课题: §2.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点
数列及其有关概念，通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
三角形数：1，3，6，10，…
正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“3
1”是这个数列
的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1
5
14
13
12
1
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n
a n 1=
来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公
式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2
)
1(11
+-+=
n n a ，也可以是|2
1cos
|π+=n a n .
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N *
（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？ [范例讲解]
课本P34-35例1 Ⅲ.课堂练习
课本P36[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)
3
2, 15
4,
35
6,
63
8,
99
10, ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； (5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,……. 解：(1) n a ＝2n ＋1； (2) n a ＝
)
12)(12(2+-n n n ； (3) n a ＝
2
)
1(1n
-+；
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……, ∴n a ＝n ＋
2
)
1(1n
-+；
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……， ∴ n a ＝(－1)
1
+n n(n ＋1)
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.课后作业
课本P38习题2.1A组的第1题
●板书设计
●授后记
课题: §2.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与
a的关系
n
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项
●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[复习引入]
数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
数列的表示方法
1、通项公式法
如果数列{}
a的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数n
列的通项公式。
如数列的通项公式为；
的通项公式为；
的通项公式为；
2、图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，
即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图
象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在
轴的右侧，而点的个数
取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 3、 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1?4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2?5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3?6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4?7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5?8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6?9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7?10＝7+3
若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7） 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即41=a ；114512+=+==a a ；115623+=+==a a 依此类推：11+=-n n a a （2≤n ≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 定义：
递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图
象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用
表示第一
项，……，用
表示第
项，依次写出成为
4、列表法
．简记为
．
[范例讲解]
例3 设数列{}n a 满足1111
1(1).n n a a n a -=?
?
?=+>??
写出这个数列的前五项。 解：分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：111-+
=n n a a
解：据题意可知：3
211,211,12
31
21=
+
==+==a a a a a ，5
8,3
51153
4=
=
+
=a a a
[补充例题]
例4已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．
法一：21=a 22222=?=a 323222=?=a ，观察可得 n
n a 2=
法二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即
21
=-n n a a
∴
1
1
23
22
11
2------=?
??
?
n n n n n n n a a a a a a a a
∴ n
n n a a 22
11=?=- Ⅲ.课堂练习 课本P36练习2
[补充练习]
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)； (2) 1a ＝1, 1+n a ＝
2
2+n n a a (n ∈N)；
(3) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).
解：(1) 1a ＝0, 2a ＝1, 3a ＝4, 4a ＝9, 5a ＝16, ∴ n a ＝(n －1)2; (2) 1a ＝1,2a ＝
3
2,3a ＝
4
22
1=
, 4a ＝
5
2, 5a ＝
6
23
1=
, ∴ n a ＝
1
2+n ;
(3) 1a ＝3＝1+20
3?, 2a ＝7＝1+21
3?, 3a ＝19＝1+22
3?,
4a ＝55＝1+233?, 5a ＝163＝1+243?, ∴ n a ＝1＋2·31
-n ;
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n 项）之间的关系.
Ⅴ.课后作业
习题2。1A 组的第4、6题 ●板书设计 ●授后记
课题: §2.2
等差数列
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项
过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。
情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。 ●教学重点
等差数列的概念，等差数列的通项公式。 ●教学难点 等差数列的性质 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
[创设情境]
上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。 课本P41页的4个例子： ①0，5，10，15，20，25，… ②48，53，58，63
③18，15.5，13，10.5，8，5.5
④10072，10144，10216，10288，10366
观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？
·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 Ⅱ.讲授新课
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。
⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差。
思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】
等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定
义可得：
d a a =-12即：d a a +=12
d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=
d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=
……
由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=
∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a 。 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--=
则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+--
即等差数列的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n
m a a n m --
[范例讲解]
例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项
⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-?-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项
例3 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数。
解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2））
])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数
∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p 。
注：①若p=0，则{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，…
②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q 的图象上,
一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.
③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数)，称其为第3通项公式。 ④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。
Ⅲ.课堂练习
课本P45练习1、2、3、4 [补充练习]
1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+（n －1）×4,即n a =4n －1（n ≥1,n ∈N *）∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39.
评述：关键是求出通项公式.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项. 解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.
∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12,∴20a =－2×20+12=－28. 评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.
解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7. ∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5. 令7n －5=100,解得：n =15, ∴100是这个数列的第15项. （4）－20是不是等差数列0，－32
1，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解：由题意可知：1a =0,d =－3
2
1 ∴此数列的通项公式为：n a =－
2
7n +
2
7,
令－
2
7n +
2
7=－20,解得n =
7
47 因为－
2
7n +
2
7=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）.其次，要会推导等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：
=n a d m n a m )(-+和n a =pn+q (p 、q 是常数)的理解与应用.
Ⅴ.课后作业
课本P45习题2.2[A 组]的第1题 ●板书设计 ●授后记
课题: §2.2
等差数列
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。
●教学重点
等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 ●教学难点
灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上节课所学主要内容：
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －
1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”
表示）
2．等差数列的通项公式：
d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))
3．有几种方法可以计算公差d
① d=n a －1-n a ② d =1
1--n a a n ③ d =
m
n a a m n --
Ⅱ.讲授新课
问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？
由定义得A-a =b -A ，即：2
b a A +=
反之，若2
b a A +=
，则A-a =b -A
由此可可得：,,2
b a b a A ?+=成等差数列
[补充例题]
例 在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {a n }是等差数列
∴ 1a +6a =4a +3a =9?3a =9－4a =9－7=2
∴ d=4a －3a =7－2=5
∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =32
[范例讲解]
课本P44的例2 解略 课本P45练习5
已知数列{n a }是等差数列
（1）7
532a a a =+是否成立？9
512a a a =+呢？为什么？
（2）1
12(1)n n n a a a n +-=+>是否成立？据此你能得到什么结论？ （3）2(0)n k
n n k a a a
n k +-=+>>是否成立？？你又能得到什么结论？
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )
但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+
探究：等差数列与一次函数的关系 Ⅲ.课堂练习
1.在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d
2. 在等差数列{}n a 中, 若 65=a 158=a 求14a Ⅳ.课时小结
节课学习了以下内容： 1．,,,2
a b A a A b +=
?成等差数列
2．在等差数列中， m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) Ⅴ.课后作业
课本P46第4、5题 ●板书设计 ●授后记
课题: §3.3
等差数列的前n 项和
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。 ●教学重点
等差数列n 项和公式的理解、推导及应
●教学难点
灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050。 教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050” 这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规
律性的东西。 （2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。 Ⅱ.讲授新课
1．等差数列的前n 项和公式1：2
)
(1n n a a n S +=
证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②
①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a
∴)(21n n a a n S += 由此得：2
)
(1n n a a n S +=
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性
2． 等差数列的前n 项和公式2：2
)1(1d
n n na S n -+
=
用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2
)1(1d
n n na S n -+
=
此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用） [范例讲解]
课本P49-50的例1、例2、例3 由例3得与n a 之间的关系：
由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ， 即n a =???≥-=-)2()
1(11n S S n S n n
.
Ⅲ.课堂练习
课本P52练习1、2、3、4
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前n 项和公式1：2
)
(1n n a a n S +=
2.等差数列的前n 项和公式2：2
)1(1d
n n na S n -+=
Ⅴ.课后作业
课本P52-53习题[A 组]2、3题 ●板书设计 ●授后记
课题: §2.3等差数列的前
n 项和
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它
们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；
过程与方法：经历公式应用的过程；
情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。 ●教学重点
熟练掌握等差数列的求和公式 ●教学难点
灵活应用求和公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1.等差数列的前n 项和公式1：2
)
(1n n a a n S +=
2.等差数列的前n 项和公式2：2
)1(1d
n n na S n -+=
Ⅱ.讲授新课
探究：——课本P51的探究活动
结论：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2
n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那
么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
由2
n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++
当2n ≥时1n n n a S S -=-=22
()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()pn p q -+
1[2()][2(1)()]n n d a a pn p q p n p q -∴=-=-+---+=2p
对等差数列的前n 项和公式2：2
)1(1d
n n na S n -+
=可化成式子：
n )2
d a (n
2d S 12
n -
+=
，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式
[范例讲解]
等差数列前项和的最值问题 课本P51的例4 解略 小结：
对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用n a :
当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值
（2） 利用n S ： 由n )2
d a (n
2d S 12
n -
+=
利用二次函数配方法求得最值时n 的值
Ⅲ.课堂练习
1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。 2．差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。 Ⅳ.课时小结
1．前n 项和为2
n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，一定是等差数列，该数列的
首项是1a p q r =++ 公差是d=2p
通项公式是111,12(),2n n n S a p q r n a S S pn p q n -==++=?
=?-=-+≥?当时当时
2．差数列前项和的最值问题有两种方法:
（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值。
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值。
（2）由n )2
d a (n
2
d S 12
n -
+=
利用二次函数配方法求得最值时n 的值
Ⅴ.课后作业
课本P53习题[A 组]的5、6题 ●板书设计
●授后记
课题: §2.4等比数列
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点
等比数列的定义及通项公式
●教学难点
灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +）
等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16， (1)
12
，
14
，
18
，
116
，…
③1，20，220，3
20，420，…
④10000 1.0198?，2
10000 1.0198?，3
10000 1.0198?，4
10000 1.0198?，5
10000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：
1
-n n a a =q （q ≠0）
1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列?
n
n a a 1+=q （+
∈N n ,q ≠0）
2? 隐含：任一项00≠≠q a n 且
“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3? q= 1时，{a n }为常数。
2.等比数列的通项公式1: )0(111≠??=-q a q a a n n 由等比数列的定义，有： q a a 12=；
2
1123)(q a q q a q a a ===； 312
134)(q a q q a q a a ===；
… … … … … … …
)0(11
11≠??==--q a q
a q a a n n n
3.等比数列的通项公式2: )0(11≠??=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列
探究：课本P56页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系：
等比数列｛n a ｝的通项公式)0(11
1≠??=-q a q a a n n ,它的图象是分布在曲线1x
a y q q
=
（q>0）上的一
些孤立的点。
当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列； 当10a >，01q <<时，等比数列｛n a ｝是递减数列； 当10a <，q >1时，等比数列｛n a ｝是递减数列；
当0q <时，等比数列｛n a ｝是摆动数列；当1q =时，等比数列｛n a ｝是常数列。 [范例讲解]
课本P57例1、例2、P58例3 解略。 Ⅲ.课堂练习 课本P59练习1、2 [补充练习]
2.（1） 一个等比数列的第9项是94
，公比是－
3
1，求它的第1项（答案：1a =2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：1a =q
a 2=5, 4a =3a q =40）
Ⅳ.课时小结
本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式． Ⅴ.课后作业
课本P60习题A 组1、2题 ●板书设计 ●授后记
课题: §2.4等比数列
授课类型：新授课
（第２课时）
●教学目标
知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法
过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。
情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点
等比中项的理解与应用
●教学难点
灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
首先回忆一下上一节课所学主要内容：
1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：
1
-n n a a =q （q ≠0）
2.等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， )0(≠??=-q a q
a a m m
n m n 3．｛n a ｝成等比数列?n
n a a 1+=q （+
∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分
条件
4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 Ⅱ.讲授新课
1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则
ab G ab G
G b a G ±=?=?=2
，
反之，若G 2=ab ,则G
b a
G =
，即a ,G ,b 成等比数列。∴a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab （a ·b ≠0）
[范例讲解]
课本P58例 4 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列
{}n n b a ?的第n 项与第n+1项分别为：
n
n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )
()
(21111
211121111
2
11
11与即为与---??????.)
()(211
2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n
n
n n n ==
??-++
它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ?是一个以q 1q 2为公比的等比数列 拓展探究：
对于例4中的等比数列{n a }与{n b }，数列{
n n
a b }也一定是等比数列吗？
探究：设数列{n a }与{n b }的公比分别为12q q 和，令n n n
a c
b =
，则111
n n n a c b +++=
1111112
(
)(
)n n n n n n
n
n
n
n
a c
b a b q a
c a b q b +++++∴
=
==
，所以，数列{
n n
a b }也一定是等比数列。
课本P59的练习4
已知数列{n a }是等比数列，（1）2537a a a =是否成立？2
519a a a =成立吗？为什么？
（2）2
11(1)n n n a a a n -+=>是否成立？你据此能得到什么结论？
2
(0)n n k n k a a a n k -+=>>是否成立？你又能得到什么结论？
结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？
由定义得：1
1n 11 --==n m m q a a q a a 1
1k 1
1 --?==k p p q
a a q
a a
2
21-+=?n m n m q
a a a ，2
21-+=?k p k p q
a a a 则k p n m a a a a =
Ⅲ.课堂练习
课本P59-60的练习3、5 Ⅳ.课时小结
1、若m+n=p+q ，q p n m a a a a ?=?
2、若{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，则{}n n b a ?、{n n
a b }也是等比数列
Ⅴ.课后作业
课本P60习题2.4A 组的3、5题 ●板书设计 ●授后记
课题: §2.5等比数列的前
n 项和
授课类型：新授课
（2课时）
●教学目标
知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。
●教学重点
等比数列的前n 项和公式推导 ●教学难点
灵活应用公式解决有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入
[创设情境]
[提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n 项和公式。 1、 等比数列的前n 项和公式：
当1≠q 时，q
q a S n
n --=
1)1(1 ① 或q
q a a S n n --=
11 ②
当q=1时，1na S n =
当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是
=n S n a a a a +++321
由??
?=+++=-1
1321n n n n q
a a a a a a S
得?????++++=++++=---n
n n n n n q a q
a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 111312111
1212111
n
n q a a S q 11)1(-=-∴
∴当1≠q 时，q
q a S n
n --=
1)1(1 ① 或q
q a a S n n --=
11 ②
当q=1时，1na S n =
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
q a a a a a a n n ==
==-1
2
31
2
根据等比的性质，有
q a S a S a a a a a a n
n n n n =--=++++++-11
2132
即
q a S a S n
n n =--1?q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式． 公式的推导方法三：
=n S n a a a a +++321＝)(13211-++++n a a a a q a ＝11-+n qS a ＝)(1n n a S q a -+
?q a a S q n n -=-1)1(（结论同上）
[解决问题]
有了等比数列的前n 项和公式，就可以解决刚才的问题。 由11,2,64a q n ===可得
1(1)1n
n a q S q
-=
-=
64
1(12)12
?--=6421-。
64
2
1-这个数很大，超过了19
1.8410?。国王不能实现他的诺言。
[例题讲解]
课本P65-66的例1、例2 例3解略
一、等差数列选择题 1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为（ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 1112 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则1223 910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 9 19 9．题目文件丢失！ 10．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.
一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ． 47 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 2．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 4．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 5．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13 C ．26 D ．162 6．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29 B ．38 C ．40 D ．58 7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12 C ．23 D ．24 8．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12 15 a b =（ ） A ． 3 2 B ． 7059 C ． 7159 D ．85 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<
等差数列 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可 得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1） 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（ ） 等差数列 一．等差数列知识点： 知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数） ，则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列， 等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ， 则 S 2n n a n a n 1 ， 且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ， 奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇 等差数列的前 n 项和的性质： 10、 ，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ， 等于（ ）
高考数学-等差数列典型例题 【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？ 解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a 1=7，d ＝7，a n ＝98． 代入a n ＝a 1＋(n －1)d 中，有 98＝7＋(n －1)·7 解得n ＝14 答 100以内有14个能被7整除的自然数． 【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，b 使这五个数成等差数列，求此数列． 解 设这五个数组成的等差数列为{a n } 由已知：a 1＝－1，a 5＝7 ∴7＝－1＋(5－1)d 解出d ＝2 所求数列为：－1，1，3，5，7． 【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间1 2 插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项． 解 d =312 (5) d =d =3 4原数列的公差－＝，所以新数列的公差′ ，期通项为 --3 21 2 a n n n n =-+-=--53413423 4 234 ()即 a =34n 【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设a n =3n ，b m ＝4m －3，n ，m ∈N 令，则＝－＝为使为整数，令＝，a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ?-43 3m 得n ＝4k －1(k ∈N)，得{a n }，{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n ＝12n －3(n ∈N)． 则在[1000，2000]内{c n }的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3 ∴n ＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．
等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，
北师大版高三数学等差数列教学计划：上册 提前做好计划安排，有利于新工作的顺利开展，下文为大家整理了北师大版高三数学等差数列教学计划，希望能帮助到大家。 【内容分析】 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》(人教A 版)第二章数列第二节等差数列第一课时.数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用.等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广.同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法. 【教学目标】 1．知识目标：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式. 2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识;通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力. 3．情感目标:通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣.
【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式的推导过程及应用. 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(10)班的学生(平行班学生)，经过快一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1．教法 ①诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难
等差数列提高题 第I卷 徐荣先汇编一．选择题（共20小题） 1．记S n 为等差数列{a n }的前n项和．若a 4 +a 5 =24，S 6 =48，则{a n }的公差为（） A．1 B．2 C．4 D．8 2．等差数列{a n }中，a 3 ，a 7 是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n }的前9 项和等于（） A．﹣18 B．9 C．18 D．36 3．已知S n 为等差数列{a n }的前n项和，若a 4 +a 9 =10，则S 12 等于（） A．30 B．45 C．60 D．120 4．等差数列{a n }中，a 3 =5，a 4 +a 8 =22，则{a n }的前8项的和为（） A．32 B．64 C．108 D．128 5．设等差数列{a n }的前n项和为S n ，若a 2 +a 4 +a 9 =24，则S 9 =（） A．36 B．72 C．144 D．70 6．在等差数列{a n }中，a 9 =a 12 +3，则数列{a n }的前11项和S 11 =（） A．24 B．48 C．66 D．132 7．已知等差数列{a n }的前n项和为S n ，且S 6 =24，S 9 =63，则a 4 =（） A．4 B．5 C．6 D．7 8．一已知等差数列{a n }中，其前n项和为S n ，若a 3 +a 4 +a 5 =42，则S 7 =（） A．98 B．49 C．14 D．147 9．等差数列{a n }的前n项和为S n ，且S 5 =6，a 2 =1，则公差d等于（） A．B．C．D．2 10．已知等差数列{a n }的前n项和S n ，其中且a 11 =20，则S 13 =（） A．60 B．130 C．160 D．260 11．已知S n 是等差数列{a n }的前n项和，若4S 6 +3S 8 =96，则S 7 =（） A．48 B．24 C．14 D．7 12．等差数列{a n }的前n项和为S n ，且满足a 4 +a 10 =20，则S 13 =（） A．6 B．130 C．200 D．260 13．在等差数列{a n }中，S n 为其前n项和，若a 3 +a 4 +a 8 =25，则S 9 =（）
一、等差数列选择题 1．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 {}n a ，已知11a =，2 2a =，且满足()211+-=+-n n n a a （n *∈N ），则该医院30天入 院治疗流感的共有（ ）人 A ．225 B ．255 C ．365 D ．465 2．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ． 825 两 B ． 845 两 C ． 865 两 D ． 885 两 3．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了 3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 4．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n - B ． 3 22 n - C ． 3122 n - D ． 31 22 n + 5．已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-，则13525a a a a +++ +=（ ） A ．350 B ．351 C ．674 D ．675 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11 2 a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ?? ? ??? 的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．21 4 a =- B ． 648 211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为 712 D ．1121 n n n n n T T T n n +-= ++ 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<
一、等差数列选择题 1．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60 B ．11 C ．50 D ．55 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11 B ．10 C ．6 D ．3 4．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了 3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（ ） A ．34000米 B ．36000米 C ．38000米 D ．40000米 5．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2 D ．a 6＝2 6．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n - B ． 3 22 n - C ． 3122 n - D ． 31 22 n + 7．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为 （ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 1112 8．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29 B ．38 C ．40 D ．58 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．在数列{}n a 中，129a =-，() * 13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a ++ +=（ ） A ．10 B ．145 C ．300 D ．320 11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ）
高三数学必修五《等差数列的前n项 和》知识点总结 一、等差数列及前n项和知识点汇总 .等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+d. 3.等差中项 如果A=/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 通项公式的推广：an=am+d. 若{an}为等差数列，且m+n=p+q， 则am+an=ap+aq. 若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…是公差为md的等差数列. 数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列. S2n-1=an. 若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2;
若n为奇数，则S奇-S偶=a中. 注意： 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=n/2 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. 若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; 等差中项法：验证2an-1=an+an-2都成立; 通项公式法：验证an=pn+q; 前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.
高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结 高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结 一、等差数列的有关概念 1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an ＝d(n∈N*，d为常数)． 2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝(a+b)/2，其中A叫做a，b的等差中项． 二、等差数列的有关公式 1．通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 2．前n项和公式：Sn＝na1＋n(n-1)/2d+d＝(a1+an)n/2. 三、等差数列的性质 1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq. 2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd. 3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a10时前n项和Sn 有最大值． 5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn
＝An2＋Bn，则A＝d/2，B＝a1－d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件． 四、解题方法 1.与前n项和有关的三类问题 (1)知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想． (2)Sn＝d/2*n2＋(a1-d/2)n＝An2＋Bn?d＝2A. (3)利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值． 2．设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…； 若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
高三数学一轮复习第29课时等差数列学案 【学习目标】 1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等差数列与一次函数的关系． 【课本导读】 1．等差数列的基本概念 (1)定义： (2)通项公式：a n＝.a n＝a m＋ . (3)前n项和公式：S n＝na1＋n n－ 2 d＝ a1＋a n n 2 . (4)a、b的等差中项为 a＋b 2 . 2．等差数列常用性质：等差数列{a n}中 (1)若m1＋m2＋…＋m k＝n1＋n2＋…＋n k，则 特别地，若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝. (2)n为奇数时，S n＝na中，S奇＝n＋ 2 a中，S偶＝ n－1 2 a中，∴S奇－S偶＝． (3)n为偶数时，S偶－S奇＝nd 2 . (4)若公差为d，依次k项和S k，S2k－S k，S3k－S2k成等差数列，新公差d′＝. (5){S n n }为等差数列． 【教材回归】 1．若一个数列的通项公式是a n＝kn＋b(k，b为常数)，则下列说法中正确的是( ) A．数列{a n}一定不是等差数列 B．数列{a n}是公差为k的等差数列 C．数列{a n}是公差为b的等差数列 D．数列{a n}不一定是等差数列 2．设a≠b，且数列a，x1，x2，b和a，y1，y2，y3，y4，b分别是等差数列，则y4－y3 x2－x1 ＝__________. 3．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1＝1 2 ，S2＝a3，则a2＝________；S n＝________. 4．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝( ) A．12 B．16 C．20 D．24 5．等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( ) A．－6 B．－4 C．－2 D．2