2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）
一、选择题（每小题6分，共36分）
??的子集有（集合1.）Nx?xx?1?3，A?A．4个B．8个C．16个D．32个
【答案】 C
??。3 ，，，1，知，结合，得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。的子集有
∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称，则：2．若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为（）
211C．B．D．A．1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线，：取点xy?(?11)0，?1)，y?2x?1AA(0，0)A(?1l 上。在直线2ll。在直线的交点又直线与直线x?y1)P，(11211?l。过和∴两点，其方程为?xy?1)0)，P(1A?(1，22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。与坐标轴交于和∴两点，)，(00)(?1，22243．给出下列四个判断：
（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。
aa bbP??????。，和直线，若（2）对平面，则，??l∥ll??????。和直线，若，则（3）对平面，，?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。内一点，且（4）对直线，，和平面，则，若过平面P2211122其中正确的判断有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】 B
【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。
????内，且不在直线上时，，过1），设的平面为和在平面，则当点对于（ba∥aabP 找不到直线同时与，都相交。a b
中点，则二面，为4．如图，已知正方体DC?ABABCD CDE1111）角的正切值为（BAB?E?12222 D．．A．1 B ． C 4
【答案】 D
图第4题于如图，作于，作，连结。【解答】ABFO?OEOFABEF?1
为正方体，知由，。ABABCD?ABCDEF?面ABBA?EF1111111，。又。因此，ABOEOEF?AB?面AB?OF111的平面角。∴为面角B??ABE EOF?121aB?OF?A
设正方体棱长为，，则。a aEF?144EF∴。2??tanEOF?2题答题图4第
OF4?CBAB?CA满，为等腰直角三角形，，为中点，动点5．已知O△ABCPAB2长的最小值为（足条件：），则线段PBPO??PACP
534 D．B．2 CA ．．
B【答案】为坐标原点，建立平面直角坐标系。则所在直线为轴，、【解答】
以x，?0)2A(OAB、。2)C(0，0)，B(22222222
PB??PAPO。，由，知设y2)x?2)?y??(xx?y??()y(x，P2222222)x?4?4x)(x(x??y?)y?(x4?y?4，∴222222222222??16?16?(x?yx)??8(xx?y(x?yy))即，化简，得。
22222241)??4?2(?2)y?y?2?y??4CPy?x(?y∴。CP，?3P(1)。此时，2 ∴时，有最小值。1y???ee????a?eb?edcca，），，的大小关系为（，则，，6．记，
db D．C．．A．Ba?b?b?ad?c?ca?d??bc?d?a?cd?b?????e，，0e?上（必要时，可以利用函数在上为增函数，在x?e(fx)?lnx A 【答为减函数）
案】??【解答】。，lndln?lnc?e?????，0ee?，上为减函数，，由设上为增函数，在在)x(fx?xlne?)x(f
????，于是。得0?e?(e))?f(e)?elnln?e?ff(f)?(e?e???∴，。，即，于是
e?c?d?lndeln?lnc??ee??。，又显然，。于是，b?a?e??ed??c bc?a?d?
分）6分，共36二、填空题（每小题2x。，则7．已知为奇函数，为偶函数，
且x?2?f(x)?g(x)?f(g(x)x)(1)f3【答案】4①，…………【解答】依题意，有3?1?f(1)?g(1)?2331②。…。由为奇函数，为偶函数，得??1?(1)?ggf(?1)?(?1)??f(1))xg(f(x)22233?，①。②，得?f?(1)2f(1)?342??围值范则角为的，若取，：8．已知直线的倾斜0??1x?By??120?45?lB。为
3)，(?1【答案】31??当；解当时，得【解答】当，时，；1??01?90??90?BB?0?45????
B31??B0?时，，解得。?3?????120?903B3)1，(?的取值范围为。∴B3为等边三，中，，，9．如图，在三棱锥PBCPC△
PA?PCP?ABCPA?PB?PB?PA。所成角的正弦值为角形，则与
平面ABCPC
21【答案】7ABC面PO?与平【解答】如图，作于，则就是PCOPCO?面所成的角。ABC图题9第∵，，PCPA?PBPA?PBCPA?面∴。设，则
a?PC?PB?PA．
3311
32aa?S??a?V?V??PA?。PBCPBCP?ABC△A?123437172??a?aS?a又，ABC△422712POa?PO?S?V??。ABC△P?ABC123
21P3，。∴???sin?PCOPO?a题答题图第97PC77外接圆半径后，再求解。或求出OCABC△22．函数
10。的最小值为6x2x?3?x?f(x)?x??6【答案】2?3x??1或x?03?2x?x???或。由，知，【解答】3x?x??3??2x??3或
x?206??x?x????????33??，?，??。∴的定义域为)xf(
????22?3，?3，???上都是增函∵在上都是减函数，和在6??yxx?2x?x3?y?21数。
????22??3，?3??，上是减函数，在在∴上是增函数。6xf(x)?x?2x?3?x??中较小者。的最小值是与∴(3)(?3)xf()ff
6?f?(3)23f(?3)。，∵6。∴的最小值是)xf(5??xx24y?aa??51?1，，则）在区间上的最小值为（11．已知函数，且?1aa?0?4??x2x1，
?14y?aa??5。在区间上的最大值为
10
【答案】5415??x2x2x，???at?在上为增函数。【解答】设，则?)(y?at??5a?4??? 242??11415????2，at?a，在，上为增函数。时，?y?(t?)10?a?????
aa42????415415152210?(2?)?y(a?)???a???y，。。∴
maxmin42224411415????2t?，aa，时，在，上为增函数。?ty?(?)1a?????aa24???? 1541554122。，∴。10??(2(?)????)?yy?2?a
maxmin a244242x?3y?0?12．若实数，满足条件：，则的最小值为。y2x?x y ?2236?9y4x??42【答案】
，因此，2x?3，【解答】由条件知，y，。0y02x?3y??2x?30?x由对称性，不妨设，则2x?y?2x?y。0y?2222。…………设，代入①，消并整理，得
0?36?36?y8t?2ty4xy?9?xt?y?2x2242t??42t?。由①的判别式或，得0
△)?4t32(36??t?t?42。由知，，y?3y?2x0?x?yt?2292
2x?y?24t?，符合又，得。，此时时，①化为0?4?y8y?820??3y2x24 4242y2x?。的最小值为∴。因此，的最小值为t
三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）22，求点，中，已知点，且它的内切圆的方程为13．在4?y?x8)?B(2，A(2，1)CABC △的坐标。
【答案】易知直线于圆相切，直线、的斜率存在。BCACOAB设直线的方程为，
即。0??2kkx?y?1ky?1?(x?2)AC1110?0?1?2k31，解得。由直线与圆相切，知2??k?OAC1421?k1∴直线的方程
为。……………………… 8分0?y10?3x?4AC设直线的方程
为，即。0???2k(x?2)8kx?y?y?8k BC2220?0?2k?8152。相切，知，解得与圆由直线2??k?OBC2821?k2∴直线的方程
为。…………………… 12分0?34?y15x?8BC3x?4y?10?0x??6??由，解得。??15x?8y?34?0y?7??∴点的坐标
为。………………………… 16分7)?(6，C
2（，，），且对任意实数，14．已知恒成立。c?bx(fx)?x?xb2x?f(x)?0b?c?Rb（1）求证：；bc?22对满足条件的，恒成立，求的（2）若当时，不等式)fc)?(c(?bb)?f(Mc b?bcM 最小值。
【答案】（1）∵对任意实数，恒成立，xbx?(x)?2f22恒成立。，即∴对任意实数，0b?x?cx??(b?2)xb?bx?c?2x?x22。…………………，即 4分∴
0?b)?4(c△＝(b?2)?0b??4c?42，。………………………8分∴b?b4?44c?bc?（2）由以及（1）知，。0?c?bb?c f(c)?f(b)22)b?b)?f(c)?fM(c(恒成立。∴…………恒成立，等价于 12分?M
22bc?cf(c)?f(b)(c?b)(c?2b)c?2bt?21，则设。????1t??
2222c?bt?b1tbcb??c1?cf(c)?f(b)13的取值范围为，知由。)?t，1?1?(1?2212bt?bc?33，的最小值为。……………………… 16分∴M?M22
的切线，、是外接圆15．如图，、分别是的中线和高线，OPCABCABCCF△△PBAD
是与圆的交点。点OPAE
）求证：；（1ACP△AFD∽△。（2）求证：平分DCADE?
。【答案】（1）由为圆切线，知DCP???PCCAFO中点，∵、是圆的切线，为