代数式恒等变形参考答案
知识要点：恒等变形是代数式的化简与求值、等式证明的重要手段之一，我们学过的多项式的乘法公式和因式分解，分式的基本性质、根式的性质及其运算法则，都是代数恒等变形得理论依据。数式进行恒等变形时，常常要用到拆项法、配方法、换元法、参数法、构造方程法等。
A 卷
1、若326
5122-+
-+=+--x b
x a M x x x ，a 、b 是常数，则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C
解答：由已知等式得：()()6
522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴??
???-=--=++-=1
236051
b a M b a M M ，解得：???
??=-==831b a M
提示：利用待定系数法解决问题。
2、（2002年重庆市初中竞赛题）若012192=+-
x x ，则=+441
x
x （ ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、4
27
答案：C 解答：∵0≠x ∴2191=+
x x ，411
122=+x
x ∴16892112
2244
=-??? ?
?+=+x x x x
提示：本题的关键是利用2112
22-???
?
?+=+x x x x 进行化简。
3、（2001年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 答案：D
解答：∵143=-x x
∴()()
8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x
提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。 4、（全国竞赛题）如果52
332412--
-=----+c
c b a b a ，则c b a ++的值是（ ）
A 、6
B 、8
C 、20
D 、24 答案：C
解答：∵52
332412--
-=----+c
c b a b a ∴()[]()[
]()[]
053293632
142421121=+--+----+---++---c c b b a a
∴
()()
()
0332
122112
2
2
=---
--+--c b a
∴011=--a ，022=--b ，033=--c ∴2=a ，6=b ，12=c ∴20=++c b a
提示：本题利用添项构造完全平方式解决问题。
5、（第16届“希望杯”初二年级竞赛题）已知a 是整数，x 、y 是方程012=++--ay ax xy x 的整数解，则__________=-y x 或 .
答案：1±
解答：原方程可以变形为：()()1-=---y x a y x x 即()()1-=--a x y x ∵a 、x 、y 都是整数 ∴???-=-=-11a x y x 或?
??=--=-11a x y x
故1±=-y x
提示：本题利用方程的解的特殊解决问题。
6、（2001年全国初中竞赛“创新杯”广西赛区题）已知2
323+-=x ，2
323-+=
y ，那么
____________22=+x
y y x . 答案：970
解答：由题意得：1=xy ，10=+y x 故原式()()()[]()97032
2
23
3=-++=+=
xy xy y x y x xy y x
提示：类似已知x 、y 的值求关于x 、y 代数式的问题，通常将x 、y 的问题转化为y x +，y x -，
xy 来解决。
7、（2001年河北省初中竞赛试题）已知21=+x
x ，那么
1
91322++-
++x x x
x x x
的值
为 .
答案：
11
11
55- 解答：∵21
=+x
x ∴
=+???
?
?+++??? ??+=++-++9
11
311191
32
2
x x x x x x x x x x
111155- 提示：本题利用方程变形，然后整体代入解答。 8、（2000年“五羊杯”竞赛题）已知43322a c c b b a -=
-=+，求b
a c
b a 98765+-+的值。 解：令
k a
c c b b a =-=-=+43322，则 k b a 2=+，k c b 32=-，k a c 43=-
解得：k a 511=，k b 521=，k c 5
3
= ∴
101
50
5
1011098765==+-+k k b a c b a 提示：本题关键是引入参数，将多个字母的问题转化为同参数有关，进而化简。
B 卷
9、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）x 、y 、m 均为正整数，且满足?
??=+=+m y x y x 5229
73，
那么__________=m .
答案：20
解答：由已知?
??=+=+m y x y x 522973
由①得：()y x 7293
1
-=
③ 将③代入②得：
()m y y =+-572932
，即y y m 53
14358+-= ∴0583 -=m y ，即3
58
m 又由①得：()x y 3297
1
-=
①
②
代入②得：()m x x =-+
32975
2，即m x x =-+7
1571452 ∴07145 m x -=，即7
145
m ∴752071453583119== m
∵m 是整数 ∴20=m
提示：本题利用m 是参数，解关于x 、y 的方程，然后利用0 x ，0 y 建立关系m 的不等式组求解。
10、设n 为正整数，求证：()()21
121215
31311 +-++?+?n n
证明：()()12121
5
31311+-++?+?n n
???
??+--++-+-=1211215131311121n n
2
11211121 ??? ??+-=
n 提示：本题利用了
()()???
??+--=+-1211212112121n n n n 拆项化简求证。
11、已知a
a x 1-=，试求代数式
2
24242x
x x x x x +-++++的值。
解：∵011≥-=
-=a
a a
a x
∴01≥-a 把a
a x 1-=两边同时平方得：21
-+
=a
a x ∴a
a x 12+
=+ ∴21
44222++
=++a
a x x ∴2
22
2
1214??? ?
?
-=-+=+a a a a x x
∴a
a a a x x 1142
2-=??? ??
-
=+ 原式22211
1
1
a a
a a a a
a a a a a ==+
-+-++
=
提示：本题利用2112
22
-???
?
?+=+x x x x 化简求值。
12、（2001年全国初中联赛题）设t
t t t x ++-+=
11，t
t t t y -+++=
11，t 取何值时，代数式
22204120y xy x ++的值为2001.
解：由题设知：1=xy 又∵()
()12121112
+-+=-+=
++-+=
t t t t t t
t t t x
()
()12121112
+++=++=
-+++=
t t t t t t
t t t y
∴24+=+t y x
∴()()12420202041202
2
22++=++=++t xy y x y xy x
由题意得：200120412022=++y xy x ，即()124202
++t
解得：21=t ，32-=t （舍去）
故当2=t 时，代数式22204120y xy x ++的值为2001.
提示：类似已知x 、y 的值求关于x 、y 代数式的问题，通常将x 、y 的问题转化为y x +，y x -，
xy 来解决。
C 卷
13、（2004年第九届华罗庚金杯赛）关于x 、y 的方程组()()????
???-=++=---=+-+9
210510889655
43y n m x y x m n y x y x 有解，求2
2n m +的值。
解：把从上到下四个方程依次记做（1）、（2）、（3）、（4）
（1）×2+（3）得：()068=+-x m n ；（2）-（4）得：()02106=--y n m
如果把0=x ，0=y 代入方程组，则（1）（2）不可能成立，故x 、y 均不为0.则只能有 ??
?=--=+-0
2106068n m m n ，解得139=m ，136
-=n 故13
9
16911722==
+n m
14、某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设别投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费用为()??
?
???+-500141x 元。 （1）如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的关系式；
解：设该设备投入使用x 天，每天的平均损耗为：
x
x y ?
??
??+-++??? ??+?+??? ??+?+??? ??+?+=
50041500241500141500041500000
8
7
4998500000++=
x x y （2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废。问该设备投入使用多少天应当报废？
解：≥++=
8
7
4998500000x x y 879998749985000002
=+?x x 当且仅当
8
500000x
x =时，即2000=x 天时取等号 故这台这设备投入使用2000天应当报废。
注：在解本题时，可能要用到以下两个数学知识点（如果需要可以直接引用一下结论： ①对于任意正整数n ，下列等式一定成立：()2
14321+=
+++++n n n ；
②对于确定的正整数a 、b 以及在正实数范围内取值的x ，一定有
b
a bx ax
b x x a 22=≥+成立；可以看出，b a 2是一个常数，也就是说b x x a y +=有最小值b a 2，而且当b
x
x a =时，y 取得最小值。
同位角、内错角、同旁内角教案
作者：佚名教案来源：网络点击数：7022
[组图]同位角、内错角、同旁内角教案
文章来源
莲山课件w w
w.5 Y K https://www.doczj.com/doc/004462509.html, 教学建议一、知识结
构二、重点难点分析本节教学的重点是同位角、内错角、同旁内角的概念．难点为在较复杂的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角．掌握同位角、内错角、同旁内角的相关概念是进一步学习平行线、四边形等后续知识的基础．（1）两条直线被第三条直线所截，构成八个角（简称“三线八角”），其中同
位角4对，内错角2对，同旁内角2对．（2）准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．（3）在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．（4）在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．三、教法建议1．上节课讨论了两条直线相交以后所形成的四个角，这一节课是进一步讨论三条直线相交后所形成的八个角，所以在教课过程，要运用基本图形结构将所学的知识及其内在联系向学生展示．2．在讲三线八角概念时，一定要细致地分析、顾名思义，把握住两个关键的环节，“三条线与一条线”，尽量给出变式的图形，让学生分辨清楚．3．这节课虽然不涉及两条直线平行后被第三条直
线所截的问题，但在可能的情况下，将平行线的图形让学生见到，对下一步的学习很有好处，例如，平行四形中的内错角，学生开始接受起来有一定困难，在这一课时中，出现这个基本图形，为以后学习打下基础．教学设计示例一、素质教育目标（一）知识教学点1．理
解同位角、内错角、同旁内角的概念．2．结合图形识别同位角、内错角、同旁内角．（二）能力训练点1．通过变式图形的识图训练，培养学生的识图能力．2．通过例题口答“为什么”，培养学生的推理能力．（三）德育渗透点从复杂图形分解为基本图形的过程中，
渗透化繁为简，化难为易的化归思想；从图形变化过程中，培养学生辩证唯物主义观点．（四）美育渗透点通过“三线八角”基本图形，使学生认识几何图形的位置美．二、学法引导1．教师教法：尝试指导，讨论评价、变式练习、回授．2．学生学法：主动思考，相互研讨，
自我归纳．三、重点、难点、疑点及解决办法（一）生点同位角、内错角、同旁内角的概念．（二）难点在较复杂的图形中辨认同位角、内错角、同旁内角．（三）疑点正确理解新概念．（四）解决办法引导学生讨论归纳三类角的特征，并以练习加以巩固．四、课时安排1课时一、教具学具准备投影仪、三角板、自制胶
片．六、师生互动活动设计1．通过一组练习创设情境，复习基础知识，引入新课．2．通过学生阅读书本，教师设问引导，练习巩固讲授新课．3．通过师生互答完成课堂小结．七、教学步骤（一）明确目标使学生掌握“三线八角”，并能在图形中进行辨识．（二）整体感知以复习旧知创设情境引入课题，以指导阅读、设计问题、小组讨论学习新知，以变式练习巩固新知．（三）教学过程创设情境，复习导入回答下列问题：1．如图，∠1与∠3，∠2与∠4是什么角？它们的大小有什么关系？2．如图，∠1与∠2，∠l与∠4
是什么角？它们有什么关系？3．如图，三条直线AB、CD、EF交于一点O，则图中有几对对顶角，有几对邻补角？
4．如图，三条直线AB、CD、EF两两相交，则图中有
几对对项角，有几对邻补角？5．三条直线相交除上述两种情况外，还有其他相交的情形吗？学生答后，教师出示复合投影片1，在（1、2题的）图上添加一条直线CD，使CD与EF相交于某一点（如图），直线AB、CD都与EF相交或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截，这样图中就构成八个角，在这八个角中，有公共顶点的两个角的关系前面已经学过，今天，我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关
系．【板书】2.3同位角、内错角、同旁内角【教法
说明】通过复合投影片演示了同位角、内错角、同旁内角的产生过程，并从演示过程中看到，这些角也是与相交线有关系的角，两条直线被第三条直线所截，是相交线的又一种情况．认识事物
间是发展变化的辩证关系．尝试指导，学习新知1．学生自己尝试学习，阅读课本第67页例题前的内容．2．设计以下问题，帮助学生正确理解概念．（1）同位角：∠4和∠8与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？图中还有其他同位角吗？（2）内错角：∠3
和∠5与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？图中还有其他内错角吗？（3）同旁内角：∠4和∠5与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？图中还有其他同分内角吗？（4）同位角和同分内角在位置上有什么相同点和不同点？内错角和同旁内角在位置上有什么相同
点和不同点？（5）这三类角的共同特征是什么？3．对上述问题以小组为单位展开讨论，然后学生间互相评议．4．教师对学生讨论过程中所发表的意见进行评判，归纳总
结．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的不同旁找内错角，因此在“三线八角”的图形中的主线是截线，抓住了截线，再利用图形结构特征（F、Z、U）判断问题就迎刃而解．【教法说明】让学生
自己尝试学习，可以充分发挥学生的积极性、主动性和创造性，几个问题的设计目的是深化教学重点，使学生看书更具有针对性，避免盲目性．学生互相评价可以增加讨论的深度，教师最后评价可以统一学生的观点，学生在议议评评的过程中明理、增智，培养了能力．投影显示（投
影片2）例题如图，直线DE、BC被直线AB所截，（1）∠l与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4
各是什么关系的角？（2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？［教法说明］例题较简单，让学生口答，回答“为什么”只要求学生能用文字语言把主要根据说出来，讲明道理即可，不必太规范，等学习证明时再严格训练．变式训练，巩固新知投影显示（投影片3）