数分高代定理大全
《高等代数》
第一章
带余除法 对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式(),()q x r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ?
定理 1 对于数域P 上的任意两个多项式(),()f x g x ，其中()0,()|()g x g x f x ≠的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零.
定理 2 对于[]P x 中任意两个多项式()f x ，()g x ，在[]P x 中存在一个最大公因式
()d x ，且()d x 可以表示成()f x ，()g x 的一个组合，即有[]P x 中多项式(),()u x v x 使()()()()()d x u x f x v x g x =+.
定理 3 []P x 中两个多项式()f x ，()g x 互素的充分必要条件是有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=.
定理 4 如果((),())1f x g x =，且()|()()f x g x h x ，那么()|()f x h x .
定理 5 如果()p x 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式(),()f x g x ，由
()|()()p x f x g x 一定推出()|()p x f x 或者()|()p x g x .
因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式
1212()()()()()()(),s t f x p x p x p x q x q x q x ==L L 那么必有s t =，并且适当排列因式
的次序后有()(),1,2,,,i i i p x c q x i s ==L 其中(1,2,,)i c i s =L 是一些非零常数. 定理 6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，那么它是微商()f x '的
1k -重因式.
定理 7（余数定理） 用一次多项式x α-去除多项式()f x ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()f α.
定理 8 []P x 中n 次多项式(0)n ≥在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.
定理 9 如果多项式()f x ，()g x 的次数都不超过n ，而它们对1n +个不同的数
121,,n ααα+L 有相同的值，即()(),1,2,1,i i f g i n αα==+L 那么()()f x g x =. 代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根.
复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.
实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
定理 10（高斯（Gauss ）引理） 两个本原多项式的乘积还是本原多项式. 定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.
定理 12 设110()n n n n f x a x a x a --=+++L 是一个整系数多项式，而r
s
是它的有理
根，其中,r s 互素，那么必有0|,|n s a r a .特别地，如果()f x 的首项系数1n a =，那么()f x 的有理根是整根，而且是0a 的因子.
定理 13 （艾森斯坦（Eisenstein ）判别法） 设110()n n n n f x a x a x a --=+++L 是一个整系数多项式，如果有一个素数p ，使得
1.|n p a /
； 2.120|,,,n n p a a a --L ； 3.20|p a /
那么()f x 在有理数域上是不可约的. 第二章 定理 1 对换改变排列的奇偶性.
定理 2 任意一个n 级排列与排列12n L 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.
定理 3 设11121212221
2n n
n n nn
a a a a a a d a a a =
L L
M M
M L
，ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成立：
定理 4 （克拉默法则） 如果线性方程组
的系数矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ??????=
???
???
L L M M M L 的行列式0d A =≠，
那么该线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为
1212,,,,n n d d d
x x x d d d
=
==L 其中j d 是把矩阵A 中第j 列换成方程组的常数项12,,,n b b b L 所成的行列式，即
定理 5 如果齐次线性方程组
的系数矩阵的行列式0A ≠，那么它只有零解.换句话说，如果该方程组有非零解，那么必有0A =.
定理 6 （拉普拉斯定理） 设在行列式D 中任意取定了(11)k k n ≤≤-个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .
定理 7 两个n 级行列式11
12121222112n n n n nn
a a a a a a D a a a =
L L M M M L 和1112121222212n n n n nn
b b b b b b D b b b =
L L M M M L
的
乘积等于一个n 级行列式111212122212n n n n nn
c c c c c c C c c c =
L L M
M
M L
，其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与
2D 的第j 列的对应元素乘积之和：1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++L .
第三章
定理 1 在齐次线性方程组 中，如果s
n <，那么它必有非零解.
定理 2 设12,,r a a a L
与1,,,r b b b L 2是两个向量组，如果
1）向量组12,,r a a a L 可以经1,,,r b b b L 2线性表出，
2）r
s >，
那么向量组12,,r a a a L 必线性相关.
定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量 定理 4 矩阵的行秩与列秩相等. 定理 5 n n ′矩阵
的行列式为零的充分必要条件是A 的秩小于n .
定理 6 一矩阵的秩是r 的充分必要条件为矩阵中有一个r
级子式不为零，同时所有1r
+级子式全为零.
定理 7 （线性方程组有解判别定理） 线性方程组
1111221121122222
1122,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=??
??+++=?L L L L L L L 有解的充分必要条件为它的系数矩阵111212122212L
L M M M L
n n s s sn a a a a a a A a a a ??????=
??
?
???与增广矩阵11121121222212L
L M M M M L
n n s s sn s a a a b a a a b A a a a b ??
????=??????
有相同的秩。
定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于n r -，这里r 表示系数矩阵的秩.
定理 9 如果0r 是方程组1111221121122222
1122,,n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=?L L L L L L L 的一个特解，那么该方
程组的任一个解
r
都可以表成0r r h =+，其中h 是导出组
1111221211222211220,0,0
n n n n
n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=??+++=??
??+++=?L L L L L L L 的一个解.因此，对于方程组的任一个特解0r ，当h 取遍 它的导出组的全部解时，0r r h =+就给出本方程组的全部解.
第四章
定理 1 设,A B 是数域P 上的两个n n ′矩阵，那么A B A B =，即矩阵的乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积.
定理 2 设A 是数域P 上n m ′矩阵，B 是数域P 上m s ′矩阵，于是
,￡秩（AB ）min[秩（A ）秩（B ）]，即乘积的秩不超过各因子的秩.
定理 3 矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化，而 11(0)A A d A d
-*
==?. 定理 4 A 是一个s n ′
矩阵，如果P 是s s ′可逆矩阵，Q 是n n ′可逆矩阵，
那么 秩(A)=秩(PA)=秩(AQ).
定理 5 任意一个s n ′矩阵A 都与一形式为的矩阵等价，它称为矩阵A 的标准形，主对角线上1的个数等于A 的秩（1的个数可以是零）.
定理 6 n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积： 12m A Q Q Q =L
第五章
定理 1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和
2221122n n d x d x d x ++L .
定理 2 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
定理 3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。
定理 4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的。
定理 5 （1）任一复对称矩阵A 都合同于一个下述形式的对角矩阵;
,其中，对角线上1的个数r
等于A 的秩.
（2）任一实对称矩阵A 都合同于一个下述形式的对角矩阵： ，其中对角线上1的个数p 及-1的个数
r p -（r 是A 的秩）都是唯一确定的，
分别称为A 的正、负惯性指数.它们的差2p r -称为A 的符号差.
定理 6 n 元实二次型1,2,(,)n f x x x L 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于
n
.
定理 7 实二次型
是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零. 定理 8 对于实二次型1(,,)n f x x X AX '=L ，其中A 是实对称的，下列条件等价：
（1）
1(,,)n f x x L 是半正定的，
（2）它的正惯性指数与秩相等， （3）有可逆实矩阵C ，使 其中，0,1,2,,,i
d i n ≥=L
（4）有实矩阵C 使A C C '=，
（5）A 的所有主子式皆大于或等于零.
第六章
定理 1 如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量12,,n αααL ，且V 中任一向量都可以用它们线性表出，那么V 是n 维的，而12,,n αααL 就是V 的一组基. 定理 2 如果线性空间V 的非空子集合W 对于V 的两种运算是封闭的，那么W 就是一个子空间.
定理 3 1）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价.2）
12(,,)r L αααL 的维数等于向量组12,,r αααL 的秩.
定理 4 设W 是数域P 上n 维线性空间V 的一个m 维子空间，12,,m αααL 是W 的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在V 中必定可以找到n m -个向量12,,,m m n ααα++L
，使得12,,n αααL 是V 的一组基.
定理 5 如果12,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么它们的交12V V I 也是V 的子空
间.
定理 6 如果12,V V 是V 的子空间，那么它们的和12V V +也是V 的子空间. 定理 7 （维数公式）如果12,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 维（1V ）+维（2V ）=维（12V V +）+维（12V V I ）. 定理 8 和12V V +是直和的充分必要条件是等式 只有在i α全为零向量时才成立.
定理 9 设12,V V 是V 的子空间，令12W V V =+，则12W V V =⊕的充分必要条件为 维（W ）=维（1V ）+维（2V ）.
定理 10 设U 是线性空间V 的一个子空间，那么一定存在一个子空间W 使 V U W =⊕.
定理 11 12,,,s V V V L 是V 的一些子空间，下面这些条件是等价的： 1）i W V =∑是直和；
2）零向量的表法唯一； 3）{}0i j j i
V V ≠=∑I
(1,2,,)i s =L ；
4）维（W ）=i ∑维（V ）.
定理 12 数域P 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.
第七章
定理 1 设12,,,n εεεL 是线性空间V 的一组基，12,,n αααL 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换A 使,1,2,,i i i n εαA ==L .
定理 2 设12,,,n εεεL 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换对应一个n n ?矩阵.这个对应具有以下的性质：
1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；
4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.
定理 3 设线性变换A 在基12,,,n εεεL 下的矩阵是A ，向量ξ在基12,,,n εεεL 下的坐标是12(,,,)n x x x L ，则ξA 在基12,,,n εεεL 下的坐标12(,,,)n y y y L 可以按公式
1122n n y x y x A y x ????????????=????????????
M M 计算. 定理 4 设线性空间V 中线性变换A 在两组基 12,,,n εεεL （6）
12,,,n ηηηL （7）
下的矩阵分别为A 和B ，从基（6）到基（7）的过渡矩阵是X ，于是1B X AX -=. 定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵. 定理 6 相似的矩阵有相同的特征多项式.
哈密尔顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理 设A 是数域P 上一个n n ?矩阵，
()f E A λλ=-是A 的特征多项式，则
11122()()(1)n n n nn f A A a a a A A E O -=-+++++-=L L .
定理 7 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是，A 有n 个线性无关的特征向量. 定理 8 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
定理 9 如果1,,k λλL 是线性变换A 的不同的特征值，而1,,i
i ir ααL 是属于特征值i λ的
线性无关的特征向量，1,,i k =L ，那么向量组1
1111,,,,,,k
r k kr ααααL L L 也线性无关.
定理 10设A 是n 维线性空间V 的线性变换，12,,,n εεεL 是V 的一组基，在这组基下A 的矩阵是A ，则
1）A 的值域V A 是由基像组生成的子空间，即 12(,,,)n V L εεεA =A A A L . 2）A 的秩A =的秩.
定理 11 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，则V A 的一组基的原像及1(0)-A 的一组基合起来就是V 的一组基.由此还有 A 的秩+A 的零度n =.
定理 12 设线性变换A 的特征多项式为()f λ，它可分解成一次因式的乘积
1212()()()()s r r r s f λλλλλλλ=---L .
则V 可分解成不变子空间的直和 12s V V V V =⊕⊕⊕L ， 其中{}|()0,i
r i i V V ξλεξξ=A -=∈.
定理 13 设A 是复数域上线性空间V 的一个线性变换，则在V 中必定存在一组基，使A 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.
定理 14 每个n 级复矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似.
定理 15 数域P 上n 级矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件为A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积.
第八章
定理 1 一个n n ?的l -矩阵()A l 是可逆的充分必要条件为行列式()A l 是一个非零的数.
定理 2 任意一个非零的s n ′的l -矩阵()A l 都等价于下列形式的矩阵 其中1,()(1,2,,)i r d i
r l ?L 是首相系数为1的多项式，且
1()|()i i d d l l +L ，(i=1,2,,r-1).
定理 3 等价的l -矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子. 定理 4 l -矩阵的标准形是唯一的.
定理 5 两个l -矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.
定理 6 矩阵()A l 是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积. 定理 7设,A B 是数域P 上的两个n n ′矩阵.A 与B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵E A l -和E B l -等价.
定理 8 两个同级复数矩阵B 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子. 定理 9 首先用初等变换化特征矩阵E A l -为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是A 的全部初等因子.
定理 10 每个n 级矩阵的复数矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的，它称为A 的若尔当标准形.
定理 11设A 是复数域上线性空间V 的线性变换，在V 中必定存在一组基，使A 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被A 唯一决定的.
定理 12 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是，A 的初等因子全为一次的.
定理 13 复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是，A 的不变因子都没有重根.
定理 14 数域P 上n n ′方阵A 在P 上相似于唯一的一个有理标准形，称为A 的有理标准形.
定理 15设A 是数域P 上n 维线性空间的线性变换，则在V 中存在一组基，使A 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由A 唯一决定，称为A 的有理标准形.
第九章
定理 1 n 维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.
定理 2 对于n 维欧式空间中任意一组基12,,,n εεεL ，都可以找到一组标准正交基
12,,,n ηηηL ，使1212,,,,,()(),1,2,,,n n L L i n e e e h h h ==L L L .
定理 3 两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.
定理 4设A 是n 维欧式空间V 的一个线性变换，于是下面四个问题是相互等价的：
（1）A 是正交变换；
（2）A 保持向量的长度不变，即对于,
V a a a 蜛=；
（3）如果12,,,n εεεL 是标准正交基，那么12n e e e A A A L ，，，也是标准正交基；
（4）A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
定理 5 如果子空间12,,,s V V V L 两两正交，那么和12s V V V +++L 是直和. 定理 6 n 维欧式空间V 的每一个子空间1V 都有唯一的正交补.
定理 7 对于任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵T ，使
1T AT T AT -￠=成对角形.
定理 8 任意一个实二次型
11
,n n
ij i j ij ji i j a x x a a ===邋
都可以经过正交的线性替换变成平方和 222
1122n n y y y l l l +++L ，
其中平方项的系数12,,,n l l l L 就是矩阵A 的特征多项式全部的根.
第十章
定理 1 设V 是P 上一个n 维线性空间，12,,,n εεεL 是V 的一组基，12,,,n a a a L 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使 ()
,1,2,,i i f a i n e ==L .
定理 2 (,)L V P 的维数等于V 的维数，而且12,,,n f f f L
是(,)L V P 的一组基.
定理 3 设12,,,n εεεL 及12,,,n ηηηL 是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别为
12,,,n f f f L 及12,,,n g g g L .如果由12,,,n εεεL 到12,,,n ηηηL 的过渡矩阵为A ，那么由12,,,n f f f L 到12,,,n g g g L 的过渡矩阵为1()A -￠.
定理 4 V 是一个线性空间，**V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射 是一个同构映射. **x
x ?
定理 5 设V 是P 上n 维线性空间，(,)f a b 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基12,,,n εεεL ，使(,)f a b 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.
《数学分析》
第一、二章
定理1.1（确界原理）设S 为非空数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下
界，则S 必有下确界. 定理2.1 数列{}n a 收敛于a 的充要条件是：{}n a a -为无穷小数列. 收敛数列的性质：
定理2.2（唯一性）若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限.
定理 2.3（有界性）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使
得对一切正整数n 有n a M ≤.
定理2.4（保号性）若lim 0n n a a →∞
=>（或0<），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），
存在正数N ，使得当n N >有n a a '>（或n a a '<）.
定理2.5（保不等式性）设{}n a 与{}n b 均为收敛数列.存在正数0N ，使0n N >时
有n n a b ≤，则lim lim n n n n a b →∞
→∞
≤.
定理2.6（迫敛性）设收敛数列{}n a ，{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在
正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞
=.
定理2.7（四则运算法则）若{}n a 与{}n b 收敛，则数列{}n n a b +，{}n n a b -，{}
n n a b ?也都是收敛数列，且有
特别当n b 为常数c 时有
lim()lim n n n n a c a c →∞
→∞
+=+，lim lim n n n n ca c a →∞
→∞
=.
若在假设0n b ≠及lim 0n n b →∞
≠，则
n n a b 也是收敛数列，且有lim lim lim n n n n n n n
a
a b b →∞→∞→∞=.
定理2.8 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛. 定理2.9（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.
定理2.10（柯西收敛法则）数列{}n a 收敛的充要条件是：对任何给定的0ε<，存在正整数N ，使得当,n m N >时有n m a a ε-<.
第三章
定理3.1 0
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=?==.
函数极限的性质：
定理3.2（唯一性）若极限0
lim ()x x f x →存在，则此极限是唯一的.
定理3.3（局部有界性）若0
lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域00()U x 内有界.
定理3.4（局部保号性）若0
lim ()0x x f x A →=>（或0<），则存在任何正数r A <（或
r A <-）存在00()U x ，使得对一切00()x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）.
定理3.5(保不等式性)设0
lim ()x x f x →与0
lim ()x x g x →都存在，且在某邻域00(;)x U x δ∈有
()()f x g x ≤,则0
lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.
定理3.6（迫敛性）设0
lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，且在某00(;)x U x δ∈内有
()()()f x h x g x ≤≤，则有0
lim ()x x h x A →=.
定理3.7（四则运算法则）若极限0
lim ()x x f x →与0
lim ()x x g x →都存在，则函数f g ±，f g
?当0x x →时极限也存在，且
1）0
lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±；
2）0
lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=?；
又若0
lim ()0x x g x →≠，则f g 当0x x →存在，且有
3）0
00
()
lim
lim ()lim ()()x x x x x x f x f x g x g x →→→=.
定理3.8（归结原则）设f 在00(;)x U x δ'∈内有定义. 0
lim ()x x f x →存在的充要条件
是：对任何含于00(;)x U x δ'∈内且以0x 为极限的数列{}n x ，极限
lim ()n x x f x →都存在且相等.
定理3.9 设函数f 在点0x 的某空心右邻域00()U x +有定义. 0
lim ()x x f x A +→=的充要
条件是：对任何以0x 为极限的递减数列{}00()n x U x +?，有
lim ()n n f x A →∞
=.
定理3.10 设f 为定义在00()U x +上的单调有界函数，则右极限0
lim ()x x f x +→存在.
定理3.11（柯西准则）设函数f 在00(;)U x δ'内有定义. 0
lim ()x x f x →存在的充要条
件是：任给0ε>，存在正数δ（δ'<），使得对任何x '，x ''00(;)U x δ∈<有|()()|f x f x ε'''-<.
定理3.12 设函数,,f g h 在00()U x 内有定义，且有
0()~()()f x g x x x →.
（i ）若0
lim ()()x x f x h x A →=，则0
lim ()()x x g x h x A →=；
（ii ）若0
()lim
()
x x h x B f x →=,则0()
lim ()x x h x B g x →=.
定理3.13（i ）设f 在00()U x 内有定义且不等于0.若f 为0x x →时的无穷小量，
则
1
f
为0x x →时的无穷大量. （ii ）若g 为0x x →时的无穷大量，则
1
g
为0x x →时的无穷小量. 第四章
定理4.1 函数f 在点0x 连续的充要条件是：f 在点0x 既是右联系，又是左联系. 连续函数的性质：
定理4.2（局部有界性）若函数f 在点0x 连续，则f 在某0()U x 内有界. 定理4.3（局部保号性）若函数f 在点0x 连续，则0()0f x >（或0<），则对任何
正数0()r f x <（或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切0()x U x ∈有
()f x r >（或()f x r <-）.
定理4.4（四则运算）若函数f 和g 在点0x 连续，则f g ±，f g ?，f g （0()0g x ≠）
也都在点0x 连续.
定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合函数g f o 在
点0x 连续.
定理4.6（最大、最小值定理）若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则f 在[],a b 上
有最大值和最小值.
定理4.7（介值性定理）设函数f 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠.若u 为
介于()f a 与()f b 之间的任何实数（()()f a u f b <<或
()()f a u f b >>），则至少存在一点()0,x a b ∈，使得0()f x u =.
定理 4.8 若函数f 在[],a b 上严格单调并连续，则反函数1f -在其定义域
[](),()f a f b 或[](),()f b f a 上连续.
定理4.9（一致连续性定理）设函数f 在闭区间[],a b 上连续则f 在[],a b 上一致
连续.
定理4.10 设0a >，α，β为任意实数，则有,()a a a a a αβαβαβαβ+?==. 定理4.11 指数函数x a （0a >）在R 上是连续的. 定理4.12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数. 定理4.13 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数.
第五章
定理5.1 若函数f 在点0x 可导，则f 在点0x 连续.
定理5.2 若函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，则0()f x '存在的充要条件
是0()f x +'与0()f x -'都存在，且00()()f x f x +-''=.
定理5.3（费马定理）设函数f 在点0x 的某邻域内有定义，且在点0x 可导.若点0
x 为f 的极值点，则必有0()0f x '=.
定理5.4（达布定理）若函数f 在[],a b 上可导，且()()f a f b +-''≠，k 为介于()f a +'，
()f b -'之间任一实数，则至少存在一点(),a b ξ∈，使得()f k ξ'=.
定理 5.5 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =±在点0x 可
导，且
000()()()f x u x v x '''=±.
定理5.6 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =?在点0x 可导，
且00000()()()()()f x u x v x u x v x '''=+.
定理5.7 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，且0()0v x ≠，则()
()()
u x f x v x =
在点0x 可导，且000002
0()()()()
()[()]
u x v x u x v x f x v x ''-'=
. 定理 5.8 设()y f x =为()x y ?=的反函数，若()y ?在点0y 的某邻域内连续，严
格单调且0()0y ?≠，则()f x 在点0x （00()x y ?=）可导，且
001
()()
f x y ?'=
'. 定理5.9 设()u x ?=在点0x 可导，()y f u =在点00()u x ?=可导，则复合函数f ?
o 在点0x 可导，且00000()()()()(())()f x f u x f x x ????'''''==o .
定理 5.10 函数f 在点0x 可微的充要条件是函数f 在点0x 可导，而且
()y A x x ο?=?+?中的A 等于0()f x '.
第六章
定理6.1（罗尔中值定理）若函数f 满足如下条件： （i ）f 在闭区间[],a b 上连续； （ii ）f 在开区间(),a b 内可导； （iii ）()()f a f b =，
则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=. 定理6.2（拉格朗日中值定理）若函数f 满足如下条件：
（i ）f 在闭区间[],a b 上连续； （ii ）f 在开区间(),a b 内可导； 则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()
()f b f a f b a
ξ-'=
-.
定理6.3 设()f x 在区间I 上可导，则()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是
()0f x '≥（0≤）.
定理6.4 若函数f 在(),a b 内可导，则f 在(),a b 内严格递增（递减）的充要条件
是：
（i ）对一切(),x a b ∈，有()0f x '≥（()0f x '≤）； （ii ）在(),a b 内的任何子区间上()f x '不恒为0. 定理6.5（柯西中值定理）设函数f 和g 满足 （i ）在[],a b 上都连续； （ii ）在(),a b 内都可导； （iii ）()f x '和()g x '不同时为零； （IV ）()()g a g b ≠， 则存在(),a b ξ∈，使得()()()
()()()
f f b f a
g g b g a ξξ'-='-. 定理6.6 若函数f 和g 满足：
（i ）0
lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；
（ii ）在点0x 的某空心邻域0()U x ?内两者都可导，且()0g x '≠； （iii ）0
()
lim
()
x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则0
0()()
lim
lim ()
()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 定理6.7 若函数f 和g 满足：
（i ）0
lim ()lim ()x x x x f x g x ++→→==∞；
（ii ）在0x 的某右邻域00()U x +内两者都可导，且()0g x '≠； （iii ）0
()
lim
()
x x f x A g x →'='（A 可为实数，也可为±∞或∞）， 则0
()()
lim lim ()()x x x x f x f x A g x g x +
+→→'=='. 定理6.8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则0()()(())n n f x T x x x ο=+-，即 定理6.9 （泰勒定理）若函数f 在[],a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在()
,a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的[]0,,x x a b ∈，至少存在一点
(),a b ξ∈，使得
()(1)21
00000000()()()()()()()()()()2!!(1)!
n n n
n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+L 定理6.10（极值的第一充分条件）设f 在点0x 连续，在某邻域00(;)U x δ内可导. （i ）若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f
在点0x 取得极小值.
（ii ）若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则
f 在点0x 取得极大值.
定理6.11（极值的第二充分条件）设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内存在一阶可导，
在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠.
（i ）若()0f x ''<，则f 在点0x 取得极大值. （ii ）若()0f x ''>，则f 在点0x 取得极小值.
定理6.12（极值的第三充分条件）设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导函数，
在0x 处n 阶可导，且()0()0(1,2,,1)k f x k n ==-L ，()0()0n f x ≠则
（i ）当n 为偶数时，f 在点0x 取得极值，且当()0()0n f x <时取得极大
值，()0()0n f x >时取得极小值.
（ii ）当n 为奇数时，f 在点0x 处不取得极值. 定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数，则下述判断互相等价： 1? f 为I 上的凸函数； 2? f '为I 上的增函数；
3? 对I 上的任意两点12,x x ，有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-. 定理6.14设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数的充要
条件是()0f x ''≥（()0f x ''≤），x I ∈.
定理 6.15 若f 在0x 二阶可导，则00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点的必要条件
是()0f x ''=.
定理 6.16 设f 在0x 可导，在某邻域0()U x 内二阶可导.若在0()U x +和0()U x -上
()f x '' 的符号相反，则00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点.
第七章
定理7.1（区间套定理） 若[]{},n n a b 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的
一点ξ，使得[],n n a b ξ∈，1,2,,n =L 即n n a b ξ≤≤，1,2,,n =L
定理7.2（魏尔斯特拉斯聚点定理）实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点. 定理7.3（海涅-博雷尔有限覆盖定理）设H 为闭区间[],a b 的一个（无限）开覆
盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[],a b .
有界性定理 若函数f 在闭区间[],a b 上连续，则f 在[],a b 上有界.
最大、最小值定理 若函数f 在区间[],a b 上连续，则f 在[],a b 上有最大值和最
小值.
介值性定理 设函数f 在闭区间[],a b 上连续，且()()f a f b ≠.若u 介于()f a 与
()f b 之间的任意实数（()()f a u f b <<或()()f a u f b >>），则存在
()0,x a b ∈，使得0()f x u =.
一致连续性定理 若函数f 在区间[],a b 上连续，则f 在区间[],a b 上一致连续.
第八章
定理8.1 若函数f 在区间I 上的连续,则f 在I 上存在原函数
F ,()(),F x f x x I '=∈.
定理8.2 设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则
（i ）F C +也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数； （ii ）f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能差一个常数. 定理8.3 若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，12,k k 为两个任意常数，则
12k f k g
+在
I
上
也存
在原函数，且
1
2
1
2
[()()]()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+???.
定理 8.4（换元积分法）设()g u 在[],αβ上有定义，()u x ?=在[],a b 上可导，且
()x α?β≤≤，[],x a b ∈，并记()(())()f x g x x ??'=.
（i ）若()g u 在[],αβ存在原函数()G u ，则()f x 在[],a b 也存在原函数
()F x ，()(())F x G x C ?=+
即()(())()()()(())f x dx g x x dx g u du G u C G x C ???'===+=+???. （ii ）又若()0x ?'≠，[],x a b ∈，则上述命题（i ）可逆，即当()f x 在[],a b 存在原函数()F x 时，()g u 在[],αβ也存在原函数()G u ，且
1()(())G u F u C ?-=+，
即1()(())()()()(())g u du g x x dx f x dx F x C F u C ???-'===+=+???.
定理8.5 （分部积分法）若()u x 与()v x 可导，不定积分()()u x v x dx '?存在，则
()()u x v x dx '? 存在，并有()()()()()()u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-??.
高中的数学公式定理大集中 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα
cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinα
cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式
初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等 的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形 全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c 有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360° 50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180° 51推论任意多边的外角和等于360° 52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
正弦定理和余弦定理的所有公式 正弦定理和余弦定理的公式有哪些?在数学学习中，正弦定理和余弦 定理的应用是很频繁的，正余弦定理指定是正弦定理、余弦定理,是揭示三角 形边角关系的重要定理,下面是小编为大家整理的正弦定理和余弦定理的所有 公式，供参考。 数学不好的人五大特征高中数学最无耻的得分技巧高考考场上数学拿高分 的技巧如何判断函数的对称性与周期性 1正弦定理、三角形面积公式正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等，并且都等于该三角形外接圆的直径，即： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.面积公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.1.正弦定理的变形及应用变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(2) sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.应用(1)利用正弦 定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：a.已知两角 和任一边，求其他两边和一角.b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解.(2)正弦定 理，可以用来判断三角形的形状.其主要功能是实现三角形中边角关系转化.例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC 来代替.2.余弦定理在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2- 2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;变形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2- b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便
数学物理化学生物知识点 高中物理备考与解题策略 一、构建物理模型等效类比解题 1.案例探究 例1:如图1所示,在光滑的水平面上静止着两小车A 和B ，在A 车上固定着强磁铁，总质量为5 kg ，B 车上固定着一个闭合的螺线管．B 车的总质量为10 kg ．现给B 车一个水平向左的100 N ·s 瞬间冲量，若两车在运动过程中不发生直接碰撞，则相互作用过程中产生的热能是多少？ 命题意图：以动量守恒定律、能的转化守恒定律、楞次定律等知识点为依托，考查分析、推理能力，等效类比模型转换的知识迁移能力． 错解分析：通过类比等效的思维方法将该碰撞等效为子弹击木块（未穿出）的物理模型，是切入的关键，也是考生思路受阻的障碍点． 解题方法与技巧：由于感应电流产生的磁场总是阻碍导体和磁场间相对运动，A 、B 两车之间就产生排斥力，以A 、B 两车为研究对象，它们所受合外力为零．动量守恒，当A 、B 车速度相等时，两车相互作用结束，据以上分析可得： I =m B v B =(m A +m B )v ,v B =B m I =10 100 m/s=10 m/s, v =) (100B A m m =6．7 m/s 从B 车运动到两车相对静止过程，系统减少的机械能转化成电能，电能通过电阻发热，转化为焦耳热．根据能量转化与守恒： Q = 21m B v 2-2 1 (m A +m B )v 2 =21×10×102-21×15×(15100)2 J=166 ．7 J 图1
2.解题策略与思路 理想化模型就是为便于对实际物理问题进行研究而建立的高度抽象的理想客体． 高考命题以能力立意，而能力立意又常以问题立意为切入点，千变万化的物理命题都是根据一定的物理模型，结合某些物理关系，给出一定的条件，提出需要求的物理量的．而我们解题的过程，就是将题目隐含的物理模型还原，求结果的过程． 运用物理模型解题的基本程序： （1）通过审题，摄取题目信息．如：物理现象、物理事实、物理情景、物理状态、物理过程等． （2）弄清题给信息的诸因素中什么是起主要因素． （3）在寻找与已有信息（某种知识、方法、模型）的相似、相近或联系，通过类比联想或抽象概括，或逻辑推理，或原型启发，建立起新的物理模型，将新情景问题“难题”转化为常规命题． （4）选择相关的物理规律求解． 二、实际应用型命题求解策略 实际应用型命题，常以日常生活与现代科技应用为背景，要求学生对试题所展示的实际情景进行分析，判断，弄清物理情景，抽象出物理模型．然后运用相应的物理知识得出正确的结论．其特点为选材灵活、形态复杂、立意新颖．对考生的理解能力，推理能力，综合分析应用能力，尤其是从背景材料中抽象、概括构建物理模型的能力要求较高，是应考的难点． 锦囊妙计 1.案例探究 例2：侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h ，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球的半径为R ，地面处的重力加速度为g ，地球自转的周期为T ． 命题意图：考查考生综合分析能力、空间想象能力及实际应用能力． 错解分析：考生没能对整个物理情景深入分析，不能从极地卫星绕地球运行与地球自转的关联关系中找出θ=2πT T 1，从而使解题受阻．
正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 【关键字】大全 中考数学常用公式定理 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－ 4.07×105，0.＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤()n＝n． ⑥a－n＝，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3)3＝9，(－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如：①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝，其中△＝b2－叫做根的判别式． 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比率函数(y与x成正比率)，图象必过原点． 10、反比率函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数．③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数． （2）公式：设有n个数x1，x2，…，xn，那么： ①平均数为：； ②极差： 用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即： 有谁把小学到高三所有数理化公式整理出来？ 只有转走才不会丢，留着教孩子一定收藏。小学到初三的全部概念！连这个都有人整理啦！！三角形的面积＝底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a ＝长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh 分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。 异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 读懂理解会应用以下定义定理性质公式一、算术方面1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。如：（2+4）×5＝2×5+4×5 6、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。O除以任何不是O的数都得O。简便乘法：被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。7、什么叫等式？等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。8、什么叫方程式？答：含有未知数的等式叫方程式。9、什么叫一元一次方程式？答：含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。10、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。11、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。12、分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。13、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。14、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 15、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。16、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。17、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。18、带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。19、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。 初中数学定理、公式汇编 第一篇数与代数 第一节数与式 一、实数 1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:－3,,0.231,0.737373…,,等；无限不环循小数叫做无理数. 如:π,,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)等.有理数和无理数统称为实数. 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数 和数轴上的点一一对应。 3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值， 记作∣a∣。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－_丨=；丨3.14－π丨=π－ 3.1 4. 4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。 a的相反数是-a，0的相反数是0。 5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末 一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字. 如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6.科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整 数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07× 105,0.000043=4.3×10－5. 7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的 反而小。 8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果 叫幂。 9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这 个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根． 10．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 11．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方． 14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根；（2）4的平方根是士2，误认为4平方根为士 2，知道4=2． 15.二次根式： (1)定义:形如a(a≥0)的式子叫做二次根式. 16．二次根式的化简： 17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． 18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被 小学初高中数学公式概念 汇总 目录 1、初中数学代数公式、定理汇编 (1) 1.1一次方程(组)与一次不等式(组) (1) 1.2一元二次方程 (2) 1.3多项式的四则运算 (4) 1.4因式分解 (5) 1.5分式与二次根式 (7) 1.6二元二次方程 (9) 1.7函数与图像 (9) 1.8二次函数 (11) 2、初中数学几何公式、定理汇编 (13) 2.1直线 (13) 2.2三角形 (13) 2.3四边形 (14) 2.4相似 (15) 2.5圆 (16) 3、初中物理公式概念汇总 (18) 3.1声学 (18) 3.1光学 (18) 3.2电学 (20) 3.3热学 (22) 3.4力学 (22) 3.5单位 (25) 4、初中化学公式概念方程式汇总 (29) 4.1基本概念 (30) 4.2基本知识、理论 (31) 4.3物质俗名及其对应的化学式和化学名 (33) 4.4常见物质的状态 (34) 4.5物质的溶解性 (35) 4.6化学之最 (35) 4.7化学实验气体物质总结 (36) 4.8酸碱和对应的氧化物的关系 (37) 4.9基本化学反应 (38) 高中数理化公式大全 小学公式汇总 一.初中数学代数公式、定理汇编 一次方程(组)与一次不等式(组) Ⅰ算术解法与代数解法 1、未知数和方程 用字母x 、y …等，表示所要求的数量，这些字母称为“未知数” 用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子，叫做代数式 含有未知数的等式，叫做方程，在一个方程中，所含未知数，又成为元; 被“＋”、“－”号隔开的每一部分称为一项在一项中，数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数 某一项所含有的未知数的指数和，成为这一项的次数 不含未知数的项，成为常数项当常数不为零时，它的次数是0，因此常数项也称为零次项 2、方程的解与解方程的根据 未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后，就使方程变成一个恒等式 能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，也叫做根 求方程解的过程，叫做解方程 解方程的根据是“运算通性”及“等式性质” 可以“由表及里”地去掉括号，并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相同”的 各项结合起来，合并在一起——这叫做合并同类项 把方程一边的任一项改变符号后，移到方程的另一边，叫做移项简单说就是“移项变号” 把方程两边各同除以未知数的系数(或同乘以系数的倒数)，就得到未知数应取的值 综上所述，得到解方程的方法、步骤： a 、去括号 b 、移项变号 c 、合并同类项，使方程化为最简形式ax =b (a ≠0)、除以未知数的系数，得出 x = b a (a ≠0) Ⅱ一元一次方程 1、一元一次方程的概念 只含有一个未知数并且次数是1的方程，叫做一元一次方程 一般形式:ax +b =0(a ≠0，a 、b 是常数) 2、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤是： a 、去分母(或化为整系数); b 、去括号; c 、移项变号; d 、合并同类项，化为ax =－b (a ≠0)的形式; 一、引入 我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？这就是我们今天要学习的内容：正弦定理，故此，正弦定理是刻画任意三角形中各个角与其对边之间的关系。 二、新授 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即R C c B b A a 2sin sin sin ===（注：为△ABC 外接圆半径） 2、正弦定理常见变形： （1）边化角公式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2= （2）角化边公式：R a A 2sin =，R b B 2sin =，R c C 2sin = （3）C B A c b a sin :sin :sin ::= （4）R C B A c b a C c B b A a 2sin sin sin sin sin sin =++++=== (5) C c B b C c A a B b A a sin sin sin sin sin sin ===，， （6）B c C b A c C a A b B a sin sin ,sin sin ,sin sin === 3、三角形中的隐含条件： （1）在△ABC 中，c b a >+,c b a <-(两边之和大于第三边，两边只差小于第三边) （2）在△ABC 中，B A b a B A B A B A B A >?>>?>；；cos cos sin sin （3）在△ABC 中，,cos )cos(sin )sin(C B A C B A C B A -=+=+?=++，π 2 cos 2sin C B A =+ 考试·题型与方法 题型一：解三角形 例1：（1）在△ABC 中，已知A=45°，B=30°，c=10，解三角形； （2）在△ABC 中，B=30°，C=45°，c=1,求b 的值及三角形外接圆的半径。 变式训练：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形： （1）；，，?===602010A b a （2）；，，?===606510C c b （3）；，，?===4532A b a 例2：下列条件判断三角形解得情况，正确的是（ ） A.有两解?===30,16,8A b a B. 有一解?===60,20,18B c b C. 无解?===90,2,15A b a 实 数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正整数 整数 零 有理数 负整数 正实数 实数 分数 实数 零 负实数 无理数（无限不循环小数） 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π +8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 ；注意a 的双重非负性： -a （a <0） a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 代 数 式 考点一、整式的有关概念 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的运算式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、单项式 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 2314-，这种表示就是错误的，应写成b a 2313 -。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做 这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。 考点二、多项式 1、多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式和多项式统称整式。 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、添(去)括号法则 （1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? ),(都是正整数） （n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 22))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 0()1(0)a a =≠ 11 ()(0)a a a -= ≠ 整式的除法：)0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相 同。 （3）计算时要注意符号，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单 项式的符号。 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 （6）),0(1 );0(10为正整数p a a a a a p p ≠=≠=- （7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的 商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。 考点三、因式分解 1、因式分解 初中数学常用公式定理 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，，0.231，0.737373…，，．无限不环循小数叫做无理数．如：π，－，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0丨a丨＝a；a≤0丨a丨＝－a．如：丨－丨＝；丨3.14－π丨＝π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法．如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋ b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①a m×a n＝a m＋n．②a m÷a n＝a m－n．③(a m)n＝a mn．④(ab)n＝a n b n．⑤()n＝n． ⑥a－n＝1 n a ，特别：()－n＝()n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2＝a6，(3a3)3＝27a9， (－3)－1＝－，5－2＝＝，()－2＝()2＝，(－3.14)o＝1，(－)0＝1． 7、二次根式：①()2＝a(a≥0)，②＝丨a丨，③＝×，④＝(a＞0，b≥0)．如： ①(3)2＝45．②＝6．③a＜0时，＝－a．④的平方根＝4的平方根＝±2．（平方根、立方根、算术平方根的概念） 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝ 24 b b ac -±- ，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式． 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距)．当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)．特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点． 10、反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线．当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)；当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反． 11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体 初中数学几何公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 错角相等，两直线平行 11 同旁角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，错角相等 14 两直线平行，同旁角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形角和定理三角形三个角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 数学物理化学生物，门门功课就有底! 祝考试顺利！--编者2011 11.1 物理化学数学生物只是个人编排水平有限，他山之石可以攻玉！ 物理解题大技巧 高中物理备考与解题策略 一、构建物理模型等效类比解题 随着高考改革的深入，新高考更加突出对考生应用能力及创新能力的考查，大量实践应用型、信息给予型、估算型命题频繁出现于卷面，由此，如何于实际情景中构建物理模型借助物理规律解决实际问题则成了一个重要环节。 1.案例探究 例1:如图1所示,在光滑的水平面上静止着两小车A和B，在A车上固定着强磁铁，总质量为5 kg，B车上固定着一个闭合的螺线管．B车的总质量为10 kg．现给B车一个水平向左的100 N·s瞬间冲量，若两车在运动过程中不发生直接碰撞，则相互作用过程中产生的热能是多少？ 图1 命题意图：以动量守恒定律、能的转化守恒定律、楞次定律等知识点为依托，考查分析、推理能力，等效类比模型转换的知识迁移能力． 错解分析：通过类比等效的思维方法将该碰撞等效为子弹击木块（未穿出）的物理模型，是切入的关键，也是考生思路受阻的障碍点． 解题方法与技巧：由于感应电流产生的磁场总是阻碍导体和磁场间相对运动，A、B两车之间就产生排斥力，以A、B两车为研究对象，它们所受合外力为零．动量守恒，当A、B车速度相等时，两车相互作用结束，据以上分析可得：I=mBvB=(mA+mB)v,vB=I100= m/s=10 m/s, mB10 v=100=6． 从B车运动到两车相对静止过程，系统减少的机械能转化成电能，电能通过电阻发热，转化为焦耳热．根据能量转化与守恒： 11mBv2- (mA+mB)v2 22 111002 =×10×102-×15×()J=166．7 J 2215Q= 2.解题策略与思路 理想化模型就是为便于对实际物理问题进行研究而建立的高度抽象的理想客体．高考命题以能力立意，而能力立意又常以问题立意为切入点，千变万化的物理命题都是根据一定的物理模型，结合某些物理关系，给出一定的条件，提出需要求的物理量的．而我们解题的过程，就是将题目隐含的物理模型还原，求结果的过 【正弦定理公式】； ；公式；】弦【余定理 如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，那么解三角形的实质就是把题目中所给的已知条件按方程的思想进行处理，解题时根据已知量与所求量，合理选择一个比较容易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），从而使同学们入手容易，解题简洁。 一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理 （1）三角公式 ①在中，已知两角的三角函数值，求第三个角；存 。在 解有解：明证有 是否有解，只需即，要判断 。 （2）正弦定理 ①在中，已知两角和任意一边，解三角形； ②在中，已知两边和其中一边对角，解三角形； （3）余弦定理 中，已知三边，解三角形；①在 ②在中，已知两边和他们的夹角，解三角形。 直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况，是我们常见、常讲、常练的，因此，在这里就不加赘述，同学们可以自己从教材中找一些题目看一看！ 二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理 1（）齐次式条件（边或角的正弦） 若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式，可以根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化；有些题中没有明显的齐次式，但经过变形得到齐次式的依然适用。 1.相同角齐次式条件的弦切互化 【例】在中，若，， 求。 是还，的条】【解析无论是件中 是都是关于一个角的齐次式。 是关于关于的二次齐次的一次齐次式； 式。因此，我们将弦化切，再利用三角公式求解。 由； 由 或； 。代中，，且在 值可得： 时，；①当， （舍去）。时，②当， 不同角（正弦）齐次式条件的边角互化2. ，，且【例】在中，若 是关于求的面积。【解析】条件 不同角正弦的二次齐次式。因此，我们利用正弦定理将角化为边，然后根据边的关系利用余弦定理求解。 由； 得可此，公理弦合式个然显这形符余定的式因， 。． ，所以。又因为 本文紧扣教育部新颁课程标准，并融合了我国现行不同版本高中数理化教材的必学知识要点。在编写体例上，以表格的形式将数理化各科知识点如常用数据、公式、定理、方程式等归纳表述，具有结构清晰，便于识记，实用性强的特点。 数学 数学公式，是表征自然界不同事物之数量之间的或等或不等的联系，它确切的反映了事物内部和外部的关系，是我们从一种事物到达另一种事物的依据，使我们更好的理解事物的本质和内涵。 如一些基本公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。【大全】中考数学常用公式和定理大全
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