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巧用旋转法解几何题
将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全
等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，
旋转另一位置的引辅助线的方法,
主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参 考。 例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F"
分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到
EF , AE BF 三条线段不在同一个三角
形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直 角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG ?/ AD=DB / ADG=/ BDF ???" ADd " BDF ( SAS ???/ DAG=/ DBF BF=AG ? AG// BC
???/ C=90°A Z EAG=90 ? EG=Ah+AG=AE+BF ?/ DEI DF ? EG=EF
2 2 2
? EF=AE+BF
例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数.
分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中， 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转
中心。
解：作 MC L CP,使 MC=CP 连接 PM , BM
F
E
A
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???/ ACB=90，/ PCM=90 仁/2 ???
MB=AP=3
?/ AC=BC ?丄 CAP^" CBM( SAS ???/ MPC=45
?/ PC=MCZ PCM=90 由勾股定理 PM== PC 2 MC 2 = 2PC 2 =2 2 , 在"MPB 中，PB 2+PM= (2 .. 2 ) 2+I 2=9=B M
例3,如图3,直角三角形 ???/ BPC=Z CPM # MPB=45 +90° =135° BE , CF 转移
到
ABC 中, AB=AC / BAC=90 , / EAF=45°,求证：EF^B F+CF 2 分析：本题求证的结论和例 1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将
同一个直角三角形中，由于"
BAC 是等腰直角三角形，不妨以 A 为旋转中心，将/ BAE 和/ CAF 合在
起，取零为整。
证明：过 A 作API AE 交BC 的垂线CP 于P ,连结PF
EAP=90，/ EAF=45 PAF=45 BAC=90 BAE=/ PAC ?/ AB=AC
B=Z ACB=/ ACP=45
???" ABE ^" ACP( ASA
\
? PC=AE , AP=AE
???" AEF ^" APF ( SAS ? EF=PF
故在 Rt " PCF 中，P F=C F+P C,即 EF ^C F+A E 2
A
例4,女口图4,正方形 ABCD 中, E , F 分另U 在 AD , DC 上，且/ EBF=45 , BML EF 于M 求证：BA=BM 分析：本题与例3 相同之处在于直角三角形家夹有 45°角，可利
用相同的方法，将/
ABE 和/CBF “化散为整”来构造全等三角形。
证明：延长FC 到 N 使 CN=AE 连结 BN
C
???四边形ABCD 是正方形 ??? AB=AC / BAC=90
???/ EBF=45 ABE+Z CBF=45
由"ABE ^" CBN 知 BE=BN Z CBN Z ABE
???/ CBN-Z CBF=45 /，即Z EBF=Z NBF
又 BE=BN BF=BF
???/ EBF ^" NBF ( SAS ?- BM=BC
? Z ADE = Z AFB =Z CFD +Z DFA = Z CDF + Z FDA = Z ADC 。
例6、如图，P 是等边三角形 ABC 内的一个点，PA=2 PB=2.3 , PC=4,求厶ABC 的边长。 分析：PA PB PC 比较分散，可利用旋转将 PA PB PC 放在一个三角形中，为此可将厶
BPA 绕B 点逆时针方向旋转\60°可得△ BHC
/
解：把△ BPA 绕B 点逆时针方向旋转 60°得到△ BHC 因为BP=BH Z PBH=60 所以△ BPH 是等边三角形 所以Z BPH=60，所以BP=PH 2后 /
又因为 HC=PA=2 PC=4 所以|PC 3 = HP 2 十 HC 3
\
/
所以△ HCP 是Rt △，所以Z CHP=90
? BM=BA
例 5、如图 6,五边形 ABCDE 中, AB= AE BC + DE= CD , Z ABO Z AED =180 °。求证：Z ADE=Z ADC
解析：条件中有共点且相等的边
AE 和AB,可将△ ADE 以点A 为中心,
顺时针方向旋转Z BAE 的角度到厶AFB 的位置，如图7。这就使已知条件Z ABO Z AED= 180。和BC + DE = CD 通过转化得到集中，使解题思路进一步 明朗。由△ ADE^A AFB 得Z AED=Z ABF, Z ADE=Z AFB ED= BF , AF = AD
由 Z ABO Z AED= 180。，得Z ABO Z ABF = 180 °。所以 C B 、F 又 CD= BC + DE = BC + BF = CF ,故Z CFD=Z CDF 。由 AF = AD,得到Z
Z FDA 线。
又因为HC=2 PC=4
所以/ HPC=30
又因为/ BPH=60，所以/ CPB=90 z/
在Rt △ BPC中，
BC a= BP2+PC3= Q 忑『
=12+16=28,
BC 2.7，那么△ ABC的边长为2-7 。
例7、如图2, O是等边三角形ABC内一点，已知：/ AOB=115，/ BOC=125，则以线段OA OB 0C为边构成三角形的各角度数是多少？
解：可将厶BOC绕B点按逆时针方向旋转60°可得△ BMA
因为BO=BM/ MBO=60
所以△ BOM^等边三角形，
所以/仁/2=60°
又因为/ AOB=115，所以/ MOA=55
又因为/ AMB M COB=125
所以/ AMO=65
又因为AM=OC MO=BO
所以△ AMOE好是以AO OC BO为边组成的三角形，
所以/ MAO=180 —( 55° +65°) =180°—120° =60°
即：以线段OA OB OC为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60 例8、如图4, P是正方形ABCD内一点，将△ ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP
重合，若PB=3求PP'的长。
\ /
分析：将厶ABP绕点B顺时针方向旋转能与CBP'重合，实际上就是把厶ABP顺时针
方向旋转90°
可得CBP',即PBP' 90°。
PBP' 90°。所以PP' . BP2P'B2. 32323、2。解：因为BP BP',
例9、如图5, P为正方形ABCD内一点，且PA PB: PC=1: 2: 3,求/ APB的度数。
分析：PA PB: PC=1: 2：3,
不妨设PA=1, PB=2, PC=3而这些条件较分散，可设法把
PA、PB PC相对集中起来即把△ BCP绕B 点顺时针方向旋转90°得到△ BAE
角军：因为BP=BE / PBE=90°
所以PE22222，所以PE 2、2
又在△ APE中，AE CP 3, PA2 PE2 AE2
即12(2.2)232
所以/ APE=90
即/ APB=90 +45° =135°
所以/ APB=135。
例10、如图，正方形ABCD勺边长为1, AB AD上各存一点P、Q若厶APQ的周长为2,求/ PCQ勺
度数。
解：把△ CDC绕点C旋转90°到厶CBF的位置，CQ=CF
因为AQ+AP+QP=2
又AQ+QD+AP+PB=2
所以QD+BP=QP
又DQ=BF 所以PQ=PF
所以QCP FCP
所以/ QCP M FCP
又因为/ QCF=90，所以/ PCQ=45 。/由上例可知，利用旋转的概念及性质，把图中的一部分图形通过旋转，可把题化难为易，它为题设和结论的沟通架起了桥梁，同学们在做题时多练，多观察，增强解答几何题的能力
从以上几例来看，都巧妙地运用了旋转的方法构造全等三角形，或借助中点，或旋转一角，通过将相关线段和有关的角转移到一个直角三角形中，运用勾股定理及它的逆定理来达到解题的目的。