§4.5 常见曲面的参数方程
本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。
掌握旋转曲面的参数方程的建立。
掌握直纹面的参数方程。
本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。
在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。
（一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标
设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是
)()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤===
则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影'
P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ???
????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则
)())(())((112
1212121t h Z t g t f Y X =+=+
再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ???
????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1）
特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线
)(0)
(t h Z Y t f X ===
时,（4.5.1）成为
??
???===)(sin )(cos )(t h Z t f Y t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.2）
例１、如图，以原点为中心，a 为半径的球面可看作是由坐标面XOZ 上的半圆r ， ??sin 0cos a Z Y a X === （22π
?π
≤≤-）绕Z 轴旋转所生成的，由(4.5.2)
得其参数方程为
??
???===?θ?θ?sin sin cos cos cos a Z a Y a X ???? ??<≤≤≤-πθππ2022t （4.5.3）
它与§2.1中的球面参数方程的形式是相同的。
(4.5.3)中的参数分别叫做经度与纬度，序对),(?θ叫做地理坐标。显然，除两极外，球面上的点),,(Z Y X P 与序对),(?θ一一对应。这种利用曲面参数方程中的两个参数来表示曲面上的点的坐标叫做曲纹坐标，它对于曲面理论的进一步研究有着重要的作用。
利用球面的这种曲纹坐标还可以引入空间的另一种坐标系。设P 为空间任意一点，它到原点的距离为r ，过P 作以原点为中心，以r 为半径的球面，则P 在这球面上具有地理坐标?θ,，可令点P 对应有序数组),,(?θr ；反之，由非负实数r 可确定P 所在的球面，再由),(?θ在这球面上确定P 点。空间中点的这种坐标叫做球坐标。显然，Z 轴上点的球坐标θ可取任意值。
把(4.5.3)中的常数a 换为变数r ，就成为球坐标与直角坐标的变换式，即
?????===?θ?θ?sin sin cos cos cos r Z r Y r X ?????? ??<<-<≤≥22
200πππθt r （4.5.4） 反之，有
?????????++=+=+=++=2222222222arcsin sin cos Z Y X Z Y X X Y X X Z Y X r ?θθ (4.5.5)
当0=Z 时，θ=0，于是，对坐标面XOY 上的点，只需序对),(θr 即可确定。这里),(θr 不是别的，正是大家熟知的极坐标。这时原点是极点，X 轴是极轴，因此，球坐标可以看作是平面极坐标在空间中的一种推广。
例２、如图4-17，以Z 轴为对称轴，半径为a 的圆柱面可看作是由坐标面XOZ 上的
t Z Y a X ===0，
图4—17
绕Z 轴旋转所生成的。由(4.5.2)得其参数方程为
??
???===t Z a Y a X θθsin cos ???? ??+∞<<∞-<≤t πθ20 （4.5.6）
利用参数t ,θ可得圆柱面上的一种曲纹坐标),(t θ，从而我们可引入空间的又一种坐标系。设P 为空间任意一点，它到Z 轴的距离为r ，过P 作以Z 轴为轴，半径为r 的圆柱面，则P 在这圆柱面上具有曲纹坐标t ,θ，可令P 对应有序数组),,(t r θ；反之，由非负实数r 可确定P 所在的圆柱面，再由),(t θ在这圆柱面上确定P 点。空间中点的这种坐标叫做柱坐标。与球坐标一样，Z 轴上点的柱坐标可取任意值。
把(4.5.6)中的常数a 换为变数r ，即得柱坐标与直角坐标间的关系式
??
???===t Z r Y r X θθsin cos ????? ??+∞<<∞-<≤≥t r πθ200 （4.5.7） 反之，有
???????=+=+=+=Z t Y X X Y X X Y X r 22222
2sin cos θθ (4.5.8)
当0=Z 时，0=t ，从而XOY 面上的点也只需),(θr 即可确定，所以柱坐标也是平面极坐标在空间中的另一种推广。像广义极坐标一样，柱坐标r 也可以推广到负值情形。
在一个坐标系下，若让一个坐标固定而其它坐标变化，则所得轨迹叫做坐标曲面；若一个坐标变化而其它坐标固定，则所得轨迹叫做坐标曲线。
例如在柱坐标系下，坐标曲面，0r r =（常数）是以Z 轴为轴，半径等于||0r 的圆柱
面；坐标曲面
0θθ=（常数）是过Z 轴的平面（若限定0>r ，则轨迹为半平面）；0Z Z =（常数）是平行于XOY 面的平面。显然， 坐标曲线可看作是两个不同类的坐标曲面的交线，如坐标曲线0r r =，0Z Z =（叫做θ线）是圆柱面0r r =与XOY 面的平行面0Z Z =的交线，因而是位于平面0Z Z =上，中心在Z 轴，半径为||0r 的圆。
我们已经看到，用球坐标或柱坐标表示曲面或曲线，有时是比较简单明了的。但要注意，在不同坐标系下，同一方程可能表示不同的图形。例如方程0r r =，在球坐标系下表示的是
球面20222r Z Y X =++，而在柱坐标系下表示的却是圆柱面2022r Y X =+。
（二）直纹面的参数方程
因为直纹面的母线是直线，所以其参数方程为
?????+=+=+=nV Z mV Y lV X ζηξ
其中V 是这直线上点的参数。只因为直纹面是一族单参数直线构成的，族中母线是随着一个参数U 而变动的，即n m l ,,,,,ζηξ均为U 的函数，所以这直母线族方程可以写成
??
???+=+=+=V U n U Z V U m U Y V U l U X )()()()()()(ζηξ (4.5.9)
其中U 为族的参数，一个U 值对应族中一条直母线。当曲面看作是运点轨迹时，就是由所有母线上的点构成的，故(4.5.9)即为它的方程。
令0=V 是，得直纹面上一曲线)(),(),(U Z U Y U X ζηξ===。它与所有的母线都有公共点，可称为直纹面的导线。
特别地，当)(),(),(U n U m U l 分别为常数n m l ,,（即母线互相平行）时，直纹面(4.5.9)为柱面
??
???+=+=+=nV U Z mV U Y lV U X )()()(ζηξ (4.5.10)
而当)(),(),(U U U ζηξ分别为常数ζηξ,,（即导线只含一点）时，直纹面(4.5.9)为锥面
??
???+=+=+=nV Z mV Y lV X ζηξ (4.5.11)
平面可以看作以直线为导线的柱面。设一个平面通过定点),,(0000Z Y X P 平行于两个不共线向量},,{},,,{222111νμλνμλ→→b a ，我们以→
a 为方向向量，过0P 引一直线 U Z U Y U X 101010,,νζμηλξ+=+=+=为导线，以→
b 为母线的共同的方向向量，则由(4.5.10)得到平面的参数方程 ??
???++=++=++=V U X X V U Y Y V U X X 210210210ννμμλλ (4.5.12)
例３、求以直线01=--+Z Y X ，03=+-Y X 为导线，母线平行于直线Z Y X ==的柱面的参数方程。
解：将导线方程改写成
?
??=+-=--+0301ηξζηξ 并取ζ为参数，得导线的参数方程为
U U =+==ζηξ2
121 再将它和1,1,1===n m l 一同代入(3.5.10)使得所求柱面的参数方程为
????
?????+=++=+=V
U Z V U Y V X 2121 显然,这柱面是个平面。
习题 4－５
１、求下列曲线按指定轴旋转生成的曲面的参数方程：
(1) )0(cos ,
sin 4,sin 3π≤≤===t t t Z t Y t X 绕Z 轴旋转 (2) t Z t Y t X 3,,2===绕X 轴旋转。
２、已知径线的参数方程与旋转轴，写出旋转曲面的参数方程 (1) 1,0,2-===t Z Y t X 绕Z 轴旋转
(2) 0,sin ,===Z t Y t X 绕X 轴旋转。
３、一锥面以)3,0,0(为顶点，以椭圆1,116
252
2-==+Z Y X 为导线，试求其参数方程。 ４、利用直母线的方程，求单叶双曲面与双曲抛物面的参数方程。
５、设以λ为参数的一族直线0
112λλ-=-=-Z Y X ，试求： (1) 这族直线所构成的直纹面；
(2) 这直纹面的参数方程；
(3) 这直纹面的一条导线。
６、设直纹面有一条直导线，且母线平行于一个与导线相交的定平面，则此直纹面叫做劈锥曲面。今以定平面为XOY 面，它与直导线的交点为原点，试求劈锥曲面的参数方程。 ７、试求球坐标系的坐标曲面与坐标曲线。
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