杭州电子科技大学研究生考试卷(A 卷)
课程名称: 工程矩阵理论
1. 在R
2?2
中,求矩阵A=a
b c d ?????
?在基
12341001000000001001????????====????????????????
E E E E ,,,下的坐标.
2. 设R [x ]4是所有次数小于4的实系数多项式组成的线性空间,求多项式p (x ) = 1+2x 3在基
1,x -1,(x -1)2,(x -1)3下的坐标.
3. 设1V 和2V 是线性空间 V 的两个子空间。证明维数公式:
121212dim dim dim()dim()V V V V V V +=++
4. 已知矩阵A 相似与矩阵B ,证明:trace(AB ) = trace(BA ).
5. 已知矩阵A = ???
?
?
?????-311111002,(1)求多项式
2012()p λαλαλα=++使得
2012()At p A A A I e ααα=++= (2)说明多项式()p λ是二次多项式的理由
(3)利用(1) 的结果计算At
e .
6. 利用初等变换把λ-矩阵
2
(1)0
00000(1)λλλλ+??????
+????
化为 Smith 标准型。
7. 已知矩阵A = ????
?
?????-00i 001i 10,
(1)A 是对称矩阵还是反对称矩阵,或者都不是?
(2)A 是Hermite 矩阵还是反Hermite 矩阵,或者都不是? (3)A 是正规矩阵吗?A 可对角化吗?A 可酉对角化吗? (4)求酉矩阵U 使U H
AU 为对角矩阵.
8.设矩阵A 的奇异值分解为:
000H A U V ∑??=?
???
其中1{,
,}r diag σσ∑=验证1000H A V U +-??∑=????
是矩阵A 的Penrose-Moore 逆。
9.证明矩阵A 的谱范数2||
||A 等于矩阵A 的最大奇异值。
10. 证明: ()()A B C D AC BD ??=?
11. 设矩阵A 和B 都是方阵证明:()Tr A B TrA TrB ?=?
12. ??
?
???=4.05.05.03.0A ,(1)求1A 、2A 和∞
A
;(2)判断序列A k
的敛散性;(3)求∑∞
=0
k k A
13. 证明:矩阵H
H
H
H
AA BB AB BA +--是半正定矩阵。
14. 证明矩阵A 的特征子空间是A-不变子空间。
15. 设矩阵A 是秩为3的5阶投影矩阵,求(1)矩阵A 特征多项式(2)矩阵A 所有初等因子 (3)矩阵A 的最小多项式 (4)矩阵A 的Jordan 标准型.
16. 叙述并证明欧氏空间中的Cauchy-Schwarz 不等式。