二次函数的专题复习
一、 考试说明的要求:
二、 复习目标
1、 认识二次函数是常见的简单函数之一,也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型.理解二次函数
的概念,掌握其函数关系式以及自变量的取值范围.
2、 能正确地描述二次函数的图象,能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质,并能
运用这些性质解决问题.
3、 能根据问题中的条件确定二次函数的关系式,并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.
4、 了解二次函数与一元二次方程的关系,能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
三、知识点回顾
1、二次函数的概念:形如)0(2
≠++=a c bx ax y 的函数.
2、抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是(a b ac a b 44,22--);对称轴是直线a
b x 2-=. 3、当a >0时抛物线的开口向上;当a <0时抛物线的开口向下.a 越大,抛物线的开口越小;a 越小,抛物线的开口越大.a 相同的抛物线,通过平移(或旋转、轴对称)一定能够重合.
4、a 、b 同号时抛物线的对称轴在y 轴的左侧;a 、b 异号时抛物线的对称轴在y 轴的右侧.抛物线与y 轴的
交点坐标是(0,C ).
5、二次函数解析式的三种形式: (1)一般式:)0(2
≠++=a c bx ax y (2)顶点式:k h x a y +-=2
)(
(3)交点式:))((21x x x x a y --=,抛物线与x 轴的交点坐标是(0,1x )和(0,2x ). 6、抛物线的平移规律:从2
ax y =到k h x a y +-=2
)(,抓住顶点从(0,0)到(h ,k ).
7、(1)当ac b 42
->0时,一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 有两个实数根21,x x ,抛物线
)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的交点坐标是A (0,1x )和B (0,2x )。
(2)当ac b 42
-=0时,一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根(或说一个根)
a
b x x 221-
==,抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 的顶点在x 轴上,其坐标是(0,2a b -).
(3)当ac b 42
-<0时,一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 没有实数根,抛物线
)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴没有交点.
8、二次函数的最值问题和增减性:
四、例题精析
例1:函数2
2x y =、2
2x y -=、2
2
1x y =
的图象的共同特征是( ) (A )开口都向上,且都关于y 轴对称 (B )开口都向下,且都关于x 轴对称 (C )顶点都是原点,且都关于y 轴对称 (D )顶点都是原点,且都关于x 轴对称
分析:C.
【回顾】研究二次函数的图象与性质,一般从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴的交点、最值等来观察和探究。注意其中的规律。
例2:已知二次函数324
12
---
=x x y .(1)用配方法化为k h x a y +-=2)(的形式.(2)写出它的顶点坐标和对称轴,并画出它的图象.(3)根据图像指出:①当x 取何值时,y 随x 值的增大而减小. ②当x 取何值时,y 有最大(小)值,值是多少?③抛物线与x 、y 两坐标轴的交点坐标. ④当x 取何值时
0 分析:324 12---=x x y =() 38412-+-x x =()344412-++-x =()14412 ++-x 解略。 例3:已知△ABC 中,8=BC ,BC 上的高h =4,D 为BC 上一点,EF BC //,交AB 于点E ,交AC 于点F (EF 不过A 、 B ),设E 到B C 的距离为x ,则△DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为( ) 分析:D 利用△AEF 与△ABC 相似,确定EF 的长,写出y 关于x 的函数关系式,确定自变量x 的取值范围,从而知晓。 例4:如图,二次函数y=x2-4x+ 3的图象交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C ,设抛 物线的顶点为P. (1)求△ABC 、 △COB 的面积 (2)求四边形CAPB 的面积 分析过程见课件。 例5:一批名牌中都商场销售衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元。为了扩大销售,尽快增加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场每件衬衫降价x 元,商场每天的赢利为y 。(1)你能写出x 和y 的关系吗?(2)当每件衬衫降价多少元时,商场可获得最大利润?最大利润为多少元? 分析:见导引P71页。 例6:如图有一个边长为5cm 的正方形ABCD ,和等腰三角形PQR ,PQ=PR=5cm ,QR=8cm ,点B 、C 、Q 、R 在同一直线上,当C 、Q 两点重合时,△PQR 以1cm /秒的速度向左开始匀速运动,设与正方形重合部分面 积为Scm 2 。当130≤≤t 时,求S 与t 的函数关系,并求出何时S 最大? D A R P y y y y x x x B Q R R R R R 五、 课堂练习 1.抛物线5)3(22+-=x y 的对称轴是 ,顶点坐标是 ;它是由抛物线2 2x y =的 图象_________________________________平移得到的。 2.当_____=x ,函数322 --=x x y 的函数值为5; 3.如果抛物线m x x y +-=62 的顶点在x 轴上,那么______=m ; 4.已知函数322 --=x x y ,则它的顶点坐标是 ,对称轴是 ;图象与y 轴的交点为 ,与x 轴的交点为 ; 5.二次函数c bx x y ++=2 的顶点坐标为(3-,1),则____________,==c b ; 6.某抛物线的顶点为1(-P ,)8-且经过点0(,)6-,则这个抛物线的解析式为 . 7、在同一直角坐标系中,一次函数c ax y +=和二次函数c ax y +=2 的图象大致为( ) 8、二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,则 a 、 b 、 c 、ac b 42-的取值范围是( ) (A ) a >0,b <0,c <0,ac b 42 ->0 (B ) a <0,b <0,c <0,ac b 42 -<0 (C ) a >0, b >0,c <0,ac b 42 ->0 (D ) a >0,b <0,c >0, ac b 42 ->0 9、下列图中阴影部分的面积与算式122)2 1 (|43|-++- 的结果相同的是 ( ) 10、如图所示,是一条高速公路的隧道口在平面直角坐标系上的示意图,点A 和A 1、点B 和B 1分别关于y 轴对称,隧道拱部分BCB 1为一条抛物线,最高点C 离路面AA 1的距离为8米,点B 离路面为6米,隧道的宽度AA 1为16米; y x O 第8题 x y O x y O x y O x y O (1)求隧道拱抛物线BCB 的函数解析式; 1 (2)现有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽度为4米,车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米,他能否通过这个隧道?请说明理由。 六、作业布置 导引P74-75页,A组、B组