材料力学（土）笔记
第四章弯曲应力
1.对称弯曲的概念及梁的计算简图
1.1弯曲的概念
等直杆在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶作用时
杆的轴线将变成曲线，这种变形称为弯曲
凡是以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁
工程中常见的梁，其横截面都具有对称轴
若梁上所有的横向外力或（及）力偶均作用在包含该对称轴的纵向平面（称为纵对称面）内，由于梁的几何、物性和外力均对称于梁的纵对称面，则梁变形后的轴线必定是在该纵对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲
若梁不具有纵对称面，或者，梁虽然具有纵对称面但横向力或力偶不作用在纵对称面内，这种弯曲统称为非对称弯曲
1.2梁的计算简图
梁的计算简图可用梁的轴线表示
梁的支座按其对梁在荷载作用平面的约束情况，通常可简化为以下三种基本形式
①固定端
这种支座使梁的端截面既不能移动，也不能转动
对梁端截面有3 个约束，相应地，就有3 个支反力，即水平支反力F Rx ，铅垂支反力F Ry 和支反力偶矩M R
②固定铰支座
这种支座限制梁在支座处沿平面内任意方向的移动，而不限制梁绕铰中心转动，相应地，就有2 个支反力，即水平支反力F Rx 和铅垂支反力F Ry
③可动铰支座
这种铰支座只限制梁在支座处沿垂直于支承面的支反力F R
如果梁具有1 个固定端，或具有1 个固定铰支座和1 个可动铰支座
则其3 个支反力可由平面力系的3 个独立的平衡方程求出，这种梁称为静定梁
工程上常见的三种基本形式的静定梁，分别称为简支梁、外伸梁和悬臂梁
梁的支反力数目多于独立的平衡方程的数目，此时仅用平衡方程就无法确定其所有的支反力，这种梁称为超静定梁
梁在两支座间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长
常见的静定梁大多是单跨的
2.梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图
2.1梁的剪力和弯矩
为计算梁的应力和位移，应先确定梁在外力作用下任一横截面上的内力
当作用在梁上的全部外力（包括荷载和支反力）均为已知时，用截面法即可求出其内力
梁的任一横截面m-m，应用截面法沿横截面m-m 假想地吧梁截分为二
可得剪力F S ，弯矩M
剪力和弯矩的正负号规定
dx 微段有左端向上右端向下的相对错动时，横截面m-m 上的剪力F
为正，反之为负
S
dx 微段的弯曲为向下凸，即该段的下半部纵向受拉时，上半部纵向受压时，横截面上的弯矩为正，反之为负
为简化计算，梁某一横截面上的剪力和弯矩可直接从横截面任意一侧梁上的外力进行计算，即
①横截面上的剪力在数值上等于截面左侧（或右侧）梁段上横向力的代数和
在左侧梁段上向上（或右侧梁段上向下）的横向力将引起正值剪力，反之则引起负值剪力
②横截面上的弯矩在数值上等于截面的左侧（或右侧）梁段上的外力对该截面形心的力矩之代数和，对于截面左侧梁段，外力对截面形心的力矩为顺时针转向的引起正值弯矩，逆时针转向的引起负值弯矩；截面右侧梁段则与其相反
2.2剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩是随横截面的位置而变化的
设横截面沿梁轴线的位置用坐标x 表示
则梁各横截面上的剪力和弯矩可表示为坐标x 的函数，即
F S =F
S
(x) 和M =M (x)
以上两式表示沿梁轴线各横截面上的剪力和弯矩的变化规律
分别称为梁的剪力方程和弯矩方程
以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，以横截面沿梁轴线的位置为横坐标
根据剪力方程或弯矩方程绘出F S (x) 和M (x) 的图线
表示沿梁轴线各横截面上剪力或弯矩的变化情况
分别称为梁的剪力图和弯矩图
绘图时将正值的剪力画在x 轴的上侧
正值的弯矩花在梁的受拉侧，也就是画在x 轴的下侧
应用剪力图和弯矩图可以确定梁的剪力和弯矩的最大值，及其所在截面的位置
作剪力、弯矩图步骤
①计算支反力
②列剪力、弯矩方程
③作剪力、弯矩图
可归纳规律如下
①在集中力或集中力偶作用处，梁的弯矩方程应分段列出；推广而言，在梁上外力不连续处（即在集中力、集中力偶作用处和分布荷载开始或结束处），梁的弯矩方程和弯矩图应该分段。对于剪力方程和剪力图，除去集中力偶作用处以外，也应分段列出或绘制
②集中力作用处，剪力图有突变，其左、右两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力值。而在弯矩图上的相应处则形成一个尖角。与此相仿，梁上受集中力偶作用处，弯矩图有突变，其左、右两侧横截面上的弯矩代数差，即等于集中力偶值，但在剪力图上相应处无变化
③全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在全梁或各段梁的边界截面，或极值点的截面处
2.3弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系及其应用
若将弯矩函数M (x) 对x 求导数，即剪力函数F S (x)
将剪力函数F S (x) 对x 求导数，则得均布荷载集度q
这些关系在直梁中是普遍存在的，设梁上作用有任意分布荷载，其集度
q =q(x)
是x 的连续函数，并规定以向上为正
取梁的左端为x 轴的坐标原点
用坐标为x 和x +dx 的两横截面截取长度为dx 的梁段
设坐标为x 处横截面上的剪力和弯矩分别为F S (x) 和M (x) ，该处的荷载集度为q(x)
并均设为正值，则在坐标为x +dx 处横截面上的剪力和弯矩将分别为F S (x) +dF S (x) 和
M (x) +dM (x)
梁段在以上所有外力作用下处于平衡
由于dx 很小，可略去荷载集度沿dx 长度的变化，于是，由梁段的平衡方程
∑F y = 0 ，F S (x) -[F S (x) +dF S (x)] +q(x)dx = 0
从而得到
以及
∑ M C
dF S (x )
= q (x ) dx
= 0 ，[M (x ) + dM (x )] - M (x ) - F S
(x )dx - q (x )dx ?
dx 2
略去二阶微量，即得
dM (x ) = F
(x )
由上述两个式子又可得到
dx
d 2 M (x ) = dx 2
S
q (x ) 以上三式子就是弯矩 M (x ) 、剪力 F S (x ) 和荷载集度 q (x ) 三函数间的微分关系式
两式子的意义分别为：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小
可检验所作剪力图和弯矩图的正确性，或直接作梁的剪力图和弯矩图
2.4 按叠加原理作弯矩图
当梁在荷载作用下为微小变形时，其跨长的改变可略去不计在求梁的支反力、剪力和弯矩时，均可按原始尺寸进行计算而所得到的结果均与梁上荷载成线性关系 在这种情况下，当梁上受几项荷载共同作用时
某一横截面上弯矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一横截面上弯矩的叠加
叠加原理：当所求参数（内力、应力或位移）与梁上荷载为线性关系时，由几项荷载共同作用时所引起的某一参数，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加 当该参数处于同一平面内同一方向，叠加即为代数和若处于不同平面或不同方向，则为几何和
3. 平面刚架和曲杆的内力图
平面刚架是由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构平面刚架各杆横截面上的内力分量通常有轴力、剪力和弯矩 轴力以拉为正
剪力、弯矩的正负号规定如下：设想人站在刚架内部环顾刚架各杆，则剪力、弯矩的正负号与梁的规定相同
轴力图及剪力图：画在刚架轴线任一侧（通常正值画在刚架的外侧），须标明正负号弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正负号
=
4. 梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件
一般情况下，梁的横截面上有弯矩 M 和剪力 F S 由截面上分布力系的合成关系可知
横截面上与正应力有关的法向内力元素 dF N =
? dA 才可能合成为弯矩
横截面上与切应力有关的切向内力元素 dF s =? dA 才可能合成为剪力
则梁的横截面上一般是既有正应力，又有切应力 研究梁在对称弯曲时，横截面上的正应力
若梁在某段内各横截面上的剪力为零，弯矩为常量，则该段梁的弯曲称为纯弯曲
4.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
推导梁在横截面上正应力的计算公式，需考虑几何、物理和精力学三方面 ①几何方面
假设：梁在受力发生纯弯曲后，其原来的横截面保持为平面，并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转，且仍垂直于梁变形后的轴线，此即弯曲问题中的平面假设 设用两横截面从梁中假想地截取长度为 dx 的微段，由平面假设可知在梁弯曲时，两横截面将相对旋转一微小角度 d
横截面的转动将使梁凹边的纵向线缩短，凸边的纵向线伸长
由于变形的连续性，中间必有一层纵向线O 1O 2
无长度改变，称为中性层 中性层与横截面的交线称为中性轴
梁在弯曲时，相邻横截面就是绕中性轴作相对转动的 由于外力、横截面形状及梁的物性均对称于梁的纵对称面故梁变形后的形状也必对称与该平面 因此，中性轴应与横截面的对称轴正交
将梁的轴线取为 x 轴，横截面的对称轴取为 y 轴，中性轴取为 z 轴研究在横截面上距中性轴为 y 处的纵向线应变 作O 2 B 1 与O 1 A 1 平行，则可得该点处的纵向线应变为
= ? AB 1 = AB 1
B
1B O 1O 2 =
yd dx
式中， O 1O 2
= dx 为中性层上纵向线段的长度，而中性层的曲率为 1 = d
代入上式，即得
dx
y
式子表明横截面上任意一点处的纵向线应变与该点至中性轴的距离 y 成正比 ②物理方面
若各纵向线之间不因纯弯曲而引起相互挤压
则可认为横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应力状态当材料处于线弹性范围内，且拉伸和压缩弹性模量相同时由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系
= E
代入上式可得
= E = E y
上式表明，横截面上任一点处的正应力与该点至中性轴的距离成正比距中性轴为 y 的等高线上各点处的正应力均相等
A ?
? ? A 由 M z 的表达式推导中性层曲率 的表达式
1
③静力学方面
横截面上法向内力元素dA 构成空间平行力系可能组成三个内力分量
F N = ? dA ， M y = ? z dA ， M z = ? y dA
当梁上仅有外力偶 M e 作用，则由截面法，上式中 F N 和 M y 均等于零
而 M z 即为横截面上的弯矩 M ，其值等于 M e 由静力学关系可得
整理得到
F N = ? dA = 0 M y = ?A z dA = 0 M z = ?A y dA = M
F = E
N
A
M = E
y p A ydA =
ES z
= 0
zydA = EI yz
= 0 M = E z A E
y 2dA = EI
z = M
由于 不可能等于零，故必有 S z = 0
于是 z 轴必通过横截面形心，从而确定了中性轴的位置y 轴是横截面的对称轴，所以 I yz 必等于零
由于 y 轴为对称轴，其左右两侧对称位置处的法向内力元素dA 对 y 轴的矩必等值而反向故横截面上dA 所组成的力矩 M y 必等于零
1 = M EI z
1
上式表明，在相同弯矩下， EI z 值越大，梁的弯曲变形（曲率
）就越小
EI z 称为弯曲刚度
可得等直梁在纯弯曲时横截面上任一点处正应力为
= My I z
式中， M 为横截面上的弯矩； I z 为横截面对中性轴 z 的惯性矩； y 为所求应力点的纵坐标问题的几何方面为平面假设
物理方面有各纵向线段间相互不挤压，材料在线弹性范围内且拉伸和压缩弹性模量相等 是应用这些公式的限制条件
式子中，将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负号代入，所得的正应力为正值，即为拉应力 具体计算中，也可不考虑弯矩和坐标的正负号，而直接根据梁变形的情况来判断即以中性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力为压应力 在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力值最大
当中性轴 z 为截面的对称轴时，则横截面上的最大正应力为
A A
z
= z = = I = My max
max
z 若令
W z =
z
y
max
则
= M max
z
式子中，W 称为弯曲截面系数，其值与横截面的形状和尺寸有关，其单位为 m 3 I bh 3
/ 12 矩形截面W z bh 2 h / 2 h / 2 6 I d 4
/ 64 d 3
圆形截面W z = z = =
d / 2 h / 2 32
对于中性轴为对称轴的横截面，其最大拉应力和最大压应力的数值相等
对于中性轴为非对称轴的横截面，其最大拉应力和最大压应力的数值不等
应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 y t ,max 和 y c ,max 直接代入公式计算
4.2 纯弯曲理论的推广
横力弯曲：当梁上有横向力作用时，横截面上一般既有弯矩又有剪力梁的横截面既有正应力，又有切应力
由于切应力的存在，亮的横截面将发生翘曲
在于中性层平行的纵截面上，还有横向力引起的挤压应力
因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向线段间互不挤压的假设均不能成立弹性理论的分析结构指出，在均布荷载作用下的矩形截面简支梁
当其跨长与截面高度之比为l / h 大于 5 时，若按纯弯曲计算正应力，足以满足精度要求且l / h 越大，误差越小
= M (x )
max
z
4.3 梁的正应力强度条件
等直梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处而该处的切应力等于零
纵截面上由横向力引起的挤压应力可略去不计
横截面上的最大工作正应力所在各点处于单轴应力状态得强度条件
将上式改写为
max
≤ []
M max W z
材料在弯曲与轴向拉伸时的强度并不相同
脆性材料要求梁的最大工作拉应力和最大工作压应力（两者往往并不发生在同一横截面上） 要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力
5. 梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件
5.1 梁横截面上的切应力
横力弯曲的情况下，梁的横截面上有剪力，相应的将有切应力
I W W
S
在纵面 AB 上必有沿 x 方向的切向内力 dF '
1 1
S
z 式子中， S * = y dA 为横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分面积 A * 对中性轴的静矩 ①矩形截面梁
以 m-m 和 n-n 两横截面假想地从梁中截取长为 dx 的微段一般情况下，该两横截面上的弯矩并不相等 因而两截面上同一 y 坐标处的正应力也不相等
再用平行于中性层的纵截面 AA 1B 1B 假想地从微段截取体积元素 mA 1B 1n 则在端面 mA 和 B n 上，与正应力对应 1
1
为维持体积元素 mA 1B 1n 的平衡， 故在纵面上就存在相应的切应力'
为推导切应力的表达式，还需确定切应力沿截面宽度的变化规律以及切应力的方向 作如下两个假设
横截面上各点处的切应力均与侧边平行 横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等
确定横截面上切应力的变化规律后，即可由静力学关系导出切应力的计算公式设横截面 m-m 和 n-n 上的弯矩分别为 M 和 M + dM 两端截面上的法向内力 F * 与 F * 分别为
N 1 N 2
F *
=
dA =
My 1
dA = M
y dA =
M
S *
N 1
?
A
* 1
?
A *
I I ?A * 1
I z F * =
dA =
z z
z (M + dM ) y dA = M + dM S
*
N 2
?
A * 2
?
A *
I 1 I z
z z
z ?A
* 1 纵截面 AB 上由'dA 所组成的是切向内力 dF '
1
S
由假设横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等以及切应力互等定理可知
在纵截面上横线 AA 上各点处的切应力'
的大小相等
在微段 dx 长度上，' 的变化为高阶微量可略去不计从而认为' 在纵截面 AB 上为一常量，于是得
代入平衡方程
dF ' ='
b
? dx ∑ F = 0 ， F * - F * - dF ' = 0
经化简后可得到
x
N 2
N 1
S
'
= dM
? S *
dx I z b
dM
由弯矩与剪力间的微分关系
dx
= F S ，上式即为
F S * '
= S z
I z b 由切应力互等定理，=' ，即得矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力
F S * = S z
I z b
对于狭长矩形截面，由于梁的侧面上无切应力故横截面上侧边各点处的切应力必与侧边平行
在对称弯曲情况下，对称轴 y 处的切应力必沿 y 方向 且狭长矩形截面上切应力沿截面宽度的变化不可能大 N 1
N 2
的法向内力 F * 与 F * 也不相等
1
z z F h z z z F S S *
= 2 y bdy ( S z
式子中， F S 为横截面上的剪力； I z 为整个横截面对其中性轴的惯性矩； b 为矩形的宽度；
S * 为横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分面积 A *
对中性轴的静矩
的方向与剪力 F S 的方向相同
F S 、 I z 和b 对某一横截面而言均为常量
横截面上的切应力沿截面高度（即随坐标 y ）的变化情况，由部分面积静矩 S * 与坐标 y
之间的关系所反映 若取bdy 1 为面积元素 dA ，可得
z
h
?y 1 1 b h 2 2 4
代入可得，
2 = S
( - y 2 ) 沿截面高度按二次抛物线规律变化
h
2I z 4
当 y = ± 时，即在横截面上距中性轴最远处，切应力= 0
2
当 y = 0 时，即在中性轴上各点处，切应力达到最大值max ，将 y = 0 代入可得
F h 2 F h 2 3 F
= S = S
= ? S max 8I 8? bh 3 / 12 2 bh
z
或
= 3 ? F
S
式中， A = bh ，为矩形截面的面积
max
2 A
对于其他形状的对称截面，均可按上述的推导方法，求得切应力的解 但对于侧边与对称轴不平行的截面（例如梯形截面），前面所作假设必须作相应变动中性轴一侧的半个横截面面积对中性轴上的静矩 S * 为最大
所以中性轴上各点处的切应力为最大
其他形状的对称截面，横截面上的最大切应力通常也均发生在中性轴上的各点处 只有宽度在中性轴处显著增大的截面（如十字形截面），或某些变宽度的截面（如等腰三角线截面）等除外
②工字型截面梁
对于工字型截面梁腹板上任一点处的切应力 由于腹板是狭长矩形，前述假设依然适用，于是
F S *= I z d
式中， d 为腹板厚度； S * 为距中性轴为 y 的横线以外部分的面积对中性轴的静矩
在腹板范围内， S * 是 y 的二次函数
故腹板部分的切应力沿腹板高度同样按二次抛物线规律变化 其最大切应力也发生在中性轴上，其值为
max
=
* S z ,max
I z d
*
z ,max 为中性轴一侧的部分面积对中性轴的静矩
对于工字型截面翼缘上的切应力，由于翼缘上、下表面上无切应力，而翼缘又很薄
式中， S = - y 2 )
z
0 0
z z
因此，翼缘上平行于 y 轴的切应力分量是次要的，主要是与翼缘长边平行的切应力分量由于翼缘上的最大切应力远小于腹板上的max ，一般情况下不必计算
③薄壁环形截面梁
一段薄壁环形截面梁，环壁厚度为，环的平均半径为 r 0由于与 r 0 相比很小，故可假设
横街面上切应力的大小沿壁厚无变化切应力的方向与圆周相切
由对称关系可知，横截面与 y 轴相交的各点处的切应力为零 且 y 轴向一侧量取角，并以角所包围的一段圆环作为部分面积只讨论横截面上的max
对于圆环形截面，其max 仍发生在中性轴上
在求中性轴的切应力时，以半圆环截面为研究对象 式中的b 应为2， S * 为半圆环面积对中性轴的静矩，即
环形截面对中性轴的惯性矩为
可得
I = r 3
F S * F ? 2r 2
F = S z = S 0 = 2 S max
I b r 3? 2 A z
2 2
式中， A = 4
[(2r 0 +) - (2r 0 -) ] = 2r 0，代表环形截面面积
上述对薄壁环形截面所作的两个假设，同样适用于其他形式具有纵向对称轴的薄壁截面
可仿照上述方法来计算器横截面上的最大切应力
④圆截面梁
由切应力互等定理可知，在截面边缘上各点处切应力的方向必与圆周相切在与对称轴 y 相交的各点处，剪力、截面图形和材料物性均对称于 y 轴 因此，其切应力必沿 y 方向假设
沿距中性轴 y 的宽度 kk '
上各点处的切应力均汇交于O '
点沿宽度各点处切
应力沿 y 方向的分量相等
根据上述假设，即可应用式子求出界面上距中性轴截面上距中性轴为 y 的各点处切应力沿 y 方向的分量，然后按所在点处切应力方向与 y 轴间夹角，求出该点处切应力圆截面的最大切应力仍然在中性轴上各点处
由于在中性轴两端处切应力的方向均与圆周相切，且与外力作用方向平行 故中性轴上各点处的切应力方向均与外力平行
利用矩形截面的切应力公式，即可求得圆截面上max 的近似结果
对于圆截面，式中的b 对应为圆的直径 圆截面的惯性矩 I z = d / 64 ，而 S 为则为半圆面积对中性轴 z 的静矩，即 4 *
S * = 1 ? z
2
d 4 4 ? 2d = 3 d 3 12 其中半圆截面形心距中性轴距离为2d / 3
于是，可得圆截面上的最大弯曲切应力
S * = r ? 2r 0
= 2r z 0
z ,max F S * F d 3 / 12 4 F = S z = S = ? S max
I b ( d 4 / 64)d 3 A
z
式中， A = d 2 / 4 为圆截面的面积
对于等直梁，其最大切应力max 发生在最大剪力 F S ,max 所在的横截面上而且一般地说，是位于该截面的中性轴上
由以上各种形状的横截面上的最大切应力计算公式可知 全梁各横截面中最大切应力max 可统一表达为
F S * = S ,max z ,max max
I z b
式中 F S ,max 为全梁的最大剪力； S * 为横截面上中性轴一侧的面积对中性轴的静矩； b 为 横截面在中性轴处的宽度； I z 是整个横截面对中性轴的惯性矩
5.2 梁的切应力强度条件
横力弯曲下的等直梁，梁需要同时保证正应力和切应力的强度要求 等直梁的最大切应力一般发生在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处这些点处的正应力= 0
在略去纵截面上的挤压应力后，最大切应力所在点处于纯剪切应力状态于是可按纯剪切应力状态下的强度条件
max
≤ [] 建立梁的切应力强度条件
将弯曲最大切应力的表达式代入，即得
F
S *
=
S ,max z ,max
≤ []
max
[]为材料在横力弯曲时的许用切应力
I z b
梁在荷载作用下，须同时满足正应力和切应力强度条件
进行强度计算时，通常是先按正应力强度进行计算，再按切应力强度进行校核一般地说，梁的强度大多数由正应力控制，并不需要再按切应力进行强度校核但在以下几种情况下，需校核梁的切应力 ①梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大
②在焊接或铆钉的组合截面（例如工字钢）钢梁中，当其横截面腹板部分的厚度与梁高之比小于型钢截面的相应比值
③由于木材在其顺纹方向的剪切强度较差，木梁在横力弯曲时可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏
6. 梁的合理设计
按强度设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件
降低最大弯矩，提高弯曲截面系数，或局部加强弯矩较大的梁段
都能降低梁的最大正应力，从而提高梁的承载能力，使梁的设计更为合理 6.1 合理配置梁的荷载和支座
合理地配置梁的荷载，可降低梁的最大弯矩值 合理地设置支座位置，也可降低梁内的最大弯矩值
6.2 合理选取截面形状
当弯矩确定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数成反比因此尽可能地增大横截面弯曲截面系数W 与其面积 A 之比值由于在一般横截面中，W 与其高度的平方成正比
所以尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远的地方
总之，在选择梁截面的合理形状时
应综合考虑横截面上的应力情况、材料力学性能、梁的使用条件及制造工艺等元素6.3合理设计梁的外形
为节约材料，减轻自重，或降低梁的刚度，将梁设计成变截面的
可在弯矩较大的部分进行局部加强
若使得梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，称为等强度梁
材料力学（土）笔记 第四章弯曲应力 1.对称弯曲的概念及梁的计算简图 1.1弯曲的概念 等直杆在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶作用时 杆的轴线将变成曲线，这种变形称为弯曲 凡是以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁 工程中常见的梁，其横截面都具有对称轴 若梁上所有的横向外力或（及）力偶均作用在包含该对称轴的纵向平面（称为纵对称面）内，由于梁的几何、物性和外力均对称于梁的纵对称面，则梁变形后的轴线必定是在该纵对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽然具有纵对称面但横向力或力偶不作用在纵对称面内，这种弯曲统称为非对称弯曲 1.2梁的计算简图 梁的计算简图可用梁的轴线表示 梁的支座按其对梁在荷载作用平面的约束情况，通常可简化为以下三种基本形式 ①固定端 这种支座使梁的端截面既不能移动，也不能转动 对梁端截面有3 个约束，相应地，就有3 个支反力，即水平支反力F Rx ，铅垂支反力F Ry 和支反力偶矩M R ②固定铰支座 这种支座限制梁在支座处沿平面内任意方向的移动，而不限制梁绕铰中心转动，相应地，就有2 个支反力，即水平支反力F Rx 和铅垂支反力F Ry ③可动铰支座 这种铰支座只限制梁在支座处沿垂直于支承面的支反力F R 如果梁具有1 个固定端，或具有1 个固定铰支座和1 个可动铰支座 则其3 个支反力可由平面力系的3 个独立的平衡方程求出，这种梁称为静定梁 工程上常见的三种基本形式的静定梁，分别称为简支梁、外伸梁和悬臂梁 梁的支反力数目多于独立的平衡方程的数目，此时仅用平衡方程就无法确定其所有的支反力，这种梁称为超静定梁 梁在两支座间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长 常见的静定梁大多是单跨的 2.梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图 2.1梁的剪力和弯矩 为计算梁的应力和位移，应先确定梁在外力作用下任一横截面上的内力 当作用在梁上的全部外力（包括荷载和支反力）均为已知时，用截面法即可求出其内力 梁的任一横截面m-m，应用截面法沿横截面m-m 假想地吧梁截分为二 可得剪力F S ，弯矩M 剪力和弯矩的正负号规定 dx 微段有左端向上右端向下的相对错动时，横截面m-m 上的剪力F 为正，反之为负 S dx 微段的弯曲为向下凸，即该段的下半部纵向受拉时，上半部纵向受压时，横截面上的弯矩为正，反之为负 为简化计算，梁某一横截面上的剪力和弯矩可直接从横截面任意一侧梁上的外力进行计算，即
习题9-38图 1-6 CABBBC 9－38 加固后的吊车主梁如图所示。梁的跨度l = 8m ，许用应力][σ= 100MPa 。试分析当小车行走到什么位置时，梁内弯矩最大，并计算许可载荷（小车对梁的作用可视为集中力）。 解：1．小车行至梁中间时，梁内弯矩最大。 P P 1242F F M =?= 823 81103467.1)16367512 675(21010755.1?=??+?+?=z I mm 4 4351 110113.8mm 10113.8166 -?=?== z z I W m 3 ][11σ≤z W M ，即 6 4 P 1010010113.82?≤?-F 56.40P ≤F kN （1） 2．小车行至离两端1.4 m 处 P P 2155.14.18) 4.18(F F M =?-= 4110922.6-?=z W m 3 ][22 σ≤z W M ，即64 P 1010010 922.6155.1+-?≤?F 9.59P ≤F kN （2） 比较（1）、（2），得 [F P ] = 40.56 kN 9－42 简支梁受力如图所示。采用普通热轧工字型钢，且已知][σ= 160MPa 。试确定工字型钢型号，并按最大切应力准则对梁的强度作全面校核。 解：1．F R A = F R B = 180kN （↑） 75.885.0102 1 5.01802=??-?==D C M M kN ·m 1002102 1 5.116021802max =??-?-?==M M E kN ·m 175105.0180Q =?-=C F kN ][max max σσ≤= W M 46 3max 10 25.61016010100][-?=??=≥σM W m 3 查型钢表，选工字钢No.32a ： W = 692.2 cm 2，I z = 11075.5 cm 4 46.27=z z S I cm E 截面： 5.144max max == W M σMPa 180 175) kN (Q F A C 15 15 B D 175E A C E D B 88.7588.75 100 M m -kN (a)
材料力学第一章、第二章练习题 一、 选择题 1．根据均匀性假设 ， 可认为构件的 （ ） 在各处相同。 A ． 应力 B ． ． 应变 C ． 材料的弹性系数 D ．位移 ． 2．构件的强度是指 （ ） ， 刚度是指 （ ） ， 稳定性 是 指 （ ） 。 A ． 在外力作用下构件抵抗变形的能力 B ． 在外力作用下构件保持原有平衡 状 态的能力 C ． 在外力作用下构件抵抗 强度 3.下列结论中( ) 是正确的 。 A ． 内力是应力的代数和 ； B ． 应力是内力的平均值 ； C ． 应力是内力的集度 ； D ． 内力必大于应力 ； 4.两根截面面积相等但截面形状和材料不同的拉杆受同样大小的轴向拉力 ， 它们的应 力是否相等 （ ） 。 A ． 不相等 ； B ． 相等 ； C ． 不能确定 ； 5. 为把变形固体抽象为力学模型 ， 材料力学课程对变形固体作出一些假设 ， 其中均匀 性假设是指 （ ） 。 A. 认为组成固体的物质不留空隙地充满了固体的体积 ； B. 认为沿任何方向固体的力学性能都是相同的 ； C. 认为在固体内到处都有相同的力学性能 ； D. 认为固体内到处的应力都是相同的 。 6. 适用于：（ ） （A ）各向同性材料；（B ）各向异性材料； （C ）各向同性材料和各向异性材料。 7. 所有脆性材料，它与塑性材料相比，其拉伸力学性能的最大特点是（ ）。 （A ）强度低，对应力集中不敏感； （B ）相同拉力作用下变形小； （C ）断裂前几乎没有塑性变形； （D ）应力-应变关系严格遵循胡克定律。 8.轴向拉伸细长杆件如图所示 ， 其中 1-1 面靠近集中力作用的左端面 ， 则正确的说法 应是( ) )] 1(2υ+=E G
1.??? 2.??? 3.?? 学习好资料欢迎下载 第一章绪论 材料力学基本任务 强度（抵抗破坏） 刚度（抵抗变形） 稳定性（维持平衡） 变形固体的基本假设 连续性 均匀性 各向同性 外力及其分类 表面力（分布力集中力）作用方式 体积力 ?? 4.静载 动载（交变、周期、冲击） 内力、变形与应变 时间变化 线应变切应变（角应变）1Pa=1N/m2MPa应力 5.杆件变形基本形式 ?拉伸与压缩 ?剪切 ?扭转 ?弯曲 第二章拉伸、压缩与剪切 1.轴力、轴力图 拉伸为正压缩为负 2.圣维南原理 离端界面约截面尺寸范围受影响 3.直杆拉伸或压缩时斜截面上的应力 α=0时，σ αmax =σ α=45°，τ αmax =σ/2 4.低碳钢的拉伸性能（铸铁、球墨铸铁） ?弹性阶段（塑形变形、弹性变形比例极限弹性极限胡克定律） ?屈服阶段 ?强化阶段 ?紧缩阶段（局部变形阶段） 塑性指标：伸长率δ（工程上的划分：>5%塑形材料<5%脆性材料）、断面收缩率ψ 卸载定律：应力应变按直线规律变化 冷作硬化：第二次加载时比例极限得到提高，但塑性变形和伸长率有所降低（利用：起重钢索、建筑钢筋常用冷拔工艺提高强度；某些零件喷丸处理使其表面塑形变形形成冷硬层提高表面强度克服：冷作硬化使材料变硬变脆难于加工易产生表面裂纹，工序之间安排退火） 碳素钢随含碳量的增加，屈服极限和强度极限相应提高，但伸长率降低。 铸铁拉伸因没有屈服现象，强度极限成为唯一强度指标。 材料力学性能主要指标：比例极限、屈服极限、强度极限、弹性模量、伸长率、断面收缩
） 率 5. ? ? 6. ? ? ? 7. 8. 学习好资料 欢迎下载 温度和时间对材料力学性能的影响 低温脆性 高温蠕变（松弛） 强度设计 失效（强度不足、刚度不足、稳定性不足 高温、腐蚀等环境 加载方式） 许用应力 强度校核、截面设计、许可载荷强度计算 安全因素选取的考虑因素（载荷、材料、重要性、计算精度、经济性…… 拉伸时横向缩短轴向伸长 泊松比 固体在外力作用下因变形而储存的能量 应变能（功能关系） 拉伸、压缩超静定问题 力学静力平衡方程+几何变形协调方程 温度应力、装配应力 应力集中 几何外形突然变化引起局部应力集中增大（圆弧过渡） 理论应力集中系数（塑形材料静载条件下可以不考虑 脆性材料较敏感 灰铸铁：内部缺 陷和不均匀性） 周期性载荷和冲击载荷应力集中非常危险
第二章 拉伸、压缩与剪切 第二章答案 2.1 求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。 40kN 50kN 25kN （a ） 4 4F R F N 4 40kN 3 F N 3 25kN 2F N 2 20kN 11 F N 1 解： F R =5kN F N 4 =F R =5 kN F N 3 =F R +40=45 kN F N 2 =-25+20=-5 kN F N 1 =20kN 45kN 5kN 20kN 5kN
（b） 1 10kN 6kN F N 1 =10 kN F N 2 =10-10=0 F N 3 =6 kN 1—1截面： 2—2截面： 3—3截面：10kN F N 1 1 1 10kN 10kN 2 2 F N 2 6kN 3 3 F N 3 2.2 图示一面积为100mm 200mm的矩形截面杆，受拉力F = 20kN的作用，试求：（1）
6 π = θ的斜截面m-m 上的应力；（2）最大正应力max σ和最大剪应力max τ的大小及其作用面的方位角。 解： 320101MPa 0.10.2 P A σ?===?2 303cos 14 σσα==?=3013sin600.433MPa 2 22 σ τ= = ?=max 1MPa σσ==max 0.5MPa 2 σ τ= =F 2.3 图示一正方形截面的阶梯形混凝土柱。设重力加速度g = 9.8m/s 2, 混凝土的密度为 33m /kg 1004.2?=ρ，F = 100kN ，许用应力[]MPa 2=σ。试根据强度条件选择截面宽度a 和b 。
b a 解： 2 4, a ρ?3 42 2.0410ρ=??11 [] a σσ=0.228m a ≥ = =22 342424431001021040.2282104a b b ρρ=?+?=??+???+???2[], b σσ≥0.398m 398mm b ≥ == 2.4 在图示杆系中，AC 和BC 两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同为[]σ。BC 杆保持水平，长度为l ，AC 杆的长度可随θ角的大小而变。为使杆系使用的材料最省，试求夹角θ的值。
材料力学（土）笔记 第三章 扭 转 1．概 述 等直杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内的力偶时，杆将发生扭转变形 若构件的变形时以扭转为主，其他变形为次而可忽略不计的，则可按扭转变形对其进行强度和刚度计算 等直杆发生扭转变形的受力特征是杆受其作用面垂直于杆件轴线的外力偶系作用 其变形特征是杆的相邻横截面将绕杆轴线发生相对转动，杆表面的纵向线将变成螺旋线 当发生扭转的杆是等直圆杆时，由于杆的物性和横截面几何形状的极对称性，就可用材料力学的方法求解 对于非圆截面杆，由于横截面不存在极对称性，其变形和横截面上的应力都比较复杂，就不能用材料力学的方法来求解 2．薄壁圆筒的扭转 设一薄壁圆筒的壁厚δ远小于其平均半径0r （10 r ≤ δ），其两端承受产生扭转变形的外力偶矩e M ，由截面法可知，圆筒任一横截面n-n 上的内力将是作用在该截面上的力偶 该内力偶矩称为扭矩，并用T 表示 由横截面上的应力与微面积dA 之乘积的合成等于截面上的扭矩可知，横截面上的应力只能是切应力 考察沿横截面圆周上各点处切应力的变化规律，预先在圆筒表面上画上等间距的圆周线和纵向线，从而形成一系列的正方格子 在圆筒两端施加外力偶矩e M 后，发现圆周线保持不变，纵向线发生倾斜，在小变形时仍保持直线 薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，知识相互间绕圆筒轴线发生相对转动，因此横截面上各点处切应力的方向必与圆周相切。 相对扭转角：圆筒两端截面之间相对转动的角位移，用?来表示 圆筒表面上每个格子的指教都改变了相同的角度γ，这种直角的该变量γ称为切应变 这个切应变和横截面上沿沿圆周切线方向的切应力是相对应的 由于圆筒的极对称性，因此沿圆周各点处切应力的数值相等 由于壁厚δ远小于其平均半径0r ，故可近似地认为沿壁厚方向各点处切应力的数值无变化 薄壁圆筒扭转时，横截面上任意一点处的切应力τ值均相等，其方向与圆周相切 由横截面上内力与应力间的静力学关系，从而得 ?=?A T r dA τ 由于τ为常量，且对于薄壁圆筒，r 可以用其平均半径0r 代替，积分 ?==A r A dA δπ0 2 为圆筒横截面面积，引进π2 00r A =，从而得到 δ τ02A T = 由几何关系，可得薄壁圆筒表面上的切应变γ和相距为l 的两端面间相对扭转角?之间的关系式，式子中r 为薄壁圆筒的外半径 γ?γsin /==l r 当外力偶矩在某一范围内时，相对扭转角?与外力偶矩e M （在数值上等于T ）之间成正比 可得τ和r 间的线性关系为 γτG = 上式称为材料的剪切胡克定律，式子中的比例常数G 称为材料的切变模量，其量纲和单位与弹性模量相同，钢材的切边模量的约值为GPa G 80=
第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 [习题8-1] 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=，kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同，故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢，查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =。故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =?=???+?????=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=，mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度。
解：（1）强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =?== （正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =?== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ?=??== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ?=??== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =??== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =??== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =??+??=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的。 （2）刚度校核 =
第二章 拉伸、压缩与剪切 第二章答案 2.1 求图示各杆指定截面的轴力，并作轴力图。 40kN 50kN 25kN （a ） 4 4F R F N 4 40kN 3 F N 3 25kN 2F N 2 20kN 11 F N 1 解： F R =5kN F N 4 =F R =5 kN F N 3 =F R +40=45 kN F N 2 =-25+20=-5 kN F N 1 =20kN 45kN 5kN 20kN 5kN
（b） 1 10kN 6kN F N 1 =10 kN F N 2 =10-10=0 F N 3 =6 kN 1—1截面： 2—2截面： 3—3截面：10kN F N 1 1 1 10kN 10kN 2 2 F N 2 6kN 3 3 F N 3 2.2 图示一面积为100mm 200mm的矩形截面杆，受拉力F = 20kN的作用，试求：（1）
6 π = θ的斜截面m-m 上的应力；（2）最大正应力max σ和最大剪应力max τ的大小及其作用面的方位角。 解： 320101MPa 0.10.2 P A σ?===?2 303cos 14 σσα==?=3013sin600.433MPa 2 22 σ τ= = ?=max 1MPa σσ==max 0.5MPa 2 σ τ= =F 2.3 图示一正方形截面的阶梯形混凝土柱。设重力加速度g = 9.8m/s 2, 混凝土的密度为 33m /kg 1004.2?=ρ，F = 100kN ，许用应力[]MPa 2=σ。试根据强度条件选择截面宽度a 和b 。
b a 解： 2 4, a ρ?3 42 2.0410ρ=??11 [] a σσ=0.228m a ≥ = =22 342424431001021040.2282104a b b ρρ=?+?=??+???+???2[], b σσ≥0.398m 398mm b ≥ == 2.4 在图示杆系中，AC 和BC 两杆的材料相同，且抗拉和抗压许用应力相等，同为[]σ。BC 杆保持水平，长度为l ，AC 杆的长度可随θ角的大小而变。为使杆系使用的材料最省，试求夹角θ的值。
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材料力学笔记 §1-1材料力学的任务 1．几个术语 ·构件与杆件：组成机械的零部件或工程结构中的构件统称为构件。如图1-1a 所示桥式起重机的主梁、吊钩、钢丝绳；图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB，斜杆CD都是构件。实际构件有各种不同的形状，所以根据形状的不同将构件分为：杆件、板和壳、块体.
杆件：长度远大于横向尺寸的构件，其几何要素是横截面和轴线，如图1-3a 所示，其中横截面是与轴线垂直的截面；轴线是横截面形心的连线。 按横截面和轴线两个因素可将杆件分为：等截面直杆，如图1-3a、b；变截面直杆，如图1-3c；等截面曲杆和变截面曲杆如图1-3b。 板和壳：构件一个方向的尺寸（厚度）远小于其它两个方向的尺寸，如图1-4a 和b所示。 块体：三个方向（长、宽、高）的尺寸相差不多的构件， 如图1-4c所示。在本教程中，如未作说明，构件即认为是 指杆件。 ·变形与小变形：在载荷作用下，构件的形状及尺寸发生变化称为变形，如图1-2所示悬臂吊车架的横梁AB，受力后将由原来的位置弯曲到AB′位置，即产生了变形。 小变形：绝大多数工程构件的变形都极其微小，比构件本身尺寸要小得多，以至在分析构件所受外力（写出静力平衡方程）时，通常不考虑变形的影响，而仍可以用变形前的尺寸，此即所谓“原始尺寸原理”。如图1-1a所示桥式起重机主架，变形后简图如图1-1b所示，截面最大垂直位移f一般仅为跨度l 的l/1500～1/700，B支撑的水平位移Δ则更微小，在求解支承反力R A 、R B 时， 不考虑这些微小变形的影响。
第一章 绪论 1. 材料力学基本任务 ? 强度（抵抗破坏） ? 刚度（抵抗变形） ? 稳定性（维持平衡） 2. 变形固体的基本假设 ? 连续性 ? 均匀性 ? 各向同性 3. 外力及其分类 ? 表面力（分布力 集中力） ? 体积力 ? 静载 ? 动载（交变、周期、冲击） 4. 内力、变形与应变 线应变 切应变（角应变） 1Pa=1N/m 2 MPa 应力 5. 杆件变形基本形式 ? 拉伸与压缩 ? 剪切 ? 扭转 ? 弯曲 第二章 拉伸、压缩与剪切 1. 轴力、轴力图 拉伸为正 压缩为负 2. 圣维南原理 离端界面约截面尺寸范围受影响 3. 直杆拉伸或压缩时斜截面上的应力 α=0时，σαmax =σ α=45°，ταmax =σ/2 4. 低碳钢的拉伸性能 （铸铁、球墨铸铁） ? 弹性阶段（塑形变形、弹性变形 比例极限 弹性极限 胡克定律） ? 屈服阶段 ? 强化阶段 ? 紧缩阶段（局部变形阶段） 塑性指标：伸长率δ（工程上的划分：>5%塑形材料 <5%脆性材料）、断面收缩率ψ 卸载定律：应力应变按直线规律变化 冷作硬化：第二次加载时比例极限得到提高，但塑性变形和伸长率有所降低（利用：起重钢索、建筑钢筋常用冷拔工艺提高强度；某些零件喷丸处理使其表面塑形变形形成冷硬层提高表面强度 克服：冷作硬化使材料变硬变脆难于加工易产生表面裂纹，工序之间安排退火） 碳素钢随含碳量的增加，屈服极限和强度极限相应提高，但伸长率降低。 铸铁拉伸因没有屈服现象，强度极限成为唯一强度指标。 材料力学性能主要指标：比例极限、屈服极限、强度极限、弹性模量、伸长率、断面收缩率 作用方式 时间变化
材料力学 （一）轴向拉伸与压缩 【内容提要】材料力学主要研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏、失效的规律。为设计既安全可靠又经济合理的构件，提供有关强度、刚度与稳定性分析的基本理论与方法。 【重点、难点】重点考察基本概念，掌握截面法求轴力、作轴力图的方法，截面上应力的计算。 【内容讲解】 一、基本概念 强度——构件在外力作用下，抵抗破坏的能力，以保证在规定的使用条件下，不会发生意外的断裂或显著塑性变形。 刚度——构件在外力作用下，抵抗变形的能力，以保证在规定的使用条件下不会产生过分的变形。 稳定性——构件在外力作用下，保持原有平衡形式的能力，以保证在规定的使用条件下，不会产生失稳现象。 杆件——一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，称为杆件或简称杆。根据轴线与横截面的特征，杆件可分为直杆与曲杆，等截面杆与变截面杆。 二、材料力学的基本假设 工程实际中的构件所用的材料多种多样，为便于理论分析，根据它们的主要性质对其作如下假设。 (一)连续性假设——假设在构件所占有的空间内均毫无空隙地充满了物质，即认为是密实的。这样，构件内的一些几何量，力学量(如应力、位移)均可用坐标的连续函数表示，并可采用无限小的数学分析方法。 (二)均匀性假设——很设材料的力学性能与其在构件中的位置无关。按此假设通过试样所测得的材料性能，可用于构件内的任何部位(包括单元体)。 (三)各向同性假设——沿各个方向均具有相同力学性能。具有该性质的材料，称为各向同性材料。 综上所述，在材料力学中，一般将实际材料构件，看作是连续、均匀和各向同性的可变形固体。 三、外力内力与截面法 (一)外力对于所研究的对象来说，其它构件和物体作用于其上的力均为外力，例如载荷与约束力。 外力可分为：表面力与体积力；分布力与集中力；静载荷与动载荷等。
材料力学-第二章
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2005年注册岩土工程师考前辅导精讲班 材料力学 第四讲截面的几何性质 【内容提要】 本节主要了解静矩和形心、极惯性矩和惯性积的概念，熟悉简单图形静矩、形心、惯性矩和惯性积的计算，掌握其计算公式。掌握惯性矩和惯性积平行移轴公式的应用，熟练掌握有一对称轴的组合截面惯性矩的计算方法。准确理解形心主轴和形心主惯性矩的概念，熟悉常见组合截面形心主惯性矩的计算步骤。 【重点、难点】 重点掌握平行移轴公式的应用，形心主轴概念的理解和有一对称轴的组合截面惯性矩的计算步骤和方法 一、静矩与形心 (一)定义 设任意截面如图4-1所示，其面积为A，为截面所在平面内的任意直角坐标系。c 为截面形心，其坐标为，。则 截面对z轴的静矩 截面对轴的静矩 截面形心的位置 (二)特征 1．静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同轴的静矩值不同。静矩可能为
正，可能为负，也可能为零。 2．静矩的量纲为长度的三次方．即。单位为或。 3．通过截面形心的坐标称为形心轴。截面对任一形心轴的静矩为零；反之，若截面对某轴的静矩为零，则该轴必通过截面之形心。 4．若截面有对称轴，则截面对于对称轴的静矩必为零，截面的形心一定在该对称轴上。 5．组合截面(由若干简单截面或标准型材截面所组成)对某一轴的静矩，等于其组成部分对同一轴的静矩之代数和(图4-2)，即 合截面的形心坐标为：
二、惯性矩惯性积 (一)定义 设任意截面如图4-3所示，其面积为A，为截面所在平面内任意直角坐标系。则
材料力学考研《材料力学》刘鸿文配套真题 与考点总结 一、选择题解析 1如图1-1-1所示，四根悬臂梁，受到重量为W的重物由高度为H的自由落体，其中（）梁动荷因数K d最大。[西安交通大学2005年研] 图1-1-1 【答案】D ~~ 【解析】物体自由落体条件下的动荷系数： 而ΔA，st＝Wl3/（3EI）＞ΔB，st＝Wl3/（6EI）＞ΔC，st＝Wl3/（24EI）＞ΔD，st ＝Wl3/（48EI），即ΔD，st最小，K d最大，且。
2图1-1-2所示重量为W的重物从高度h处自由下落在梁上E点，梁上C截面 的动应力σd＝K dσst（），式中Δst为静载荷作用下梁上（）的静挠度。[北京科技大学2011年研] 图1-1-2 A．D点 B．C点 C．E点 D．D点与E点平均值 【答案】C ~~ 【解析】Δst为静载荷时，在冲击物作用点处产生的静位移。 3当交变应力的（）不超过材料疲劳极限时，试件可经历无限次应力循环，而不发生疲劳破坏。[哈尔滨工业大学2000年研] A．应力幅度 B．最小应力 C．平均应力 D．最大应力 【答案】D ~~
【解析】由疲劳极限的定义可知，σ1是材料经过无限次循环而不破坏的最大应力值。 4构件在交变应力作用下发生疲劳破坏，以下结论中错误的是（）。[南京航空航天大学1999年研] A．断裂时的最大应力小于材料的静强度极限 B．用塑性材料制成的构件，断裂时有明显的塑性变形 C．用脆性材料制成的构件，破坏时呈脆性断裂 D．断口表面一般可明显地分为光滑区及粗糙状区 【答案】B ~~ 【解析】在交变应力作用下，即使塑性较好的材料，断裂时也没有明显的塑性变形。 反映固体材料强度的两个指标一般是指（）。[北京科技大学2010年研] A．屈服极限和比例极限 B．弹性极限和屈服极限 C．强度极限和断裂极限 D．屈服极限和强度极限 【答案】D ~~ 【解析】衡量塑性材料的强度指标为屈服极限，衡量脆性材料强度的指标为强度极限。 3根据小变形假设，可以认为（）。[西安交通大学2005年研] A．构件不变形 B．构件不破坏
第一章绪论 1. 判断改错题 1-1-1 铸铁结构由于没有屈服阶段，所以在静载作用时可以不考虑其应力集中的影响。 ( × ) 应考虑其应力集中的影响。 因铸铁属脆性材料，因此构件在静载作用时，在尺寸突变处，没有明显的塑性变形来缓和应力的增加，应力集中使该处的应力远大于其它各处的应力，构件首先从该处破坏，所以静载作用时应该考虑应力集中的影响。 1-1-2 构件内力的大小不但与外力大小有关，还与材料的截面形状有关。 （ × ）。静定构件内力的大小只与外力大小有关，与材料的截面无关。 1-1-3 钢筋混凝土柱中，钢筋与混凝土柱高度相同，受压后，钢筋与混凝土柱的压缩量相同，所以二者所受的内力也相同。 （ × ） 它们的内力大小不一定相同。 钢筋混凝土柱受压后，由于钢筋的弹性模量E 1不等于混凝土的弹性模量E 2，钢筋横截面积A 1 也不等于混凝土的横截面积A 2，所以有 , 2 2112122 1112 12 2221 111,,,2 A E A E N N A E N A E N l l A E l N l A E l N l ==?=?= ?= ? 故在E 1 A 1=E 2 A 2 时，才有N 1=N 2 。否则21N N ≠。 1-1-4 杆件的某横截面上，若各点的正应力均为零，则该截面上的轴力为零。 （ √） 1-1-5 只要构件的强度得到保证，则该构件就能正常的工作。 （ × ）。只有构件的强度、刚度、稳定性都得到满足，构件才能正常工作。 1-1-6 两根材料、长度l 都相同的等直柱子，一根的横截面面积为A 1，另一根为A 2，且A 2>A 1. 如图所示。两杆都受自重作用。则两杆的最大压应力相等，最大压缩量也相等。 （ √ ）。自重作用时，最大压应力在两杆底端，即 l A Al A N ννσ=== max max 也就是说，最大应力与面积无关，只与杆长有关。所以两者的最大压应力相等。 最大压缩量为E l EA l Al l 222 max νν= ?=? 即最大压缩量与面积无关，只与杆长有关。所以两杆的最大压缩量也相等。 (a) A 1 A 2 (b) 题1-1-6图 题1-1-7图
材料力学（土）笔记 第四章 弯曲应力 1．对称弯曲的概念及梁的计算简图 1.1 弯曲的概念 等直杆在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于杆轴线的横向外力或外力偶作用时 杆的轴线将变成曲线，这种变形称为弯曲 凡是以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁 工程中常见的梁，其横截面都具有对称轴 若梁上所有的横向外力或（及）力偶均作用在包含该对称轴的纵向平面（称为纵对称面）内，由于梁的几何、物性和外力均对称于梁的纵对称面，则梁变形后的轴线必定是在该纵对称面内的平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽然具有纵对称面但横向力或力偶不作用在纵对称面内，这种弯曲统称为非对称弯曲 1.2 梁的计算简图 梁的计算简图可用梁的轴线表示 梁的支座按其对梁在荷载作用平面的约束情况，通常可简化为以下三种基本形式 ①固定端 这种支座使梁的端截面既不能移动，也不能转动 对梁端截面有3个约束，相应地，就有3个支反力，即水平支反力Rx F ，铅垂支反力Ry F 和支反力偶矩R M ②固定铰支座 这种支座限制梁在支座处沿平面内任意方向的移动，而不限制梁绕铰中心转动，相应地，就有2个支反力，即水平支反力Rx F 和铅垂支反力Ry F ③可动铰支座 这种铰支座只限制梁在支座处沿垂直于支承面的支反力R F 如果梁具有1个固定端，或具有1个固定铰支座和1个可动铰支座 则其3个支反力可由平面力系的3个独立的平衡方程求出，这种梁称为静定梁 工程上常见的三种基本形式的静定梁，分别称为简支梁、外伸梁和悬臂梁 梁的支反力数目多于独立的平衡方程的数目，此时仅用平衡方程就无法确定其所有的支反力，这种梁称为超静定梁 梁在两支座间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长 常见的静定梁大多是单跨的 2．梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图 2.1 梁的剪力和弯矩 为计算梁的应力和位移，应先确定梁在外力作用下任一横截面上的内力 当作用在梁上的全部外力（包括荷载和支反力）均为已知时，用截面法即可求出其内力 梁的任一横截面m-m ，应用截面法沿横截面m-m 假想地吧梁截分为二 可得剪力S F ，弯矩M 剪力和弯矩的正负号规定 dx 微段有左端向上右端向下的相对错动时，横截面m-m 上的剪力S F 为正，反之为负 dx 微段的弯曲为向下凸，即该段的下半部纵向受拉时，上半部纵向受压时，横截面上的弯 矩为正，反之为负 为简化计算，梁某一横截面上的剪力和弯矩可直接从横截面任意一侧梁上的外力进行计算，即
浙江科技学院2015-2016学年第一学期考试试卷 A 卷 考试科目材料力学考试方式闭完成时限 2 小时拟题人陈梦涛审核人批准人2015 年9 月17 日建工学院2014 年级土木工程专业 一、单项选择题（每小题3分，计30分） 1. 对于塑性材料来说，胡克定律(Hooke's law)使用的范围是。 A. p σσ <； B. p σσ >； C. s σσ <； D. s σσ > 2．实心圆截面杆直径为D，受拉伸时的绝对变形为mm l1 = ?。仅当直径变为2D时，绝对变形l?为。 A．1mm B．1/2 mm C．1/4 mm D．2mm 3. 下列有关受压柱截面核心的说法中，正确的是。 A．当压力P作用在截面核心内时，柱中只有拉应力。 B．当压力P作用在截面核心内时，柱中只有压应力。 C．当压力P作用在截面核心外时，柱中只有压应力。 D．当压力P作用在截面核心外时，柱中只有拉应力。 4. 构件的强度、刚度和稳定性。 A.只与材料的力学性质有关； B.只与构件的形状尺寸关； C.与二者都有关； D.与二者都无关。 5. 如右图所示，设虚线表示为单元体变形后的形状，则该单元体的剪 应变为。 A. α; B.π/2-α; C.π/2-2α; D.2α 6. 图示一杆件的拉压刚度为EA，在图示外力作用下其 应变能U的下列表达式是。 7.应力－应变曲线的纵、横坐标分别为σ＝FN /A，ε＝△L / L，其中。 A.A 和L 均为初始值； B.A 和L 均为瞬时值； C.A 为初始值，L 为瞬时值； D.A 为瞬时值，L 均为初始值。 8. 设一阶梯形杆的轴力沿杆轴是变化的，则发生破坏的截面上。 题5图 题6图
作者简介：郭志明，现在就读天津大学固体力学专业 绪论 基本概念 材料力学的任务： 载荷，弹性变形，塑性变形 设计构件需要满足以下三个方面的要求：强度，刚度，稳定性 强度：构件抵抗破坏的能力 刚度：构件抵抗变形的能力 稳定性：构件维持其原有平衡形式的能力 基本假设：连续均匀性，各项同性，小变形 研究对象及变形形式： 杆：构件的某一方向的尺寸远大于其他两个方面的尺寸 平板，壳，块体 变形形式：拉伸（压缩），剪切，扭转，弯曲 基本概念 内力：构件内部相邻两部分之间由此产生的相互作用 截面法：假象切开，建立平衡方程，求截面内力 第一章：轴向拉伸，压缩和剪切 基本概念 轴力：截面内力FN及FN’的作用线与轴线重合，称为内力轴 力图：表示轴力随横截面位置的变化 应力：轴力FN均匀分布在杆的横截面上 F A 圣维南原理 斜截面上的应力:P cos 拉压杆的变形：F NE l（弹性范围内） A l EA称为杆件的抗拉（压）刚度 泊松比：弹性范围内。横向应变和纵向应变之比的绝对值 工程材料的力学性能：材料在外力作用下在强度和变形方面表现出的性能。Eg：应力极限值，弹性模量，泊松比等。力学性能决定于材料的成分和结构组织，与应力状态，温度和加载方式 相关，力学性能，需要通过实验方法获得。 弹性变形： 塑性变形： 低碳钢拉伸实验 四个阶段：弹性，屈服，强化，颈缩 屈服：应力在应力-应变曲线上第一次出现下降，而后几乎不变，此时的应变却显著增加，这 种现象叫做屈服 冷作硬化：常温下经过塑性变形后材料强度提高，塑性降低的现象 ln(1)，l/l0（工程应变） 真应力应变： t
其他材料的拉伸实验 温度，时间及加载速率对材料力学性能的影响 蠕滑现象： 松弛现象： 冲击韧性：材料抵抗冲击载荷的能力（可以通过冲击实验测定） 许用应力：对于某种材料，应力的增长是有限的，超过这一限度，材料就要破坏，应力可能达到的这个限度称为材料的极限应力。通常把材料的极限应力/n作为许用应力[σ],[]u 强度条件：杆内的最大工作应力max(FN)[] n u A n 节点位移计算 集中应力：由于试件截面尺寸急剧改变而引起的应力局部增大的现象 应力集中系数：K max/n，σn是指同一截面上认为应力均匀分布时的应力值 超静定问题：未知力的数目超过独立的平衡方程的数目，因此只由平衡方程不能求出全部未知 力，这类问题成为超静定问题。超静定结构具有多余约束，解决这类问题需要考虑力学，几何 和物理三方面 温度应力：温度变化时杆件会伸长或者缩短，在静定结构中，杆能自由变形，所以杆内不会产 生应力。在超静定结构中，具有多余约束，温度变化将使杆内产生应力，即温度应力。杆的变 形包括由温度引起的变形和由力引起的变形。 第二章：扭转 基本概念 轴：以扭转变形为主的杆件 受力特点：垂直于杆件轴线的两个相隔平面内作用有反向等值力偶 变形特点：任两个相邻横截面绕杆轴线发生相对转动 力偶矩：使杆件发生扭转变形的力偶矩Me等于杆件承受的外力对杆轴的力矩，有时也称Me 为转矩。P=Mexω（相当于P=FxV） 扭矩：作用在横截面内的这一内力偶矩称为该截面的扭矩，T（相当于拉压时候的轴力） 扭矩图：表示扭矩随截面位置的变化 薄壁筒扭转 扭转角?：右端面相对左端面转动的角度，它表示杆的扭转变形 切应变γ：由于错动而形成的直角改变量 切应力互等定理：单元体中互相垂直的两个面上，垂直于公共棱边的切应力数值相等，它们的 方向指向公共棱边或背离公共棱边。 纯剪切状态：四个侧面上只有切应力而没有正应力的作用的应力状态。 剪切胡克定律：G ，G为切变模量 圆轴扭转时的应力与变形 几何方程： d ，θυ ρ=d ，半径为ρ，切应变为γ/d x dx
习题9-38图 1-6 CABBBC 9－38 加固后的吊车主梁如图所示。梁的跨度l = 8m ，许用应力][σ= 100MPa 。试分析当小车行走到什么位置时，梁内弯矩最大，并计算许可载荷（小车对梁的作用可视为集中力）。 解：1．小车行至梁中间时，梁内弯矩最大。 P P 1242F F M =?= 823 8 1103467.1)16367512 675( 21010755.1?=??+?+?=z I mm 4 4351110113.8mm 10113.8166-?=?==z z I W m 3 ][11σ≤z W M ，即64P 1010010 113.82?≤?-F 56.40P ≤F kN （1） 2．小车行至离两端1.4 m 处 P P 2155.14.18) 4.18(F F M =?-= 4110922.6-?=z W m 3 ][22σ≤z W M ，即64 P 1010010 922.6155.1+-?≤?F 9.59P ≤F kN （2） 比较（1）、（2），得 [F P ] = 40.56 kN 9－42 简支梁受力如图所示。采用普通热轧工字型钢，且已知][σ= 160MPa 。试确定工字型钢型号，并按最大切应力准则对梁的强度作全面校核。 解：1．F R A = F R B = 180kN （↑） 75.885.0102 1 5.01802=??-?==D C M M kN ·m 1002102 1 5.116021802max =??-?-?==M M E kN ·m 175105.0180Q =?-=C F kN ][max max σσ≤= W M 46 3 max 1025.610 16010100][-?=??=≥σM W m 3 查型钢表，选工字钢No.32a ： W = 692.2 cm 2，I z = 11075.5 cm 4 46.27=z z S I cm E 截面： 180 175) k N (Q F A C 15 15B D 175 E A C E D B 88.75 88.75 100 M m -kN
材料力学第二章习题
习 题 2.1试画出图示各杆的轴力图 题2.1图 2.2 图示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷P 作用，试计算截面1 - 1和截面2 – 2上的正应力。已 知： ，mm b 20=，mm b 100=，mm t 4=。 题2.2图 2.3 图示等直杆的横截面直径mm d 50=，轴向载荷 。 ( 1 ) 计算互相垂直的截面AB 和BC 上正应力和切应力； ( 2 ) 计算杆内的最大正应力和最大切应力。 2.4图示为胶合而成的等截面轴向拉杆，杆的强度由胶缝控制，已知胶的许用切应力[]τ为许用正应力[]σ的1/2。问α为何值时，胶缝处的切应力和
正应力同时达到各自的许用应力。 2．5图示用绳索起吊重物，已知重物, 绳索直径。许用应力,试校核绳索的强度。绳索的直径应多大更经济。 ， 2.6冷镦机的曲柄滑块机构如图所示。镦压工件时连杆接近水平位置，镦压力P=1100KN。连杆矩形截面的高度h与宽度b之比为：h/b=1.4。材料为45钢，许用应力【 】=58MPa,试确定截面尺寸h及b。 2.7图示结构杆1与杆2由同一种材料制成，其
许用应力[σ]=100MPa。杆1横截面面积A1=300mm2,杆2横截面面积A2=200mm2，CE=0.5m, ED=1.5m。试按杆1，杆2的强度确定许可载荷[F]。 2.8杆长，横截面积均相同的两杆，一为钢杆另一为灰铸铁杆。欲组装成图示等边三角架。已知 杆长=0.5m，杆的横截面积A=400mm2,钢的许用应力【σ】=160MPa，灰铸铁的许用拉应力 =30MPa,许用压应力=90MPa。试问如何安装较为合理？求这时的最大许可载荷[F]。 2.9图示桁架，由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A承受外力F=80kN作用。杆 1，杆2的直径分别为d1=30mm和 d2=20mm,两杆的材料相同，屈服极 限σs=320MPa，安全系数n s=2.0。试校核桁架的强度。 2.9图
材料力学-第一章
2005年注册岩土工程师考前辅导精讲班 材料力学 第二讲剪切 【内容提要】 本讲主要讲连接件和被连接件的受力分析，区分剪切面与挤压面的区别，剪切和挤压的计算分析，剪力互等定理的意义及剪切虎克定律的应用。 【重点、难点】 本讲的重点是剪切和挤压的受力分析和破坏形式及其实用计算，难点是剪切面和挤压面的区分，挤压面积的计算。 一、实用(假定)计算法的概念 螺栓、销钉、铆钉等工程上常用的连接件及其被连接的构件在连接处的受力与变形一般均较复杂，要精确分析其应力比较困难，同时也不实用，因此，工程上通常采用简化分析方法或称为实用(假定)计算法。具体是： 1．对连接件的受力与应力分布进行简化假定，从而计算出各相关部分的“名义应力”；2．对同样连接件进行破坏实验，由破坏载荷采用同样的计算方法，确定材料的极限应力。 然后，综合根据上述两方面，建立相应的强度条件，作为连接件设计的依据。实践表明，只要简化假定合理，又有充分的试验依据，这种简化分析方法是实用可靠的。 二、剪切与剪切强度条件 当作为连接件的铆钉、螺栓、销钉、键等承受一对大小相等、方向相反、作用线互相平行且相距很近的力作用时，当外力过大；其主要破坏形式之一是沿剪切面发生剪切破坏，如图2-1所示的铆钉连接中的铆钉。因此必须考虑其剪切强度问题。
连接件与其所连接的构件，挤压面上挤压应力。：假定挤压面上的挤压应力均匀分布。于是；挤压应力，与相应的挤压强度条件分别为 式中：Pc为挤压面上总挤压力；Ac为挤压面的面积。当挤压面为半圆柱形曲面时取垂直挤压力方向直径投影面积。如图2—2所示的取Ac=dt。[]为许用挤压应力其值等于挤压极限应力除以安全系数。在实用（假定）计算中的许用剪应力[]、许用挤压应力[ ]，与许用拉应力[]之间关系有：对于钢材 [ ]=（0.75～0.80）[ ] []=（1.70～2.00）[] 四、纯剪切与剪应力互等定理 (一) 纯剪切：若单元体上只有剪应力而无正应力作用，称为纯剪切。如图2-3(a)所示，是单元体受力最基本、最简单的形式之一。 在剪应力作用下．相邻棱边所夹直角的改变量．称为剪应变，用表示，其单位为rad。如图2-3(b)所示。