方案设计两级实例推理过程模型及系统结构的研究
五邑大学 (江门?529020) 孔凡国
上海交通大学 邹慧君
摘要 本文将重点研究机械方案创新设计过程。作者根据机械方案设计特点,提出两级实例推理过程模型,设计并描述基于实例功能推理的机械方案智能设计系统。同时对实例分解表示进行详细研究,并讨论了功能结构图及机械装置的框架表示方法,描述一种改进的组合功能分类方法,建立了方案功能结构实例库和机械装置实例库。
关键词 实例推理 创新 功能结构图
0 引 言
设计者通常依据以前的设计经验来完成当前的设计,并不是每次从头开始设计,以前的失败经验被用来避免犯同样的错误,而成功的经验则被用来指导当前的设计。基于实例推理是A I 中新崛起的一种重要的推理技术,这一模型符合上述设计思维规律。该模型应用类比推理来选择和转换一个以前已解决的设计问题的设计解为一个新的设计问题的解。开发具有广泛适应性的设计知识库是困难和费时的,因而成为知识系统开发的“瓶颈”问题,基于实例推理为解决这一问题提供一个比较好的知识组织和管理模式。在基于实例推理中的关键问题是以最简单形式存储实例,以便有效的提取实例。
图2 方案创新两级实例推理系统
1 两级基于实例推理的过程模型
机械方案生成可分解为两个阶段:第一阶段是根据用户提出的设计任务建立功能结构图;第二阶段是找出与功能结构图中每一子功能相匹配的子结构(装置)。在这一过程中,功能结构图的建立是最能体现设计者匠心的,也是设计者在设计类似的问题可资利用的宝贵的设计经验,因此功能结构图应成为智能设计系统知识库中一个重要组成部分加以存储和利用。 尽管在工程实际应用中,机械系统的结构千变万化,但通过观察不难发现机器总是由有限的零部件组成,我们可以称这些元素为机器的构造元素(或称机器构造的积木元),如螺旋副、齿轮副、凸轮副等等。如何有效地利用这些元素构思机械系统的设计方案一直是设计者所追求的,但没有形成一套切实可行的系统化方法。作者将基于实例推理引入到方案设计系统中,尽管也有一些学者探讨基于实例推理在设计中的应用,但目前比较成功的系统还是在调整结构参数设计中的应用。作者根据机械系统的组成以及方案设计问题的特点,
提出两级基于实例推
图1 方案创新设计两级实例推理过程模型
理的方案生成的过程模型如图1所示。这种模型比直接存储整个机械方案实例优越得多。其一:对于给定一个功能结构图,通过子结构的组合可以有许多种不同结构方案,如果存储每一种结构方案,将造成系统资源的很大浪费。其二:根据功能结构图中每一个子功能提取与之相匹配的装置并组合为一个完整的设计方案本身就是一种实例转换和调整的创新过程。
2 基于实例推理机械方案设计系统结构
基于实例推理是在传统的基于规则和基于框架的专家系统(ES )或基于知识系统(KBS )上多了一种知识组织和管理的方式,它并不独立于传统的ES 或KBS 单独存在,相反,
《机械设计与研究》1999No .2
它们是紧密联系相辅相成的。作者根据上面提出的两级实例推理的过程模型,开发了基于实例推理的方案创新设计,系统的结构如图2所示。
系统主要由图2中被虚线框的分割三大模块组成:实例提取模块、装置组合协调设计模块以及评价模块,各模块协调工作由总控模块(控制通道)进行控制。下面对每一模块作一简单介绍:
2.1 实例提取模块
该模块有两个主要任务:建立功能结构图以及针对功能结构图中每一子功能在装置实例库中提取装置。建立功能结构图有两种途径:首先对设计问题通过检索实例目录(系统现有的实例的代码)进行识别,判断在系统中是否存在相同或相似实例,如果存在,则直接提取功能结构图,如果是新问题,则通过用户定义的方式建立功能结构图并增加实例目录和存储功能结构图。功能结构图一般具有层次结构的特性,因此采用框架结构表示功能结构图。框架结构必须表达两个方面的信息:子功能及其之间的关系。建立功能结构图后,针对每一个子功能选择功能目录,进行装置搜索。搜索效率取决于功能目录的建立、装置库的建立以及搜索算法的设计。这些在本文后续部分将进行讨论。
图4 功能结构图中子功能之间关系
2.2 装置组合协调设计模块
(1) 协调设计约束。通过这些约束保证装置的动作满
足工艺要求、时间同步、空间同步,避免空间干涉以及两个子装置在动作衔接处发生干涉,优化工作循环周期,提高运行效率。
(2)设计约束
设计约束是根据具体的设计任务提出的,诸如几何约束、工艺约束、功能约束、制造约束以及装配约束。
以上这些约束在系统中以启发式规则形式存在。除了以上这些约束以外,在装置组合时,还必须有一套组合协调规则来保证装置组合的有效性和协调性。下面给出一些规则的描述:
规则1:IF 将具有移动输入和转动输出的两个装置组合
TH EN 组合装置可以满足移动输入和移动输出功能要
求或转动输入和转动输出的设计要求
规则2:IF 将具有匀速输入和间歇输出的装置与具有匀速输入和输出的装置组合
TH EN 组合的装置能满足匀速输入和间歇输出的设计
要求。
规则3:IF 将具有匀速输入和变化输出的装置与具有匀速输入和输出的装置组合
TH EN 组合的装置能满足匀速输入和变化输出的设计
要求
……
2.3 评价模块
评价模块主要根据评价规则库中一些评价规则对装置提取以及装置组合的结果进行评价。这些规则是对装置从制造工艺性、制造成本、运
动精度、结构紧凑性以及结构复杂性采用模糊综合评价的方法给出的一些定性的评价准则。
3 机械方案实例表示及实例库建立
3.1 设计方案实例分解
一个复杂系统的设计问题往往转化为子系统的设计问题。与系统设计的分解模型相应,设计方案实例也可分解成一棵设计方案实例树。对于每一个分解后的子系统设计,都有一组子系统的设计实例与之对应,它们代表了以往子系统的设计方案的过程和结果。系统分解与实例分解形成两个树状层次结构。这两根树在具有相同的层次分解结构和一一对应的关系的同时,也存在各自的特点,设计模型树描述的是系统的设计方法,第一个节点所代表的是该子系统的一组设计方法,所描述的是不依赖于具体设计方案的共性知识,而设计实例树描述的是具体的一组设计实例,是依赖于以往设计方案的个性知识。图3描述实例分解示意图。
图3
实例分解图
子系统实例
子系统实例子系统实例子系统实例
系统实例
实例的分解描述对于CBR (基于实例推理)来说是非常有利。CBR 不仅要能支持整个系统的相似推理,还必须支持子系统的相似推理。因为,在许多设计中,只需对类似的设计方案中的某些部分作相应的修改或从另一个实例中提取相应部分作替换即可,在这种情况下,依据这样的模型便可方便地提取实例,灵活地组合修改实例,综合成新的设计方案。正面主要讨论功能分解和机械装置分解表达和存储。
3.2 功能分解表达及功能结构图实例库的建立
一个系统的总功能可以逐步分解为很多子功能(或分功能)。不同的功能分解将直接影响到设计方案的质量。一个好的功能分解方式是设计者在设计相同或相似设计问题可以借鉴和参考的宝贵经验。功能分解方案的结果一般采用功能结构图来表达。从总体上看,功能结构图一般为层次树状结构。一个功能结构图主要表达三个方面的信息:工艺动作、功能类型及功能之间的关系。
功能结构图中的子功能排列方式可分为三种形式(如图
4所示):①串联(链式)结构-用于按先后顺序进行的工程;
②并联(平行)结构-用于同时进行的过程;③环型结构-用于反馈过程。因为功能结构图具有层次特性,本文采用框架
《机械设计与研究》1999No .2
描述实例的功能结构图。一个方案实例功能结构图对应一个框架,框架由槽组成,框架名对应系统中的实例目录,槽名对应于该实例方案的一个工艺动作。每个槽由个侧面组成:
框架(实例代码)槽1(工艺动作代码)槽2… … 槽n…
侧面1:F1(功能词汇) … …
侧面2:上层节点 … …
侧面3:所属层数 … …
侧面4:下层节点集合 … …
功能结构图往往是多层的,对于多层功能结构图采用层次框架表示。整个功能结构图实例库就是由这些框架组成。以上所描述的框架数据结构完全能描述一个功能结构图,槽中的侧面1的功能词汇对应功能结构图中的子功能名;侧面2和侧面3描述子功能之间的关系,如果某一子功能既出现在上层节点中又出现在下层节点中,则该子功能与本槽所对应的子功能是环形结构排列,如果仅出现在上层或下层节点,则是串行排列,如果上下层都不出现则是平行排列(参照图4)。给定一个设计任务,概括设计任务的名称在实例目录中找到对应于该实例的代码(目前系统采用实例名汉语拼音表达)。根据实例代码在功能结构图实例库中提取功能结构图。如果是实例目录中没有新的设计问题,系统提供一个空的框架,以便用户通过人机交互的方式创建功能结构图。3.3 机械装置定性表示及装置实例库的建立
连续的物理现象的离散化是符号推理(相对于数值计算)的基础,且在研究结构系统的定性推理中被广泛采用。这种离散化方法同样可以应用到机械方案设计的研究中。机械方案结构可以离散化为多个的子方案—基本的机械装置(积木元),这种离散化有助于形成统一的表达形式。
前文已经提及,对于一个运动的机械装置,运动形态最能反映它的本质特征。一个有限的运动形态的标注集合(例如,转动、移动、连续、往复等)可用于机械装置的连续结构行为的特征表示和推理。例如,一个曲柄滑块机构可看作是一个将连续转动转换为往复移动的装置。在方案设计阶段,输入与输出之间的关系不需要表示为精确的数学函数的形式。因此可以采用定性的方法对机械装置建立统一的表达形式,以便于机械装置的存储和管理以及装置实例库的建立。
用什么属性来表达一个机械装置一直没有形成统一的认识。作者采用四个属性表达一个机械装置。即输入(I N2 PU T)、输出(OU T PU T)、关系(R ELA T I ON)、性能指标(PER FORM AN CE)。前面三个是装置的运动形态属性。
I N PU T:描述与输入运动联系的装置的输入端口。
OU T PU T:描述产生输出运动的装置的输出端口。
R ELA T I ON:描述输入与输出运动的关系。
PER FORM AN CE:描述装置的一些定性属性,如工作性能,动力性能,经济性能,结构紧凑性。这也是装置实例所携带的设计经验。
每个属性具有一些子属性。每个子属性可赋予0、1或更多的属性值。其中装置的运动形态属性取值描述如图5。
图5是一个典型的层次结构,
因而很自然的采用框架表
图5 机械装置运动形态属性实例描述
示形式来装置装置属性以及建立装置实例库。一个装置对应一个框架,框架由四个槽和十六个侧面组成,框架描述如下: 框架(装置名)
槽1(I N PU T)槽2(OU TPU T)槽3(RELA T I ON)
侧面1:类型 侧面1:类型 侧面1:轴方向
侧面2:速度 侧面2:速度 侧面2:轴间距离 侧面3:运转方向 侧面3:运转方向 侧面3:速度比率 侧面4:端口 侧面4:端口 侧面4:逆转性
槽4(PER FORM AN CE)
侧面1:工作性能 侧面2:动力性能
值1:应用范围 值1:加速度峰值
值2:可调性 值2:噪声
值3:运转平稳性 值3:耐磨性
值4:承载能力 值4:可靠性
侧面3:经济性侧面4:结构紧凑性
值1:制造难易 值1:尺寸
值2:制造误差敏感度 值2:重量
值3:调整方便性 值3:结构复杂性
值4:能耗大小
表1 显示装置库中的一些装置实例运动形态属性表达表格形式。至于装置的性能属性,目前通常采用的是专家经验评价方法,尽管这种方法有较大的不确定性,在没有其它更好的方法出现之前,本系统还是采用这种方法。装置实例库就是由这些表达装置的框架组成。
除此之外,装置实例库还有一个表达装置性能的评价表。
值得注意的是,机械装置实例库中的每一个装置实际上是装置的抽象概念表示,而不是具体的结构形式。同一个装置概念,存在许多其它的结构变体。例如,“齿轮齿条机构”是一个能产生移动到转动之间转换的抽象概念。该概念并不排除使用多个齿轮或多个齿条的结构形式。
5 结束语
机械方案设计是一个非常复杂的过程,其中涉及到过程性知识、叙述性知识及潜意识知识等多种知识的处理。本文提出并讨论了机械方案设计两级实例推理模型及其实例表示方法,在作者另一篇论文中将详细讨论多层实例推理模型,该方法为机械方案设计自动化、智能化提供一条有效途径。
《机械设计与研究》1999No.2
表1 机械装置—实例库中部分实例运动形态属性表达
装 置凸轮—
移动从动件
凸轮—
摆动从动件
三维凸轮—
移动从动件
斜齿轮齿轮齿条四连杆螺旋副球轴承螺旋副棘轮机构曲柄滑块离合器
输 入
类型转动转动转动转动转动转动转动转动转动转动转动速度匀速匀速匀速匀速匀速匀速匀速匀速匀速匀速匀速速度方向恒定恒定恒定恒定恒定恒定恒定恒定恒定恒定恒定端口11111111111输出
类型移动转动移动转动移动转动移动转动转动移动转动速度变化变化变化匀速匀速变化匀速匀速间歇变化匀速速度方向往复往复往复恒定恒定往复恒定恒定恒定往复恒定端口11111111111关系
轴方向垂直平行平行平行垂直平行共轴共轴平行垂直共轴
轴间距离0,小小,中等小小,中
等
小,中等
中等,
大00小0,小0
速比
1
增加
小
1
增加
小
1
增加
小
1
增减
小,中等
小1小减少
大
减少
大
减少
小11
可逆性N o N o N o Yes Yes Yes N o Yes N o Yes Yes 相对方向未定义未定义未定义相反未定义未定义未定义未定义相反未定义未定义
参考文献
1 邹慧君.机械运动方案设计手册.上海:上海交通大学出版社, 1994.
2 Janet Ko lodner,Case2Based R easoning,M o rgan Kaum ann Pu2 bishers,Inc,1994.
3 John https://www.doczj.com/doc/032319383.html,puter A ided Concep tual D esign.P roceeding of
1994L ancaster Internati onal W o rk shop on Engineering D esign CA CD’94.
孔凡国 男,32,1994年哈工大硕士毕业,1997年于上海交大获博士学位,长期从事机构综合、智能CAD、C I M S应用技术研究,在国内外学术期刊发表论文三十余篇。
M A IN T OP I CS,ABSTRACTS&KEY WOR D S
ISSN100622343
M ach i ne D esign and Research
V o l.15,N o.2,M ar.,1999
Edited and Published by:M ach ine D esign and R esearch
Journal O ffice
Add:N o.1954H ua Shan Road Shanghai Ch ina D istr ibuter:Ch ina Internati onal Book T rading
Co rpo rati on(P.O.Box339,Beijing)
L ocal Solution of Character Po i n ts of Con jugati ng Surfaces i n Auto mative Syn thesis
Guo W e izhong Zou Huijun W ang Sh igang W ang L i (Shanghai J iao tong U niversity,Shanghai,Ch ina)p15
Abstract In CAD CAM of cam s the autom ative syn2 thesis of conjugating surfaces is comp leted by the search ing of character po ints th rough recursive divisi ons of the param2 eter dom ains during w h ich the local discretizati on of fo llow2 er surface is needed and the po siti on vecto rs and unit no r m al vecto rs at the m esh nodes should be go t.T he co rresponding discussi ons are done acco rding to the analytical fo r m s and the discrete fo r m s of fo llow er surfaces and good so luti ons are put fo r w ard in th is paper.
Key W ords Conjugating surface A utom ative syn2 thesis Character po int L ocal so luti on
Research on Process M odel and Syste m Arch itecture of the Two-grade Case Based Reason i ng for Conceptual D esign
Kong Fanguo (W uyi U niversity,J iangm en,Ch ina)p17
Zou Huijun (Shanghai J iao Tong U niversity)
Abstract T h is paper emphasizes on the study of de2 sign p rocess of m echanical concep tual.A cco rding to the character of m echanical concep tual design,the autho r p re2 sents a tw o-grade case based reasoning p rocess model,and designs and describes a m echanical concep tual intelligent de2 sign system of case based functi on reasoning,and studies in details case decompo siti on rep resentati on and discusses functi on structure diagram and fram e based rep resentati on app roach to m echanical device,and describes an i m p roved functi on classificati on m ethod,and establishes a concep tual functi on structure diagram case base and m echanical device case base.
Key words Case based reasoning Innovative design Functi on structure diagram
Research on PDM Syste m W h ich Supports Rap id Var i an t D esign Qi ao J i nyou J i n Zhongx i ao Zhong Ti ngx iu (Shanghai J iao Tong um iversity,Shanghai,ch ina)p21
Abstract V ariant design is an i m po rtant app roach to reuse the m ature p roduct resources to i m p lem ent rap id re2 sponse design.How ever,m any enterp rises are facing a situa2 ti on of data exp lo si on but info r m ati on deficiency,w h ich m akes it hard to reuse the p roduct resources.PDM is a new techno logy to so lve th is p roblem.A PDM system arch itec2 ture and it’s key techniques are dep icted in th is paper in de2 tail.
Key words R ap id response design P roduct data m an2 agem entV ariant design
Explor i ng of Green D esign Pr i nc iple
W ang Y ongchao Zhang Genbao X i ang D ong Zhou Y i (Chongqing U niversity,Chongqing,Ch ina)p24
Abstract In o rder to p ro tect environm ent,it is i m pera2 tive to push green design.T h is paper analyzes the facto rs, w h ich m ust be taken into account in green design in details.
A fter that,the autho r puts fo r w ard the p rinci p les of green design.L astly,the p ri o r strategies that should be considered in green design are summ arized and discussed.
Key words Green D esign Environm ent P ro tecti on sustainable developm ent Extended M ethods for Fuzzy Opti m al D esign of Structures
Zhang X iuli L i ang Y i ngchun D ong Shen (H arbin Institute of T echno logy,H arbin,Ch ina)p27
Abstract A cco rding features of op ti m al design in p rac2 tical engineering p roblem s,in o rder to consider sufficiently fuzziness of op ti m izati on in structural engineering,V ecto r L evel Cut M ethod and W eigh t M ax2M in M ethod are p re2 sented in th is paper.T hey can be deal w ith i m po rtant degree of the objective and constraint functi ons easily,geom etric in2 terp ret of the m ethods is m ade.T he m ethods are illustrated w ith a p ractical examp le.
Key W ords Fuzzy op ti m izati on Constraint level Cut set W eigh t
I den tif ication of Non-L i near V ibration Syste m by a Neural Network
(T he P redicti on of R esponse by L earning of I mpact R e2 sponse)
W ANG An li n (shanghai J iao Tong U niversity,shanghai,ch ina)p30
Abstract T h is paper describes a convenient m ethod of identificati on of non2linear vibrati on system by a neural net2 w o rk using ti m e series data.T he neural netw o rk using suit2 able system of inputs and outputs are app licable fo r system identificati on of non2linear vibrati on by learning of i m pact response.By learning of only ti m e series datas of i m pact re2 sponse,it is po ssible to p redict bo th fo rced vibrati on re2 sponse and i m pact response in ti m e dom ain by the neural netw o rk.T he effectiveness of the m ethod p resented is demonstrated by num erical si m ulati ons fo rp iece w ise linear system and duffing system.
Key W ords N on2L inear V ibrati on,Identificati on N eural N etw o rk
Conceptual M echan is m D esign Based On Function s、Con-stra i n s and Structures X ie J i n D i ng J i an Fe i Chen Y ong (Southw est J iao tong U niversity,Chengdu,Ch ina)p33
Abstract T he m ethod fo r concep tual design based on functi ons、constrains and structures is app lied in th is paper to concep tural m echanis m design,emp loying A I techniques and the theo ry of m echanis m design to so lve the p roblem s arising from th is app licati on.It is po inted out that m uch mo re attenti on should be paid to the info r m ati on flow s in the p rocess of concep tual m echanis m design.
Key words M echanis m Concep tual design Info r m a2 ti on flow s
The Fundam en t al Techn igues of CB D Syste m Used i n Var i-an t D esign Zhao J iyun Zhong Ti ngx iu (Shanghai J iao Tong U niversity,Shanghai,Ch ina)p36
Abstract Case2based design(CBD)is the app licati on of case2based reasoning(CBR)to the design p rocess.By analyz2 ing the general p rocess of CBR,the barriers to variant de2 sign in current CAD system,and comparing the variant de2 sign p rocess to CBR,th is paper illustrates that the CBD sys2 tem is reasonable fo r suppo rt variant design.F inally the pa2 per discusses the fundam ental techniques of CBD system used in variant design.
Key W ords Case2base R easoning Case2based D esign V ariant D esign P roduct M odelling
Geo m etr ical M odeli ng Technology i n St am p i ng dynam ic
排列和组合基本公式的推导，定义 先从「排列」开始。「排列」的最直观意义，就是给定n个「可区别」(Distinguishable，亦作「相异」)的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全部或部分排次序的方式总数。「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是「全排列」问题。我们可以把排序过程分解为n个程序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字。在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有 n-2种选法。如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独立」的，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...2×1。在数学上把上式简记为n!，读作「n 阶乘」(n-factorial)。 例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排法。 答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1； 3-1-2；3-2-1。 当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来排序，并求有多少种排法，这样的问题就是「部分排列」问题。我们可以把「部分排列」问题理解成抽东西的问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。「部分排列」问题的解答跟「全排列」问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。如是者直至第r个程序，这时可供选择的数字只剩下n-r+1个，因此只有n-r+1种选择。最后，运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。 我们可以把上式改写为更简的形式n! / (n-r)!，为甚麼可以这样改写？这要用到n!的定义和乘法的结合律。举一个简单的例子，由於 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!。同样由
高中数学排列组合公式大全_高中数学排列 组合重点知识 高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 高中数学排列组合公式大全 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n为下标，m为上标)) Pnm=n (n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m 高中数学排列组合公式记忆口诀 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。 不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。 关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。 高中数学排列组合重点知识 1.计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1 n2 n3 nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+ +nM (分类) 2. 排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m!
排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现 知识储备 排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式： 注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。 组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 计算公式： 注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。只要组合里面数不同即可 组合算法 本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。value[n]数组表示组合
的数值，作为输出之用。 ? 首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。? 然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。 组合的个数为： 例如求5中选3的组合： 1 1 1 0 0 --1,2,3? 1 1 0 1 0 --1,2,4? 1 0 1 1 0 --1,3,4? 0 1 1 1 0 --2,3,4? 1 1 0 0 1 --1,2,5? 1 0 1 0 1 --1,3,5? 0 1 1 0 1 --2,3,5? 1 0 0 1 1 --1,4,5? 0 1 0 1 1 --2,4,5? 0 0 1 1 1 --3,4,5 代码如下：
复习排列与组合 考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。 考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。 例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？ 分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种）。 2．排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。 连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = Cnm= 例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边= ∴等式成立。 评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形
字符串的排列组合算法合集 全排列在笔试面试中很热门，因为它难度适中，既可以考察递归实现，又能进一步考察非递归的实现，便于区分出考生的水平。所以在百度和迅雷的校园招聘以及程序员和软件设计师的考试中都考到了，因此本文对全排列作下总结帮助大家更好的学习和理解。对本文有任何补充之处，欢迎大家指出。 首先来看看题目是如何要求的（百度迅雷校招笔试题）。一、字符串的排列 用C++写一个函数, 如 Foo(const char *str), 打印出 str 的全排列,如 abc 的全排列: abc, acb, bca, dac, cab, cba 一、全排列的递归实现 为方便起见，用123来示例下。123的全排列有123、132、213、231、312、321这六种。首先考虑213和321这二个数是如何得出的。显然这二个都是123中的1与后面两数交换得到的。然后可以将123的第二个数和每三个数交换得到132。同理可以根据213和321来得231和312。因此可以知道——全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。找到这个规律后，递归的代码就很容易写出来了： view plaincopy #includeiostream?using?namespace?std;?#includeassert.h?v oid?Permutation(char*?pStr,?char*?pBegin)?{?assert(pStr?pBe
gin);?if(*pBegin?==?'0')?printf("%s",pStr);?else?{?for(char *?pCh?=?pBegin;?*pCh?!=?'0';?pCh++)?{?swap(*pBegin,*pCh);?P ermutation(pStr,?pBegin+1);?swap(*pBegin,*pCh);?}?}?}?int?m ain(void)?{?char?str[]?=?"abc";?Permutation(str,str);?retur n?0;?}? 另外一种写法： view plaincopy --k表示当前选取到第几个数，m表示共有多少个数?void?Permutation(char*?pStr,int?k,int?m)?{?assert(pStr); ?if(k?==?m)?{?static?int?num?=?1;?--局部静态变量，用来统计全排列的个数?printf("第%d个排列t%s",num++,pStr);?}?else?{?for(int?i?=?k;?i?=?m;?i++)?{?swa p(*(pStr+k),*(pStr+i));?Permutation(pStr,?k?+?1?,?m);?swap( *(pStr+k),*(pStr+i));?}?}?}?int?main(void)?{?char?str[]?=?" abc";?Permutation(str?,?0?,?strlen(str)-1);?return?0;?}? 如果字符串中有重复字符的话，上面的那个方法肯定不会符合要求的，因此现在要想办法来去掉重复的数列。二、去掉重复的全排列的递归实现 由于全排列就是从第一个数字起每个数分别与它后面的数字交换。我们先尝试加个这样的判断——如果一个数与后面的数字相同那么这二个数就不交换了。如122，第一个数与后面交换得212、221。然后122中第二数就不用与第三个数交换了，但对212，它第二个数
排列组合公式/排列组合计算公式 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每
名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）． （2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． （3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积． （4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法． 例４证明． 证明左式
排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是pps 附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word 版的，记得下载MathType 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。 一、排列数公式： !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+= -L (1)(1)321n n A n n n =--创 L 推导：把n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行： 第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋ 第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋ 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。 根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： (1)(2)(1)! !!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L 1n n C =
推导：把n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋ 第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋ 最后一步，取最后一个：有 1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。 将部分排列问题m n A 分解为两个步骤： 第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组合数问题m n C ； 第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列m m A 。 根据乘法原理，m m m n n m A C A = 即： (1)(2)(1)!!!()!m m n n m m A n n n n m n C A m m n m ---+=== -L
排列组合公式(全)
排列组合公式 排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用
(1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式 3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！
排列组合的数学公式 排列组合的数学公式 1. 排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m 个宝鸡博瀚教 育元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m) 表示. p(n,m)=n(n-1)(n- 2) ...... (n -m+1)= n!/(n-m)!( 规定 0!=1). 2. 组合及计算公式 从n 个不同元素中，任取m(m≤n) 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不 同元素中取出m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m); 3. 其他排列与组合公式 从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这 n 个元素的全排列数为n!/（n1!*n2!*...*nk!）. k 类元素, 每类的个数无限, 从中取出m 个元素的组合数为c（m+k-1,m）. 排列（Pnm（n为下标，m为上标）） Pnm=n×（n-1）（n- m+1）;Pnm=n!/（n-m）!（注：是阶乘符号）;Pnn（两个n 分别为上标和下标） =n!;0!=1;Pn1（n 为下标1 为上标）=n 组合（Cnm（n为下标，m为上标）） Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!（n-m）!;Cnn（两个n 分别为上标和下标） =1 ;Cn1（n 为下标 1 为上标）=n;Cnm=Cnn-m 排列组合的数学解题技巧 1. 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。 4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
排列组合公式 1．分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 2．分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =??? . 3．排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 注:规定1!0=. 4．排列恒等式 (1)1 (1)m m n n A n m A -=-+; (2) 1 m m n n n A A n m -= -; (3) 1 1m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5)11m m m n n n A A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+- . 5．组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 6．组合数的两个性质 (1)m n C =m n n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定 10 =n C . 7．组合恒等式 (1) 1 1m m n n n m C C m --+= ;
(2) 1 m m n n n C C n m -= -; (3) 1 1m m n n n C C m --= ; (4)∑=n r r n C =n 2; (5) 1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9) r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 8．排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 9．单条件排列 以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位” ①某（特）元必在某位有11--m n A 种； ②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1 111---=m n n A A （着眼位置）1 1111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种. （2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种. ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 1 1+-+-种. 注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的 一组互不能挨近的所有排列数有 k h h h A A 1+种. （3）两组元素各相同的插空
排列组合公式 复习排列与组合 考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。 考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。 例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？ 分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种）。 2．排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。 连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = Cnm= 例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边= ∴等式成立。 评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变
排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如 9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？ A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．
排列组合公式大全 （1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 （2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1 ．书架上放有3 本不同的数学书，5 本不同的语文书，6 本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3 种书，则分为3 类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14 种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各 1 本，需要分成3 个步 骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是： 3 X 5 X 6=90 （种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1 本，语英各1 本）而在每一类情况中又需分2 个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3X 5+3X 6+5X 6=63（种）。 例2 ?已知两个集合A={1 , 2, 3}, B={a,b,c,d , e}，从A到B建立映射, 问可建立多少个不同的映射？分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A 中的每一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应。” 因A 中有3 个元素，则必须将这3 个元素都在B 中找到家，这件事才完成。因此，应分3 个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5 X 5 X 5=125 (种)。
排列组合公式 排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式
3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的
排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个
排列组合——排列公式的推理和组合 加法原理和乘法原理，是排列组合中的二条基本原理，在解决计数问题中经常运用。掌握这两条原理，并能正确区分他们，至关重要。 加法原理 若完成一件事情有3类方式，其中第一类方式有1种方法，第二类方式有3种方法，第三类有2种方法，这些方法都不相同，但任选一种方法都可以完成此事，则完成这件事情共有1+3+2=6种方法，这一原理称为加法原理。例如:从甲地到乙地有三类方式，一是汽车，二是火车，三是飞机。若一天中汽车有2班，火车有4班，飞机有一班，那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法。共有2+4+1=7种。 乘法原理 若完成一件事情分r个步骤，其中第一个步骤有m1种方法，第二个步骤有m2种方法……第步骤共有mr种方法，各步骤连续或同时完成，这件事才算完成，则完成这件事共有m1*m2*……*mr种方法。例如:从甲地到丙地必须经过乙地。从甲地到乙地有4条路线，从乙地到丙地有3条路线，问从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解：要从甲地到达丙地，必须经过两个步骤：先从甲地到乙地，有4条路线；再从乙地到丙地，有3条路线。只有这两个步骤都完成了，才能完成这种事情，缺少哪一个步骤都不行。因此从甲地到丙地共有4*3=12种走法。 加法原理和乘法原理的区别
以上两个基本原理在排列组合问题中将会反复使用。这两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题，但是又有根本区别。加法原理针对的是“分类”问题，若完成一件事情有多类方式，每一类方式的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事情，则用加法原理；而乘法原理针对的是“分步”问题，若完成一件事情必须依次经过多个步骤，每一个步骤的各种方法相互依存，只有各种步骤都完成才算做完成这种事情，则这时用乘法原理。 排列数公式推理过程 例：用1、2、3这3个数字可以组成多少个数字十位和个位不重复的两位数？解：要组成数字不重复的两位数，需要经过两个步骤：第一步确定十位上的数，数字1、2、3都可以放在十位上，共有3种方法；第二步确定个位上的数，因为要求个位数与十位数不能重复，所以个位上的数，只能从三个数字中去掉十位数后所剩的两个数字中任选一个，共有2种方法。只有十位和个位上的数都确定了，才能组成数字不重复的两位数，这两个步骤缺少哪一个都不行。因此，根据乘法原理，3*2=6. 上例中，我们把数字1、2、3称为元素。组成数字不重复的两位数这个问题，从3个不同的元素中任取2个，然后按顺序排成一列数，由于这样的排列与数字不重复的两位数是一一对应的，因此求数字不重复的两位数的个数等同于求这样的排列个数。 推理过程：从n个不同元素中取出m个不同元素排成一列，必须经过m 个步骤。第一步，确定第1个位置上的元素,可以从这n个元素中任取1个放在这个位置上，共有n种方法，即n-(1-1)括号内为位置数减1；第