浙江工商大学2014/2015学年第一学期期末考试卷A
课程名称:微积分(上)A 层 考试方式: 闭 卷 完成时限: 120分钟 班级名称: 学 号: 姓 名:___________
一、填空题（每小题3分,共15分）
1.函数()1,1f x x
=+则()()f f x 的定义域是 . 2.点0=x 为函数e ,0,()ln(1),10
x x f x x x -?>=?+-<≤?的第 类间断点.
3.若函数x y sin =,则=)2015(y .
4.()sin 2d 3x = .
二、选择题（每小题3分,共15分）
1.当0→x 时,与x 等价的无穷小是( ).
A.x x +3 1-
C.)1e sin(-x
D.x cos 1-
2.下列函数中,在点0=x 处可导的是( ).
A.||)(x x x f =
B.|sin |)(x x f =
C.?????=≠=0,0,0,1sin )(x x x x x f
D.???>≤+=0,
,0,1)(2x x x x x f 3. 设()x f x x =，则其导数为( ).
A. x x x f =')(
B. x x x f x ln )(='
C. )1(ln )(+='x x x f x
D. 1)(-='x x x f 4.设)(x f 的导数在a x =处连续,又1)(lim
-=-'→a x x f a x ,则( ). A.a x =是)(x f 的极小值点
B.a x =是)(x f 的极大值点
C.))(,(a f a 是曲线)(x f 的拐点
D.a x =不是)(x f 的极值点,))(,(a f a 也不是曲线)(x f 的拐点
5.下列等式中,正确的是( ).
A.)(d )(x f x x f ?='
B.)()(d x f x f ?=
C.)(d )(d d x f x x f x ?=
D.)(d )(d x f x x f ?=
三、计算题（写出必要的解题步骤,每小题6分,共48分）
1.求极限()()1sin 0lim 12x x f x →-，其中()()00,02f f '==，当0x ≠时()0f x ≠.
2
1
e
lim
2 0x x
x
x++
-→.
2.求极限
)
1
ln(
3.设y =,求()0y '.
4.设)1(x f x y =,且f 具有二阶导数,求22d d x
y .
5.已知)(x y y =是由方程2
2e 0y x y x +-=所确定的隐函数,求曲线)(x y y =在点(2,0)处的切线方程.
四、应用题(每小题9分,共18分)
1.设某产品的需求函数为4
122
P Q -= (Q 为产量,P 为价格).问: (1) 价格为多少时,总收益最大?
(2) 当6=P 时,若价格上涨%2,总收益将如何变化?
2.假设函数)(x f 有如下结论:
(a) 0)(lim =∞+→x f x , 1)(lim =∞-→x x f x , 2])([lim =-∞-→x x f x , ∞=→)(lim 2x f x ; (b) 定义域为()(,2)2,-∞?+∞;
(c) 当)1,0(∈x 时,0)(<'x f ,否则0)(>'x f (2≠x );
(d) 当)2,2
1(∈x 时,0)(>''x f ,否则0)(<''x f (2≠x ); (e) 45)0(=f ,43)21(=f ,21)1(=f ,0)4
7(=-f . 则: (1) 函数曲线的拐点是: ;
(2) 当=x 时,函数取得极大值;
(3) 函数图形的渐近线是 ; (4) 绘出)(x f y =的描述性图形.
五、证明题(4分)
设函数)(x f 在]2,1[上连续,在)2,1(内可导,且0)2()1(==f f ,试证:在区间)2,1(内至少
存在一点ξ,使得ξ
ξξ)()(f f ='.