln (2)0
x ax a x x ax a x ?-+-=??-+-=??，所以212121ln ln [()(2)]()x x a x x a x x -=+--- 所以
211212211()(2)ln ln 2x x x x a x x a x x -+=<+---，即12121
()(2)2
x x a x x a +<+--
所以2
1212()(2)()20a x x a x x ++-+-> ，所以1212[()2][()1]0a x x x x +-++>
所以12102x x a
+-<，所以12
1212012
(1)(1)2()()02
2
x x x x a
x x
f x f x x +++-+''==<+.
例3 （2014年高考数学湖南卷文科第21题）已知函数2
1()1x
x f x e x
-=+ （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当1212()(),f x f x x x =≠时，求证：120x x +< 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R
()f x '=
2222222
(1)2(1)1[(1)2](1)1(1)x x x
x x x x x x e e e x x x -+-----++=+++ 由()0f x '=，得0x =，由()0f x '>，得函数的递增区间(,0)-∞，由()0f x '<，得函数的递减区间(0,)+∞，所以max ()(0)1f x f ==
极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 =+210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的 对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????
() ( ) 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? ， 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移（()00 f x '=） 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 12 0120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 例1（2010 天津）已知函数()e x f x x- =． （1）求函数() f x的单调区间和极值； （2）已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称，证明：当1 x>时， ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>
极值点偏移问题总结 一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为 21x x 、，且b x x a <<<21， （1）若 02 12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0 x 左偏； （3）若02 12 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 02 1x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。
证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数()f x 的极值点； （2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性； （4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +< （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ； 假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。 （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--；
极值点偏移的判定方法和运用策略 一、判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若02 12 x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若 02 12 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏； （3）若02 1 2 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理1 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若0)2 ( '2 1>+x x f ，则02 1)(2 x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ，则021)(2 x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 021x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。 结论（2）证明略。 判定定理2 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<21，（1）若)2()(201x x f x f -<，则 02 1)(2x x x ><+， 即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）若)2()(201x x f x f ->，则 02 1)(2x x x <>+， 即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值
方法一、指数对数不等式 适用范围：仅用于简单的对数与幂函数，指数与幂函数 优点：计算简单，一般几步就搞定 缺点：复杂的函数难以处理，一般不用此法，灵活性强，要注意加法与乘法之间的相互转换 常用结论： 2 21212121212 1212121212121212 21 12 2121212 ln 22)(ln ln 2 2 1)(2ln ln ) (ln ln ln ln ln ,ln 2ln ln e x x x x a a x x a x x a x x x x a x x a x x x x x x x x x x a x x ax x ax x e x x x x ax x a x x b a e e b a b a b a ab b a >?∴>∴=? >+=+∴>+∴+<=--∴+<--+=+==>?=>?--<+<--< 两式相加得 证：，证明：，有两个不同解例：则将乘法转化为加法 某常数技巧：若要证明 已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x = ， 证明：12 2. x x +>
例2.已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x . 3：设函数()x f x e ax a =-+ ()a R ∈，其图象与x 轴交于()()12,0,0A x B x 两点，且12x x <. 证明：0f ' < 【拓展提高】 4、已知函数()x f x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误的是（ ） A. a e > B.122x x +>
极值点偏移问题专题（0 ）——偏移新花样（拐点偏移） 例 1 已知函数f x2ln x x2x ，若正实数x1，x2满足 f x1 +f x2 =4 ，求证 : x1x2 2 。 证明：注意到 f1=2 ， f x1 +f x2=2f 1 f x1 +f x2=2f1 f x =2 10 +2x x f x =2 2 ， f 1 =0 ，则（1,2）是 f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是 f x 的x2 对称中心，则有x1x2 =2 ，证明 x1x2 2 则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设 0 x11x2，要证 x1x22 x22x11 f x2f 2 x1 4f x1f2x1 4f x1f2x1 F x f x f2x， x0,1 ，则 F x f x f2x 2 2x12 2 2x 1 x2x
1 ， 4 1 x 1 0 x 2x 得 F x 在 0,1上单增，有 F x F 1 2 1 4 ，得证。 2 、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1 、极值点偏移（ f x00 ） 二次函数 f x1 f x2x1x22x0f x 1 f x 2 x 2 2x x 1 x1x22x0 2 、拐点偏移 f x00 f x1 f x2 2 f x0 f x1 f x2 2 f x0x2 2x0 x1 x1 x2 2x0 x2 2x0 x1 极值点偏移问题专题（ 1 ）——对称化构造（常规套路） 例 1 （ 2010 天津）已知函数 f x xe x． （1）求函数f x的单调区间和极值； （2）已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x 1对称，证明：当x 1时，
极值点偏移定义及判定定理 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线()f x 0x x =()y f x =y b =交于,两点，则的中点为，而往往.如下图1(,)A x b 2(,)B x b AB 12( ,)2x x M b +1202 x x x +≠所示. 极值点没有偏移 一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为)(x f y =),(b a 0x 0)(=x f ，且，（1）若 ，则称函数在区间上极21x x 、b x x a <<<210212x x x ≠+)(x f y =),(21x x 值点偏移；（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简0x 0212 x x x >+)(x f y =),(21x x 0x 称极值点左偏； （3）若，则函数在区间上极值点右0x 0212 x x x <+)(x f y =),(21x x 0x 偏，简称极值点右偏。 0x 2、极值点偏移的判定定理 判定定理： 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点 )(x f y =),(b a ，方程的解分别为，且，（1）若，则0x 0)(=x f 21x x 、b x x a <<<210)2('21>+x x f ，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）0021)(2 x x x ><+)(x f y =),(21x x 0x 若，则，即函数在区间上极大（小）值点0)2('21<+x x f 021)(2 x x x <>+)(x f y =),(21x x 左（右）偏。 0x
极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠ 的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,,a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ① ln ln a b a b -< -， ln ln a b a b --， 只须证：ln a b <， 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=-<，所以()f x
1极值点偏移定义及判定定理 所谓极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速 度不同,使得函数图像没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值,且函数 ()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点,则AB 的中点为12(,)2 x x M b +,而往往1202 x x x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移 一、极值点偏移判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ,方程0)(=x f 的解分别为21x x 、,且b x x a <<<21,（1）若 0212x x x ≠+,则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若0212 x x x >+,则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏,简称极值点0x 左偏； （3）若0212 x x x <+,则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏,简称极值点0x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理,对于可导函数)(x f y =,在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ,方程0)(=x f 的解分别为21x x 、,且b x x a <<<21,（1）若0)2( '21>+x x f ,则021)(2 x x x ><+,即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ,则021)(2 x x x <>+,即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。
导数压轴题分类（2）---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。 1．设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ （1）试讨论函数()f x 的单调性; （2）()f x m =有两解12,x x （12x x <）,求证：122x x a +>. 解析：（1）由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以 ① 若0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； ② 若0a =时，当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③ 若0a <时，当(0,)2 a x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)2 a x ∈- +∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； （2）要证122x x a +>，只需证12 2 x x a +>， (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证：12 x x ( )()02 f f a +''>=，即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++（*） 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得：
极值点偏移1-2---极值点偏移判定定理 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21， （1）若)2()(201x x f x f -<，则021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）若)2()(201x x f x f ->，则 021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 021)(2 x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏221x x m +?）
左快右慢（极值点左偏221x x m +?） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(x f 的极值点0x ； （2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性； （4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. （1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ； 假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增. （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=； 注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式. （3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系； 假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+. （4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；
高考数学压轴题归纳总结及解题方法专题讲解 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R ?=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =. 证明：12 2.x x +> 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+??∈， 则0)1()1(')1(')('21>?=??+=+x x e e x x f x f x F ， 所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=， 也即(1)(1)f x f x +>?对(0,1]x ∈恒成立.
由1201x x <<<，则11(0,1]x ?∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +?=?>??==， 即12(2)()f x f x ?>，又因为122,(1,)x x ?∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x ?<，即证12 2.x x +> 法三：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e ??=，化简得2121x x x e x ?=… ， 不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<. 令21t x x =?，则210,t x t x >=+，代入 式，得11 t t x e x += ， 反解出11t t x e =?，
专题02 极值点偏移问题判定定理 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为21,x x ，且b x x a <<<21， （1）若)2()(201x x f x f -<，则 021)(2x x x ><+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）若)2()(201x x f x f ->，则021)(2x x x <>+，即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极（小）大值点0x 右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f 的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，由于 b x x a <<<21， 有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以021)(2 x x x ><+，即函数极（小）大值点0x 右（左）偏； （2）证明略. 左快右慢（极值点左偏221x x m +?）
左快右慢（极值点左偏221x x m +?） 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述： （1）求出函数)(x f 的极值点0x ； （2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=； （3）确定函数)(x F 的单调性； （4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+. （1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ； 假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增. （2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=； 注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.来源:https://www.doczj.com/doc/0416500611.html,] （3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系； 假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出 0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.
极值点偏移的判定方法和运用 策略 一、判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0 x ，方程0)(=x f 的解分别为2 1x x 、，且 b x x a <<<21，（1）若0 2 1 2 x x x ≠+ ，则称函数)(x f y =在 区间),(2 1 x x 上极值点0 x 偏移；（2） 若0 2 1 2 x x x >+ ， 则函数)(x f y =在区间),(2 1 x x 上极值点0 x 左偏，简 称极值点0 x 左偏； （3）若0 2 12 x x x <+ ，则函 数)(x f y =在区间),(2 1 x x 上极值点0 x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理 1 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0 x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<2 1， （1）若0)2('2 1 >+x x f ，则0 2 1 )(2 x x x ><+，即函数)(x f y =在 区间),(2 1 x x 上极大（小）值点0 x 右（左）偏； （2）0若0)2('2 1 <+x x f ，则0 2 1 )(2 x x x <>+，即函数) (x f y =
在区间),(2 1 x x 上极大（小）值点0 x 左（右）偏。 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0 x a ，单调递减（增）区间为),(0 b x ，又b x x a <<<2 1，有 ),(2 2 1b a x x ∈+由于 0)2 ( '2 1>+x x f ，故) ,(2 02 1 x a x x ∈+ ，所以 2 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0 x 右（左） 偏。 结论（2）证明略。 判定定理 2 对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0 x ，方程0)(=x f 的解分别为21x x 、，且b x x a <<<2 1， （1）若)2()(2 01x x f x f -<，则0 2 1)(2x x x ><+， 即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0 x 右（左）偏； （2）若)2()(2 01x x f x f ->，则0 2 1)(2x x x <>+， 即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0 x 左（右）偏。 证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0 x ，则函
极值点偏移问题总结 一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为 21x x 、，且b x x a <<<21， （1）若 02 12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0 x 左偏； （3）若02 12 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 021x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。
证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数()f x 的极值点； （2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性； （4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +<
极值点偏移问题专题(0)——偏移新花样(拐点偏移) 例1已知函数()22ln f x x x x =++,若正实数1x ,2x 满足()()12+=4f x f x , 求证:122x x +≥。 证明:注意到()1=2f ,()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 = +210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+,()1=0f '',则(1,2)就是()f x 图像得拐点,若拐点(1,2)也就是()f x 得对称 中心,则有12=2x x +,证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移,作图如下 想到了“极值点偏移”,想到了“对称化构造”,类似地,不妨将此问题命名为“拐点偏移”,仍可用“对称化构造”来处理. 不妨设1201x x <≤≤,要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-,(]0,1x ∈,则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????
()( )1 41102x x x ??=--≥ ? ?-?? , 得()F x 在(]0,1上单增,有()()()1214F x F ≤=+=,得证。 2、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1、 极值点偏移(()00f x '=) 二次函数()()121202f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移()() 00f x ''= ()()()12012022f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题(1)——对称化 构造(常规套路) 例1(2010天津) 已知函数()e x f x x - =. (1)求函数()f x 得单调区间与极值; (2)已知函数()g x 得图像与()f x 得图像关于直线1x =对称,证明:当1x >时,()()f x g x >; (3)如果12x x ≠,且()()12f x f x =,证明:122x x +>. ()()12201 120 22f x f x x x x x x x =?>-?+>()()()120201120 222f x f x f x x x x x x x +=?>-?+>
极值点偏移问题总结 一、判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为 )(x f y =),(b a 0x 0)(=x f ，且， 21x x 、b x x a <<<21（1）若 ，则称函数在区间上极值点偏移；02 12x x x ≠+)(x f y =),(21x x 0x （2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点 0212 x x x >+)(x f y =),(21x x 0x 左偏； 0x （3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点02 12 x x x <+)(x f y =),(21x x 0x 0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理1 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方)(x f y =),(b a 0x 程的解分别为，且， 0)(=x f 21x x 、b x x a <<<21（1）若， 则，即函数在区间上极大（小）0)2( '21>+x x f 021)(2x x x ><+)(x f y =),(21x x 值点右（左）偏； 0x （2）0若， 则，即函数在区间上极大（小）0)2( '21<+x x f 021)(2 x x x <>+)(x f y =),(21x x 值点左（右）偏。 0x 证明：（1）因为可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，)(x f y =),(b a 0x 则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，又 )(x f y =),(0x a ),(0b x ，有 由于，故，所以b x x a <<<21),(221b a x x ∈+02('21>+x x f ),(2 021x a x x ∈+，即函数极大（小）值点右（左）偏。02 1)(2 x x x ><+0x
一、极值点偏移的含义 众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有02 1 2 x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =， 则 2 2 1x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若22 1x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点2 21x x +的左边，我们称之为极 值点左偏.
二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2 2 10x x x += ，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2 2 10x x x +=，求证：0)('0>x f . 三、问题初现，形神合聚 ★函数x ae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且21x x <. 证明：421>+x x . 所以)2()2(x h x h -<+，
极值点偏移问题的处理策略 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使 得函数图像没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值，且函数()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点，则AB 的中点为12( ,)2x x M b +，而往往1202 x x x +≠.如下图所示. 极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】 【处理策略】
一、不含参数的问题. 例1.（2010天津理）已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x = ， 证明：12 2.x x +> 【解析】法一：()(1)x f x x e -'=-，易得()f x 在(,1)-∞上 单调递增，在(1,)+∞上单调递减，x →-∞时， ()f x →-∞，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →， 函 数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且1(1)f e =,如图所示. 由1212()(),f x f x x x =≠，不妨设12x x <，则必有1201x x <<<， 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则21()(1)(1)(1)0x x x F x f x f x e e +'''=++-=->，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=，也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==，即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2.x x +> 法二：欲证122x x +>，即证212x x >-，由法一知1201x x <<<，故122,(1,)x x -∈+∞，又因为()f x 在(1,)+∞上单调递减，故只需证21()(2)f x f x <-，又因为12()()f x f x =， 故也即证11()(2)f x f x <-，构造函数()()(2),(0,1)H x f x f x x =--∈，则等价于证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立. 由221()()(2)(1)0x x x H x f x f x e e --'''=+-=->，则()H x 在(0,1)x ∈上单调递增，所以()(1)0H x H <=，即已证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立，故原不等式122x x +>亦成立. 法三：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e --=，化简得2121 x x x e x -=… ，
2020年高考二轮复习极值点偏移专题（教案）鉴于在高考压轴题中极值点偏移问题比较常见，且难度较大，故特将本内容设计成专题，供有需求的老师研究与教学使用。 第一节初识极值点偏移 (2) 第二节极值点偏移判定定理 (6) 第三节不含参数的极值点偏移问题 (14) 第四节含参数的极值点偏移问题 (21) 第五节含对数式的极值点偏移问题 (37) 第六节含指数式的极值点偏移问题 (46) 第七节函数的选取 (54) 第八节极值点偏移终极套路 (82)
第一节 初识极值点偏移 一、极值点偏移的含义 众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为 )(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为2 2 1x x +，则刚好有02 12 x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则2 2 1x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若22 1x x m +>，则称为极值点右偏 如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点2 2 1x x +的左边，我们称之为极值点左偏.