第二章：
试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍
解：
四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3}
八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则：
四进制脉冲的平均信息量H(X 1) = log 2n = log 24 = 2 bit/symbol 八进制脉冲的平均信息量H(X 2) = log 2n = log 28 = 3 bit/symbol 二进制脉冲的平均信息量H(X 0) = log 2n = log 22 = 1 bit/symbol 《
所以：
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。
居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量
解：
设随机变量X 代表女孩子学历
X x 1（是大学生）
x 2（不是大学生）
P(X)
(
设随机变量Y 代表女孩子身高
Y y 1（身高>160cm ） y 2（身高<160cm ）
P(Y)
"
已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的 即：p(y 1/ x 1) =
求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量
即：bit y p x y p x p y x p y x I 415.15.075.025.0log )()/()(log )/(log )/(2111121111=???
???-=?
?
????-=-=
一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问
(1) 任一特定排列所给出的信息量是多少
(2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量
》
解：
(1) 52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：
bit x p x I i i 581.225!52log )(log )(2==-=
(2) 52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：
bit C x p x I C x p i i i 208.134
log )(log )(4)(1352
13
2
213
52
13
=-=-==
设离散无记忆信源???
???=====??????8/14/1324/18/310)(4321x x x x X P X ，其发出的信息为(202032)，求 (1) 此消息的自信息量是多少
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少
解： ~
(1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：
6
25
14
814183??
? ?????? ?????? ??=p
此消息的信息量是：bit p I 811.87log 2=-=
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：bit n I 951.145/811.87/==
从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为%，如果你问一位男士：“你是否是色盲”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少
解： 男士：
symbol
bit x p x p X H bit
x p x I x p bit x p x I x p i i i N N N Y Y Y / 366.0)93.0log 93.007.0log 07.0()(log )()( 105.093.0log )(log )(%
93)( 837.307.0log )(log )(%
7)(222
22222=+-=-==-=-===-=-==∑
女士： @
symbol bit x p x p X H i
i i / 045.0)995.0log 995.0005.0log 005.0()(log )()(222
2=+-=-=∑
设信源??????=??????17.016.017.018.019.02.0)(654321
x x x x x x X P X ，求这个信源的熵，并解释为什么H(X) > log6不满足信源熵的极值性。
解：
585
.26log )(/ 657.2)17.0log 17.016.0log 16.017.0log 17.018.0log 18.019.0log 19.02.0log 2.0()
(log )()(22222226
2=>=+++++-=-=∑X H symbol bit x p x p X H i
i i 不满足极值性的原因是107.1)(6
>=∑i
i
x p 。
证明：H(X 3/X 1X 2) ≤ H(X 3/X 1)，并说明当X 1, X 2, X 3是马氏链时等式成立。
证明：
log 1)/()(log )()/()(log 1)/()/()()
/()/(log
)()
/(log )()/(log )()
/(log )()/(log )()
/()/(212
31321212332112313211232213133211
2
3
213133211
2
3
133211
2
3
2133211
3
13311
2
3
21332113213=???? ??-??????=??
?
??-=????
??-≤=+-=+-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑e
x x p x x p e
x x x p x x p x x p e x x x p x x p x x x p x x x p x x p x x x p x x p x x x p x x x p x x x p x x p x x p x x x p x x x p X X H X X X H i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
】
氏链
是马等式成立的条件是时等式成立
当
_,,)/()/()/()()/()/()()()/()/()()
/()/(01)
/()
/()/()/(321132131232113121212131321213132131313213X X X x x x p x x p x x p x x x p x x p x x p x p x x p x x x p x x p x x p x x x p x x p x x x p x x p X X H X X X H i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ∴=?=?=?=?=-≤∴
证明：H(X 1X 2 。。。 X n ) ≤ H(X 1) + H(X 2) + … + H(X n )。
证明：
)
(...)()()()...().../()(0)...;(...
)/()(0);()/()(0);().../(...)/()/()()...(3212112112121332131221212121312121N N N N N N N N N N X H X H X H X H X X X H X X X X H X H X X X X I X X X H X H X X X I X X H X H X X I X X X X H X X X H X X H X H X X X H ++++≤∴≥?≥≥?≥≥?≥++++=---
设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P(0) = ，P(1) = 的概率发出符号。 (1) 试问这个信源是否是平稳的 (2) 试计算H(X 2), H(X 3/X 1X 2)及H ∞；
(3) 试计算H(X 4)并写出X 4信源中可能有的所有符号。
;
解： (1)
这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号．．．．．．．．．．．……” (2)
symbol
bit X H H symbol bit x p x p X H X X X H symbol
bit X H X H i
i i / 971.0)(/ 971.0)6.0log 6.04.0log 4.0()(log )()()/(/ 942.1)6.0log 6.04.0log 4.0(2)(2)(2223213222===+-=-===+?-==∞∑
(3)
1011
111111101101110010101001100001110110010101000011001000010000的所有符号：/ 884.3)6.0log 6.04.0log 4.0(4)(4)(4224X symbol bit X H X H =+?-==
一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源X 的符号集为{0, 1, 2}。 (1) 求平稳后信源的概率分布； 。
(2) 求信源的熵H ∞。
P
P
解： (1)
???
??===??
?=++==????
????+?=?+?=?+?=???
??+=+=+=3/1)(3/1)(3/1)(1)()()()()()()()()()()()()
()()()
/()()/()()()/()()/()()()/()()/()()(3
213213211333222111313333
32322222121111e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p p e p p e p e p p e p p e p e p p e p p e p e e p e p e e p e p e p e e p e p e e p e p e p e e p e p e e p e p e p
?
?
????=??????????
???=+=?+?=+==+=?+?=+==+=?+?=+=3/123/113/10
)(3
/13/)()()()/()()/()()(3/13/)()()()/()()/()()(3/13/)()()()/()()/()()(131313333323232222212121111X P X p p e p p e p p e x p e p e x p e p x p p p e p p e p p e x p e p e x p e p x p p p e p p e p p e x p e p e x p e p x p (2)
()
symbol
bit p p p p p p p p p p p p p p p p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e p H i
j
i j i j i / log log log 31log 31log 31log 31log 31log 31
)/(log )/(31)/(log )/(31)/(log )/(31)/(log )/(31
)/(log )/(31)/(log )/(31)
/(log )/(31)/(log )/(31)/(log )/(3
1
)
/(log )/()(222
2222233233322323123123223222222122113213122121121133
?+?-=??
?
?????+??+??+??+?+??-=???++++++???++-=-=∑∑∞
黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X ={黑，白}。设黑色出现的概率为P(黑) = ，白色出现的概率为P(白) = 。 *
(1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H(X)；
(2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白) = ，P(黑/白) = ，P(白/黑) = ，P(黑/黑) = ，求此一阶马尔可夫信源的熵H 2(X);
(3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较H(X)和H 2(X)的大小，并说明其物理含义。
解： (1)
symbol bit x p x p X H i
i i / 881.010log )7.0log 7.03.0log 3.0()(log )()(2=+-=-=∑
(2)
symbol
bit e e p e e p e p H e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p e e p e p e e p e p e p e e p e p e e p e p e p i
j
i j i j i / 553.010
log )9.0log 9.032
1.0log 1.032
2.0log 2.0318.0log 8.031()
/(log )/()(3
/2)(3/1)(1)()()(2)()(2.0)(9.0)()(1.0)(8.0)()/()()/()()()/()()/()()(221211212221112122222121111=?+?+?+?-=-=??
?==??
?=+=??
?+=+=??
?+=+=∑∑∞
(3)
%
7.442
log 553
.02log %9.112
log 881
.02log 2200122001=-=-==-=-=
∞∞H H H H H H ηη
`
p(黑/黑)=0.8
e1
e2
H(X) > H 2(X)
表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。
同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；
(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
解： * (1)
bit x p x I x p i i i 170.418
1
log )(log )(18
161616161)(2
2=-=-==?+?=
(2)
bit x p x I x p i i i 170.536
1
log )(log )(36
16161)(2
2=-=-==?=
(3)
两个点数的排列如下： 11 12 13 14 ]
15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 》 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 ` 51 52 53 54 55
56 61
62
63
64
,
65
66
共有21种组合：
其中11，22，33，44，55，66的概率是36
16161=? 其他15个组合的概率是18
161612=??
symbol bit x p x p X H i
i i / 337.410log )18
1log 18115361log 3616()(log )()(2=?+?
-=-=∑ (4)
参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：
symbol bit x p x p X H X P X i
i i / 274.310log )6
1log 61365log 365291log 912121log 1212181log 1812361log 3612()
(log )()(36112181111211091936586173656915121418133612)(2=+?+?+?+?+?
-=-=??????????=?
?????∑
：
(5)
bit
x p x I x p i i i 710.136
11
log )(log )(36
11116161)(22=-=-==??=
某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知P(0) = 1/4，P(1) = 3/4。 (1) 求符号的平均熵；
(2) 有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m 个“0”和（100 - m ）个“1”）的自信息量的表达式； (3) 计算(2)中序列的熵。
解： (1)
symbol bit x p x p X H i
i i / 811.010log )43
log 4341log 41()(log )()(2=+-=-=∑
:
(2)
bit m x p x I x p m
i i m m
m
i 585.15.4143
log )(log )(4
34341)(100
1002
2100
100100+=-=-==?
?
?
?????? ??=---
(3)
symbol bit X H X H / 1.81811.0100)(100)(100=?==
对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下：
忙
晴
雨
冷 12
暖 8
暖 16
冷 27
闲
晴
雨
冷 8
暖 15
暖 12冷 5
若把这些频度看作概率测度，求： (1) 忙闲的无条件熵；
(2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； 《
(3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。
解： (1)
根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：
symbol
bit x p X H x x X P X i
i / 964.010340log 1034010363log 10363)()(1034010363闲忙)(222
21=??? ??+-=-=??
???????
?=??????∑
(2)
设忙闲为随机变量X ，天气状态为随机变量Y ，气温状态为随机变量Z
symbol
bit YZ H XYZ H YZ X H symbol
bit z y p z y p YZ H symbol
bit z y x p z y x p XYZ H j
k
k j k j i
j
k
k j i k j i / 859.0977.1836.2)()()/(/ 977.110328log 1032810332log 1033210323log 1032310320log 10320
)
(log )()(/ 836.210312log 103121035log 103510315log 103151038log 103810316log 1031610327log 103271038log 103810312log 103
12
)
(log )()(2222222222
2222=-=-==?
?? ??+++-=-==???++++ ??+++-=-=∑∑∑∑∑
(3)
symbol bit YZ X H X H YZ X I / 159.0859.0964.0)/()();(=-=-=
…
有两个二元随机变量X 和Y ，它们的联合概率为
。
并定义另一随机变量Z = XY （一般乘积），试计算： (1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和H(XYZ)；
(2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z), H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和H(Z/XY)； (3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。
解： (1)
2
1
8381)()()(21111=+=+=y x p y x p x p
symbol bit y p y p Y H y x p y x p y p y x p y x p y p symbol bit x p x p X H y x p y x p x p j
j j i
i i / 1)(log )()(2
1
8183)()()(21
8381)()()(/ 1)(log )()(2
18183)()()(22221212111222122=-==
+=+==
+=
+==-==+=
+=∑∑ Z = XY 的概率分布如下： ！
symbol
bit z p Z H z z Z P Z k
k / 544.081log 8187log 87
)()(818710)(222
21=??? ??+-=-=??????????===?
?????∑
symbol
bit z x p z x p XZ H z p z x p z x p z x p z p z x p z p z x p z x p z x p z p x p z x p z x p z x p z x p x p i k
k i k i / 406.1)81
log 8183log 8321log 21()(log )()(8
1
)()()()()(8
35.087)()()()()()(5.0)()(0)()()()(22222222221211112121111112121111=++-=-==
=+==-=-=+====+=∑∑
symbol
bit z y p z y p YZ H z p z y p z y p z y p z p z y p z p z y p z y p z y p z p y p z y p z y p z y p z y p y p j k
k j k j / 406.1)81
log 8183log 8321log 21()(log )()(8
1)()()()()(8
35.087)()()()()()(5.0)()(0)()()()(22222222221211112121111112121111=++-=-==
=+==-=-=+====+=∑∑8
38121)()()()()()(8/1)()()()()(0
)(0)(0)(11111121111111211111111211111212221211=-=
-==+===+===z y x p z x p z y x p z x p z y x p z y x p y x p z y x p y x p z y x p z y x p z y x p z y x p z y x p
symbol
bit z y x p z y x p XYZ H y x p z y x p y x p z y x p z y x p z y x p y x p z y x p y x p z y x p z y x p i
j
k
k j i k j i / 811.181log 8183log 8383log 8381log 8
1
)(log )()(8
1
)()()
()()(0
)(8
3)()()()()(2222222222222221221221211212212112=??? ??+++-=-==
==+====+∑∑∑
(2)
symbol
bit XY H XYZ H XY Z H symbol bit XZ H XYZ H XZ Y H symbol bit YZ H XYZ H YZ X H symbol bit Y H YZ H Y Z H symbol bit Z H YZ H Z Y H symbol bit X H XZ H X Z H symbol bit Z H XZ H Z X H symbol bit X H XY H X Y H symbol bit Y H XY H Y X H symbol
bit y x p y x p XY H i j
j i j i / 0811.1811.1)()()/(/ 405.0406.1811.1)()()/(/ 405.0406.1811.1)()()/(/ 406.01406.1)()()/(/ 862.0544.0406.1)()()/(/ 406.01406.1)()()/(/ 862.0544.0406.1)()()/(/ 811.01811.1)()()/(/ 811.01811.1)()()/(/ 811.181log 8183log 8383log 8381log 81
)(log )()(22222=-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==??? ??+++-==-=∑∑
(3)
symbol
bit YZ X H Y X H Y Z X I symbol bit XZ Y H X Y H X Z Y I symbol bit YZ X H Z X H Z Y X I symbol
bit Z Y H Y H Z Y I symbol bit Z X H X H Z X I symbol bit Y X H X H Y X I / 406.0405.0811.0)/()/()/;(/ 457.0405.0862.0)/()/()/;(/ 457.0405.0862.0)/()/()/;(/ 138.0862.01)/()();(/ 138.0862.01)/()();(/ 189.0811.01)/()();(=-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-=
有两个随机变量X 和Y ，其和为Z = X + Y （一般加法），若X 和Y 相互独立，求证：H(X) ≤ H(Z), H(Y) ≤ H(Z)。
*
证明：
∑∑∑∑?
?
?
???-=-=??
??-∈-=-=∴+=i k i k i k i i k i k k i i k i k j i k i k x z p x z p x p x z p z x p X Z H Y x z Y
x z y p x z p x z p Y
X Z )/(log )/()()/(log )()/()(
0)( )()()/(22
)
()()/()()
()(log )()(2Y H Z H X Z H Z H Y H y p y p x p i j j j i ≥∴≥=??
?
???-=∑∑ 同理可得)()(X H Z H ≥。
给定声音样值X 的概率密度为拉普拉斯分布+∞<<-∞=-x e x p x
,2
1)(λλ，求H c (X)，并证明它
小于同样方差的正态变量的连续熵。
解：
()
()()[]
????
??
??????????
????
??
??
??∞
+-∞+-∞+-∞+-∞
+-∞+-∞
+∞--∞
+∞
-∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-∞-∞+-∞-∞
+∞--∞+∞-∞
+-∞
+--∞
+--∞
+--∞
+--∞
+--∞+∞---∞
+∞
--∞
+∞
-∞
+∞
--∞+∞
-==??? ?
?--=-===?==-==+-=∴-==--=+==?===+=∴=??
? ?
?-=-==-=-=--=-=-=00
2
020
2
20
22
||222200000)(000|
|2
22
220
2
20
20
20
22||2|
|2||22||2
22 21)()(0
2
1212
121)()(21212
12121)()(/ 2log log 2
log )(log log log
log log log 其中：
log 2
log log 2
12
log log )()(2log 2
1log )()(log )()(xdx e dx e dx e x e de
x dx x e dx x e dx x x p x E m x E xdx e xdx e m ydy e ydy e y d y e xdx e xdx
e xdx e xdx e xdx x p X E m symbol
bit e
e X H e e e
e
d e
e
e
e d e dx
e e dx
e e dx e e dx
e x p dx x p dx e x p dx x p x p X H x x x x x
x x x x y y y x x x x c x x
x
x x
x x x x x x x x x x c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλσλλλλλλλλλλ
λ
λλλ
λλλ
λ
λ
πλσπλλλλλλe
X H e e X H dx e x e xde c c x x x
2log )(2log 2log 21)(2
22
2
2正态2000=>==∴=??? ?
?--=-=??+∞-+∞-+∞
-
连续随机变量X 和Y 的联合概率密度为：???
??≤+=其他
01
),(2222
r y x r y x p π，求H(X), H(Y), H(XYZ)
和I(X;Y)。
%
（提示：?-
=20
222log 2
sin log π
π
xdx ）
解：
??
?
??
?????
??????
?
-+-=+
==-==--=--=--=-+-=--=---=--=-=≤≤--===----------
---202020
220
2
20
20
22220
2
20
2222
22
2222222222222
22222
222
22sin log 2
2cos 1422cos 1log 4
sin log sin 4
log sin 4sin log sin 4
sin log sin 4)
cos (sin log sin 4cos log 4log 2log )(/ log 2
1
log log 2
1
1log 2log log )(2log log )(2
log )( 2log )( )(log )()()( 21)()(2
2222
22
2π
π
π
π
π
ππθθθ
πθθπ
θ
θθπθθπθθθπ
θθθπθθθπθπππππππππd d r d rd d r d r r r r d r r r r x dx x r x r r dx x r r x r dx
x r x p symbol
bit e r e
r r dx
x r x p r dx
x r x p dx r
x p dx r
x r x p dx
x p x p X H r x r r
x r dy r dy xy p x p r r
r r
r
r r r r r r r
r r
r c x r x r x r x r 令其中：
e
e e d e d e d e d e d e
d d d e
r d r d d r r d d d r d r 220
2220
220
22
0220
2220
220
20
20
20
220
20
220
20
20
20
20
log 21
2sin log 21log 212cos log 1log 122cos 1log 2
cos log 2
sin log cos cos sin 21
sin log 2sin sin log 2sin 12sin sin log 1
sin log 2cos 2
log 2
1
1log sin log 2cos 2
1log sin log 2cos 2
)2log 2
(2
2sin log 1
log sin log 2cos 2
sin log 2
2cos log 2
log 2
-=--=--=+-
=-=-=???
?
??-==
+-=-
-=-
-
+
-
=-
+
-
=
?????
??
??
?
??
?
??π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
θπθ
θπ
θπθ
θ
πθ
θπθ
θ
θθ
θπθθθθπθ
θπθ
θθπθ
θθπθ
θθπππ
θπ
θ
θθπθθπθθπ
θπ
其中：
bit/symbol
e r e r XY H Y H X H Y X I bit/symbol r dxdy xy p r dxdy r
xy p dxdy
xy p xy p XY H bit/symbol
e r X H Y H x p y p r y r r y r dx r dx xy p y p c c c c R
R
R
c C C y r y r y r y r log log log log log 2 )()()();( log )(log 1
log
)( )(log )()( log 2
1
log )()()
()()
( 21
)()(222222222222
2222
222222
2-=--=-+===-=-=-===≤≤--===???????
?
---
---πππππππππ
每帧电视图像可以认为是由3105个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现，问每帧图像含有多少信息量若有一个广播员，在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，并彼此无依赖）若要恰当的描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字
解： 1)
symbol
bit X NH X H symbol
bit n X H N / 101.27103)()(/ 7128log log )(6
522?=??=====
；
2)
symbol bit X NH X H symbol bit n X H N
/ 13288288.131000)()(/ 288.1310000log log )(22=?=====
3)
158037288
.13101.2)()(6
=?==X H X H N N
设N X X X X ...21=是平稳离散有记忆信源，试证明：
).../(...)/()/()()...(12121312121-++++=N N N X X X X H X X X H X X H X H X X X H 。
证明：
)
.../(...)/()/()()
.../(log )...(...... )
/(log )()(log )()
.../(log )...(...... )
/(log )...(...)(log )...(...)
.../().../()(log )...(...)
...(log )...(...)
...(12121312121111
2
211
2
12211
11111
2
21121221112211
2
11121211
2
2121-++++=---=-???
???-??????-=-=-=---∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑N N i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i N X X X X H X X X H X X H X H x x x p x x x p x x p x x p x p x p x x x p x x x p x x p x x x p x p x x x p x x x p x x p x p x x x p x x x p x x x p X X X H N N N
N N N N
N N N N N N
N N N N
N N
设N X X X X ...21=是N 维高斯分布的连续信源，且X 1, X 2, … , X N 的方差分别是22221,...,,N σσσ，
它们之间的相关系数),...,2,1,(0)(j i N j i X X j i ≠==ρ。试证明：N 维高斯分布的连续信源熵
∑==N
i
i N c c e X X X H X H 22212log 21)...()(σπ
证明：
相关系数()
()j i N j i x x j i ≠== ,,...,2,1, 0ρ，说明N X X X ...21是相互独立的。
∑==+++=
+++=∴=
+++==∴N
i i N N c c c c i i c N c c c N c c e e e e X H X H X H X H e X H X H X H X H X X X H X H 12
222222************log 21 2log 21...2log 212log 21 )(...)()()(2log 2
1
)()(...)()()...()(σπσπσπσπσπ
设有一连续随机变量，其概率密度函数??
?≤≤=其他
0)(2a x bx x p
(1) 试求信源X 的熵H c (X)；
(2) 试求Y = X + A (A > 0)的熵H c (Y)； (3) 试求Y = 2X 的熵H c (Y)。
解： 1)
symbol
bit e
a b X H ba a F bx x F e
a ba
b xdx
x b b dx
x x f dx x f b dx
bx x f dx x f x f X H c X X R
R
R
R
R
c / log 32log )(1
3
)(,3)(log 92log log 2log log )()(log log )()(log )()(3
223
332
32222222222?--=∴===--=--=-?-=-=-=?????
2)
??????
-----=--?-=--=-=-='=-==-≤=≤+=≤=+≤≤∴≤-≤?≤≤-R
R
R
R
R
c A y A Y A y
d A y A y b b dy
A y y f dy y f b dy A y b y f dy y f y f Y H A y b y F y f A y b
dx bx A y X P y A X P y Y P y F A
a y A a
A y a x )
()(log )(2log )(log )()(log )(log )()(log )()()()()()(3
)()()()(002222222222
32
symbol
bit e
a b Y H ba A a F A y b y F symbol
bit e
a ba
b
c Y Y / log 32log )(13
)(,)(3)(/ log 92log 3
2233
3
232?--=∴==+-=--=
3)
symbol
bit e a b Y H ba a F y b y F ba e a ba b e a ba b ydy
y b
b dy
y y f dy y f b
dy y b y f dy y f y f Y H y b
y F y f y
b dx bx y
X P y X P y Y P y F a
y a y a x c Y Y R R R
R
R
c y
Y / 1log 32log )(1
3
)2(,24)(3
29log 92log 8log 928log log 48log log )()(8log 8
log )()(log )()(8)()(24
)
2
()2()()(202
003
223
33
32323
2
32222222
22
22
3
202+?--=∴===-+
--=--=--=-?-=-=-=='===≤=≤=≤=≤≤∴≤≤?≤≤??????