成都市中考B 卷27题专训
1已知：如图，ABC ?内接于⊙O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中点，连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是ACQ ?的外心；
（2）若3
tan ,84
ABC CF ∠=
=,求CQ 的长； （3）求证：2()FP PQ FP FG +=．
2 已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥ A C ，垂足为K 。过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．
(1)求证：AE=CK ；
(2)如果AB=a ，AD=13
a (a 为大于零的常数)，求BK 的长：
(3)若F 是EG 的中点，且DE=6，求⊙O 的半径和GH 的长．
3如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，过CD 延长线上一点E 作⊙O 的切线交AB 的延长线于F ．切点为G ，连接AG 交CD 于K ． （1）求证：KE=GE ；
（2）若KG 2
=KD?GE ，试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=
，求FG 的长．
4如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 内接圆⊙O ，AC BD ⊥于点H ，P 为
CA 延长线上的一点，且PDA ABD ∠=∠.
（1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由： （2）若ta n ∠ADB=
43，AH PA 3
3
34-=，求BD 的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积.
A
B
C
D
E
F G O
5．如图，Rt△ABC 内接于⊙O，AC=BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙0交于点D ，与BC 交于点E ，
延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结0G ． (1)判断0G 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明；
(2)求证：AE=BF ；
（3）若3(22)OG DE ?=-，求⊙O 的面积。
答案：
1（1）证明：∵C 是AD 的中点，∴AC=CD ， ∴∠CAD=∠ABC
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。 ∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE ⊥AB ，∴∠ABC+∠PCQ=90° ∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ 中，PC=PQ ，
∵CE ⊥直径AB ，∴AC=AE
∴AE=CD
∴∠CAD=∠ACE 。
∴在△APC 中，有PA=PC ， ∴PA=PC=PQ
∴P 是△ACQ 的外心。
（2）解：∵CE ⊥直径AB 于F ，
∴在Rt △BCF 中，由tan ∠ABC=
34CF BF =，CF=8，得432
33
BF CF ==。 ∴由勾股定理，得22
403
BC CF BF =+=∵AB 是⊙O 的直径，
∴在Rt △ACB 中，由tan ∠ABC=34AC BC =，40
3
BC = 得3104
AC BC ==。易知Rt △ACB ∽Rt △QCA ，∴2
AC CQ BC =?
∴215
2
AC CQ BC ==。 （3）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90° ∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF ⊥AB ，∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G ；
∴Rt △AFP ∽Rt △GFB ，
∴
AF FP
FG BF
=，即AF BF FP FG ?=? 易知Rt △ACF ∽Rt △CBF ，
∴2
FG AF BF =?（或由摄影定理得） ∴2
FC PF FG =?
由（1），知PC=PQ ，∴FP+PQ=FP+PC=FC ∴2
()FP PQ FP FG +=。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
2（1）证明△AED ≌△CKB （2）BK=1010
a （3）设GF=x ，则EF=x,ED=BK=6, 由射影定理得AE=KC=6x 由相交弦定理得，
AE EC ED EG ?=? ∴662x EC x ?=? ∴12266x
EC x x
=
= ∴6EK KC x == ∴K 为EC 的中点 ∴1
32
EF BK =
=,∴3692AC x == ∴92
2
r =
显然，HE=2BK=12 ∴HG=6 3
解答： 解：（1）如答图1，连接OG ．
∵EG 为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°， ∵CD ⊥AB ，∴∠AKH+∠OAG=90°， 又OA=OG ，∴∠OGA=∠OAG ， ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE ， ∴KE=GE ．
（2）AC ∥EF ，理由为： 连接GD ，如答图2所示．
∵KG 2
=KD?GE ，即=，
∴
=
，又∠KGE=∠GKE ，
∴△GKD ∽△EGK ， ∴∠E=∠AGD ，又∠C=∠AGD ， ∴∠E=∠C ， ∴AC ∥EF ；
（3）连接OG ，OC ，如答图3所示．
sinE=sin ∠ACH=，设AH=3t ，则AC=5t ，CH=4t ，
∵KE=GE ，AC ∥EF ，∴CK=AC=5t ，∴HK=CK ﹣CH=t ．
在Rt △AHK 中，根据勾股定理得AH 2+HK 2=AK 2
，
即（3t ）2+t 2=（）2
，解得t=． 设⊙O 半径为r ，在Rt △OCH 中，OC=r ，OH=r ﹣3t ，CH=4t ，
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，
即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=．
∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形，
在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，
∴FG===．
4解：(1)PD与⊙O相切．理由如下：······1分过点D作直径DE，连接AE．
则∠DAE＝90°．
∴∠AED + ∠ADE＝90°．
∵∠ABD＝∠AED，∠PDA＝∠ABD，
∴∠PDA＝∠AED．······2分
∴∠PDA +∠ADE ＝90°． ∴PD 与⊙O 相切．
······3分
(2)连接BE ，设AH ＝3k ，
∵3tan 4
ADB ∠=
，433
3PA AH -=
，AC ⊥BD 于H ． ∴DH ＝4k ，AD ＝5k ，()
433PA k =-，43PH PA AH k =+=． ∴3
tan 3
DH P PH =
=． ∴∠P ＝30°，8PD k =．
······4分
∵BD ⊥AC ，
∴∠P +∠PDB ＝90°． ∵PD ⊥DE ，
∴∠PDB +∠BDE ＝90°． ∴∠BDE ＝∠P ＝30°． ∵DE 为直径，
∴∠DBE ＝90°，DE ＝2r ＝50．
······5分 ∴cos 50cos30253BD DE BDE =?∠=?=．
······6分
(3)连接CE ．
∵DE 为直径， ∴∠DCE ＝90°．
∴4
sin sin 50405
CD DE CED DE CAD =?∠=?∠=?=． ······7分
∵∠PDA ＝∠ABD ＝∠ACD ，∠P ＝∠P ， ∴△PDA ∽△PCD ．∴
PD DA PA
PC CD PD
==． ∴()
43385408k k k
PC k
-==．解得：PC ＝64，433k =-． ······8分
∴()()
2
64433644337243AC PC PA k =-=--=--=+． ······9分 ∴S 四边形ABCD ＝ S △ABD + S △CBD
1122BD AH BD CH =?+?1
2
BD AC =?17539002=+
5