第二章解析几何初步
§2圆与圆的方程
2.3直线与圆、圆与圆的位置关系(1)
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一、选择题
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是()
A．相交B．相切
C．相离D．相切或相交
解析：∵圆心(0,0)到直线3x＋4y＝5的距离d＝
|5|
32＋42
＝1<4，∴直线与圆相交．
答案：A
2．直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于()
A．12 2 B．2 2
C．3 2 D．4 2
解析：圆的方程可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝2，∴圆心是(－2,2)，半径为2，
圆心(－2,2)到直线x－y＋4＝0的距离d＝|－2－2＋4|
2
＝0，∴直线过圆心，即弦
长＝2r＝2 2.
答案：B
3．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()
A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：设圆心坐标为(a,0)，a＞0.
则
|3a ＋4|32
＋4
2
＝2，解得a ＝2.
∴圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0. 答案：A
4．直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－3，3)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 解析：直线方程为kx －y ＋2＝0， ∵直线与圆没有公共点， ∴
|k ·0－0＋2|k 2
＋(－1)
2
＞1，解得－3＜k ＜ 3.
答案：B
5．若直线过点P ? ?
???－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的
方程为( )
A ．3x ＋4y ＋15＝0
B ．x ＝－3或y ＝－3
2 C ．x ＝－3
D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0
解析：若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线斜率存在，设直线方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0.
∵该直线被圆截得的弦长为8，圆的半径为5.
∴圆心(0,0)到直线的距离为 52－? ??
??822＝
???
???3k －32k 2＋1
，解得k ＝－3
4，此时直线
方程为3x ＋4y ＋15＝0.
答案：D
6．直线2x －y ＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9交于A 、B 两点，则△ABC 的面积为( )
A ．2 5
B ．2 3
C ．4 3
D ．4 5
解析：圆C 的圆心(2，－1)到直线2x －y ＝0的距离d ＝
|2×2－(－1)|22
＋(－1)
2
＝5，
则直线被圆截得的弦长|AB |＝29－5＝4，所以△ABC 的面积S ＝12|AB |·d ＝1
2
×4×5＝2 5.
答案：A 二、填空题
7．若圆心在直线y ＝x 上，半径为 2 的圆M 与直线x ＋y ＝4相切，则圆M 的标准方程是_________________________________________________．
解析：设圆心坐标为(a ，a )，直线方程为x ＋y －4＝0. 由题意知
|2a －4|
2
＝2，解得a ＝3或a ＝1.
∴圆的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －3)2＋(y －3)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2
8．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点的个数为________．
解析：圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝
|－1－2＋1|
2
＝2，
半径r ＝
22＋42－4×(－3)
2
＝2 2.
∴圆上有3个点到直线的距离为 2.
答案：3
9．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝__________.
解析：圆的方程可化为标准方程：(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
最大弦长为圆的直径，则m＝10；
当点(－1,0)为弦的中点时，弦长最小，此点到圆心的距离d＝(2＋1)2＋(－3)2＝32，
∴最小弦长为2r2－d2＝225－18＝27.
∴m－n＝10－27.
答案：10－27
三、解答题
10．圆x2＋y2＝8内一点P(－1，2)，过点P的直线的倾斜角为α，直线l交圆于A，B两点．
(1)当α＝135°时，求AB的长；
(2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
解：(1)当α＝135°时，k AB＝－1，
直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
故圆心(0,0)到AB的距离
d＝|0＋0－1|
2
＝
2
2，
从而弦长|AB|＝2 8－1
2＝30.
(2)解法一：由题可知k OP＝－2，故k AB＝1 2，
所以l的方程为y－2＝1
2(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4.
由???
x 2
1＋y 21＝8，x 22＋y 22＝8，
两式相减得
(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即－2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1
2
.
∴直线l 的方程为y －2＝1
2(x ＋1)， 即x －2y ＋5＝0.
11．若直线l ：4x ＋3y －8＝0过圆C ：x 2＋y 2－ax ＝0的圆心且交圆C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．
解：由题易知，圆C ：x 2＋y 2－ax ＝0的圆心为? ??
??
a 2，0.
又直线l ：4x ＋3y －8＝0过圆C 的圆心? ????
a 2，0，∴4×a 2＋3×0－8＝0，∴a
＝4，∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.∴|AB |＝2r ＝4.又点O (0,0)到直线l ：4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|0＋0－8|42＋32＝85
，∴S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×4×85＝16
5. 12．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2外一点P (2，－1)，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，其中A ，B 是切点．
(1)求P A ，PB 所在的直线方程； (2)求|P A ||PB |的值； (3)求直线AB 的方程．
解：(1)由圆心C (1,2)，点P (2，－1)及半径r ＝2知，切线斜率一定存在．设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.
因为圆心到切线的距离等于半径． 所以
|k －2－2k －1|
k 2＋1
＝2，
即k 2－6k －7＝0.解得k ＝－1或k ＝7.
故切线方程为x ＋y －1＝0或7x －y －15＝0.
即P A ，PB 所在的直线方程分别为x ＋y －1＝0,7x －y －15＝0. (2)因为|PC |＝(2－1)2＋(－1－2)2＝10， 所以|P A |＝|PB |＝
|PC |2－r 2＝2 2.
(3)由??? x ＋y －1＝0，(x －1)2＋(y －2)2
＝2，解得???
x ＝0，y ＝1， 所以A (0,1)．由???
7x －y －15＝0，(x －1)2＋(y －2)2＝2，
解得?????
x ＝125，y ＝9
5，
所以B ? ??
??
125，95.
故直线AB 的方程为y －195－1＝x －0
125－0
，即x －3y ＋3＝0.
13．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在这个圆上，且与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．
解：设A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点为A ′.
由已知得AA ′为圆的弦，且AA ′的对称轴x ＋2y ＝0过圆心．设圆心C (－2a ，a )，半径为r ，则r 2＝|CA |2＝(－2a －2)2＋(a －3)2.
又弦长22＝2r 2－d 2，d ＝|－2a －a ＋1|2＝|3a －1|
2
，
∴(2a ＋2)2＋(a －3)2－(3a －1)
2
2
＝2，
整理得：a 2＋10a ＋21＝0，解得a ＝－3或a ＝－7. 当a ＝－3时，r ＝52，圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52； 当a ＝－7时，r ＝244，圆的方程为(x －14)2＋(y ＋7)2＝244. 综上，圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.