第五章线性微分方程组
研究对象
—?阶线性微分方程组
X； = 4 ］⑴州+ 02(°兀2 +…+仇⑴兀"+ f\⑴
X；=勺1 (')" + a22 (Z)^2 + …+ a2n⑴兀“ + fl (Z)
X；=(0^1 + d”2(0X2+…+a nn (t)x n + f n (/)
1基本概念
1）一阶微分方程组的标准型
含有〃个未知函数旺，勺，…/”及其一阶导数的微分方程组
兀=齐（佔，兀2,…,兀”）兀;= ./；（/,兀］,兀2,…,X”）
(5. 1)
X：=力亿旺,兀2,…，百）
称为一阶微分方程组的标准型，其中/；（,旺，兀2,…，兀）（7 = 1,2,…，砒是定义在77 + 1维空间（r,x,,x2,---,x z/）的某区域Q内已知的连续函数，/是白变最。
2）初值问题
求满足方程组（5. 1）及初值条件“（5）= 〃1，兀2（，0）= “2,…,X”（/o）= 的解的问题称为一阶微分方程组的初值问题（或柯西问题）。表示如K
X =/|(7,“,兀2，???，心) x； =/2(r,x1,x2,---,x…)
、X；=九（/,兀］,兀2,…，百）
及兀1仏）=〃1，兀2仏）=〃2,…,X”仏）=〃”。
3）通解
方程组（5.1）含冇乃个独立的任意常数C|,C2，???,C”的解
X】=0（'，G，°2，…，c“）
兀2 = 02（'，G，°2，八°，C”）兀=?UGG，…,C”)
X =
? ? ?
1
?
? ?
o …
1 …
? ? ?? ? ?
? ? ?X +
■
■
■000 (10)
一忑⑴_ a n-\⑴ .............. ⑴
.
/(/)
U M?B J < 、X
其中x =兀2 z
?，x =■
X
；
? ,
并R它的解为(p(t)
=
必)
■
、x,J K丿
“2?，
■
Jin
dx ~dt A(t)x + /(/)(5.3)
称为它的通解。
4)高阶线性方程与一阶方程组等价
斤阶线性微分方程的初值问题
J 兀何+6 a)x(i+…+%⑴兀‘+仇(/)% = /(/)
1^0)= "|，疋仏)=“2,…，利7(5)= 〃”
其中4(0(7 = 1,2,???,/?),/(f)是区间［a,b］上确定的函数，f()e \a,bl,g fh，…，几是确定的
常数,它的解为x =(p(t) o只要令￡ =兀，兀2 = x r ,x3 =x",…，兀"=x(w_1),它可以化为下歹ij
同时，给定其中一个初值问题的解，就可构造另一个初值问题的解，在这个意义下，
称上面两个初值问题是等价的。
5)一阶线性微分方程组
若(5.1)小函数.力(/,旺，兀2,…,x”)Q = 1,2,???,巾)关于X],X2,???,%…是线性的，即X； = 41 (/)%)+ a I2(/)x2+ …+ a ln (t)x n + f\(t)
兀;=6/2I(/)X,+a22 (/)x2 + ??? + a ln (t)x n + % (/)
< Qb. z；
X； =⑴X] + % a)*2 + …+ % (叽 + A ⑴
则称(5. 2)为一阶线性微分方程组，简称为线性方程组，其中勺(/),./；(/),，,丿=1,2,…/在区间［a,b］上连续。
6)线性方程组的向量表示
方程组(5.2)的向量形式为
-阶线性微分方程组的初值问题
皿
7
x(z) = 兀
2⑴
■ ,/(/) =
? ■ ■
S (切
dx 、 dt dx 2
dt
dX n
(5.4)
矩阵记为 X(t) = (x {(t\x 2(t)9-^x n (t)),
将其行列式
detX （Z ）称为向最函数组
的〃个线性无关解，那么称
如(/)…
仇
其中A(t) =
a 2、⑴
? ? ? 。22(，)… ? ? ? ? ? ? %⑴
? ? ?
41(0
必）…
%⑴丿
在方程组（5.3）中,若/⑴三则有
dx “、
—= dt
称（5.4）为线性齐次方程组，否则称（5.3）为线性非齐次方程组,
7）向量函数组的线性相关和线性无关
定义在区间［佔上的〃维向量函数K （/）W ??g （? 如果存在加个不全为零的 常数C 「C2,…，C 』使得C lXl （t ） + C 2x 2⑴+ ??? + €＞』）三0在区间［⑦创上成立，则 称这个向量函数组在区间［彳切上线性相关，否则称乞⑴,￡（/），?「?（/）线性无关。
8）向量函数组的朗斯基行列式
设E （f ），2（小…，刃（0是〃个向量函数,以乞⑴作为第「列（??=12…/）所构成的
兀］（/），2（/），???，￡（/）的朗斯基行列式，记为
9）基本解组和基本解矩阵
若兀a ），2（/），???，￡（/）是线性齐次方程
“2（。…
兀21(。
x 22 (/)… ? ? ? ? ? ? 兀2〃（（ X“2(° …
W(t) = detX(f)=
dx ~d t
组（5.4）旳⑴入⑴‘…心卫）是它的一个基本解组，并称矩阵（旳（"兀2⑴,…，七⑴）为方程组
討d) X(5)= X() 5 w[d,b]
（5.4）的基本解矩阵,简称基本解矩阵。
2基本定理及性质
定理5.1如果矩阵函数/（/）及向量函数/（7）在区间上连续，则对［d,b］上任一
点/（）以及任意给定的兀（），初值问题
在区间［a,b］内存在唯一?的解。
定理5. 2 （线性齐次方程组的叠加原理）
设》（/）,￡（/），…,乞”⑴是线性齐次方程组（5.4）的加个解，则
兀⑴=C l x l（/） + C2X2 ⑴+ …+ C m x m（Z）
也是（5.4）的解，其中G ,C2，?-,C W是任意常数，即线性齐次方程组的任意有限个解的任意线性组合仍为该方程组的解。
定理5.3如果向量函数组旳（/）,兀2（。，???,乞左）在区间［。,创上线性相关，则它们的朗斯棊行列式"（/）在区间［c,b］上恒等于零。
推论5.1如果向量函数组y（f）,X2（f）,???,x”（f）的朗斯基行列式“⑴在区间［。,刃上的某一点不等于零，即“仏）工0,则该向量函数组在区间［。,甸上线性无关。
定理5.4如果方程组（5.4）的n个解在其定义区间［a,b］上线性无关，则它们的朗斯基行列式"⑴在区间［a,b］上处处不为零。
推论5.2方程纽（5.4）的刃个解在其定义区间［d,b］上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式"（0在区间［a,h］上处处不为零。
定理5. 5线性齐次方程组（5.4）存在并且至多存在〃个线性无关的解。
定理5. 6 （刘维尔公式）若旳（/）, ￡⑴，…,￡⑴是线性齐次方程组（5.4）的77个解, 则这n个解的伏朗斯基行列式与方程组（5.4）的系数冇如下关系式
0（/） = 0（（0）/如"）+"22（。+??+%（/）1〃/
定理5. 7 (线性齐次方程组通解结构)如果向量函数组旳(/),x2(Z),…,七(/)是线性齐
次方程组(5.4)的〃个线性无关解，则方程组(5.4)的任一解班f)均可表示为
兀⑴=CjX,(/) + C2x2(/) + ??? + C n x n(r),
这里G, C?,C”是刃个相应的常数。
结论1 (线性齐次方程组通解结构的矩阵表示)线性齐次方程组(5.4)的通解为
x(Z) = 0(/)C ,其中0(/)为(5.4)的基本解矩阵，C为任意常向量。
性质5.1如果x*(Z)是线性非齐次方程组(5.3)的解，而x0(Z)是其对应线性齐次
方程组(5.4)的解，那么x()(f) + x*(/)是线性非齐次方程组(5.3)的解。
性质5. 2线性非齐次方程组(5.3)的任意两个解的羌是其对应线性齐次方程组(5.4) 的解。
定理5. 8 (非齐次方程组通解结构)线性非齐次方程组(5.3)的通解等于其对应的齐
次线性方程组(5.4)的通解与其口身的一个特解Z和，即若兀* (/)是线性非齐次方程组(5. 3)
的一个特解, 恥)，2(/)，???曲)是线性齐次方程组(5.4)的〃个线性无关的解,则x(/) = C1x1(r) + C2x2(/) + --- + C…x,7(Z) + x*(Z)就是(5.3)的通解。
结论2 (线性非齐次方程组通解结构的矩阵表示)线性非齐次方程组(5.3)的通解为
x(/) = 0(/)C + x*(/),其中?⑴为(5.4)的基本解矩阵，C为任意常向量，x*(Z)是非齐次线性方程组(5.3)的一个特解。
结论3 (常数变易公式)如果/(()是线性齐次方程组(5.4)的基本解矩阵，则线性
非齐次方程组(5.3)满足初始条件(pg = q的特解x*(/)由下面公式给岀
%*(/)= 0(/)0_|(/。)帀 + 0(/) | 0_| (5) f (s)ds
其中表示矩阵0(7)的逆矩阵。
注意：利用常数变易法可求线性非齐次方程组(5.3)的一个特解。
定理5. 9给定常系数线性方程组竺=Ax ,那么
dt
a)如果/的特征值的实部都是负的，则方程组的任一解当fT+oo时都趋于零。
积分得b)如呆力的特征值的实部都是非正的，且实部为零的特征值都是简单特征值，则方程
组的任一解当t T +00时都保持有界。
C)如果力的特征值至少有一个具冇正实部，则方程组至少冇一解当/T+W时趋于无穷。
3基本求解方法
1)常数变易法
第一步：确定线性非齐次微分方程纽(5.3)对应的线性齐次方程组(5.4)的通解。
若方程组(5.4)的基本解矩阵为0(/),则(5.4)的通解为x(t) = 0(/)C o
第二步：设(5.3)有形如x(Z) = 0(/)C(/)的解，C(/)为待定的向量函数。
第三步：确定向量两数C(r)0
将x(/) = 0(/)C(/)代入方程(5.3),有
心)“)+ ①⑴ C ⑴=/(g⑴ C(f) + f(t),
因0(/)为方程组(5.4)基本解矩阵,则有?0) = /(/)?(/),所以上式为
?(z)C(/) = f ⑴,
心)=小)/⑴，
C(r)= f^~\s)f(s)ds
其中取C(0) = 0,
所以得到方程组(5.3)满足初始条件(p(t{)) = 0的解为
X * (/) = 0(z) J (5)f (s)ds。
第四步：求线性非齐次方程组(5.3)的通解。
由结论2,方程组(5.3)的通解口J表示为
x⑴=0(r)C + 0(0 J 0 '(s) f (s)ds。
(5.5)
第五步：求线性非齐次方程组(5.3)满足初始条件gh 的解。
将初始条件(pdl 代入通解表达式中得，C = @一\(5则,故方程组(5.3)满足初
(P ⑴=+
① '(s)f(s)ds o
2)常系数线性齐次方程组的解法
若(5.4)中系数矩阵为常矩阵，则称其为常系数线性齐次方程组，记为
dx 」 ——=Ax
dt
山齐次方程组通解结构定理5. 7和结论1,求解常系数线性齐次方程组的关键在于求它 的基本解矩阵。
定理5. 10矩阵函数x (r) =
是常系数线性方程组(5.5)的基本解矩阵，n
X(O) = E o
基本解矩阵X⑴=严=exp (如)的特点：
a) 基本解矩阵X(/) = exp(^Z )是标准基本解矩阵，即满足X(0) = E .
b) 若系数矩阵力为实矩阵，则exp(/k)是实基本解矩阵，且任一基本解矩阵0(f)与 exp(/f)有关系 exp(/Z) = 0(/)0_|(0)成立。
定理5. 10给出了常系数线性齐次方程组(5.5)的基本解矩阵的构造形式，具体解题吋
co fk 要计算矩阵级数x (o=严=y —A k
相当因难。下面给出计算基本解矩阵的常用方法。 k=Q 妙?
基本解矩阵的计算方法 方法1空间分解法
定理5.11如果矩阵昇具育Z7个线性无关的特征向量*, 0 = 1,2,…，对，对应特征值
&(z = 1,2,???/)(不必各不相同)，则矩阵①⑴=(/?,)，—8 V / V +00是 方程组(5.5)的
一个基本解矩阵。
特别地，冇下面重要结论
结论4若矩阵力有刃个互异的特征值= 1,2,…，气堤力对应于人的特征向量, 则匕(心1,2,
???加必线性无关，且矩阵0(/) = (e;?/v I,^v2,---,e v vJ是方程组(5.5)的基本解炉阵。
更一般地，棊于代数学中的空间分解定理，给出基本解矩阵的计算方法。
设右（丿= 1,2,?…，灯是/的相异特征值，它们的重数分别为①叫…g，且耳+ +…+ % = 〃，对于每一个卩重特征值A，线性代数方程组
（/-2严）"5 = 0
具有耳个线性无关的解匕⑴宀⑵,…皿严），（称为矩阵/对应于心的广义特征向量），因而方程组（A - = 0的解的全体构成一个◎?维子空间U, =1,2,…，切,并且〃维
线性空间U可以表示为这些子空间L/丿（丿= 1,2,…,Q的直和，即对任一向量vet/,存在
唯一的u j G U｝（y = ,使得v = u x + w2,--- + u k o
定理5. 12方程组（5.5）满足初始条件卩（0） = i］的解可表示为
0（/）= ￡戶［丈￡（/一易酊叫
/=1 /=0
?其中2/（丿=1,2,???也）是A的相界特征值，它们的重数分别为?，2，???，g，Z?| +刃2 +…+ 0 =刃，耳=卩1 +卩2 +…+杠，V j G j > U ~ 1,2,…,k）,而t//是Z?维线性空间U的直和分解，即U = U｛十U?十…十t/一
利用定理5. 12求基本解矩阵的步骤：
步骤1求特征根
解代数方程组\A-A E\=0O
假如求得力的相异特征值为蚣（丿=1,2,???,幻，它们的重数分别为也宀,…,?，斤1 + 川。--- n k = n o
步骤2对〃维线性空间U进行直和分解
分别求解方程组
（/一学）"SO, j = \2、???,k
得到召对应的耳个线性无关的向量
(1) (2) (n,) i n j
Mj, J = 12???M，
由町),町2)，…&"丿)所张成的线性子空间，记为5,则有U = U.十匕十…十匕。
步骤3卩(0)="在/?维线性空间U = U X十十…十中的表示
由于町),wf，…,d；",j = l,2,…,k线性无关,方程组
+ a2.u(2) + ? ? ? + a? i/：" = fj
J J J J J J 1
7=1
有唯一的解昭码…閒,j = \,2,???，k°
这样就得到了笏巧"+習〃/+??? +可％"=片丘_, j = \,2,…,k, " = $>厂
7=1 步骤4计算标准基木解矩阵exp(/Z)
■
■
令// = , e{ - 1 <—第7行(7二1,2,…,川)，利用公式
■
■
X)叫
/=1 7=0 '?
分别求得卩(/) (7 = 1,2,???,/?),则方程组(5.5)的基本解矩阵为
exp(如)=(件(/),血⑴,…,久⑴,)
特别当矩阵A只有一个特征值2时
exp⑷= /<[(力-zey o
/=0人
方法2待定系数法
定理5.13如果力有相界特征值为A z(7 = 1,2,…,￡),它们的重数分别为mg，…? ‘ 再+〃2+??? + 〃&=〃，贝I」方程组(5. 5)存在幻个形如
乞a)=
S3
Pa ⑴“ ?e J
■
■
B ⑴丿
的线性无关解，其中p ri (r)(尸= 1,2,???‘,, = 1,2,???,?.)为/的次数不高于耳—1的多项 式，取遍所有的勺(丿=1,2,???,￡)就得到方程纽(5.5)的一个基本解组。
具体确定这个基本解组的方法是 步骤1求特征根 解代数方程组\A-A E\ = 0O
假如求得A 的相异特征值为九,=1,2,…北),它们的重数分别为n 、,2,…? ,
77| + 巾2 -------- 5 =11。
步骤2根据定理5. 13,设出方程组(5.5)的形式解 对于每个勺，方程组(5.5)有下列形式的解,
步骤3确定待定系数
将x(t) = P ⑴0代入方程组(5.5),有
P(/)0 + 易")0 三 AP(t)e Aj ，
(A-A.E)P(t)^PV)
比较/的同次幕系数，可得到关于待定系数p ri (/)(厂= 1,2,???,刃,心1,2,…“)的
nxn.个等式。但注意到上式右端次数比左端要低一次，且2/是力的耳重特征根，我们并 不
能得到n x n f 个无关的等式。rfl 代数知识可证所有n x 耳个系数可以通过其屮n j 个来表
Ge 】 (r)> ?
(z ,
丄. . 丿,T 、 “ 、
(卩1+卫12『+???+ ￡“/ )e
■
■
■
宀⑴
■
/ Pn\ +￡,/ + ??? + ￡”/"戶)幺勺； x(/) = P ⑴/ (丿= 1,2,…，灯
yr —1
设为G ，C2，???,C ”,，依次令
C] = 1,C 2 = 0,…,C” = 0, C] = 0, C 2 = 1,…,J = 0, C] = 0, C 2 =0, ???,(?“ = 1,
就可得到方程组（5.5）的/?/个线性无关的解。
取遍所冇的勺（丿?=12???山）就得到方程组（5.5）的? +/?2 +???+仪=，7个线性无关 的解，构成方程组（5.5） —个基本解组。
方法3约当（Jordan ）标准型法 结论5方程组疋=Ax 的基本解矩阵为
exp(4) = T
]是线阶的若当块，7 = 1,2,…，加，/7] +刃2 +??? + 〃"”=刃，
而加为炉阵A-XE 的初等因子的个数，八心12???申为矩阵昇的特征根，卩为〃阶
非奇异矩阵，使得T ]
AT = J , J =
注：矩阵屮空白的地方为零，卩称为过渡矩阵。 方法4递推法
结论6方程纟R = Ax 的基本解矩阵为
7?-1
exp(/f) =工如⑴ Pj
7=0
其中P Q =E,片=fj （/—入E ）,丿?=1,2,…皿），川），…匕⑴是下列初值问题
k=l
记向虽函数x（/）X]
(7)、
兀2(0
的拉普拉斯变换为
（丿=2,3,…，对
的解，& （心1,2,…加是矩阵力特征值（不必相界）。
方法5拉普拉斯变换法
厶⑴⑴）、厶（兀2（0）
（厶M））丿
对方程（5. 5）两端进行拉普拉斯变换，得X（s）的代数方程组
sX(s) — x(O) = /X($),
求解得X（s）,再求逆变换厶T[X（s）] = x（/）,此即为方程组（5. 5）满足初始条件
x（0） = x0
的解。
我们依次取初始条件X, （0）=对）,（/ = 1,2,…/）为
厂0、
■
■
乞（0） = x；：）= 1 J第7彳亍（/? = 1,2,???,刃）
■
■
就得到方程组（5.5）斤个线性无关的解，从而构成它的一个基木解组，也是标准基木解矩阵。
方法6消元法
借助于方程组和高阶方程的关系，将原方程组的求解问题转化为关于某一个变量的高阶方程的求解问题來计算出基木解矩阵。
注意：以上求基本解矩阵的6种方法各具特色，一般情况下，如果特征根是互不相同的
单根时，可应用结论4來计算；如果有重特征根，且系数矩阵的阶数较低时可选择空间分
解
法（定理5.12）、待定系数法（定理5.13）、约当标准型法（结论5）、递推法（结论6）之
一即町，但当系数矩阵的阶数较高时，建议采用空间分解法或递推法比较方便；至于拉普拉
斯变换法和消元法一般针对的是比饺特殊的方程，特别是对线性非齐次方程也适用。
3)常系数线性非齐次微分方程组的解法
常系数线性非齐次微分方程组可表示为
dx
——=Ax + /(f) (5. 6)
dt
其屮A为常矩阵，/(/)为连续的向量函数。
第一步：常系数线性齐次微分方程组的通解
设常系数线性齐次微分方程组的标准革木解矩阵为exp(/l/),则其通解为
x(/) = exp(/f)C o
第二步：常系数线性非齐次微分方程组的特解
常数变易法(方法同前)只需取方程组(5.5)的基本解矩阵为Q(f) = exp(/k)即可,
得到满足初始条件0(/()) = 0的特解为
心)=卜咖-$)伯($)心
注：也可用拉普拉斯变换法求方程组(5.6)的特解。
第三步：常系数线性非齐次微分方程组的通解。
x(/) = exp(/f)C + | exp[(Z 。
第四步：常系数线性非齐次微分方程组的满足初始条件0(/。)= n的解。
x(/) = exp[(/ - /0)A]ij 4- J exp[(/ - s)A]f (s)ds o
微分方程习题及答案
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1) (22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程
1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3）23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-='y x y
第七章 微分方程 例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律. 解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为 62.0dt dV Q ?=＝ 孔口截面面积 重力加速度 ,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ① 设在微小的时间间隔],,[t t t ?+水面的高度由h 降至,h h ?+则,2dh r dV π-= ,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ② 比较①和②得: ,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h g dt --- =π ,1000==t h ,1015 14 262.05?? = ∴g C π 所求规律为 ).310107(265.45335h h g t +-?= π 例10 求解微分方程 .2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=222 2y xy x xy y dx dy ,1222 ? ?? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得? ? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1 )2ln(23)1ln(C x u u u +=----
一．填空（1553=?分） 1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lm R ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方 程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{} )(,,),()(21 Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x 关于内积=1),( g f _____________________是Hilbert 空间； 3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3 x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________； 5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。 二．（13分）设有椭圆型方程边值问题 用1.0=h 作正方形网格剖分 。 （1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2 h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题 x u t u ??=?? ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。 1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值： 四．（12分）试讨论差分方程 ()h a h a r u u r u u k l k l k l k l ττ + - = -+=++++11,111 1 逼近微分方程 0=??+??x u a t u 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。
引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，
常微分方程复习题 一、填空题 1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________. 答：1 2．形如_ 的方程称为齐次方程. 答： )(x y g dx dy = 3．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 答：cos 2,sin 2x x . 1. 二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 2. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 答：x x x e ,e 3. 若()t ?和()t ψ都是()X A t X ''=的基解矩阵，则()t ?和()t ψ具有的关系是 。 4.一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充分必要条件是 。 5. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是 。有只含y 的积分因子的充要条件是 。 6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处 的切线斜率为y x +2，则曲线方程为 。 7. 称为n 阶齐线性微分方程。 8. 常系数非齐线性方程()(1)11()n n x n n m y a y a y a y e P x α--'+++=(其中()m P x 是m 次多项式)中，则方程有形如 的特解。 9. 二阶常系数线性微分方程32x y y y e '''-+=有一个形如 的特解。
10. 微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为 。 9. 微分方程4 230xy y y ''''++=的阶数为 。 10. 若()(0,1,2, ,)i x t i n =为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的 通解可表为 . 11. 设()x t 为非齐次线性方程的一个特解, ()(0,1,2, ,)i x t i n =是其对应的齐次线性 方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 . 12. 若()(0,1,2, ,)i x t i n =是齐次线性方程()(1)11()()()0 n n n n y a x y a x y a x y --'+++=的n 个解，)(t w 为其朗斯基行列式，则)(t w 满足一阶线性方程 。 答：1()0w a x w '+= 13. 函数 是微分方程02=-'-''y y y 的通解. 14. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ． 15. 常系数方程有四个特征根分别为11,0,1λ=-(二重根)，那么该方程有基本解组 ． 16. ()Y A x Y '=一定存在一个基解矩阵()x Φ，如果()x ψ是()Y A x Y '=的任一解，那么()x ψ= 。 17.若)(t Φ是()X A t X '=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= 是 ()()X A t X F t '=+的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件η?=)(0t 的解。 18. 设12(),()X t X t 分别是方程组1()()X A t X F t '=+，2()()X A t X F t '=+的解，则满足方程12()()()X A t X F t F t '=++的一个解可以为 。 19. 设* X 为非齐次线性方程组()()X A t X F t '=+的一个特解, )(t Φ是其对应的齐次线性方程组()X A t X '=的基解矩阵, 则非齐线性方程组()()X A t X F t '=+的所有解可表为 . 20.方程组()X A t X '=的n 个解12(),(), ,()n X t X t X t 线性无关的充要条件
第二章 一阶微分方程的初等解法 x 2-1已知f(x) f(t)dt 1, x 0,试求函数f (x)的一般表达式。 0 x 解 对方程f(x) f (t)dt 1，两边关于x 求导得 x f (x) f (t)dt f 2(x) 0， f (X)丄 f(x) f 2(x) 0 ， 分离变量，可求得 代入原方程可得 C 0,从而f(x)的一般表达式为f (x) 评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到, 确定。 解由导数的定义可得 x(t s) x(t) x (t) lim s 0 s 2 |im x(s) x (t)x(s) s 0 [1 x(t)x(s)]s lim 丄辿型 s 01 x(t)x(s) s 显然可得x(0) 0，故 分离变量，再积分可得 x(t) [1 2 x (t)] !i 叫 x(s) x(0) s x (0) [1 x 2(t)] f(x) 、2(x C)' 1 2x 。 而是需将通解代回原方程来 2-2求具有性质x(t S) x(t) x(s) 1 x(t)x(s) 的函数x(t)，已知x (0)存在。
x(t) tan[x(O)t C], 再由x(0) 0,知C 0,从而x(t) ta n[x(0)t]。 评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。 2-3 若M(x,y)x N(x,y)y 0，证明齐次方程M (x, y)dx N(x,y)dy 0 有积分因 1 xM(x,y) yN(x, y) 证方法1用凑微分法求积分因子。 我们有恒等式 M (x, y)dx N (x, y)dy 1 dx dv 2 {(M(x，y)x N(x，v)v)U 寺(M(x，v)x 鱼din (xy)， x y 空翌din仝， x y y 所以原方程变为 -{( M (x, y)x N (x, y)y)d ln(xy) (M (x, y)x N (x, y)y)d ln —} 0。 2 y 1 1 M (x, y)x N(x, y)y「x -d ln(xy) d in 0， 2 2 M(x,y)x N(x,y)y y 由于M( x ,y) x N(x, y)y 为零次齐次函数，故它可表成仝的某一函数，记为f (上)，M (x,y)x N(x, y)y y y I X MX" N(x,y)y % 巧F(in^)， M(x,y)x N(x,y)y y y N (x，y)y)(￥3)} y 用(x,y) 1 M(x,y)x 乘上式两边，得 N(x,y)y
第四讲 Matlab 求解微分方程（组） 理论介绍：Matlab 求解微分方程（组）命令 求解实例：Matlab 求解微分方程（组）实例 实际应用问题通过数学建模所归纳得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少.另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）.这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法：解析解法和数值解法. 一．相关函数、命令及简介 1.在Matlab 中，用大写字母D 表示导数，Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，D2y 表示y 关于自变量的二阶导数，依此类推.函数dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve 用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解. 注意，系统缺省的自变量为t 2.函数dsolve 求解的是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解.但是，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB 具有丰富的函数，我们将其统称为solver ，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 说明：(1)solver 为命令ode45、ode23、ode113、ode15s 、ode23s 、ode23t 、ode23tb 、ode15i 之一. (2)odefun 是显示微分方程'(,)y f t y =在积分区间tspan 0[,]f t t =上从0t 到f t 用初始条件0y 求解. (3)如果要获得微分方程问题在其他指定时间点012,,,,f t t t t L 上的解，则令tspan 012[,,,]f t t t t =L (要求是单调的). (4)因为没有一种算法可以有效的解决所有的ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器solver ，对于不同的ODE 问题，采用不同的solver.
一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式，求出方程的变分形式 变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*） 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散，得出半离散格式 对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**） 以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即：
一阶微分方程典型例题 例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x . 解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N ?，且有 )(x N kx dt dx ?=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =?)(，积分之，kNt kNt ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0 0x N x c ?= 例2 求2 sin 2sin y x y x y ?=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y ?=′.当02 sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22 sin ?=, 积分之，得通积分 2 sin 44tan ln x c y ?=. 对应于02 sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin ≠y ，故所求通解中可能会失去使 02 sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y 的特解.
解法1 把原方程改写为x e y x y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x ????∫∫??∫∫??=+=?+=?+?????????? ∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x e x x y x 11+?=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx d =)(，积分后，得c e x xy x +?=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x e x x y x 11+?=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=?+?dx x xy dy x 满足初始条件 10 ==x y 之特解. 解 将原方程改写为1 cos 1222?=?+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ????????+∫?∫=∫??? c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2?+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =?，故特解为2sin 11 x y x ?=?. 例5 求方程 4y x y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程 31y x y dx dy =?. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得 ?? ????+=????????+∫∫=∫?c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.
微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2 x e x xdy y x dx y =+-==。 解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ?+? ?=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11 ln ln 2 y x x = +。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。 解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2 u u u x u -='+， 分离变量得 dx x u du 1 2 =-， 积分得 C x u +=ln 1 ， 原方程的通解为 ln x y x C = +。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03 2 2 3 =---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3 2 2 3 --- 42222441 )(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(41 4224y y x x d --=， 得 0)2(4 224=--y y x x d ， 原方程的通解为 C y y x x =--4 2 2 4 2。 注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=， 分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。 解：特征方程为 0222 =--r r ，特征根为 i r ±=1， 通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。
“十二五”国家重点图书出版规划项目 信息与计算科学丛书 67 偏微分方程数值解法 陈艳萍鲁祖亮刘利斌编著
内 容 简 介 本书试图用较少的篇幅描述偏微分方程的几种数值方法. 主要内容包括：Sobolev空间初步, 椭圆边值问题的变分问题, 椭圆问题的有限差分方法, 抛物型方程的有限差分方法, 双曲型方程的有限差分方法, 椭圆型方程的有限元方法, 抛物及双曲方程的有限元方法, 椭圆型方程的混合有限元方法, 谱方法等. 本书内容丰富, 深入浅出, 尽可能地用简单的方法来描述一些理论结果, 并根据作者对有限差分、有限元、混合有限元、谱方法的理解和研究生教学要求, 全面、客观地评价各种数值计算方法，并列举一些数值计算的例子, 阐述许多新的学术观点. 本书可作为高等学校数学系高年级本科生和研究生的教材或参考书, 也可作为计算数学工作者和从事科学与工程计算的科研人员的参考书. 图书在版编目(CIP)数据 偏微分方程数值解法/陈艳萍, 鲁祖亮, 刘利斌编著. —北京：科学出版社, 2015.1 (信息与计算科学丛书67) ISBN 978-7-03-000000-0 Ⅰ. ①偏… Ⅱ. ①陈… ②鲁… ③刘… Ⅲ. ① Ⅳ.① 中国版本图书馆CIP数据核字(2014) 第000000号 责任编辑: 王丽平／责任校对: 彭涛 责任印制: 肖钦／封面设计: 陈敬 出版 北京东黄城根北街16号 邮政编码: 100717 https://www.doczj.com/doc/0311146502.html, 印刷 科学出版社发行 各地新华书店经销 * 2015年1月第一版开本: 720×1000 1/16 2015年1月第一次印刷印张: 14 字数: 280 000 定价: 88.00元 (如有印装质量问题, 我社负责调换)
微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数） （一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.） （1）1)(22=++y C x ； （2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 （1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 （2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。 （3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 （1）2211y y x -='-； （2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ； （3） 23xy xy dx dy =-； （4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,02=='=-x y x y e y ； （2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x
3. 求下列微分方程的通解 （1）)1(ln +='x y y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解 （1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ； （2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程 （1）2)(y x y +='； （2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？
偏微分方程组解法 某厚度为10cm 平壁原温度为20C ?，现其两侧面分别维持在20C ?和120C ?，试求经过8秒后平壁温度分布，并分析温度分布随时间的变化直至温度分布稳定为止。 22x t a t ??=??τ 式中a 为导温系数，/s m c 2；2=a 。 解： 模型转化为标准形式： 2 21x t t a ??=??τ 初始条件为： ()200,=x t 边界条件为： ()120,0=τt ，()20,1.0=τt 函数： pdefun.m %偏微分方程(一维动态传热) function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,dudx) c=1/2e-4;f=dudx;s=0; icbun.m %偏微分方程初始条件(一维动态传热) function u0=icbun(x) u0=20; bcfun.m %偏微分方程边界条件(一维动态传热) function [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t) pl=ul-120;ql=0;pr=ur-20;qr=0; 命令： x=linspace(0,10,20)*1e-2; t=linspace(0,15,16); sol=pdepe(0,pdefun,icfun,bcfun,x,t); mesh(x,t,sol(:,:,1)) %温度与时间和空间位置的关系图 %画1、2、4、6、8、15s 时刻温度分布图
plot(x,sol(2,:,1)) 1s时刻，（因为本题sol第一行为0时刻） hold on plot(x,sol(3,:,1)) plot(x,sol(5,:,1)) plot(x,sol(7,:,1)) plot(x,sol(9,:,1)) plot(x,sol(16,:,1)) 计算结果： %第8秒时温度分布 x sol(9,:,1) 经过8秒时的温度分布为： x/cm 0 0.5263 1.0526 1.5789 2.1053 2.6316 3.1579 t/C ?120.0000 112.5520 105.1653 97.8994 90.8100 83.9477 77.3562 x/cm 3.6842 4.2105 4.7368 5.2632 5.7895 6.3158 6.8421 t/C ?71.0714 65.1202 59.5200 54.2784 49.3930 44.8518 40.6338 x/cm 7.3684 7.8947 8.4211 8.9474 9.4737 10.0000 t/C ?36.7095 33.0419 29.5877 26.2982 23.1207 20.0000 或者求第8秒时，x=0,2,4,,6,8,10cm处的温度 [uout,duoutdx]=pdeval(0,x,sol(9,:,:),[0,2,4,6,8,10]*1e-2) 120.0000 92.2279 67.5007 47.5765 32.3511 20.0000
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
第三章 一阶微分方程的解的存在定理 例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。 解 函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。 因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10， 此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。 现在求h 的最大值。 因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值
a ab b 21 2= 。 此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。 评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理 解。 例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ， 。 | 证 1） 以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。 易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。 因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2） 以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。 易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，
1. 课本2p 有证明 2. 课本812,p p 有说明 3. 课本1520,p p 有说明 4. Rit2法，设n u 是u 的n 维子空间，12,...n ???是n u 的一组基底，n u 中的任一元素n u 可 表为1n n i i i u c ?==∑ ，则,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???=== -=-∑∑是12,...n c c c 的二次函数，(,)(,)i j j i a a ????=，令 () 0n j J u c ?=?，从而得到12,...n c c c 满足1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑，通过解线性方程组，求的i c ，代入1 n n i i i u c ?==∑， 从而得到近似解n u 的过程称为Rit2法 简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，1 n n i i i u c ?== ∑， 利用,11 11()(,)(,)(,)(,)22j n n n n n n i j i j j i j j J u a u u f u a c c c f ???===-=-∑∑确定i c ，求得近似解n u 的过程 Galerkin 法：为求得1 n n i i i u c ? == ∑形式的近似解，在系数i c 使n u 关于n V u ∈，满足(,)(,) n a u V f V =，对任 意 n V u ∈或（取 ,1j V j n ?=≤≤） 1 (,)(,),1,2...n i j i j i a c f j n ???===∑的情况下确定i c ，从而得到近似解1 n n i i i u c ?==∑的过程称 Galerkin 法为 Rit2-Galerkin 法方程： 1 (,)(,)n i j i j i a c f ???==∑ 5. 有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构 造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用 有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。 6. 解：对求解区间进行网格剖分，节点01......i n a x x x x b =<<<<=得到相邻节点1,i i x x -
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
x 1 ?若步长趋于零时，差分方程的截断误差 R m 0,则差分方程的解 U i m 趋近于微分方 程的解U m ?此结论 ________ (错或对)； 1 2.一 阶 Sobolev 空间 H ( ) f (x,y) f , f x , f y L ?() 关于内积(f,g )1 _____________________________________ 是Hilbert 空间； 3 ?对非线性(变系数)差分格式，常用 ____________ 系数法讨论差分格式的 ________ 稳定性； 4?写出y x 3在区间［1,2］上的两个一阶广义导数： ______________________________________ _____ ____ ______________ _ ____ ________ ; 5 ?隐式差分格式关于初值是无条件稳定的 ?此结论 ________ (错或对)。 (13分)设有椭圆型方程边值问题 0.1作正方形网格剖分 。 (1) 用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； (2) 用截断误差为 O (h 2)的差分法将第三边界条件离散化; (3) 整理后的差分方程组为 U C 三.(12)给定初值问题 u x,0 x 1 取时间步长 0.1，空间步长h 0.2。试合理选用一阶偏心差分格式(最简显格式) 2 u ~2 x 2 u ~2 y 0 x 0.3 0.2 x 0.3 2y 1, — u n 2x y 0.2
并以此格式求出解函数u(x,t)在x 0.2,t 0.2处的近似值。 x
1.所选用的差分格式是： 2 .计算所求近似值： 1 a k 1 四.（12分）试讨论差分方程 u l 1 k k k 1 u | r u | 1 u | , r h a 1 h 逼近微分方程 u a u 0 t x 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（ l+1/2,k+1/2 ）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。 2 —2 ,考虑 Du Fort-Frankel 格式 X 试论证该格式是否总满足稳定性的 Von-Neumann 条件？ 六. （12分）（1 ）由Green 第一公式推导 Green 第二公式: （2） 对双调和方程边值问题 n 2 选择函数集合（空间）为： 推导相应的双线性泛函和线性泛函: A （u,v ） F （v ） 相应的虚功问题为： 极小位能问题为 七. （ 12分）设有常微分方程边值问题 y y f （x ） , a x b y a 1, y b 1 五.（12分） 对抛物型方程 U |k1 U |k 2 |k 1 (U |k1 U |k1) U |k 1 ) 2 (u)vdxdy G (u) u vdxdy :[v v u ]ds n f (x,y) (x,y) g 1(x , y), g 2(x, y) (x,y),