第6单元 变量分离的方程 一. 教学目标 1. 进一步掌握理解变量分离法，并且能够熟练的运用分离变量法解常微分方程。 2． 对某些本身不可分离变量的方程能够通过适当变换后，将原方程转换为可分离变量的方程。 二. 知识点 1. 分离变量法 三. 教学重点、难点 对分离变量法的学习是本单元的重点,也是难点 考虑微分方程 0),(),(=+dy y x Q dx y x P （2.2.1） 若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称（2.2.1）为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式： 0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X （2.2.2） 变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积. 问题是：对（2.2.2）如何求解？ 一般来说，（2.2.2）不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形： 0)()(=+dy y Y dx x X （2.2.3） （2.2.3）显然是一个恰当方程，它的通积分为 C dy y Y dx x X =+??)()( （2.2.4） 由对方程（2.2.3）的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除（2.2.2）式的两侧，得到 0) ()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X （2.2.5） 这种变形过程叫做分离变量。分离变量后的方程（2.2.5）已具有（2.2.3）的形式，故通积分为 C dy y Y y Y dx x X x X =+??) ()()()(11 （2.2.6） 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程（2.2.5）来代替求解方程（2.2.2）是合理的，因为此时方程（2.2.2）与方程（2.2.5）是同解的. 附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入（2.2.2）式验证，可知a x =（或b y =）是方程（2.2.2）的解.这个解一般会在由（2.2.2）化为（2.2.5）时丢失,故有时不包含在通积分（2.2.6）中，必须补上.
<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名： 学 院： 学 号： 专 业： 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩： 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类
一．引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二．内容 1.分离变量法的特点： 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即
(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得 然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则 或 当α2 >0时，令α=k x ，则 或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+
分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式 ()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式 ()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a <.22B a -≤≤.2C a <.2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy =()x f ()y ?(1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?=()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：?)(x dy ?=?dx x f )(+c. (1.2) 其中，c 表示该常数，?)(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-??2211， 得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方 程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.
解：由题意得 y ' -=1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1x X y y Y -'-=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(12x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 c y x =+22 2 ， 其中c 为任意正数，如图1. ２变量可替换的微分方程 通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变 量分离方程的类型: 2.1齐次方程 形如?? ? ??=x y dx dy ?(1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ?是u 的连续函数. 对方程(1.3)做变量变换 x y u =，(1.4) 即ux y =，于是 u dx du x dx dy +=.(1.5) 将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为 )(u u dx du x ?=+， 图1
§2 变量分离的方程 考虑微分方程 0),(),(=+dy y x Q dx y x P )1.2( 若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称)1.2(为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式： 0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X )2.2( 变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积. 问题是：对)2.2(如何求解？ 一般来说，)2.2(不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形： 0)()(=+dy y Y dx x X )3.2( )3.2(显然是一个恰当方程，它的通积分为 C dy y Y dx x X =+??)()( )4.2( 由对方程)3.2(的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除)2.2(式的两侧，得到 0) ()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X )5.2( )5.2(已具有)3.2(的形式，故通积分为 C dy y Y y Y dx x X x X =+??) ()()()(11 )6.2( 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程)5.2(来代替求解方程)2.2(是合理的，因为此时方程)2.2(与方程)5.2(是同解的. 附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入)2.2(式验证，可知a x =（或b y =）是方程)2.2(的解.这个解一般会在由)2.2(化为)5.2(时丢失,故有时不包含在通积分)6.2(中，必须补上. 例1 求解微分方程 0)1)(1(2 2=+-+xydy dx y x )7.2( 解 当0)1(2≠-y x 时，方程)7.2(可改写为等价的方程
七、分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+= 有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
第八章 分离变数法 1. 设)(x X 满足方程0=-''X X λ和边界条件0)(')0('==l X X ，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。 解：可分为三种情况讨论： 1) 0>λ ，解为x x e C e C x X λλ-+=21)(，由边界条件只能得到平庸解 0)(=x X ， 显然没有意义。 ----------------(3分) 2) 0=λ，解为21)(C x C x X +=，代入边界条件得01=C ，于是 22,)(C C x X =为任意常数。 ----------------(2分) 3) 0<λ，解为.sin cos )(21x C x C x X λλ-+-=,代入边界条件得 ???=-=????=-+---=-.0sin ,0. 0)cos sin (,012212l C C l C l C C λλλλλ a) 当 λ 的取值使得 0sin ≠-l λ 时，必有 01=C ，这和上两种情况一 样没有意义。 b)当 λ 的取值使得 0sin =-l λ 时， 1C 不必为 零，这种是有意义的情况。此时由 0sin =-l λ 得到本征值 λ:).,3,2,1(22 2 =-=?-=n l n n l πλλ π 综合2）和3）两种情况得本征值).,3,2,1,0(22 2 =-=n l n πλ 此时，本征解为.cos )(1x l n C x X π= ----------------(5分) 1. 2.已知复变量函数为解析函数，其实部满足
下面的条件， (1) 试给出所满足的数学物理定解问题； (2) 试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的边界条件齐次化，然后求解 ； (3) 根据求出虚部。 3.设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件'(0)'(2)0X X π==，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。(本小题 11 分) 解：(1) 由题意，对于常微分方程： ()()0X x X x λ''+= (1) (0)(2)0 X X π''== (2) 现在先求解X ，对0,0,0λλλ<=>三种情况进行讨论： a) 0λ<，由(1)式的解是 12()x x X x C e C e λλ---=+ 积分常数1C ，2C ，由(2)决定，即 120C C -=，22120E E C e C e ππ----= 由此得出01=C ， 02=C 而0)(≡x X 。无实际意义，即0λ<无可能性。（3分） b) 0λ=，式(1)的解是 21)(C x C x X += 则根据(2)式，有 10C =， 1(2)0X C π'== 即2C 为任意数 此时2()X x C ≡。（3分）
第八章 分离变量法 ??? ? ?? ?≤≤=??=>==><==><
第二讲沉淀分离技术2学时 ※、通过本章学习应掌握的容 1、什么是沉析？ 2、沉析法纯化蛋白质的优点有哪些？ 3、沉析的一般操作步骤是什么？ 4、何谓盐析？其原理是什么？ 5、盐析操作时常用的盐是什么？ 6、影响盐析的主要因素有哪些？ 7、有机溶剂沉析法的原理是什么？ 8、影响有机溶剂沉析的主要因素有哪些？ 9、等电点沉析的工作原理是什么？ 10、其它常用的沉析方法有哪些？ 一、沉淀分离的目的及其方法 沉淀分离技术是经典的化学分离技术。沉淀的概念是指溶液中的介质在适当条件下由液相变成固相而析出的过程。 沉淀技术的目的包括两个：⑴通过沉淀使目标成分达到浓缩和去杂质的目的。当目标成分是以固相形式回收时，固液分离可除去留在溶液中的非必要成分；如果目标成分是以液相形式回收时，固液分离可使不必要的成分以沉
淀形式去除。⑵通过沉淀可使已纯化的产品由液态变成固态，有利于保存和进一步的加工处理。 沉淀分离技术通常包括下列各种沉淀方法： ⑴无机沉淀剂沉淀分离法：通常是以盐类作为沉淀剂的一类沉淀方法，如盐析法，多用于各种蛋白质和酶类的分离纯化，以及某些金属离子的去除。常用的沉淀剂有：硫酸铵、硫酸钠、柠檬酸钠、氯化纳等。 ⑵有机沉淀剂沉淀分离法：以有机溶剂作为沉淀剂的一种沉淀分离方法，多用于生物小分子、多糖及核酸类产品的分离；有时也用于蛋白质的沉淀和金属离子的去除；用于酶的沉淀分离时，易导致酶的失活。常用到的沉淀剂有：丙酮、乙醇、甲醇等。 ⑶非离子多聚体沉淀剂沉淀分离法：采用非离子型的多聚体作为目标成分的沉淀剂，适用于生物大分子的沉淀分离，如酶、核酸、蛋白质、病毒、细菌等。典型的非离子型多聚体是聚乙二醇（PEG），根据其相对分子量的大小，有PEG600、PEG4000、PEG20000等型号。 ⑷等电点沉淀法：主要是利用两性电解质在等电点状态下的溶解度最低而沉淀析出的原理。适用于氨基酸、蛋白质及其它属于两性电解质组分的沉淀分离，如大豆蛋白“碱提酸沉”的提取方法。 ⑸共沉淀分离法：又可称为生物盐复合物沉淀法，用于多种化合物特别是一些小分子物质的沉淀。它是利用沉淀的同时对其它待分离成份吸附共沉淀而达到除杂的目的。
第八章 平面坐标下的分离变量 本征值问题（一） 分离变量法是把偏微分方程分解为几个常微分方程，从而达到求解之目的一个数学过程。 §8.1 齐次方程的分离变数法 一、分离变数法简介 以两端固定的均匀弦的自由振动为例。 其定解问题为 2000000(0)()()tt xx x x l t t t u a u u u x l u x u x ?ψ====?-=??==<
2a XT 遍除(8.1.3)第一式各项，并整理得 2T X a T X ''''= (8.1.5) 左边是时间t 的函数,跟坐标x 无关,右边则是坐标x 的函数,跟时间t 无关。两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作“ λ-”。 2T X a T X λ''''==- (8.1.6) (8.1.6)可以分离为关于X 的常数微分方程和关于T 的常微分方程,前者还附带有边界条件 X +X=0(0)0()0X X l λ''??==? (8.1.7) 02"=+T a T λ (8.1.8) 现对(8.1.7)在0,0,0>=<λλλ三种可能的情况分别加以讨论。 1、当0λ<，方程(8.1.7)的解是 λλ---+=x x e C e C x X 21)( 积分常数1C 和2C 由边界条件确定,即 121 200C C C e C e -+=???+=?? 解出120,0C C ==, 从而0)(≡x X ,解(,)0u x t ≡没有意义的。因而排除了0λ <的可能。 2、0λ=.方程(8.1.7)的解是 21)(C x C x X +=
第二章、一阶微分方程的初等解法 [教学目标] 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 [教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 14学时 [教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。 [考核目标] 1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。 2.会建立一阶微分方程并能求解。 §2.1 变量分离方程与变量变换 1、变量分离方程 1) 变量分离方程 形如 dy M(x)N(y)dx?M(x)N(y)dy?0)yg(?f(x)) (或（2.1）2112dxf(x)g(y)x,y的连续函数分别是. 的方程，称为变量分离方程，其中函数和2) 求解方法g(y)?0，方程(2.1)可化为，如果 dy?f(x)dx g(y)这样变量就分离开了,两边积分,得到 dy??f(x)dx?c?（2.2）)g(ydy1??)(x)dx,ff,(x分别理解为把. 的某一个原函数 ?()y)yg(?(x,c)y?满足方程（2.1）.容易验证由（2.2）所确定的隐函数因而（2.2）是（2.1）的通解. g(y)?0y?yy也是（2.1）的解使如果存在.可能它不包含在方程的通解（，可知2.2）中，000必须予以补上. 例题3) dyx??求解方程1 例ydx解将变量分离，得到 ydy??xdx 两边积分，即得 22cxy???222因而，通解为 22ccy??x是任意的正常数. 这里的
第二章、一阶微分方程的初等解法 [教学目标] 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 [教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 14学时 [教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。 [考核目标] 1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。 2.会建立一阶微分方程并能求解。 §2.1 变量分离方程与变量变换 1、 变量分离方程 1) 变量分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1） 的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数. 2) 求解方法 如果()0g y ≠，方程(2.1)可化为， ()() dy f x dx g y = 这样变量就分离开了,两边积分,得到 ()()dy f x dx c g y =+?? （2.2） 把,()()dy f x dx g y ??分别理解为1,()() f x y ?的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ?=满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解. 如果存在0y 使0()0 g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上. 3) 例题