第八章向量代数与空间解析几何
第一节向量及其线性运算
教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离公式
3.向量的概念
4.向量的运算
教学难点： 1. 空间思想的建立
2.向量平行与垂直的关系
教学内容：
一、向量的概念
1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向
量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。
3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全
重合的向量）。
4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。
模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。
5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。
6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a
二、向量的线性运算
b c
1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有
时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7
a －4
2．a b c 即 a ( b) c
3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为
(1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a |
(2) 0 时， a 0
(3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a |
其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么
a 0a
a
定理 1：设向量，那么，向量
b 平行于
a
的充分必要条件是：存在唯一的实数
λ
，
a≠ 0
使b＝a
例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图 7－ 4
解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1
(a b) 2
由于 MC MA ，于是 MC 1
b)
(a
2 1
(b a)
又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD
1 (b 2
由于 MB MD ，于是 MB a)
2
三、空间直角坐标系
1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）
如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度
2
转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别
为 xoy 面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。
图
图 7－1 右手规则演示
7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点
M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示
a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；
b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。若
M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1 M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为：
d 2 M 1M 2 2 2 2
M 1 NNM 2
2 2
NM 2 2
M 1 p pN
而M 1 P x2 x1
PN y2 y1
NM 2 z2 z1
所以
d M 1 M 2 ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 ) 2
特殊地：若两点分别为M ( x, y, z) ， o(0,0,0)
d oM x 2 y 2 z2
例 1：求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
2
(4 7) 2 (3 1)2 (1 2)2 14
证明 : M 1 M 2
M 2 M 3 2
7)2 (2 1)2 (3 2)2 6 (5
2
(5 4)2 ( 2 3) 2 (3 1) 2 6
M 3 M 1
由于M 2 M 3 M 3 M 1，原结论成立。
例 2：设P在x轴上，它到P1(0, 2,3) 的距离为到点 P2 (0,1, 1) 的距离的两倍，求点P 的坐标。
解：因为 P 在x轴上，设P点坐标为( x,0,0)
PP1 x 2 2 2 2 x 2 11 2 2 2 2 2
3
x 1 x 2
PP 1
PP1 2 PP2 x2 11 2 x2 2
x 1
所求点为：(1,0,0) ， ( 1,0,0)
四、利用坐标系作向量的线性运算
1．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设 a = M 1M 2 是以 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 为起点、 M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) 为终点的向量， i 、 j 、 k
分别表示
图 7－ 5
沿 x ， y ，z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图 7－ 5，并应
用向量的加法规则知：
M M
2
( x
2
x ) i + ( y 2 y 1 ) j + (z 2 z 1 ) k
1
1
或
a = a x i + a y j + a z k
上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。
有序数组
a x
、 y 、 z 与向量 a 一一对应，向量 a 在三条坐标轴上的投影
x
、 y 、 z 就
a a a a a
叫做向量 a 的坐标，并记为
a ＝ { a x ， a y ， a z } 。
上式叫做向量 a 的坐标表示式。
于是，起点为 M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) 终点为 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 的向量可以表示为
M 1M 2 { x 2 x 1, y 2 y 1 , z 2
z 1 }
特别地，点 M ( x, y, z) 对于原点 O 的向径
OM { x, y, z}
注意 ：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量 a 在坐标轴上的投影是三个数
a x 、 a y 、 a z ，
向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量
x
i 、
y
、
z
.
a a j a k
2．向量运算的坐标表示
设 a
{ a x , a y , a z } ， b { b x , b y ,b z } 即 a a x i a y j
a z k ，
b b x i b y j b z k
则
(1) 加法：
a b
(a
x
b x )i (a y
b y ) j
(a
z
b z )k
◆ 减法：
a b
(a
x
b x ) i
(a
y
b y ) j
( a z
b
z
) k
◆ 乘数： a ( a x )i ( a y ) j ( a z ) k
◆ 或 a b { a x b x , a y b y , a z b z}
a b { a x b x , a y b y , a z b z}
a { a x , a y , a z}
◆平行：若 a≠0时，向量b // a相当于b a ，即{ b x , b y ,b z} { a x , a y , a z}
也相当于向量的对应坐标成比例即
b x b
y b z
a x a y a z
五、向量的模、方向角、投影
设 a { a x , a y , a z} ，可以用它与三个坐标轴的夹角、、（均大于等于0，小于等于）来表示它的方向，称、、为非零向量 a 的方向角，见图7－ 6，其余弦表示形式cos 、cos 、cos 称为方向余弦。
1．模
a a x2 a2y a2z
2．方向余弦
a x M 1 M 2 由性质 1 知a y M 1M 2
a z M 1 M 2 cos a cos
cos a cos，当a a2x a2y a 2z0 时，有cos a cos
a x a x
cos
a a x2 a y2 a z2
a y a y
cos
a a x2 a y2 a z2
a z a z
cos
a a x2 a y2 a z2
◆任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2cos2 1 ◆与非零向量 a 同方向的单位向量为：
a 0 a 1 { a x , a y , a z } {cos , cos , cos }
a a
例：已知两点 M(2,2, 2 )、M(1,3,0) ，计算向量 M 1M 2 的模、方向余弦、方向角以及与
1 2
M 1M 2同向的单位向量。
解： M 1M 2 ＝ {1-2 ， 3-2 ，0- 2 }={-1 ， 1，- 2 }
M 1 M 2 ( 1) 2 12 ( 2) 2 2
cos
1
， cos
1
， cos
2
2 2 2
2
，，
3
3 3 4
设 a 0为与M1M2 同向的单位向量，由于 a0 {cos , cos , cos }
即得
a0 { 1 , 1 , 2 }
2 2 2
3．向量在轴上的投影
(1) 轴上有向线段的值：设有一轴u ， AB 是轴 u 上的有向线段，如果数满足
AB ，且当 AB 与轴 u 同向时是正的，当 AB 与轴 u 反向时是负的，那么数叫做轴 u 上有向线段AB 的值，记做AB，即AB 。设e是与u轴同方向的单位向量，则
AB e
(2) 设 A、 B、C是 u 轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有AC AB BC
(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量 a 和b，任取空间一点O，作OA a ，OB b，规定不超过的 AOB 称为向量 a 和b的夹角，记为
(a,b)
(4)空间一点 A 在轴u上的投影：通过点 A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A'叫做点 A 在轴u上的投影。
(5)向量 AB 在轴 u 上的投影：设已知向量 AB 的起点A和终点B在轴 u 上的投影分别为点 A'和 B '，那么轴u上的有向线段的值A' B'叫做向量AB在轴u上的投影，记做
Pr j u AB 。
2．投影定理
性质1：向量在轴u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：
Pr j u AB AB cos
性质 2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
Pr j u ( a1a2 ) Pr j a1Pr j a2
性质 3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
Pr j u ( a)Pr j a
小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自
由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角
坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。
作业：
第二节数量积向量积
教学目的：让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点： 1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式
2.向量平行、垂直的应用
教学难点： 1. 活学活用数量积、向量积的各种形式
2.向量平行与垂直的相应结论
教学内容：
一、数量积：
a)定义： a b a b cos，式中为向量a与b的夹角。
b)物理上：物体在常力 F 作用下沿直线位移 s，力 F 所作的功为
W F s cos
其中为 F 与 s 的夹角。
c) 性质：Ⅰ . a a
2 a
Ⅱ . 两个非零向量 a 与 b 垂直a b 的充分必要条件为： a b 0 Ⅲ. a b b a
Ⅳ . (a b) c a c b c
Ⅴ . ( a) c (a c) 为数
d) 几个等价公式：
Ⅰ . 坐标表示式：设a { a x , a y , a z} ， b { b x , b y ,b z} 则
a b a x b x a y b y a z b z
Ⅱ . 投影表示式：a b a Pr j a b b Pr j b a
Ⅲ . 两向量夹角可以由
a b
cos 式求解
a b
e)例子：已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求AMB
提示：先求出向量MA 及 MA ，应用上求夹角的公式。
二、向量积：
a)概念：设向量 c 是由向量a与b按下列方式定义：
c的模c a b sin，式中为向量a与b的夹角。
c 的方向垂直与a 与 b 的平面，指向按右手规则从 a 转向 b。
※注意：数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。
b)公式： c a b
f)性质：Ⅰ . a a 0
Ⅱ . 两个非零向量 a 与 b 平行 a∥ b 的充分必要条件为： a b 0
Ⅲ . a b b a
Ⅳ . (a b) c a c b c
Ⅴ . ( a) c a ( c) ( a c) 为数
c)几个等价公式：
Ⅰ . 坐标表示式：设
a { , ,
a z
} ， b { b , b ,b } 则a x a y x y z
a b (a y b z a z b y )i ( a z b x a x b z ) j (a x b y a y b x )k
i j k
Ⅱ . 行列式表示式： a b a x a y a z
b x b y b z
d) 例子：已知三角形ABC的顶点分别为：
A(1,2,3) 、 B(3,4,5) 和 C(2,4,7) ，求
三角形 ABC的面积。
解：根据向量积的定义，S
ABC
1
AB AC sin C
1
AB AC
2 2
由于 AB ＝{2,2,2}， AC ＝{1,2,4}
i j k
因此 AB AC 2 2 2 4i 6 j 2k
1 2 4
于是 S ABC 1
AB AC 1 42 ( 6) 2 22 14 2 2
小结：向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件）
作业：
第三节平面及其方程
教学目的：介绍最简单也是非常常用的一种曲面——平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领
会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解
平面与其法向量之间的关系。
教学重点： 1. 平面方程的求法
2.两平面的夹角
教学难点：平面的几种表示及其应用
教学内容：
一、平面的点法式方程
1．平面的法线向量定义：垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂直。
2．平面的点法式方程
已知平面上的一点 M
0 (x , y , z ) 和它的一个法线向量
n { A, B,C}
，对平面上的任0 0 0
一点 M ( x, y, z) ，有向量M0M n，即
n M0M 0
代入坐标式有：
A( x x0 ) B( y y0 ) C (z z0 ) 0 （ 1）
此即平面的点法式方程。
例 1：求过三点M 1（2，－1，4）、 M 2（－1，3，－2）和 M 3（0，2，3）的平面方程。
解：先找出这平面的法向量n ，
i j k
n M 1 M 2 M 1 M 3 3 4 6 14i 9 j k
2 3 1
由点法式方程得平面方程为
14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0
即：14x 9 y z 150
二、平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为：
Ax By Cz D0
几个平面图形特点：
1）D＝0：通过原点的平面。
2）A＝0：法线向量垂直于x 轴，表示一个平行于x 轴的平面。
同理： B＝0或 C＝0：分别表示一个平行于y 轴或z轴的平面。
3）A＝B＝ 0：方程为C Z D 0 ，法线向量 { 0,0, C} ，方程表示一个平行于xoy 面的平面。
同理： A X D 0 和 B Y D 0 分别表示平行于yoz面和xoz面的平面。
4）反之：任何的三元一次方程，例如：5x 6 y 7z 11 0 都表示一个平面，该平面的法向量为 n {5,6, 7}
例 2：设平面过原点及点(6, 3, 2) ，且与平面 4x y 2z 8 垂直，求此平面方程。
解：设平面为 Ax By Cz D 0 ，由平面过原点知 D 0
由平面过点 (6, 3, 2) 知 6 A 3B 2C 0，
n { 4, 1,2} 4 A B 2C 0 A B 2 C
3
所求平面方程为 2 x 2 y 3z 0 三．两平面的夹角
定义：两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。
设平面1 : A1 x B1 y C1 z D1 0 ，2 : A2 x B2 y C2 z D 2 0
n1 { A1, B1 , C1} ，n2 { A2 , B2 ,C2 } 按照两向量夹角余弦公式有：
| A1 A2 B1 B2 C1C 2 |
cos
A12 B12 C12 A22 B22 C 22
三、几个常用的结论
设平面 1 和平面 2 的法向量依次为n1 { A1 , B1,C1 } 和 n2 { A2 , B2 , C 2 }
1) 两平面垂直：A1 A2 B1B2 C1C 2 0 （法向量垂直）
2) 两平面平行：
A1 B1 C1
A2 B2 （法向量平行）
C 2
3)平面外一点到平面的距离公式：设平面外的一点P0 ( x0 , y0 , z0 ) ，平面的方程为Ax By Cz D0 ，则点到平面的距离为
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B 2 C 2
例 3：研究以下各组里两平面的位置关系：(1) x 2 y z 1 0,y 3z 1 0
(2) 2x y z 1 0, 4x 2y 2z 1 0
(3) 2x y z 1 0, 4x 2 y 2z 2 0
解： (1) cos
| 1 0 2 1 1 3 | 1
( 1) 2 22 ( 1) 2 12 32 ，
60 两平面相交，夹角arccos 1
60
n1 { 2, 1,1} ， n2 { 4,2, 2} 2 1 1 4 2 2
两平面平行M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2
两平面平行但不重合。（ 3）
2 1 1
4 2 两平面平行
2
M (1,1,0) 1 M (1,1,0) 2 所以两平面重合小结：平面的方程三种常用表示法：点法式方程，一般方程，截距式方程。
两平面的夹角以及点到平面的距离公式。
作业：
第四节空间直线及其方程
教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点： 1. 直线方程
2.直线与平面的综合题
教学难点： 1. 直线的几种表达式
2.直线与平面的综合题
教学内容：
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
二、空间直线的对称式方程与参数方程
平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点 M
0 (x , y , z ) 和它的一方向向量
s { m, n, p}
，设直线上任一点为0 0 0
M(x, y, z) ，那么M0M与s平行，由平行的坐标表示式有：
x x0y y0z z0
m n p
此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。（写时参照书上注释）如设
x x0 y y0 z z0
t
m n p
就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）
x x0mt
y y0nt
z z0pt
三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例 1：用对称式方程及参数方程表示直线x y z 1 0 2x y 3z 4 0
解：在直线上任取一点( x0 , y0 , z0 ) ，取 x0 1 y0 z0 2 0 解得
y0 3z0 6 0
y00, z02，即直线上点坐标(1,0, 2)
因所求直线与两平面的法向量都垂直取s n1n2{ 4, 1, 3} 对称式方程为：
x 1 y 0 z 2
参数方程：
x 1 4t
y t
3t
4 1 3 z 2
例 2 一直线过点A(2, 3,4) ，且和y轴垂直相交，求其方程解：因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为B(0, 3, 0)
s BA{ 2,0,4} ，
所求直线方程：x2y3z 4
两直线的夹角20 4
两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
设两直线 L1和 L 2的方向向量依次为s1{ m1 , n1 , p1} 和 s2{ m2 , n2 , p2 } ，两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算
cos m1m2 n1n2 p1 p2
n12 p12 m22 n22 p22
m12
两直线 L1和 L2垂直：m1 m2 n1 n2 p1 p2 0 （充分必要条件）
m1 n1 p1
（充分必要条件）两直线 L1和 L2平行：
n2 p2
m2
例 3：求过点( 3, 2,5) 且与两平面x 4z 3 和2x y 5z 1 的交线平行的直线方程解：设所求直线的方向向量为s { m, n, p} ，根据题意知直线的方向向量与两个平面的法
向量都垂直，所以可以取s n1 n2 { 4, 3, 1}
x 3 y 2 z 5 所求直线的方程
3 1
4
三、直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角(0 ) 称为直线
2
与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为。
2
设直线 L 的方向向量为s { m, n, p} ，平面的法线向量为n{ A, B, C} ，直线与平面的夹角为，那么
Am Bn Cp
sin
A2B2 C 2m2n 2p 2
直线与平面垂直：
s A B C
Am Bn Cp 0
x y z 1 0
m
n
p
x y z 1 0
( A 1 x B 1 y C 1 z D 1 )
( A 2 x B 2 y C 2 z D 2 ) 0
i j
k ( 4i 3 j k ) x 3 y 2 z 5 x 1
y 1
z s 1 0
4
2 1
5
4
3
1
3
2
1
3( x
2) 2( y 1)
(z 3) 0 3 ( 2 ,
13,
3
) s
{ 2
2
,1 13 ,3 3}
6
{ 2, 1,4}
7 7 7 7
7 7
7 7
x 2 y 1 z 3 x y z 1 0
y z
x y z 1 0
2
1
4
x
x y z 1 0
x y z 1 0
( x y z 1)
(x y z 1) 0 (1 ) x (1 ) y ( 1 )z 1 0
x
y z
0 (1
) 1 (1
) 1 ( 1 ) 1 0
1 y z 1 0
面的方程
x y z 0
2.
旋转曲面的方程
教学难点：旋转曲面
教学内容：
一、曲面方程的概念
1. 实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。
2. 曲面方程的定义：如果曲面 S 与三元方程
F ( x, y, z) 0
（ 1）
有下述关系：
（ 1） 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程（ 1）
（ 2） 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程（ 1）
那么，方程（ 1）就叫做曲面
S 的方程，而曲面 S 就叫做方程（ 1）的图形。
3．几种常见曲面
（ 1）球面
例 1：建立球心在 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 、半径为 R 的球面的方程。解：设 M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) 是球面上的任一点，那么
M 0 M R
即： ( x x 0 )2
( y y 0 )2
( z z 0 )2
R
或：
( x x 0 )2
( y y 0 )2
( z z 0 ) 2 R 2
特别地：如果球心在原点，那么球面方程为（讨论旋转曲面） x 2 y 2 z 2
R 2
（ 2）线段的垂直平分面（平面方程）
例 2：设有点 A(1,2,3) 和 B(2, 1,4) ，求线段 AB 的垂直平分面的方程。
解：由题意知道，所求平面为与 A 和 B 等距离的点的轨迹，设 M ( x, y, z) 是所求平面上
的任一点，由于 | MA | | MB | ，那么
x 1 2
2
2
2
2
2
y 2
z 3
x 2
y 1
z 4
化简得所求方程
2x 6 y 2z 7 0
研究空间曲面有两个基本问题：
（ 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。
（ 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状。旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，
旋转曲线
和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。
二、旋转曲面的方程
设在 yoz 坐标面上有一已知曲线 ，它的方程为
C
f （ y ， z ）＝ 0
把这曲线绕 z 轴旋转一周，就得到一个以
z 轴为轴的旋转曲面，设 M 1 (0, y 1 , z 1 ) 为曲线 C
上的任一点，那么有
f （ y ， z ）＝ 0
（ 2）
1
1
当曲线
C 绕 z 轴旋转时， 点 1 也绕 z 轴旋转到另一点 M ( x, y, z) ，这时 z ＝ 1 保持不变， 且
M
z
点 到 z 轴的距离
M
d
x 2 y 2
y 1
将 z 1＝ z ， y 1
x 2
y 2 代入（ 2）式，就有螺旋曲面的方程为
f ( x2 y 2 , z) 0
旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。
常用旋转曲面：锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角（0° <<90°）），方程为：z 2a2 (x 2y 2 )
其中 a cot
三、柱面
1．定义：平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面。
定曲线 C：准线动直线L：母线
2．特征：x，y，z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y 轴的柱面。3：几个常用的柱面：
b) 圆柱面： x2 y 2 R 2（母线平行于z轴）
c) 抛物柱面： y 2 2x （母线平行于z轴）
四、二次曲面
1、定义：
三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面
2、截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加
以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
3、几种特殊的二次曲面
1．椭球面
方程为
x2 y2 z2
1
a2 b2 c 2
使用截痕法，先求出它与三个坐标面的交线：
2 2 2
2
2 y
2 y 1，x z
1，
z 1
，这些交线都是椭圆。再看这曲面与平行
x 2 2 2 2 2 2
a b a c b c
z 0 y 0 x 0
于坐标面的平面的交线：椭球面与平面z z1的交线为椭圆
a 2 x 2
b 2 y 2
1
(c 2 2
) 2 2
) （ | z 1 | c ），同理与平面 x x 1 和 y
y 1 的交线也是椭圆。
c 2 z 1 c 2 (c
z 1
z z 1
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化。可知其形状如右上图所示。抛物面
例：椭圆抛物面方程为
x 2
y 2 2p
z （ p 与 q 同号）
2q
其形状如右图所示。
旋转抛物面方程为
x 2
y 2 （ p >0）
2p
z
2p
双曲抛物面（鞍形曲面）方程为
x 2 y 2
z （ p 与 q 同号）
2 p 2q
当 p >0， q
>0 时，其形状如图所示。
2．双曲面
单叶双曲面方程为
x 2 y 2 z 2 1
a
2
b
2
c
2
双叶双曲面方程为
x 2 y 2 z 2 1
a
2
b
2
c
2
各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。
小结：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念
( 母线、准线 ) 。
作业：
第六节空间曲线及其方程
教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式。第五、六节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，
对投影等应在学习时特别注意。
教学重点： 1. 空间曲线的一般表示形式
2.空间曲线在坐标面上的投影
教学难点：空间曲线在坐标面上的投影
教学内容：
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形式来表示曲线。
F ( x, y, z) 0
G( x, y, z) 0
特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足
两个方程。
二、空间曲线的参数方程
将曲线 C上的动点的坐标表示为参数t 的函数：
x x(t)
y y(t) z
z(t )
当给定 t t1时，就得到曲线上的一个点(x1, y1 , z1) ，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
F ( x, y, z) 0 G( x, y, z) （ 3）
消去其中一个变量（例如z）得到方程
H ( x, y) 0 （ 4）
曲线的所有点都在方程（4）所表示的曲面（柱面）上。
此柱面（垂直于 xoy 平面）称为投影柱面，投影柱面与 xoy平面的交线叫做空间曲线 C 在 xoy 面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为
空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙
空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b
a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积
第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4
2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用 a 和 b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行 四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.
3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
向量代数与空间解析几何练习题
第4章 向量代数与空间解析几何练习题 习题4.1 一、选择题 1．将平行于同一平面的所有单位向量的起点移到同一点, 则这些向量的终点构成的图形是( ) （A ）直线； （B ） 线段； （C ） 圆； （D ） 球． 2．下列叙述中不是两个向量a 与b 平行的充要条件的是( ) （A ）a 与b 的内积等于零； （B ）a 与b 的外积等于零； （C ）对任意向量c 有混合积0)(=abc ； （D ）a 与b 的坐标对应成比例． 3．设向量a 的坐标为 31 3 , 则下列叙述中错误的是( ) （A ）向量a 的终点坐标为),,(z y x ； （B ）若O 为原点,且a =, 则点A 的坐标为 ),,(z y x ； （C ）向量a 的模长为222z y x ++；（D ） 向量)2/,2/,2/(z y x 与a 平行． 4．行列式2 131323 21的值为( ) （A ） 0 ； （B ） 1 ； （C ） 18 ； （D ） 18-． 5．对任意向量a 与b , 下列表达式中错误的是( ) （A ）||||a a -=； （B ）||||||b a b a +>+； （C ） ||||||b a b a ?≥?； （D ） ||||||b a b a ?≥?． 二、填空题 1．设在平行四边形ABCD 中，边BC 和CD 的中点分别为M 和N ，且p AM =， q =，则BC =_______________，CD =__________________．
2．已知ABC ?三顶点的坐标分别为A(0，0，2)，B(8，0，0)，C(0，8，6)，则边BC上的中线长为______________________． 3．空间中一动点移动时与点)0,0,2(A和点)0,0,8(B的距离相等, 则该点的轨迹方程是 _______________________________________． 4．设力k + 2+ =, 则F将一个质点从)3,1,0(A移到)1,6,3(, B所做的功为 F5 j i 3 ____________________________． ?_____________________; 5．已知)2,5,3(A, )4,7,1(B, )0,8,2( C, 则= ?____________________;ABC = ?的面积为_________________． 三、计算题与证明题 1．已知1 | |= c, 并且0 |= b, 5 | a, 4 |= | a? b + + ?． b ? +c + c b = c a．计算a 2．已知3 ?b || a?． |= |b a, 求| | |= ?b a, 4 | 3．设力k - =作用在点)1,6,3(A, 求力F对点)2 ,7,1(,- + B的力矩的大小． i j F5 3 2+
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 21 3+=-=z y x 的距离是：（ ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ） 3 62 B ） 3 64 C ）3 2 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0
第八章向量代数与空间解析几何 第一节向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。教学重点： 1. 空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点： 1. 空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向 量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2．量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。 3．向量相等a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全 重合的向量）。 4．量的模：向量的大小，记为 a 、OM。 模为 1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5．量平行a // b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6．负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 二、向量的线性运算 b c 1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有 时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a －4
2．a b c 即 a ( b) c 3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积a规定为 (1) 0 时， a 与a 同向， | a | | a | (2) 0 时， a 0 (3) 0 时， a 与a反向，| a | | || a | 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量，那么 a 0a a 定理 1：设向量，那么，向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ ， a≠ 0 使b＝a 例 1：在平行四边形ABCD中，设AB a ，AD b ，试用 a 和b表示向量 MA 、MB 、MC 和 MD ，这里M是平行四边形对角线的交点。（见图7－5）图 7－ 4 解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1 (a b) 2 由于 MC MA ，于是 MC 1 b) (a 2 1 (b a) 又由于 a b BD 2 MD ，于是 MD 1 (b 2 由于 MB MD ，于是 MB a) 2 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维） 如图 7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以角度 2 转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2．间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x轴、y轴、z轴，坐标面分别 为 xoy 面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。 图 图 7－1 右手规则演示 7－ 2 空间直角坐标系图图7－3空间两点 M 1 M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z)的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意：特殊点的表示
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为 k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B （A ）、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{04404=--=--y x z x （D ）?? ???==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）
第七章空间解析几何与向量代数内容概要
习题7-1 ★★1．填空： （1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥ （2） 要使 b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向 ★2．设c b a v c b a u -+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32- 知识点：向量的线性运算 解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=- ★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点 R 在线段PQ 上，且 n m RQ PR = ，证明点R 的向径为 n m m n += +r r r 12 知识点：向量的线性运算 证明：在OPQ ?中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+= n m m n m m ， ∴n m m n n m m PR OP OR ++=-++ =+=22r r r r r 1 11)( ★★4．已知菱形 ABCD 的对角线b a ==B , ，试用向量b a , 表示 , , , 。 知识点：向量的线性运算 解：根据三角形法则， b a ==-==+B D AD , AB AC BC AB ，又ABCD 为菱形， ∴ =（自由向量）， ∴222 AB AC BD AB CD DC AB --=-=-?=?=-=-= u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b b a a b ∴2b a +==，2 DA +=-u u u r a b ★★5．把ABC ?的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点 A 连接，试以 a c ==BC AB , 表示向量 , , 321A D A D A D 和A D 4。
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴
153 自测题七解答 一、填空题(本题共2小题，每空3分，满分33分) 1．点)4,1,2(--位于第( Ⅵ )卦限；关于y 轴的对称点是( (2,1,4) )；到z O x 平面的距离是( 1 )． 2．下列方程：(1)0222=--z y x ；(2)044222=+-+xy z y x ；(3) z y x 364922-=+； (4) 1=x ；(5)364922=+z x ；(6)1222=+-z y x 中， 方程( (4) )和( (5) )表示柱面；方程( (1) )和( (6) )表示旋转曲面；方程( (6) )表示旋转双曲面；方程( (3) )表示椭圆抛物面；方程( (1) )表示锥面；方程( (2) )表示两个平面． 二、单项选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分) 1．下列点在球面02222=-++z z y x 内部的是〖 C 〗． (A ) )2,0,0(； (B ) )2,0,0(-； (C ) ()5.0,5.0,5.0； (D ) ()5.0,5.0,5.0-． 2．方程组22 1,492.x y y ?+=???=? 在空间解析几何中表示〖 B 〗． (A ) 椭圆柱面； (B ) 两平行直线； (C ) 椭圆； (D ) 平面． 3．圆? ??=--+=++-+-09336)1()7()4(222z y x z y x 的中心M 的坐标为〖 A 〗． (A ) )0,6,1(； (B ) )1,7,4(-； (C ) )0,1,6(； (D ) )1,6,0(． 提示：只有点)0,6,1(到球心)1,7 ,4(-(球心)1,7,4(-到平面的距离)． 4．下列平面通过z 轴的是〖 D 〗． (A ) 013=-y ；(B ) 0632=--y x ；(C ) 1=+z y ；(D ) 03=-y x ． 三、(本题满分15分) 求过点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 且平行于z 轴的平面方程． 解 因为平面平行于z 轴，所以设平面的方程为0Ax By D ++=(缺z 项)． 又点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 在平面上，所以00A D B D +=??+=?，得A D B D =-??=-?． 则平面方程为0Dx Dy D --+= (0D ≠)，即 10x y +-=． 四、(本题满分15分)求母线平行于x 轴，且通过曲线???=+-=++0 162222222z y x z y x 的柱面方程．
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则B （A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6 (C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-3 2．平面x-2z=0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。 （A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题
1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程 解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以 根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程 解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程 解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为
《空间解析几何》教学大纲 课程代码：090532001 课程英文名称：Analytic Geometry 课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0 适用专业：应用统计学 大纲编写（修订）时间：2017.6 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 《空间解析几何》是应用统计学专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，高等代数，数学分析等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识以及研究方法。空间解析几何是用坐标法，把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。通过本课程的教学，使学生受到几何直观化及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养抽象的空间想象能力，运算能力和逻辑思维能力，能运用解析方法研究几何图形的性质，并对解析表达式予以几何解释，为进一步学习基础课程打下坚实基础。同时通过学习，进一步提高学生对中学几何理论与方法的理解，联系中学数学的教学，充分利用矢量工具注意矢量法与坐标的联系，从而获得高观点下处理中学几何问题的能力，以及画图能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 基本知识：通过本课程的学习，要求学生掌握矢量的概念；矢量的运算及矢量的坐标法；平面与空间直线方程；空间中的点、直线、平面两两之间的相互关系的代数形式的联系；曲线与曲面的一般方程；参数方程、球面和旋转面、柱面和锥面、二次曲面（十七种）、直纹面、曲面的交线和曲面所围区域；平面仿射坐标变换平面直角坐标变换空间坐标变换；二次曲线（二次曲面）方程的化；二次曲线（二次曲面）的不变量等。 基本能力：培养学生空间想象能力和运用解析方法研究几何问题以及在实际中应用这一方法的能力；严密的科学思维及分析问题解决问题的能力；用空间的观点和结构的观点解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。 基本技能：使学生获得空间解析几何的基本运算技能；运用数学软件进行具有一定难度和复杂度的空间解析几何运算技能。 （三）实施说明 1.本大纲主要依据应用统计学专业2017版教学计划、应用统计学专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定及全国通用《空间解析几何教学大纲》并根据我校实际情况进行编写的。 2.课程学时总体分配表中的章节序号在授课过程中可酌情调整顺序，课时分配仅供参考，打“*”号的章节可删去或选学。 3.教学方法：建议本课程采用课堂讲授与讨论相结合的方法，通过习题课和讨论等方式强化重点，通过分散难点，使学生循序渐进的掌握难点。 4.教学手段：建议采用多媒体等现代化手段开展教学。 （四）对先修课的要求 本课程的先修课：初等数学行列式矩阵。 （五）对习题课、实验环节的要求 习题课不单独安排。教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学们在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。
一、计算题与证明题 1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ?+?+?. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向 因此0=?b a ,0=?c b ,0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?. 解:3cos ||=?=?θb a b a (1) 4sin ||=?=?θb a b a (2) ()222)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ ρ, 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π ()30325110cos 22222 2222?++=-++?++?==z y x z y x a x 整理得 10 3222=++z y x (3) 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为??? ??-51,21,101
2016空间解析几何教学大纲
黔南民族幼儿师范高等专科学校数学教育专业 《空间解析几何》课程 教 学 大 纲 执笔人： 审定人： 批准人：
2．课程的目的和任务 通过本课程的学习，使学生熟悉向量代数这个基本的数学工具，全面掌握平面与空间直线各种位置关系的解析条件及几种典型二次曲面的几何性质,同时注重培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力． （二）总学时与学分数 总学时数：72，学分数：4. （三）课程基本内容、要求、重难点、教学建议 第一章：直线与平面 1.1 向量代数 1.1.1向量的概念 理解向量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分哪些是向量,哪些是数量。§1.1.2 向量的加法 §1.1.3 数量乘向量 掌握向量的运算与向量乘法的定义与性质。 §1.1.4 向量的线性关系与向量的分解 熟练掌握向量共线、共面的充要条件以及三点共线、四点共面的充要条件。§1.1.5标架与坐标 理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行失量的运算方法。 §1.1.6向量在轴上的射影 §1.1.7两向量的数性积
§1.1.8两向量的矢性积 §1.1.9三向量的混合积 §1.1.10三向量的双重矢性积 掌握两向量数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处。会用向量法进行有关的几何证明问题。 教学重点：向量的线性运算和三种积运算的定义、运算规律及分量表示； 教学难点：向量各种运算规律的论证及应用； 1.2 直线与平面 §1.2.1平面方程 理解法向量，点法式方程，单位法向量，法式方程，会求平面法式方程，坐标式参数方程，截距式方程，一般方程。 §1. 2.2平面与点的位置关系 理解离差的定义，掌握求点与平面的离差的方法。 §1. 2.3两平面的相关位置 掌握两平面相交，平行，重合的条件，以及求平面交角的方法。 §1. 2.4空间直线的方程 理解直线的方向向量，方向角，方向余弦，方向数的定义。会求直线的坐标式参数方程，对称方程，一般方程，一般方程化为对称方程。 §1.2.5直线与平面的相关位置 掌握直线与平面相交，平行以及直线在平面上的条件。会求直线与平面的交角。 §1.2.6空间两直线的相关位置