第二章 2.22.2.2
A级基础巩固
一、选择题
1．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是导学号09024383( D )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′
B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′
D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
[解析]长方体ABCD－A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行，故选D．
2．下列命题正确的是导学号09024384( D )
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③B．②④
C．②③④D．③④
[解析]如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线．
对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在．
对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①．
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．
所以只有③④正确，选择D．
3．已知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面导学号09024385( B )
A．平行B．相交
C．平行或相交D．平行或在平面内
[解析]如图所示．
4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作导学号09024371( B )
A．1个或2个B．0个或1个
C．1个D．0个
[解析]若平面α外的两点所确定的直线与平面α平行，则过该直线与平面α平行的平面有且只有一个；若平面α外的两点所确定的直线与平面α相交，则过该直线的平面与平面α平行的平面不存在．5．如图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是导学号09024387( A )
A．平行B．相交
C．异面D．不确定
[解析]∵E
和F1分别是A1B1和D1C1的中点
1
∴A1D1∥E1F1，又A1D1?平面BCF1E1，E1F1?平面BCF1E1
∴A1D1∥平面BCF1E1．
又E1和E分别是A1B1和AB的中点
∴A1E1綊BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形
∴A1E∥BE1
又A1E?平面BCF1E1，BE1?平面BCF1E1
∴A1E∥平面BCF1E1
又A1E?平面EFD1A1，A1D1?平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1．
6．已知直线l、m，平面α、β，下列命题正确的是导学号09024388( D )
A．l∥β，l?α?α∥β
B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C．l∥m，l?α，m?β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β
[解析]如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AB ∥CD ，则直线AB ∥
平面DC 1，直线AB ?平面AC ，但是平面AC 与平面DC 1不平行，所以选项A 错误；取BB 1的中点E ，CC 1的中点F ，则可证EF ∥平面AC ，B 1C 1∥平面AC ．又EF ?平面BC 1，B 1C 1?平面BC 1，但是平面AC 与平面BC 1不平行，所以
选项B 错误；
直线AD ∥B 1C 1，AD ?平面AC ，B 1C 1?平面BC 1，但平面AC 与平面BC 1不平行，所以选项C 错误；很明显选项D 是两个平面平行的判定定理，所以选项D 正确．
二、填空题
7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为__平行或相交__.导学号09024389
[解析]三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．
8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a ，在β内总存在直线b ∥
a ，则α与β的位置关系是__平行__(填“平行”或“相交”).导学号09024390
[解析]假若α∩β＝l ，则在平面α内，与l 相交的直线a ，设a ∩l ＝A ，对于β内的任意直线b ，若b 过点A ，则a 与b 相交，若b 不过点A ，则a 与b 异面，即β内不存在直线b ∥a .故α∥β．
三、解答题
9．如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，E 、F 、H 分别为AB 、CD 、PD 的中点．求证：平面AFH ∥平面PCE .导学号09024391
[解析]因为F 为CD 的中点，H 为PD 的中点 所以FH ∥PC ，所以FH ∥平面PCE ． 又AE ∥CF 且AE ＝CF
所以四边形AECF 为平行四边形 所以AF ∥CE ，所以AF ∥平面PCE ．
由FH ?平面AFH ，AF ?平面AFH ，FH ∩AF ＝F 所以平面AFH ∥平面PCE ．
10．(2018·永春一中高一期末)已知正四棱锥P －ABCD 如图所示.导学号09025155
(1)若其正视图是一个边长分别为
3，
3，2的等腰三角形，求其表面积S 、体积V ；
(2)设AB 中点为M ，PC 中点为N ，证明：MN ∥平面P AD ．
[解析](1)过P 作PE ⊥CD 于E ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O
则PE ⊥CD ，E 为CD 的中点，O 为正方形ABCD 的中点 ∵正四棱锥的正视图是一个边长分别为3，
3，2的等腰三角形
∴PE ＝
3，BC ＝CD ＝2
∴OE ＝1
2
BC ＝1，∴PO ＝
PE2－OE2＝2．
∴正四棱锥的表面积S ＝S 正方形ABCD ＋4S △PCD ＝22
＋4×1
2
×2×
3＝4＋43．
正四棱锥的体积V ＝13S 正方形ABCD ·PO ＝1
3×22×
2＝
423
．
(2)过N 作NQ ∥CD ，连结AQ ∵N 为PC 的中点，∴Q 为PD 的中点 ∴NQ 綊1
2
CD
又AM 綊1
2CD ，∴AM 綊NQ
∴四边形AMNQ 是平行四边形 ∴MN ∥AQ
又MN ?平面P AD ，AQ ?平面P AD ∴MN ∥平面P AD ．
B 级素养提升
一、选择题
1．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题.导学号09024381
①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥γ，b∥γ?a∥b；
③α∥c，β∥c?α∥β；④α∥γ，β∥γ?α∥β；
⑤α∥c，a∥c?α∥a；⑥a∥γ，α∥γ?α∥a．
其中正确的命题是( C )
A．①②③B．①④⑤
C．①④D．①③④
[解析]①平行公理．
②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面．
③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行．
④面面平行传递性．
⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面或平行或直线在平面内．
⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内．故①④正确．
2．下列结论中：导学号09024394
(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；
(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；
(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．
正确的序号为( C )
A．(1)(2) B．(3)(4)
C．(1)(3) D．(2)(4)
3．若a、b、c、d是直线，α、β是平面，且a、b?α，c、d?β，且a∥c，b∥d，则平面α与平面β导学号09024395( D )
A．平行B．相交
C．异面D．不能确定
4．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中导学号09024396
( A )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
[解析]当直线a?β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直线，故选A．
二、填空题
5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为P A、PD、PC、PB
的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：导学号09024397
①平面EFGH∥平面ABCD；
②平面P AD∥BC；
③平面PCD∥AB；
④平面P AD∥平面P AB．
其中正确的有__①②③__.(填序号)
[解析]把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面
ABCD．同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面P AD，平面PBC，平面P AB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB．同理平面P AD∥BC．
6．如右图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__点M在FH上__时，有MN∥
平面B1BDD1.导学号09024398
[解析]∵FH∥BB
，HN∥BD，FH∩HN＝H
1
∴平面FHN∥平面B1BDD1
又平面FHN∩平面EFGH＝FH
∴当M∈FH时，MN?平面FHN
∴MN∥平面B1BDD1．
C级能力拔高
1．已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.导学号09024399
[解析]解法一：连接CG 交DE 于点H ∵DE 是△ABC 的中位线 ∴DE ∥AB ．
在△ACG 中，D 是AC 的中点，且DH ∥AG ，∴H 是CG 的中点． ∴FH 是△SCG 的中位线 ∴FH ∥SG ．
又SG ?平面DEF ，FH ?平面DEF ∴SG ∥平面DEF ．
解法二：∵EF 为△SBC 的中位线 ∴EF ∥SB ．
∵EF ?平面SAB ，SB ?平面SAB ∴EF ∥平面SAB ．
同理：DF ∥平面SAB ，EF ∩DF ＝F ∴平面SAB ∥平面DEF
又∵SG ?平面SAB ，∴SG ∥平面DEF ．
2．如图，在正方形ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是棱B 1C 1，BB 1，C 1D 1的中点，是否存在过点E ，M 且与平面A 1FC 平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.导学号09024400
[思路分析]由正方体的特征及N 为BB 1的中点，可知平面A 1FC 与直线DD 1相交，且交点为DD 1的中点G ．
若过M ，E 的平面α与平面A 1FCG 平行，注意到EM ∥B 1D 1∥FG ，则平面α必与CC 1相交于点N ，结合M ，E 为棱C 1D 1，B 1C 1的中点，易知C 1N ∶C 1C ＝1
4
.于是平面EMN 满足要求．
[解析]如图，设N 是棱C 1C 上的一点，且C 1N ＝1
4
C 1C 时，平面EMN 过点E ，M 且与平面A 1FC 平行．
证明如下：设H 为棱C 1C 的中点，连接B 1H ，D 1H ． ∵C 1N ＝14C 1C ，∴C 1N ＝1
2C 1H ．
又E 为B 1C 1的中点，∴EN ∥B 1H ． 又CF ∥B 1H ，∴EN ∥CF ． 又EN ?平面A 1FC ，CF ?平面A 1FC ∴EN ∥平面A 1FC ． 同理MN ∥D 1H ，D 1H ∥A 1F ∴MN ∥A 1F ．
又MN ?平面A 1FC ，A 1F ?平面A 1FC ∴MN ∥平面A 1FC ． 又EN ∩MN ＝N
∴平面EMN ∥平面A 1FC ．