极坐标参数方程复习学案（一）
【高考要求】：（1）坐标系
①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变
化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角
坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标
中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的
方程。理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义
(2)参数方程
①了解参数方程，了解参数的意义
②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程
【教学目标】：
1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将
极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极
坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。
}
2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系
的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立
坐标系有哪些方便之处。
3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的
兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实
践能力。
【自主探究】
已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ
=??=?． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程；
（2）化圆的方程为普通方程；
（3）求直线l 被圆截得的弦长．
)
【巩固练习】
1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。
,
、
2、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,sin ,x y ??=??=?（?为参数）曲线C 2的参数方程为cos ,sin ,
x a y b ??=??=?（0a b >>，?为参数）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极
坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当
α=2
π时，这两个交点重合. )
（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； (II)设当α=4π时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1,当α=-4π时，l 与C 1， C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.
.
【课堂小结】
【课后作业】
已知极点与原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的极坐标方程为：2sin ρ=θ，
曲线2C
的参数方程为：x 2cos y =θ???θ??
（θ为参数），曲线1C 与2C 交于M ，N 两点，求M ，N 两点间的距离．
高二数学 (极坐标与参数方程)教学案( 4 ) 常见曲线的极坐标方程 一、课前自主预习 1.将下列极坐标方程化为直角坐标方程 ⑴5=ρ, ⑵sin 2ρθ=, ⑶πθ4 3 =, 2.写出下列特殊图形的直线方程 图3 图1 _________________ _________________ ____________________ 图5 图4 ______________ ________________ 3.写出下列特殊图形圆的极坐标方程 . 图3 图2 图1 O ____________________ ________________ ________________________ 图5 图4 _____________________ ____________________
4. 若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：_____________ 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为：__________________________________ 二、课堂合作探究 例1：按下列条件写出它的极坐标方程: ⑴求过极点，倾角为π/4的射线的极坐标方程.⑵求过极点, 倾角为π/4的直线的极坐标方程.⑶求过极点及??? ??6, 6πA 的直线方程.⑷求过点?? ? ??6,6πA 平行于极轴的直线⑸求过点?? ? ??6,6πA 且倾斜角为32π的直线方程.. 例2、:按下列条件写出圆的极坐标方程: (1)以()0,3A 为圆心,且过极点的圆(2)以?? ? ??2, 8πB 为圆心,且过极点的圆 (3)以极点O 与点()0,4-C 连接的线段为直径的圆(4)圆心在极轴上,且过极点与点??? ? ? 6,32πD 的圆 例3、自极点O 作射线与直线4=θρsos 相交于点M,在OM 上取一点P,使得OM ·OP=12,求点P 的轨迹方程.
极坐标与参数方程题型二：最值问题 13.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1) 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2) 设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标. 14、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值． 15、以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值．
16、已知曲线C 的极坐标方程θρsin 2=，直线l 的参数方程)(22223为参数t t y t x ??? ????=+=， 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系； （1）求曲线l C 与直线的直角坐标方程. （2）若M 、N 分别为曲线l C 与直线上的两个动点，求||MN 的最小值. 17、已知直线l 的参数方程为1212 x t y ?=????=+??（t 为参数），曲线C 的参数方程为 2cos sin x y θθ =+??=?（θ为参数）。（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4, )3π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。 18、以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为???=+=α αsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤
极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化 一、直角坐标的伸缩 设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：???>='>='）（）（ 0,0,μμλλy y x x 的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换????? x ′＝λ·x ，λ>0y ′＝μ·y ，μ>0 下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆 可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）． 【强化理解】 1．曲线C 经过伸缩变换 后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ） A ． B ． C ． D ．4x 2+9y 2=1 【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到： 故选：A 2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′ 2＝1． 【解答】解：设变换为φ：?????x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）， 可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． 将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 2 4＝1， 比较系数得λ＝1 3，μ＝1 2 ． 所以?????x ′＝13 x ， y ′＝1 2 y ．将椭圆4x 2 ＋9y 2 ＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的1 2， 可得到圆x ′2＋y ′2＝1．
亦可利用配凑法将4x 2 ＋9y 2 ＝36化为? ?????x 32＋? ?? ?? ?y 22 ＝1，与x ′2 ＋y ′2 ＝1对应项比较即可得?????x ′＝x 3，y ′＝y 2 ． 3、（2015春?浮山县校级期中）曲线x 2+y 2=1经过伸缩变换后，变成的曲线方程是（ ） A ．25x 2+9y 2=1 B ．9x 2+25y 2=1 C ．25x+9y=1 D ．+=1 【解答】解：由伸缩变换，化为，代入曲线x 2+y 2=1可得25（x ′）2+9（y ′）2=1， 故选：A ． 二、极坐标 1.公式： （1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y 极坐标(),ρθ 互化公式 cos sin x y ρθ ρθ =?? =? ()222tan 0x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? 已知极坐标化成直角坐标 已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化 （1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路 A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤 ①运用()222 tan 0x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? ②在[)0,2π内由()tan 0y x x θ= ≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限． B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθ ρθ =??=?
一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
极坐标参数方程复习学案（一） 【高考要求】：（1）坐标系 ①理解坐标系的作用②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变 化情况③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角 坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化④能在极坐标 中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的 方程。理解用方程表示平面图形时选择适合坐标系的意义 (2)参数方程 ①了解参数方程，了解参数的意义 ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 【教学目标】： 1、知识与技能：理解极坐标的概念，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确将 极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极 坐标方程，不要求利用曲线方程或极坐标方程求两条曲线的交点。 } 2、过程与方法：在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系 的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立 坐标系有哪些方便之处。 3、情感、态度与价值观：体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的 兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应 用意识和实 践能力。 【自主探究】 已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos 10sin x y θθ =??=?． （1）化直线l 的方程为直角坐标方程； （2）化圆的方程为普通方程； （3）求直线l 被圆截得的弦长． )
【巩固练习】 1、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6πα=，设l 与曲线2cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数）交于两点,A B ，求（1）|PA||PB|，|PA|+|PB|的值； （2）弦长|AB|; （3） 弦AB 中点M 与点P 的距离。 , 、
极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3 l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标 系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角 坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方 程为θρcos 4=.
（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极 点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方 程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 )4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(=θ+πρ.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若圆C 和直线l 相交 于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线???==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变 为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方 程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是??? ????=+-=. 21, 233t y t x （t 为参数）。求极点在直线l 上的射影点P 的极坐标；若M 、N 分别为曲线C 、直线l 上的动点，求MN 的最小值。
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳 题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下： {22222 cos sin tan (0x y x y x y y x x ραρα ρρθ==?=++??=≠+?? ???????→ ←???????或(1)极坐标方程直角坐标方程 2 2 1θθ=????????????→←????????????消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程 (2)参数方程直角坐标方程 ??→??→←??←?? (3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程 1、已知直线l 的参数方程为 11233x t y t ? =+? ? ?=? （t 为参数） 以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为2sin 3cos 0 θρθ=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线 l 与曲线C 交点的一个极坐标. 题型二：三个常用的参数方程及其应用 （1）圆 222 ()()x a y b r -+-=的参数方程是：
cos sin ()x a r y b r θ θθ =+?? =+?为参数 （2）椭圆 22 221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是： cos ,()sin x a y b θ θθ=?? =? 为参数 （3）过定点0 (,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为： 00cos ,()sin x x t t y y t α α =+?? =+?为参数 对（3）注意： P 点所对应的参数为0 t =，记直线 l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为1 2 ,t t ，则① 12 AB t t =-,② 1212121212,0 ,0 t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=? -? ）以坐标原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 24 πρθ??+=- ?? ? （Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；
极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π 4，则点A 到直线l 的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离． 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2 2=+x x ，令???==α αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为? ??x ＝t －1t ， y ＝t ＋ 1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参 数方程? ??x ＝t －1t ，y ＝t ＋ 1t 两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立? ??? ?3x －y ＝0，y 2－x 2＝4 解得???x ＝－22，y ＝－322或? ??x ＝2 2， y ＝32 2 . 所以点A ????－22，－322，B ???? 22，322. 所以|AB |＝ ????－22－222＋??? ?－322－3222＝2 5.
高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案（含解析） 考向一：极坐标方程 极坐标 一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 极坐标与直角坐标的互化 设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ??? ?? x ＝□01ρcos θ，y ＝□ 02ρsin θ；? ?? ?? ρ2＝□ 03x 2＋y 2，tan θ＝□04y x x ≠0. 1、［2016?全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2 ＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是??? ? ? x ＝t cos α，y ＝t sin α (t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10， 求l 的斜率． 解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2 ＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2 ＋12ρcos α＋11＝0. 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ2 2 －4ρ1ρ2 ＝144cos 2 α－44. 由|AB |＝10得cos 2 α＝38，tan α＝±153. 所以l 的斜率为 153或－153 . 解法二：将l 的参数方程代入C 的方程得 于是t 1＋t 2＝－12cos α，t 1t 2＝11. |AB |＝|t 1－t 2|＝144cos 2 α－44 由|AB |＝10得cos 2 α＝38，tan α＝±153 .
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
！ 极坐标与参数方程习题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、?? ?+==1 sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．8 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) . A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?3 4, 5π C 、?? ? ? ?- 3 2,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ? ? 3, 2π B 、?? ? ? ?34, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θ θ =+?? =? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). 】 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）
极坐标系与参数方程 ?知识梳理 、极坐标 在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 （1） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ； （2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。 2、直线的极坐标方程 （1） 过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程是 __________ ； （2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程 1、极坐标定义：M 是平面上一点, 表示0M 的长度, 是MOx ，则有序实数实数对 （,）,叫极径，叫极角；一般地, 2、极坐标和直角坐标互化公式: COS 2 2 x 2 y sin 或 t tan y （x 0） 的象限由点（x, y ）所 [0,2 ）， 0 x y
第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换 知识点】 点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 2： 在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为 图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后 因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。 【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程； (II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. 练习: 定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 x' x( y' y( 00) )的作用下， 在平面直角坐标系中，设图形 的对应点为P(x, y )则有: 即有: x x h ， y y k 在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y) xh x h 所确定的变换是一个平移变换。 yk
Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
第2讲 参数方程 【考情分析】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 基础梳理 1．参数方程的意义 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数??? x ＝f (t )，y ＝f (t )， 并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为??? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参 数)． 设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P → 的数量． (2)圆的参数方程??? x ＝r cos θ， y ＝r sin θ(θ为参数)． (3)圆锥曲线的参数方程 椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． 双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的参数方程为??? x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)． 抛物线y 2＝2px 的参数方程为??? x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 双基自测 1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程??? x ＝－1－t ， y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别 是( )．
A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线 解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝x ρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆． 又∵??? x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线． 答案 D 2．若直线??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________. 解析 参数方程??? x ＝1－2t ， y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线 4x ＋ky ＝1垂直可得－32×? ???? －4k ＝－1，解得k ＝－6. 答案 －6 3．二次曲线??? x ＝5cos θ， y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________． 解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 2 9＝1左焦点为(－4,0)． 答案 (－4,0) 4．(2011·广州调研)已知直线l 的参数方程为：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极 坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________． 解析 将直线l 的参数方程：??? x ＝2t ， y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22 sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为 2－1 1＋4 ，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交
极坐标参数方程练习题 1在直角坐标系xOy 中，直线Ci ： x = — 2，圆C 2： (x -1)2 + (y — 2)2= 1,以坐标原点为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1) 求 C i , C 的极坐标方程； n (2) 若直线C 3的极坐标方程为 归~4(p€ R),设C 2与C 3的交点为M , ”，求厶C 2MN 的面 积. 解：(1)因为x = pcos 0 ， y = pin 0，所以C i 的极坐标方程为pcos B= — 2， C 2 的极坐标方程为 p 2— 2 pcos 0 — 4 psin 0 + 4 = 0. n (2)将 0= ~4代入 p 2— 2 p cos 0 — 4 pin 0 + 4= 0，得 p 2 — 3 2 p + 4= 0，解得 p i = 2 2，p 2= 2故 p — p= 2,即 |MN| = 2. 1 由于C 2的半径为1,所以△ C 2MN 的面积为 4. (2014辽宁，23, 10分，中)将圆x 2 + y 2= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标 变为 原来的2倍，得曲线C. (1) 写出C 的参数方程； (2) 设直线I : 2x + y — 2 = 0与C 的交点为P 1,巨，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P 1P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程. x = X 1, 解：(1)设(X 1, y 1)为圆上的点，经变换为C 上点(x , y),依题意，得 c y = 2y 1, 由 X 1 + y 2= 1 得 x 2 + 2y 2 = 1. 即曲线C 的方程为x 2 +y 4 = 1. x = cos t , 故C 的参数方程为 (t 为参数). y =2sin t 不妨设P 1(1, 0), P 2(0, 2),则线段P 1P 2的中点坐标为 2 1，所求直线斜率为k =?, ⑵由 y 2 x 2+4 = 1, 4 解得 2x + y — 2 = 0 x = 1, y = 0 x = 0, y = 2.
高考文科数学 一轮复习（极坐标与参数方程）
第二讲极坐标与参数方程 目标认知 考试大纲要求： 1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况； 2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化； 3. 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方 程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义； 4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表 示点的位置的方法相比较，了解它们的区别； 5. 了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参 数方程； 6. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生 成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。 重点、难点： 1．理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程与普通方程 的互化。 2．理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。 【知识要点梳理】: 知识点一：极坐标 1．极坐标系 平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。 2．极坐标系内一点的极坐标 平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对 就叫做点的极坐标。 （1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；
当时表示极点； 当时，点的位置这样确定：作射线， 使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所 求的点。 （2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的 终边是相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对 应， 即，, 均表示同一个点. 3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合； ③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下 关系： 直角坐标化极坐标：； 极坐标化直角坐标：. 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 4. 直线的极坐标方程： （1）过极点倾斜角为的直线：或写成及. （2）过垂直于极轴的直线： 5. 圆的极坐标方程： （1）以极点为圆心，为半径的圆：. （2）若，，以为直径的圆： 知识点二：柱坐标系与球坐标系：
极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为
参数方程与极坐标 参数方程知识回顾： 一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X 、y 都是某个参数t 的函数, x = fit) < 即= 其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M (x, y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数. 二、二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程： 中心在(&, yo),半径等于I ?的圆: x = x Q + rcosO y = y° + rsin& (。为参数，。的几何意义为圆心角), e x- rcosO 特殊地，当圆心是原点时,｛尸“& 注意：參数方程没有JL 接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而長分别体现了点的横纵 坐标与参数间的关系。 Egl ：巳知点P (x, y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的动点，求： (1) ++y2的最值；(2) x+y 的最值；(3)点P 到直线x+y-l=0的距高d 的最值。 总结：参数方程化为普通方程步骤：(1)消餐(2)求定义域 2、椭圆的参数方程: 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆: QCOS& I y = b sin (&为參数，&的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角) 注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点 的轨迹是椭圆，中心在(心，yo)楠圆的参数方程：｛ (1) x=2+3cos 0 (2) x=sin& (3)「 Y y=3sin& Y y=COS& V J Eg2：将下列参数方程化为普通方程 y=t 2+-?r X= x o +QCOS& y = y 0 +bsin&
、选择题1.直线y A 、 C 、极坐标与参数方程习题 2x 1的参数方程是（ 2 X t ( t为参数) y 2t2 1 爲11（t为参数） 2.已知实数x,y满足x3cosx 2 0, 8y3 A. 0 C . 3.已知M A、5, x 2t y 4t cos2y -2 1 （t为参 数） sin 2si n 笃，下列所给出的不能表示点的坐标的是 B 、 4 5込 C 5,- 3 4.极坐标系中，下列各点与点P （p, 0 ) (0^k n, 在直线 对称的是（） A. (- p,B) B. (- p, -0) C . (p, 2 n- 0) 0) 5?点P1, 3，则它的极坐标是（ A、2,3 B 、 4 2,13 6.直角坐标系xoy中，以原点为极点, （t为参 数） 1 2y D . k€Z）关于极轴所 D . (p, 2 n + x轴的正半轴为极轴建极坐标 系，设点A,B分别在曲线G：x 3 cos（为参数）和曲线C2： 1 y sin
上，则 AB的最小值为 （）. A.1 B.2 C.3 D.4 1 7.参数方程为x t t （t为参数）表示的曲线是（） y 2 A. —条直线B .两条直线C .一条射线 D .两条射线 x 1 2t 8.若直线X ' t为参数与直线4x ky 1垂直，则常数k （） y 2 3t A.-6 B. 1 6 C.6 D. 1 6 9.极坐标方程4cos 化为直角坐标方程是() A. (x 2)2 y2 4 B. x2y2 4 C. x2 (y 2)2 4 D. 2 2 (x 1) (y 1) 4 10.柱坐标(2, 2, 3 1）对应的点的直角坐标是（）. A.( 1, 3,1) B.( 1, 3,1) C.( .3, 1,,1) D.( .3,1,1) 11.已知二面角 1 的平面角为，P为空间一点，作PA PB ,AB为垂足，且PA 4 , PB 5，设点A、B到二面角I 的棱I的距离为别为x, y .则当变化时，点（x, y）的轨迹是下列图形中的