高一上数学知识点
期末临近，亲爱的同学们，你们对以下问题是否有清楚的认识？
必修1数学知识点
第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互
异性、无序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .
4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称
集合A 是集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n
2个子集.
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：
B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：
B A . 3、全集、补集 {|,}
U C A x x U x U =∈?且
注意:
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。?
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质：
{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；
1212a a a n n
（）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律：
()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
§1.2.1、函数的概念
1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个
数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且
对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值
1、 注意函数单调性证明的一般格式：
解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函
数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.
2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称
函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1.
2、 当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，a a n
n
=.
3、 我们规定： ⑴m n m
n a a
= ()
1,,,0*>∈>m N n m a ；⑵()01
>=-n a
a n n ；
4、 运算性质： ⑴()Q s r a a
a a s
r s
r
∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs s
r ∈>=,,0；
⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. §2.1.2、指数函数及其性质 1、 记住图象：()1,0≠>=a a a y x
§2.2.1、对数与对数运算
1、x N N a a x =?=log ；
2、N a N a =log .
3、01log =a ，1log =a a .
4、当0,0,1,0>>≠>N M a a 时：
⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=??
?
??； ⑶M n M a n a log log =. 5、换底公式：a b
b c c a log log log =
()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a .
6、a b b a log 1
log =
()1,0,1,0≠>≠>b b a a .
7、
§2..2.2、对数函数及其性质
1、 记住图象：()1,0log ≠>=a a x y a
§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
第三章、函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程()0=x f 有实根 ?函数()x f y =的图象与x 轴有交点 ?函数()x f y =有零点.
2、 性质：如果函数()x f y =在区间[]b a , 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
()()0
§3.1.2、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型 §3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.
注意:1. 对映射的概念了解吗？映射f ：A→B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与
之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）
2. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）
3. 求函数的定义域有哪些常见类型？
4. 如何求复合函数的定义域？（注意整体代换思想,看谁和谁地位相同）的定义域。求的定义域是函数如)([-2,3],)12(:x f x f - [-5,5]
5. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、定号、下结论）
如何判断复合函数的单调性？
[]（，，则（外层）（内层）
y f u u x y f x ===()()()??
[][]当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。）f x f x ??()()
()
如：求的单调区间
y x x =-+log 12
22 （设，由则u x x u x =-+><<2
2002
()
且，，如图：log 12
2
11u u x ↓=--+ u
O 1 2 x
当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓
(]log 0112
当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑
[)log 1212
6. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f (x )定义域关于原点对称） 若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-?? 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=??
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0= 7. 你掌握常用的图象变换了吗？ f x f x y ()()与的图象关于轴对称
- f x f x x ()()与的图象关于轴对称
- f x f x ()()与的图象关于原点对称
-- f x f x y x ()()与的图象关于直线对称
-=1
f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称
2-=
f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称
--20
将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>?→
????????>=+=-()()()()
()00
上移个单位下移个单位b b b b y f x a b
y f x a b ()()()()>?→
????????>=++=+-00 注意如下“翻折”变换：
f x f x f x f x
→→（）（） （下翻上）
（）（）（右翻左）
8. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
()（）一次函数：10y kx b k =+≠
()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k x a k O a b =
≠=+-≠'()
双曲线。 (k<0) y (k>0)
y=b
O’(a,b) O x
x=a
()（）二次函数图象为抛物线
302442
2
2y ax bx c a a x b a ac b a =++≠=+?
? ???+-
顶点坐标为，，对称轴--?? ???=-
b a a
c b a x b
a 24422
开口方向：，向上，函数a y ac b a >=
-0442
min
a y ac
b a <=
-0442
，向下，max
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax bx c x x y ax bx c x 212200++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴? 的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。ax bx c 200++><()
②求闭区间［m ，n ］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
()（）指数函数：，401y a a a x =>≠
()
（）对数函数，501
y x a a a =>≠log
由图象记性质！（注意底数的限定！） y
y=a x (a>1)
(0
O 1 x
(0 ()（）“对勾函数”60y x k x k =+ > y O x -k k 利用它的单调性求最值要注意x 的取值范围是什么？ ?)0,0(呢>>+ =b a x b ax y 9. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：，a a a a a p p 0101 0=≠=≠-(()) a a a a a a m n m n m n m n = ≥= >- ((01 0)) ， ()对数运算：·，log log log a a a M N M N M N =+>>00 log log log log log a a a a n a M N M N M n M =-=，1 对数恒等式：a x a x log = 对数换底公式：log log log log log a c c a n a b b a b n m b m = ?= 10. 掌握求函数值域的常用方法了吗？ （直接法，二次函数法（配方法），分离常数法，换元法，判别式法，利用函数单调性法。） 11. 不等式的性质有哪些？ （）， 100a b c ac bc c ac bc >>?> （），2a b c d a c b d >>?+>+ （），300a b c d ac bd >>>>?> （），4011011a b a b a b a b >>? << （），50a b a b a b n n n n >>?>> ()（），或60||||x a a a x a x a x a x a <>?-<<>?<-> 12．解分式不等式： ()() (1) 0()()0,0()()0()() f x f x f x g x f x g x g x g x >??> ()(2) 0,0()0()0 ()()f x g x f x g x f x f x g x g x g x g x ?≥?≤??≥?≤???≠≠??（注意分母不为零） () 13.(0)() f x a a g x >≠解分式不等式 的一般步骤是什么？ （移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，数轴标根法解得结果。） 14. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿偶不穿”，从最大根的右上方开始 ()()()如：x x x +--<1120 2 3 15. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论 如：对数或指数的底分或讨论 a a ><<101、 ?)1(log )1(log ),1(log )1(log 22 122 1吗会解+>+-+>+-x x x x x x a a 16.一元二次不等式的解法是怎样的? 会解053, 0622<-+->--x x x x 吗? 17．绝对值不等式的解法： ()()1.||,0f x a a <>?()()2.||,0f x a a >> ?()()3.||f x g x ? ()()5.||||f x g x >?()()6.||0b f x a a b <<>>?()a f x a -<<()()f x a f x a >< -或()()()g x f x g x -<<()()()() f x g x f x g x <->或()() 22f x g x >()()b f x a a f x b <<-<<-或 18. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（零点分段讨论法） （找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，每段取交集，最后综上取各段的并集。） 例如：解不等式||x x --+<311（试一试） （解集为） x x |>? ?????12 19．绝对值不等式重要定理：a b a b a b -≤±≤+ 20. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：恒成立的最小值a f x a f x ?>()()恒成立的最大值 （还要注意有解与解集为空集的情况） 如:的取值范围上恒成立，求在a x x x ax ]4,1[0432∈<-- ( a<4 ) 例如：对于一切实数，若恒成立，则的取值范围是 x x x a a -++>32 ()()或者：，∴）x x x x a -++≥--+=<323255 ||||[||,)x a x b a b -+-∈-+∞， ||||[||,||]x a x b a b a b ---∈--- 21.充要条件.的必要条件是的充分条件 是则p q p q p q ,,? .A B ,B ,的必要条件是的充分条件 是则A B A ? 必修2数学知识点 第一章、三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602== π. §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么： x y x y = ==αααtan ,cos ,sin . 2、 设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r += ） r y 0s i n =α，r x 0cos =α，0 0tan x y =α. 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一： ()()(). tan 2tan ,cos 2cos , sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈） 5、 特殊角0°，30°，45°，60°， 90°，180°，270°的三角函数值. α 6 π 4 π 3 π αsin 2 1 2 2 2 3 αcos 2 3 2 2 21 αtan 3 3 1 3 §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 2 2=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . §1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二： 2、诱导公式三： ()()().tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ ()()().tan tan , cos cos , sin sin αααααα-=-=--=- 3、诱导公式四： 4、诱导公式五： ()()().tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- .sin 2cos , cos 2sin ααπααπ=?? ? ??-=?? ? ??- 5、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=?? ? ??+=?? ? ??+ §1.4.1、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、 对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、 会用五点法作图. §1.4.2、正弦、余弦函数的性质 1、 周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一 个值时，都有()()x f T x f =+，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. §1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： 2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、 周期性. §1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象 1、 能够讲出函数x y sin =的图象和函数()b x A y ++=?ωsin 的图象之间的平移伸缩变 换关系. 函数s i n y x =的图象上所有点向左（右）平移 ?个单位长度，得到函数 ()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+ 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到 原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数() sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数 ()sin y x ω?=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1 ω 倍（纵坐标不变）， 得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移 ? ω 个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象． 2、 对于函数： ()()0,0sin >>++=ω?ωA b x A y 有：振幅A ，周期ω π 2=T ，初相?，相位?ω+x ， 频率π ω 21 = = T f . 3.能根据图像求正弦型函数解析式,能根据解析式求正弦型函数的对称轴、对称中心、单调 区间。 §1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第二章、平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平 行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形法则和平行四边形法则. 2、 b a +≤b a +. §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量. §2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：a λ，它的 长度和方向规定如下： ⑴ a a λλ=, ⑵当0>λ时, a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时, a λ的方向与a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理：向量() 0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使a b λ=. §2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x j y i x a ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x b y x a ==，则：⑴()2121,y y x x b a ++=+， ⑵()2121,y y x x b a --=-，⑶()11,y x a λλλ=， ⑷1221//y x y x b a =?. 0//1221=-?y x y x b a 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x AB --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，则 ⑴线段AB 中点坐标为( ) 2 22 12 1,y y x x ++， ⑵△ABC 的重心坐标为 ( ) 333213 21,y y y x x x ++++. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ，则：()()212212y y x x AB -+-=. §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式 1、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=- 2、记住15°的三角函数值： α αsin αcos αtan 12 π 4 26- 4 26+ 32- §3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+ 2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- 3、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ 4、()βαβ αβαtan tan 1tan tan tan -+=+.变形:()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 5、()βαβ αβαtan tan 1tan tan tan +-=-.变形:()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ §3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =， 变形：ααα2sin cos sin 21=. 2、ααα2 2 sin cos 2cos -= 1cos 22-=α α2sin 21-=， 变形1：2 2cos 1cos 2αα+=， 变形2：2 2cos 1sin 2αα-=. 3、α αα 2tan 1tan 22tan -=. §3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、注意辅助角法(强提法）:()22sin cos sin ααα?A +B = A + B +，其中 222 2 A c o s = s i n ,t a n A +B B A B ???B ==A +，． 3.、和差化积,积化和差公式
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