暑假数学（九年级）教学具体授课计划
备注：
1.本授课计划的第一、二、五、六、九、十、十六是对七、八年级重点
知识点的回顾与复习。编排次序对应于九年级上册相应知识点，以便更加系统明了地做到知识点之间的融会贯通。
2.教学进程大体按照该计划进行。但在授课过程中，也会根据学生的实
际情况，适当调整各知识板块的教学进度，或增补缩减相应的资料。
3.不足之处敬请批评指正。欢迎各位家长、老师提出更合理中肯的建
议！
第一讲数与式的复习（一）
【教学目标】
1. 理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式。
2. 了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根。
3. 了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算.掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质。
4. 了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件，掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行
分式的通分和约分。
【重点难点】
重点：概念的理解与区分
难点：易混淆，各概念的性质及条件
【知识梳理】
1.实数分类：
实数????
??
??
?????????????
????
????????????????????无限不循环小数
负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。数轴上所有的点与全体实数是一一对应关系，即每个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
3.实数大小的比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（1）正数大于零，零大于负数。
（2）两正数相比较绝对值大的数大，绝对值小的数小。
（3）两负数相比较绝对值大的数反而小，绝对值大小的数反而大。 （4）对于任意两个实数a 和b ，①a>b,②a=b,③a 4.整式：单项式与多项式统称为整式。 单项式：只含有数与字母乘积形式的代数式叫做单项式。一个数或一个字母也是单项式。单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 多项式：几个单项式的代数和多项式。在多项式中，每个单项式叫做多 项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高的项的 次数就是这个多项式的次数。一个多项式有n 项且次数是m ，我们就称这个多项式为m 次n 项式。 5.分式：一般地，用A,B 表示两个整式，若B 中含有字母，且B ≠0，则式子B A 叫做分式。 6. a =1（a ≠0），a p -= a p 1 （a ≠0，p 是正整数）。 8.平方根：若x 2 =a （a ≥0），则x 叫做a 的平方根（或二次方根）。一个整数有两个平方根，它们互为相反数，整数a 的平方根记为+a 和— a ；0的平方根是0；负数没有平方根。 若x 2 =a （a ≥0），则x=±a 。 9.算术平方根：整数a 的正的平方根+a 叫做a 的算术平方根，+a 可简记为a 。0的算术平方根仍为0. 10.立方根：若x 3 =a ，则x 叫做a 的立方根（或三次方根），记为3a ，即x=3a 。正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 11.科学记数法：把一个数写成a ×10n （1≤a ＜10，n 是整数），叫做科学记数法。 12.有效数字：从最左边的不是零的数字算起，到最后一位要保留的数字为止。 【考点例解】 （1）2007年3月5日 A. 75210? B. 75.210? C. 85.210? D. 85210? （2）下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是 非负数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数. 其中正确的是（ ） A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.②④ （3）已知整式312 1y x a -与b a b y x +--23是同类项，那么a ，b 的值分别是 （ ） A. 2，-1 B. 2，1 C. -2，-1 D. -2，1 （4）下列运算中正确的是（ ） A.853x x x =+ B.()92 3x x = C.734x x x =? D.()9322+=+x x （5）在函数23 x y x = -中，自变量x 的取值范围是（ ） A.0x ≠ B.32x ≠ C.3 2 x > 且0x ≠ D.0 x ≠且32 x ≠. 分析： 第（1）小题考查科学记数法；第（2）小题主要是考查学生对无 理数与实数概念的理解.（3）（4）主要是考查同类项的概念和整式的加法、乘法和正整数指数幂的运算.（5）题主要考查分式的概念与分式的基本性质. 在分式中，要使分式有意义，分式的分母要不为零；要使分式值为0，则要求分子的值为0且分式有意义. 解答：（1）B ； （2）C. （3）A ； （4）C ； （5）B ； 课堂练习： 一、选择题： 1. 下列各组数中，相等的是_________ A. ()-13和1 B. ()-12和－1 C. ()-12和－1 D. ---()||11和 2. 设a ，b 为两实数，则下列命题中是假命题的是_________ A. 若a+b=0，则|a|=|b| B. 若|a|+|b|=0，则a=b=0 C. 若a 2+b 2=0，则a=b=0 D. 若|a+b|=0，则a=b=0 3. 一天的时间共86400秒，用科学记数法表示应为_________ A. 86410 4.×秒 B. 864103.×秒 C. 864102.×秒 D.864105.×秒 4. 如果2（x+3）的值与3（1－x ）的值互为相反数，那么x 等于_________ A. 9 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知x a x b m n ==，，（其中x ≠0，m 、n 为正整数），则x m n 32-的值等于______ A. 32a b - B. a b 3 3 - C. a b 32 D. a b 3 2 6. 化简()π-+-3201的结果为： A. 12 B. －2 C. π-1 D. 3 2 7. 已知||||x y x y x y ==<+320，，且·，则的值等于_________ A. 5或－5 B. 1或－1 C. 5或1 D. －5或－1 二、填空题： 1.将207670保留三个有效数字，其近似值是_________ 平方的3倍与－5的差，用代数表示为___________ 3.如果分式x x + - 3 2 无意义，则x=______ 4.如果分式x x x 278 1 -- + 的值为0，则x=___________第二讲数与式的复习（二） 【教学目标】 1.会用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算，会用计算器进行近似计算. 2.会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算，了解两个乘法公式及其几何背景，能运用乘法公式进行简便. 3.理解因式分解的概念，了解因式分解与整式乘法之间的关系.掌握因式分解的一般思考顺序，会运用提公因式法和公式法进行因式分解，会利用因式分解解决一些简单的实际问题. 4.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值. 【重点难点】 重点：分式的基本性质和分式的化简. 难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题. 【知识梳理】 1.运算律： （1）加法交换律：a+b=b+a。 （2）加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 （3）乘法交换律：a*b=b*a。 （4）乘法结合律：（a*b）*c=a*（b*c）。 （5）乘法分配律：（a+b ）*c=a*c+b*c 。 2.a m *a n =a n m +，a m ÷a n =a n m -（a ≠0），()a m n =a mn ，()ab n =a n *b m 。 3.平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2 完全平方公式：()b a +2 =a 2 +2ab+b 2 ，()b a -2 =a 2 -2ab+b 2 4.十字相乘法：x 2 +bx+c=（x+m ）（x+n ）其中b=m+n ，c=mn 。 5.最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，这种分式叫做最简分式。 6.分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 （2）异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式，然后相加减。 7.分式的乘除法：（1）分式乘分式，用分子的积作为分子，分母的积作为分母。 （2）分式除以分式，等于被除式乘除式的倒数。 【考点例解】 例1 计算：32211(1)3()3 +-÷?-. 分析：本题主要是考查有理数的乘方运算及有理数混合运算的顺序. 解答：原式1 1801(1)919 8181 =+-÷?=- =. 例2 先化简，再求值：()()()()2 32325121x x x x x +-----，其中1 3 x =-. 分析：本题主要考查乘法公式的灵活应用及整式的化简求值.解答这一类 题目时，一般应先将整式化简，然后再将字母的值代入计算. 解答：原式222945544195x x x x x x =--+-+-=-. 当1 3 x =-时，原式19583??=?--=- ??? . 例3 （1）在一次数学课堂练习中，小聪做了以下4道因式分解题，你认 为小聪做得不够完整的一道题是（ ） A.()321x x x x -=- B.() 2 222x xy y x y -+=- C.()22x y xy xy x y -=- D.()()22x y x y x y -=+-. （2）因式分解()2 19x --的结果是（ ） A.()()81x x ++ B.()()24x x +- C.()()24x x -+ D.()()108x x -+. 分析：本题主要是考查因式分解的概念和因式分解一般思考顺序，强调 因式分解一定要分解到结果中的每个因式都不能再分解为止. 解答：（1）A ； （2）B. 例4 在日常生活中经常需要密码，如到银行取款、上网等. 有种用“因 式分解”法产生的密码方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =，则各因式的值分别是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 同理，对于多项式324a ab -，若取10a =，10b =，则产生的密码是： （写出一个即可）. 分析：本题是因式分解的知识在实际生活中的简单应用. 解答时只需要 先对多项式进行因式分解，再求各因式的值就可以了. 解答：()()()32224422a ab a a b a a b a b -=-=-+，当10a =，10b =时，各因 式的值分别是：10a =，210a b -=，230a b +=，所以密码可以为101030（也可以为103010或301010）. 例6. 计算÷·x x x x x x x x x x x xy y 222222 244234299 22+-+++--++--+ 解：原式÷·= -+++-+-++--()()()()()()()()() ()()x x x x x x x x x x y x 1222312232322 归纳：对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先 将每个多项式分解因式，然后将除法统一成乘法，最后再进行约分化简。 课堂练习： 一、选择题： 1. 已知二次三项式22x bx c ++分解因式为231()()x x -+，则b 、c 的值为________ A. b c ==-31， B. b c =-=62， C. b c =-=-64， D. b c =-=-46， 2. 已知a+b=3，ab=1，则a b 44+的值是________ A. 7 B. 47 C. 49 D. 81 3. 将a ab ac bc 2-+-分解因式，结果正确的是________ A. ()()a b a c +- B. ()()a b a c -- C. ()()a b a c ++ D.()()a b a c -+ 4. 将a ab ac bc 2-+-分解因式，结果正确的是________ A. ()()a b a c +- B. ()()a b a c -- C. ()()a b a c ++ D.()()a b a c -+ 二、填空题： 1. 计算： x x x --=111 ÷()________ 2. 若代数式x x -+2 2 的值等于零，则x=________； 若代数式()()x x -+21的值等于零，则x=________ 3. 已知113x y -=，则分式2322x xy y x xy y +---的值为__________ 4. 已知a a a a + =+=131 22，则_________ 三、解答题： 1. 计算：x x x x x x 2211212 +-----÷ 2. 若a b a b ab -=+-2222 ，求的值。 3. 计算：x x x x x x 221121 2 +-----÷ 4. 计算：2 2)11()11(b a b a -+--- 第三讲 二次根式（一） 【教学目标】 1. 理解二次根式的概念，并利用a ≥0）的意义解答具体题目。 2. （a ≥0）是一个非负数和（2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简。 3. （a ≥0）并利用它进行计算和化简． 【重点难点】 1． （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； a ≥02 =a （a ≥0） 2. a ≥0）是一个非负数；?用探究的方法导 2=a （a ≥0）；讲清a ≥0时，a 才成立 【教学过程】 一、引入概念 根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因 a ≥0）?二次根号． 试思考： 1．-1有算术平方根吗 2．0的算术平方根是多少 3．当a<0， 例11 x 、 （x>0、、 1 x y +（x ≥0，y?≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被 开方数是正数或0． 解：二次根式有：x>0）、x ≥0，y ≥0）； 1x 、 1 x y +． 例2．当x 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以 3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 13 当x ≥13 在实数范围内有意义． a ≥0）是一个非负数 学生思考：当a ≥0叫什么当a<0 （a ≥0）是一个什么数呢 做一做：根据算术平方根的意义填空： ）2=_______）2=_______2=______） 2 =_______； 2=______2=_______）2=_______． 是4是一个平 方等于42=4。同理可得其它。 例3 计算 12 2．（2 32 42 分析2=a （a ≥0）的结论解题． 解：（ 2 =3 2 ，（2 =322=32·5=45， 2=56 ，（）274=． a （a ≥0） 回顾重要内容； 1a ≥0）的式子叫做二次根式； 2a ≥0）是一个非负数； 3．2＝a （a ≥0）． 试思考：当a ≥0是否也成立呢 （学生活动）填空： =_______；； =________=________=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =2；=11023=0=37 ． 例4 化简 （1（2）（3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32，所以都可运用（a ≥0）?去化简． 解：（1（2 （3=（4 例5填空：当a ≥0时，；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题． （1，则a 可以是什么数 （2，则a 可以是什么数 （3，则a可以是什么数 分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时， -a≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3） 根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢a<0． 解：（1，所以a≥0； （2，所以a≤0； （3）因为当a≥0时，要使，即使a>a所以a不存在；当 a<0时，，要使，即使-a>a，a<0综上，a<0 四、归纳小结 （1）a是一个非负数； （2）)0 ( ) (2≥ =a a a； （3）a a= 2(a≥0)． 【课堂练习】 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（） A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（） A B．1 x 3根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 6 ）． A ．0 B ．23 C ．423 D ．以上都不对 二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 4．（2 =________． 5_______数． 6．-=________. 三、综合提高题 1．计算 （1）2 （2）-2 （3）（ 12 ）2 （4）（）2 (5) 2. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+ 用心 爱心 专心 九年级（上）数学复习1 第二十一章 二次根式 ?知识网络图表? ?习题练习? 1. 2)x > 2. 已知0=，求x 、y 的值。 3..已知0b > 4. 若a b == a 、 b 表示为多少？ 5. - 6. 式子=x 的取值范围是多少？ 7.当x=_____时 3的值最小,最小值是:_______. 8.在实数范围内分解因式:425x - 9.计算 2 1)+++ (2).22-?+-- 10.等式 :x y -=中的括号内应填入:________ 11.下列二次根式中,最简二次根式是( ) 12.下列各式中, ( ) 13. = 成立,则x 的取值范围为( ) A.2x ≥ B.3x ≤ C.23x ≤≤ D.23x << 14.计算 结果是:( ) A. 15. 数5- 的整数部分是x, 小数部分是y, 则x-2y 的值是( ) A.1- B.1- 1 D.1--16. 已知a b = = （ ） Ａ.5 Ｂ.6 Ｃ.3 Ｄ.4 17. 若 2 x -有意义，则x 的取值范围是：_________ 18.实数a 在数轴上的位置如图,化简 :1a -+ 19. 0= 九年级（上）数学复习2 第二十二章一元二次方程? ? 1.下列关于x的方程中:①20 ax bx c ++=,②2560 k k ++=,③3 1 342 x x --=,④ 22 (3)20 m x ++-=.是关于x的一元二次方程的是:______(只填序号) 2.关于x的方程1 (3)50 a a x x - -++=是一元二次方程,则a =_______. 3.如果210 x x +-=,那么代数式32 27 x x +-的值为:____________. 4.已知m是方程210 x x --=的一个根,则代数式2 m m -的值为多少? 5.用配方法解方程2410 x x ++=,经过配方得:_____________ 6.对于二次三项式21036, x x -+小明同学得出如下的结论：无论x取何值什么实数时，它的值都不可能等于 11。你是否同意他的说法？并说明你的理由。 7.已知实数x满足2 4410 x x -+=，则代数式 1 2 2 x x +的值为：_____________. 8.等腰三角形的底和腰是方程2680 x x -+=的两根,则这个三角形的周长是:_________. 9.已知下列n(n 为整数)个关于x的一元二次方程: () () () 2 2 2 2 10 201 2302 (1)0 x x x x x x n x n n -= +-= +-= ??????????????????? +--= (1)请解上述一元二次方程(1),(2),….（n）； (2)请你指出这个n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。 10.已知关于x的一元二次方程2(1)20 x m x m --++=， （1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值。 （2）若方程的两实数根之和等于292 m m -+ 11.若一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠有一个根是１，则a b c ++=_____ 12.请你写出一个根x=2,另一个根满足11 x -<<的一元二次方程:_____________ 13.如果关于x的一元二次方程20 x px q ++=的两根为: 12 3,1 x x ==那么这个一元二次方程是( ) A. 2340 x x ++= B. 2430 x x -+= C. 2430 x x +-= D. 2340 x x +-= 14.如果关于x的一元二次方程2690 kx x -+=有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是:________ 15.解方程(1) 2 42560 x-= (2)26100 x x --= (3) 2 541 x x -=- 16.求证:不论x取任何实数,代数式2 485 x x ++的值总大于零. 17.关于x的一元二次方程20 x px q ++=的两根 12 2,1 x x ==,则分解因式的结果为:______________ 2 九年级数学上册 圆 几何综合（提升篇）（Word 版 含解析） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】（1）y=x 2 +2x-8（2）（-1，- 72）（3）（-8，40），（-15 4，-1316），（-174 ，-25 16 ） 【解析】 分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值； （2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值， 从而求出点E 的坐标； （3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标. 详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+- 圆 目录 圆的定义及相关概念 垂经定理及其推论 圆周角与圆心角 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 圆内接四边形 会用切线, 能证切线 切线长定理 三角形的内切圆 了解弦切角与圆幂定理（选学） 圆与圆的位置关系 圆的有关计算 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d＞r；②点在圆上?d=r；③点在圆内? d＜r； 【典型例题】 例1 在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD是直径，? = ∠84 EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。 M A B C 1中考第一轮复习 三角形 中考大纲剖析 本讲结构 1 2 一、等腰三角形 二、直角三角形 1．直角三角形的边角关系． ①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数． 2．特殊直角三角形 知识导航 3 三.尺规构造等腰三角形和直角三角形 四.全等三角形 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL． 在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合. 五.相似三角形 相似三角形的性质： ⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比． 3 4 ⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定： ⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似； ⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型： (1)E D C B A (3)E D C B A (4) D C B A D C B A (6) E D C B A (2)E D C B A (5) E D C B A （10） （9） （8） A B D E A B C D E E D B A 【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求. 另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”. 【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A 、B 是 两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC △为等腰三角形，则点C 的 个数是（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 （2）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4)，0，点B 的坐标为(410)，，点C 在y 轴上，且ABC △ 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ． （2010顺义一模） （3）已知：如图，在ABC △中，B ACB ∠=∠， 点D 在AB 边上，点 E 在AC 边的延长线上，且BD CE =， 连接DE 交BC 于F ． 求证：DF EF =． （2012海淀期中） 模块一 特殊三角形 夯实基础 A C F E D B 人教新版初中数学知识点总结（全面最新） 目录 一、七年级数学（上）知识点 1、有理数 2、整式的加减 3、一元一次方程 4、图形的认识初步 二、七年级数学（下）知识点 5、相交线与平行线 6、实数 7、平面直角坐标系 8、二元一次方程组 9、不等式与不等式组 10、数据的收集、整理与描述 三、八年级数学（上）知识点 11、三角形 12、全等三角形 13、轴对称 14、整式的乘除与分解因式 15、分式 四、八年级数学（下）知识点 16、二次根式 17、勾股定理 18、平行四边形 19、一次函数 20、数据的分析 五、九年级数学（上）知识点 21、一元二次方程 22、二次函数 23、旋转 24、圆 25、概率 六、九年级数学（下）知识点 26、反比例函数 27、相似 28、锐角三角函数 29、投影与视图 七年级数学（上）知识点 第一章 有理数 一． 知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数. (2)有理数的分类: ① ??? ?????? ????负分数负整数 负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 注意：0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； π不是有理数； 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a 和- a 互为相反数； 0的相反数还是0； (2) a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) ?? ???<-=>=) 0()0(0) 0(a a a a a a 或???<-≥=)0a (a ) 0a (a a 或???≤->=)0()0(a a a a a ； 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数； 绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组； 5.有理数比大小： 两个负数比大小，绝对值大的反而小； 数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； 大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数； 若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1； 若ab=1? a 、b 互为倒数； 若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 九年级上册数学圆章节知 识点总结 Prepared on 21 November 2021 与圆相关的基本知识和计算 一、知识梳理： （一）：圆及圆的有关概念 1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆； 2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧； 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，它是圆的最长的弦； 4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧； 5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角； （二）圆的有关性质： 1.对称性：圆是中心对称图形，其对称中心是圆心；圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线； 2.垂径定理及其推论： （1）、垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； （2）、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；（2）推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等。 4.圆周角与圆心角的关系 （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； （2）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，0 90的圆周角所对的弦是直径； 5.圆内接四边形对角互补。 （三）点与圆的位置关系 1、点和圆的位置关系 如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系． (1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内． 2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （四）直线与圆的位置关系 1、(1)直线与圆的位置关系有关概念 ①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线． ②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点． ③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． (2)用数量关系判断直线与圆的位置关系 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： (1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)； (2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)； (3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)． 2、切线 (1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． (3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． (4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． （五）三角形的外接圆和内切圆 1、三角形的外接圆 （1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆． 圆 目录 一．圆的定义及相关概念 二．垂经定理及其推论 三．圆周角与圆心角 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五．圆内接四边形 六．会用切线, 能证切线 七．切线长定理 八．三角形的内切圆 九．了解弦切角与圆幂定理（选学）十．圆与圆的位置关系 十一．圆的有关计算 十二．圆的基础综合测试 十三．圆的终极综合测试 一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5 点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆内? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A M A B C E A 反比例函数 1、正比例函数y=x 与反比例函数1 y x = 的图像相交于A 、C 两点，过A 作AB 垂直于x 轴于B ，CD 垂直于x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积是( C ) A 1 B 32 C 2 D 52 2、点P 是x 正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线1 y x = 于点Q,连接OQ ，当点P 沿x 轴的正方向运动时，Rt QOP 的面积大小是否发生变化?如果不变，请求出Rt QOP 的面积；如果改变，请说明理由。 解析 设点Q 的坐标为（x ，y ），则1 y x = ，xy=1. 因为OP=x ，PQ=y ，所以 Rt QOP 的面积=12OP PQ ??=12xy=1 2 。所以当点P 沿x 轴的正方向运动时， Rt QOP 的面积大小不发生变化，面积恒为1 2。 3、已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数k y x = （k 0，x 0）的图像上。点P （m ，n ）是函数k y x =（k 0，x 0） 的图像上任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 （1 ）求点B 的坐标及k 的值； （2）当S=4.5时，求点P 的坐标； （3）写出S 关于m 的函数关系式。 解答 （1）点B 坐标为（3,3），k=9。 （2）当S=4.5时，点P 的坐标为（6,1.5）。 （3）S=93,03,279 3.m m m m -≤?? ?-??当 4、已知点（1,3）在函数k y x = （x 0）的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数k y x = （x 0）又经过A 、E 两点，点E 的横坐标为m 。 （1）求k 值； 初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 圆 章节测试 时间:40分钟 满分:120分 姓名: 得分: 一、选择题（本大题共9小题，共54分） 1. 如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ） A. 4π B. 6π C. 12π D. 16π 2. 一个扇形的弧长是10πcm ，面积是60πcm 2，则此扇形的圆心角的度数是（ ） A. 300° B. 150° C. 120° D. 75° 3. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ） A. ∠ADC B. ∠ABD C. ∠BAC D. ∠BAD 5. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接OC ，若∠ACO =30°，则∠BOC 的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 55° D. 60° 6.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12， OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（） A. 26π B. 13π C. D. 7.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的 对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（） A. B. 2- C. 2- D. 4- 8.如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°， 则阴影部分的面积是（） A. 4π-4 B. 2π-4 C. 4π D. 2π 圆中的基本概念及定理（讲义） 课前预习 在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为 ． 在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径． 一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角． 知识点睛 1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个 端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”． 2.圆中概念： 弧：，弧包括和； 弦：； 圆周角：； 圆心角：； 弦心距：； 等圆：； 等弧：． 3.圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是； 圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理： *（1）垂径定理： ．推论： ．（2）四组量关系定理：在中，如果 、、、 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （3）圆周角定理：．推论1：． 推论2：， ．推论3：． 注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边 形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 圆中处理问题的思路： ①找圆心，连半径，转移边； ②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式； ③遇直径，找直角，由直角，找直径； ④由弧找角，由角看弧． C D A R B 精讲精练 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立 的是（ ） ︵ ︵ A ．CM =DM B ． C B =B D C ．∠ACD =∠ADC D ．OM =MB 第 1 题图 第 2 题图 2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为 ． ，则⊙O 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 mm ． 第 3 题图 第 4 题图 4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为 ． 5. 如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2 ，则∠BCD = ． 6 3 [中考]2013中考数学总复习资料 2013年春季初三数学讲义——(6) 姓名: 课件收件人:彭杰洪 一、基本知识点: (一)、实数与数轴 1、数轴:规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系:数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 (二)、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。 (三)、实数的运算 1、加法: (1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加; (2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法:减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法: (1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 (2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。 (3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 4、除法: (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。 (3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。 5、乘方与开方:乘方与开方互为逆运算。 6、实数的运算顺序:乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。 (四)、有效数字和科学记数法 n101、科学记数法:设N,0，则N= a?(其中1?a,10，n为整数)。 2、有效数字:一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种:(1)精确到那一位;(2)保留几个有效数字。 二、经典例题: 例1、-4的绝对值 11A. 4 B. -4 C. D. ,44 yxx,5例2、已知+=0，则3++1= . y，2x，6 例3、x为何值时，下列各式在实数范围内有意义 1,x1(1); (2); (3) ,，23x2x，1x,4 例4、a、b在数轴上的位置如图所示，且,，化简 aabba,，,,aba0b 1，，3422(2)(1)(12)(),，,,,,,,,2，，例5、(1); 2，， 0.25413(2)，，,，,，， 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 o叫作圆圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点 心，线段0A叫作半径。第二种：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长， 也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（ 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD, AB是弦，且CDLAE， C ~|M A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M CDLABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心 圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。 24.1.4圆周角 知识点一圆周角定理 第11讲与圆有关的位置关系 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有 关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。 知识梳理 讲解用时：25分钟 与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种，设⊙Ｏ的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ⊙点P在圆外⊙ｄ＞r ⊙点P在圆上⊙d=r ⊙点P在圆内⊙ｄ＜r 注意： 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆 心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。 （2）直线与圆的位置关系 直线和圆的3种位置关系： ⊙相离：一条直线和圆没有公共点； ⊙相切：一条直线和圆只有一个公共点，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点； ⊙相交：一条直线和圆有两个公共点，这条直线叫圆的割线； 判断直线和圆的位置关系： ⊙直线l和⊙Ｏ相交⊙ｄ＜r ⊙直线l和⊙Ｏ相切⊙d=r ⊙直线l和⊙Ｏ相离⊙ｄ＞r （3）圆与圆的位置关系 ⊙外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙相交：两个圆有两个公共点； ⊙内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部； ⊙内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。 判断圆和圆的位置关系： ⊙两圆外离⊙ｄ＞R+r； ⊙两圆外切⊙d=R+r； ⊙两圆相交⊙Ｒ﹣r＜d＜R+r（R≥ｒ）； ⊙两圆内切⊙d=R﹣r（R＞r）； ⊙两圆内含⊙ｄ＜R﹣r（R＞r）． 2019-2020 年中考数学总复习名师讲义— 完全平方公式变形的应用 完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。 一 . 完全平方公式常见的变形有 a 2+b 2=（ a+b ） 2-2ab ， 2 2 2 a + b =（ a-b ） +2ab ， （ a+b ） 2-（ a-b ）2 =4ab ， a 2+ b 2+ c 2=（ a+b+c ） 2-2（ab+ac+bc ） 二 . 乘法公式变形的应用 例 1： 已知： x 2+y 2+4x-6y+13=0 ， x 、 y 均为有理数，求 x y 的值。 分析：逆用完全乘方公式，将 x 2+y 2+4x-6y+13 化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出 x 与 y 的值即 可。 解：∵ x 2+y 2+4x-6y+13=0 ， （ x 2+4x+4 ） +（ y 2 -6y+9 ）=0 ， 2 2 。 即（ x+2） +（ y-3 ） =0 ∴ x+2=0 ， y=3=0 。 即 x=-2 ， y=3。 ∴ x y =（ -2） 3=-8 。 例 2 已知 a 6，试求 a 2 的值。 a 2 a 1 a 4 a 2 1 分析：本题巧妙地利用 a 2 1 ( a 1 ) 2 2 进行运算。 a 2 a 解：由 a ，可知 a ，因此可得 a 2 a 1 6 a 2 1 a 1 a 1 1 ， 6 a a a 1 5 。 a 6 a 2 1 1 1 a 4 a 2 1 a 2 1 1 (a 1 2 5 ) 2 1 a 2 ) 1 ( a 6 例 3 已知： a+b=8， ab=16+c 2，求（ a-b+c ） 2002 的值。 分析：由已知条件无法直接求得（ a-b+c ） 2002 的值，可利用（ b 与 c 的关系，再计算（ a-b+c ） 2002 的值。 2 2 2 2 2 解：（ a-b ） =（ a+b ） -4ab=8 -4（ 16+c ） =-4c 。 ∴ a-b=0， c=0。∴（ a-b+c ）2002=0。 36 3 3 。 11 11 a-b ） 2=（ a+b ） 2 -4ab 确定 a- 最新人教版九年级数学下册教案全册 正弦和余弦（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实． （二）能力训练点 逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． （三）德育渗透点 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 二、教学重点、难点 1．重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实． 2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论． 三、教学步骤 （一）明确目标 1．如图6-1，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则A、B间距离为多少米？ 2．长5米的梯子以倾斜角∠CAB为30°靠在墙上，则A、B间的距离为多少？ 3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A、B间距离为多少？ 4．若长5米的梯子靠在墙上，使A、B间距为2米，则倾斜角∠CAB为多少度？ 前两个问题学生很容易回答．这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识．但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用．同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来． 通过四个例子引出课题． （二）整体感知 1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值． 学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值．程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长． 2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的．大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？ 这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知． （三）重点、难点的学习与目标完成过程 1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”．但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃．对于这个问题，部分学生可能能解决它．因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成． 2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导： 三元一次方程组 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握三元一次方程组的概念； 2.掌握三元一次方程组的解法； 3.理解三元一次方程组的特殊解法 . 1．三元一次方程组的概念: 含有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是_____,并且共有______方程,这样的方程组叫做三元一次方程组. 注意:每个方程不一定都含有三个未知数,但方程组______要含有三个未知数. 2.三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是______,其基本方法是______和______. 步骤:①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组; ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值; ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把 这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解. 注意：灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组. 参考答案： 1.1,三个,整体上 2.消元,代入法,加减法 1.三元一次方程组的一般解法 【例1】解方程组34,6, 2312.x y z x y z x y z -+=?? ++=??+-=? ①②③ 【解析】对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出： （一） 消元的选择 新人教版九年级上册数学知识点归纳 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程有四个特点：(1) 只含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2；(3) 是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2+bx+c=0(a≠0) 的形式，则这个方程就为一元二次方程．（ 4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时，应满足（a≠0） 21.2降次——解一元二次方程 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法： 用直接开平方法解形如(x- m)2=n (n ≥0) 的方程，其解为x=± m. 直接开平方法就是平方的逆运算. 通常用根号表示其运算结果. 2、配方法 通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的 依据是完全平方公式。 1.转化：将此一元二次方程化为 ax^2+bx+c=0 的形式 ( 即一元二次方程的一般形式） 2.系数化 1：将二次项系数化为 1 3.移项：将常数项移到等号右侧 4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方：左右同时开平方 7.求解：整理即可得到原方程的根 3、公式法 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac 的值，当 b2- 4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(b2- 4ac≥0) 就可得到方程的根。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因 式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二 次方程的方法叫做因式分解法。 21.3实际问题与一元二次方程 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展 从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于 一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就 很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题， 数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等． 九年级数学第二十四章圆测试题（A） 时间：45分钟分数：100分 一、选择题（每小题3分，共33分） 1 .若O O所在平面内一点P到O O上的点的最大距离为10, A . 14 B . 6 C . 14 或6 D. 7 或3 2. 如图24—A —1 , O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离 A . 4 B . 6 C . 7 I 3. 已知点O ABC的外心，若/ A=80 A . 40 4. 如图 A . 20° B . 80 24—A — 2, B . C. 160° △ ABC内接于O 最小距离为 OM的长为 4则此圆的半径为（ 3,则弦AB 的长是 D . 8 ，则/ BOC的度数为（ D. 120° 若/ A=40 °，则/ OBC的度数为（ O 图24—A — 4 图24—A — 3 小明同学设计了一个测量圆直径的工具， 垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上， A . 12个单位 B . 10个单位 6. 如图 A . 80° 7. 如图 PB于点 A . 5 24—A —4, AB为O O的直径，点 B. 50° C. 40 ° 24—A —5, P 为O O 外一点， 5 .如图24—A —3, 标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起， 读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ D . 15个单位 ，则/ A等于（） 并使它们保持 ） PA 、 C、D，若PA=5，则△ PCD的周长为( B . 7 C . 8 D . 10 C . 1个单位 C 在O O 上，若/ B=60 ° D . 30° PB分别切O O于A、B, ) CD切O O于点E,分别交PA、 &若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为 毡，则这块油毡的面积是（） 4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油 A . 6m2 C . 12m22 D . 12二 m 9.如图24—A —6,两个同心圆，大圆的弦AB 点P,且 CD=13 , PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ A. 16 n B . 36 n 10 .已知在△ ABC中， 10 A . 3 11.如图 C、D E、 C. 52 n AB=AC=13 , 与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过） D. 81 n BC=10，那么△ ABC的内切圆的半径为（ 12 B . 5 24—A —7,两个半径都是4cm的圆外切于点C, 一只蚂蚁由点A开始依A、B、 F、C、G A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这 C. 2 径上不断爬行，直到行走2006 n cm后才停下来， A . D 点 B . E 点 C . F 点D 二、填空题（每小题3分，共30分） 12 .如图24—A —8,在O O中，弦AB等于O 则蚂蚁停的那一个点为（ .G点 O的半径，0C丄AB交O O于点C,则 8段路 ）新人教版九年级数学上册复习提纲
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