4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。 （1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。 （2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。 （3）1()01I D P k k s k G s s s τ?? ++ + =? ?+? ? ，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 (31)()(21) K s G s s s += + 试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。 （1）()(0.21)(0.51)K G s s s s = ++ （2）(1)()(21) K s G s s s +=+ （3）(5)()(2)(3) K s G s s s s += ++ 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。 （1）(2) ()(12)(12) K s G s s s j s j += +++- （2）(20) ()(1010)(1010) K s G s s s j s j +=+++-
4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 * 2 ()()(10)(20) K s z G s s s s += ++ 试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。 4-6已知系统的开环传递函数为 * 2 2 (2)()()(49) K s G s H s s s += ++ 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 * 2 ()(2)(5) K G s s s s = ++ （1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 （2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 （1）322320s s s Ks K ++++= （2）323(2)100s s K s K ++++= 4-9两控制系统如下图所示，试问： （1）两系统的根轨迹是否相同？如不同，指出不同之处。 （2）两系统的闭环传递函数是否相同？如不同，指出不同之处。 （3）两系统的阶跃响应是否相同？如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 12 (1)(1) ()K s T s G s s ++= （1）绘出10T =，K 从0→+∞变化时系统的根轨迹图。 （2）在（1）的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比0.707ξ=的K 的值。 （3）固定K 等于（2）中得到的数值，绘制1T 从0→+∞变化时的根轨迹图。 （4）从（3）的根轨迹中，求出临界阻尼的闭环极点及相应的1T 的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0β=的根轨迹图。 （2）绘制15K =，22K =时，β从0→+∞变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的β的值。
第四章根轨迹分析法 4.1 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 4.2 思考与习题祥解 题4.1 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。
116 4-23 在带钢热轧过程中，用于保持恒定张力的控制系统称为“环轮”，其典型结构图如图4-47所示。环轮有一个0.6m ~0.9m 长的臂，其末端有一卷轴，通过电机可将环轮升起，以便挤压带钢。带钢通过环轮的典型速度为10.16m 。假设环轮位移变化与带钢张力的变化成正比，且设滤波器时间常数T 可略去不计。要求： (1) 概略绘出0a K <<∞时系统的根轨迹图； (2) 确定增益a K 的取值，使系统闭环极点的阻尼比0.707ζ≥。 (b) 图4-47 轧钢机控制系统 解 本题主要研究根轨迹的绘制及系统参数选择。 (1) 绘系统根轨迹图 电机与轧辊内回路的传递函数 ()()()12 0.250.25 10.250.5G s s s s = = +++ 令0T =，系统开环传递函数为 ()()()() ()() 2 2 2 0.50.50.510.51a K s K G s s s s s s s * += = ++++ 式中，0.5a K K *=。概略绘制根轨迹图的特征数据为： 渐近线：交点与交角 2.5 0.6254 a σ-= =- 45,135a ?=±± 分离点：由 11200.51 d d d ++=++ 解出 0.212d =-。 根轨迹与虚轴交点：闭环特征方程 ()()2 0.51s s s K *+++ 4322.520.50s s s s K *=++++= 列劳思表
117 4s 1 2 K * 3s 2.5 0.5 2s 1.8 K * 1s 0.9 2.51.8 K * - 0s K * 令0.9 2.50K *-=，得0.36K *=。令 21.80s K *+= 代入s j ω=及0.36K *=，解出0.447ω=。交点处 20.72a K K *== 系统概略根轨迹图如图(a)所示。 图(a) 概略根轨迹图 (2) 确定使系统0.707ζ≥的a K 在根轨迹图上，作0.707ζ=阻尼比线，得系统主导极点 1,20.1550.155s j =-± 利用模值条件，得1s 处的0.0612K * =；分离点d 处的0.0387K *=。由于2a K K *=，故取0.07740.1224a K <≤，可使0.7071ζ≤<；取0.0774a K ≤，可使1ζ≥。 ()()20.51010.5a K s s s +=++
第四章线性系统的根轨迹法 一、教学目的与要求： 本章讲述用闭环系统的特征根随系统参数变化的轨迹，来分析控制系统的特性，因此要求学生要掌握根轨迹作图方法的规则，并熟练运用这些规则绘制控制系统的根轨迹图。要让学生会利用根轨迹图分析系统的稳定性、动态特性、稳态特性。掌握怎样改善系统性能的方法。着重讨论根轨迹图的绘制，明确闭环传递函数极点与瞬态响应的关系，了解改变开环增益，增加开环传递函数零、极点对系统质量的影响。 二、授课主要内容： 1．根轨迹法的基本概念 1）闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 2）根轨迹方程 2．根轨迹绘制的基本法则 3．广义根轨迹 1）参数根轨迹 2）零度根轨迹 4．系统性能的分析 （详细内容见讲稿） 三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）（1）重点掌握的内容 1）熟练运用常规根轨迹的绘制法则。 2）熟练运用零度根轨迹的绘制法则。 3）正确理解单输入-单输出系统闭环零、极点和开环零极点与常规根轨迹的关系。 （2）一般掌握的内容 1）根轨迹上估计控制系统的性能。 2）广义根轨迹的概念。 3）偶极子、可略零极点的概念，主导极点的概念。
（3）一般了解的内容：根轨迹法则的证明推导过程。 四、主要外语词汇 根轨迹 root-locus 特征方程 characteristic equation 分离点 breakaway point 闭环极点 closed-loop poles 幅角条件 angle condition 模值条件 magnitude condition 实轴 real axis 虚轴 imaginary axis 五、辅助教学情况（见课件） 六、复习思考题 1.什么是根轨迹? 它有什么主要性质？如何把握根轨迹作图？ 2.利用图解法绘制根轨迹的8个规则是什么? 3.在根轨迹作图中，确定渐近线和分离点附近的根轨迹很关键，如何理解 有关它们的计算公式？ 4.如何绘制零度根轨迹？ 5.如何绘制参数根轨迹？ 6.控制系统的质量指标在根平面上该怎样表示? 7.什么是闭环主导极点？为什么可以用主导极点来估算闭环系统的质量？ 8.闭环极点为实根时响应曲线的形状如何？有共轭复根时响应曲线的形状 如何？ 9.开环零、极点的变化对控制系统的质量有什么影响？ 10.增加系统的开环零点（开环极点）对系统的性能有何影响？ 七、参考教材（资料） 1．《现代控制工程》绪方胜彦著（卢伯英佟明安罗维铭译）科学出版社参考该书第四章有关内容。 2．《自动控制原理》天津大学李光泉主编机械工业出版社
线性系统的根轨迹 一、 实验目的 1． 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2． 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3． 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4． 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、 实验容 1． 请绘制下面系统的根轨迹曲线。 ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G ) 10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G )11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++= s s s s K s G 同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的围。 2． 在系统设计工具rltool 界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并 观察增加极、零点对系统的影响。 三、 实验结果及分析 1.（1） ) 136)(22()(22++++=s s s s s K s G 的根轨迹的绘制： MATLAB 语言程序： num=[1];
den=[1 8 27 38 26 0]; rlocus(num,den) [r,k]=rlocfind(num,den) grid xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis') title('Root Locus') 运行结果： 选定图中根轨迹与虚轴的交点，单击鼠标左键得： selected_point = 0.0021 + 0.9627i k = 28.7425 r = -2.8199 + 2.1667i -2.8199 - 2.1667i -2.3313 -0.0145 + 0.9873i
第四章 根轨迹法 4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()() ()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02 +=++= 4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()() 2 411+-+= s s s K s G 的根轨迹。 4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()() ()1,42) 1(2 =+++= s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。 4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？ 4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。 ()()()()1,412 2=++= s H s s K s G 4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()() 5 284) 2(2 +++++= s s s s s s K s H s G 对应-∞ 实验二 线性系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法； 2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法。 二、实验仪器设备 Pc 机一台，MATLAB 软件。 三、实验内容 1、已知一负反馈系统的开环传递函数为： ()()(0.11)(0.51) K G s H s s s s = ++求： （1）绘制根轨迹。 （2）选取根轨迹与徐州的交点，并确定系统稳定的根轨迹增益K 的范围。 （3）确定分离点的超调量p M 及开环增益K 。 （4）用时域响应曲线验证系统稳定的根轨迹增益K 的范围。 （5）分析根轨迹的一般规律。 2、已知系统的开环传递函数为： 22(431) ()(351) K s s G s s s s ++= ++ 求： （1）绘制系统的根轨迹。 （2）选择系统当阻尼比ξ=0.7时系统闭环极点的坐标值及增益K 值。 （3）分析系统性能。 四、实验结果 负反馈系统的开环传递函数为： ()()(0.11)(0.51)K G s H s s s s = ++ 1、根轨迹 2、理论计算： 根轨迹的基本性质和绘制规则如下： 规则一 系统根轨迹的各条分支是连续的，而且对称于实轴。 规则二 当K=0时，根轨迹的各条分支从开环极点出发；当K→∞，有m 条分支趋向于开环零点，另外有n-m 条分支趋向无穷远处。 可知，K=0时，3条根轨迹分别从开环极点（0, j0）、（-10,j0）和（-2,j0）出发，由于无开环零点，3条根轨迹趋向于无穷远处。 规则三 在s 平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是，在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数。 可知，根轨迹在实轴上存在的部分为[-∞,-10]和[-2,0]。 规则四 根轨迹中趋向于无穷远处的n-m 条分支的渐近线的相角为： (21)180a q n m φ+?=± - 0,1,2,,q n m =-- 可知，两条根轨迹无穷远时趋向的渐近线斜率相角为±60°。 规则五 伸向无穷远处的根轨迹的渐近线与实轴交于一点，交点的坐标为： 11 ( ,0)n m i j i j p z j n m ==--∑∑。 可知，渐近线与实轴交点为1020 ( ,0)(6,0)2 j j ---=- 武汉工程大学自动控制原理实验报告 专业班级：指导老师： 姓名：学号： 实验名称：系统根轨迹分析 实验日期：2011-12-01 第三次试验 一、实验目的 1、掌握利用MATLAB精确绘制闭环系统根轨迹的方法； 2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响； 二、实验设备 1、硬件：个人计算机 2、软件：MATLAB仿真软件（版本6.5或以上） 实验内容 1．根轨迹的绘制 1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K ) () (s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。 2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。 关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。 不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。 图3.1 函数rlocus 的调用 例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。 图3.2 闭环系统一 图3.3 闭环系统一 的根轨迹及其绘制 程序 注意：在这里，构成系统s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中s最高 次幂项的系数为1。 当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1); 当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。 对于图 3.2 所示系统， G(s)H(s)= )2()1(++s s s K *11+s =) 3)(2() 1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1) 若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 r locfind 。然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某点 并点击鼠标左键，这时图上会出现一个关于该点的信息框，其中包括该系统在此点的特征根的值及其 对应的 K 值、超调量和阻尼比等值。图 3.4 给出了函数 r locfind 的用法。 2．实验内容 图3.5 闭环系统二 1） 对于图 3.5 所示系统，编写程序分别绘制当 （1） G(s)= )2(+s s K , （2） G(s)= ) 4)(1(++s s s K , 第四章 根轨迹分析法 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 思考与习题祥解 \ 题 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S 复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此， 对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S 复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 | 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程0)()(1=-s H s G 与负反馈系统的闭环特征方程1()()0G s H s +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（ππk 2+）是180根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk 20+）是0根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则， 如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角， 根轨迹出射角和入射角等等，都要变ππk 2+角度为πk 20+。 《自动控制原理》课程实验报告 实验名称系统根轨迹分析 专业班级 *********** ********* 学 号 姓名** 指导教师李离 学院名称电气信息学院 2012 年 12 月 15 日 一、实验目的 1、掌握利用MATLAB 精确绘制闭环系统根轨迹的方法； 2、了解系统参数或零极点位置变化对系统根轨迹的影响； 二、实验设备 1、硬件：个人计算机 2、软件：MATLAB 仿真软件（版本6.5或以上） 三、实验内容和步骤 1．根轨迹的绘制 利用Matlab 绘制跟轨迹的步骤如下： 1） 将系统特征方程改成为如下形式：1 + KG ( s ) = 1 + K ) () (s q s p =0， 其中，K 为我们所关心的参数。 2） 调用函数 r locus 生成根轨迹。 关于函数 rlocus 的说明见图 3.1。 不使用左边的选项也能画出根轨迹，使用左边的选项时，能 返回分别以矩阵和向量形式表征的特征根的值及与之对应的增益值。 图3.1 函数rlocus 的调用 例如，图 3.2 所示系统特征根的根轨迹及其绘制程序见图 3.3。 图3.2 闭环系统一 图3.3 闭环系统一的根轨迹及其绘制程序 图 3.4 函数 rlocfind 的使用方法 注意：在这里，构成系统 s ys 时，K 不包括在其中，且要使分子和分母中 s 最高次幂项的系数为1。 当系统开环传达函数为零、极点形式时，可调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys = zpk([zero],[pole],1); 当系统开环传达函数无零点时，[zero]写成空集[]。 对于图 3.2 所示系统， G(s)H(s)= )2()1(++s s s K *11+s =) 3)(2() 1(+++s s s s K . 可如下式调用函数 z pk 构成系统 s ys : sys=zpk([-1],[0 -2 -3],1) 若想得到根轨迹上某个特征根及其对应的 K 的值，一种方法是在调用了函数 rlocus 并得到了根 轨迹后调用函数 rlocfind 。然后，将鼠标移至根轨迹图上会出现一个可移动的大十字。将该十字的 中心移至根轨迹上某点，再点击鼠标左键，就可在命令窗口看到该点对应的根值和 K 值了。另外一种 较为方便的做法是在调用了函数 rlocus 并得到了根轨迹后直接将鼠标移至根轨迹图中根轨迹上某 第4章 根轨迹法 在时域分析中已经看到，控制系统的性能取决于系统的闭环传递函数，因此，可以根据系统闭环传递函数的零、极点研究控制系统性能。但对于高阶系统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根（闭环极点）通常是比较困难的，且当系统某一参数（如开环增益）发生变化时，又需要重新计算，这就给系统分析带来很大的不便。1948年，伊万思根据反馈系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简易的图解方法，这种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。 本章介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的法则，广义根轨迹的绘制以及应用根轨迹分析控制系统性能等方面的内容。 4.1 根轨迹法的基本概念 本节主要介绍根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能之间的关系，并从闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程，并由此给出根轨迹的相角条件和幅值条件。 4.1.1 根轨迹的基本概念 根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益* K ）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在s 平面上移动的轨迹。根轨迹增益* K 是首1形式开环传递函数对应的系数。 在介绍图解法之前，先用直接求根的方法来说明根轨迹的含义。 控制系统如图4-1所示。其开环传递函数为 ) 2()15.0()(*+=+=s s K s s K s G 根轨迹增益K K 2* =。闭环传递函数为 * 2* 2)()()(K s s K s R s C s ++==Φ 闭环特征方程为 02*2=++K s s 特征根为： *111K -+-=λ, *211K ---=λ 当系统参数*K （或K ）从零变化到无穷大时，闭环极点的变化情况见表4-1。 表4-1 **K K 1λ 2λ 0 0 0 -2 0.5 0.25 -0.3 -1.7 1 0.5 -1 -1 2 1 -1+j -1-j 5 2.5 -1+j2 -1-j2 M M M M ∞ ∞ -1+j ∞ -1-j ∞ 利用计算结果在s 平面上描点并用平滑曲线将其连接，便得到K （或* K ）从零变化到无穷大时闭环极点在s 平面上移动的轨迹，即根轨迹，如图4-2所示。图中，根轨迹用粗实线表示，箭头表示K （或* K ）增大时两条根轨迹移动的方向。 根轨迹图直观地表示了参数K （或* K ）变化时，闭环极点变化的情况，全面地描述了参数 K 对闭环极点分布的影响。 4.1.2 根轨迹与系统性能 依据根轨迹图（见图4-2），就能分析系统性能随参数（如* K ）变化的规律。 1．稳定性 开环增益从零变到无穷大时，图4-2所示的根轨迹全部落在左半s 平面，因此，当K >0时，图4-1所示系统是稳定的；如果系统根轨迹越过虚轴进入右半s 平面，则在相应K 值下系统是不稳定的；根轨迹与虚轴交点处的K 值，就是临界开环增益。 图4-2 系统根轨迹图 《自动控制理论》 实验报告 专业：电气工程及其自动化班号：1406111 学号：1140610319 姓名：赵元胜 电气工程及其自动化实验中心 二〇一六年十二月 实验六线性系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、掌握使用MATLAB 绘制控制系统根轨迹图的方法； 2、掌握根据根轨迹法对控制系统进行性能分析方法； 二、实验设备 Pc 机一台，MA TLAB 软件。 三、实验举例 已知系统开环传递函数为 ) 2)(1()()(++=s s s K s H s G 求：绘制控制系统的根轨迹图，并分析根轨迹的一般规律。 解：1、绘制控制系统的根轨迹图 MATLAB 提供rlocus()函数来绘制系统的根轨迹图，其调用格式为 rlocus(num ，den)或[k ，p]=rlocusfind(num ，den) 在MATLAB 命令窗口>>提示符号下键入：（符号?表示回车） >>k=[1]? >>z=[]? >>p=[0 -1 -2]? >>[num,den]=zp2tf(z ，p ，k)? 零极点模型转化为多项式模型 >>rlocus(num ，den)? 绘制控制系统的根轨迹图 >>grid ? 绘制坐标 屏幕显示系统的根轨迹图形 2.分析根轨迹的一般规律 1）根轨迹3条，分别从起点（0，0）、（-1，0）和（-2，0）出发，随着k 值从0→∞变化，趋向无穷远处。 2）位于负实轴上的根轨迹（-∞，-2）和（-1，0）区段，其对应的阻尼ζ>1，超调量为0，系统处于过阻尼状态而且在远离虚轴的方向，增益k 增大，振荡频率ωn 随之提高，系统动态衰减速率相应增大。 3）在根轨迹分离点（-0.432，0）处，对应的阻尼ζ=1，超调量为0，开环增益K=0.385，系统处于临界阻尼状态。 4）根轨迹经过分离点后离开实轴，朝s 右半平面运动。当根轨迹在分离点与虚轴这个区间时，闭环极点由实数点变为共轭复数点，对应阻尼0<ζ<1，超调量越靠近虚轴越大，系统处于欠阻尼状态，其动态响应将出现衰减震荡，而越靠近实轴，增益K 越大，阻尼越小，振荡频率ωn 越高，振荡衰减越大。 四根轨迹分析法 2-4-1 设系统的开环零、极点分布如题2-4-1图所示，试绘制相应的根轨迹草图。 题2-4-1图 【解】： 题2-4-1解图 2-4-2 设负反馈系统的开环传递函数分别如下： <1） <2） <3 ） <4 ） 试绘制由 变化的闭环根轨迹图。 【解】：<1）系统有三个开环极点 。 ① ，有三条根轨迹，均趋于无穷远。 ② 实轴上的根轨迹在区 间。 ③ 渐近线 ④ 分离点。 方法一 由 得 不在根轨迹上，舍去。分离点为。 分离点处K 值为 方法二 特征方程为： 重合点处特征方程： 令各项系数对应相等求出重合点坐标和重合点处增益取值。 ⑤ 根轨迹与虚轴的交点。系统的特征方程为 方法一令，得 方法二将特征方程列劳斯表为 令行等于0，得。代入行，得辅助方程 ⑥ 系统根轨迹如题2-4-2<1）解图所示。 ① 根轨迹方程 点，开环极点 开环零Array。 ② 实轴上的根轨迹区间。 ③ 分离会合点 方法一 均在根轨迹上， 为分离点， 为会合点。 方法二 系统特征方程： 重合点处特征方程： 联立求解重合点坐标： ④ 可以证明复平面上的根轨迹是以 为圆心，以 为半径 的圆<教材已证明）。根轨迹如题2-4-1<2）解图所示。b5E2RGbCAP <3） ① 开环零点 开环极点 。 ② 实轴上的根轨迹区间为 ③ 分离点 题2-4-2<3）解图 为分离点， 不在根轨迹上，舍去。 分离点K值 ④ 出射角 ⑤ 复平面上的根轨迹是圆心位于、半径为的圆周的一部分，如题2-4-1<3）解图所示。 <4） ①四个极 点。 ②渐近线 ③实轴上的根轨迹区间为。 ④分离点 得，均为分离点，。 分离角正好与渐近线重合。 ⑤出射角 47、传递函数 ：传递函数是指在零初始条件下，系统输出量的拉式变换与系统输入量的 拉式变换之比。 48、系统校正 ：为了使系统达到我们的要求，给系统加入特定的环节，使系统达到我们 的要求，这个过程叫系统校正。 49、主导极点 ：如果系统闭环极点中有一个极点或一对复数极点据虚轴最近且附近没有 其他闭环零点，则它在响应中起主导作用称为主导极点。 50、香农定理 ：要求离散频谱各分量不出现重叠 , 即要求采样角频率满足如下关系： s ≥ 2 ω max 。 51、状态转移矩阵 ： （t ） e At ，描述系统从某一初始时刻向任一时刻的转移。 52、峰值时间 ：系统输出超过稳态值达到第一个峰值所需的时间为峰值时间。 53、动态结构图 ：把系统中所有环节或元件的传递函数填在系统原理方块图的方块中， 并把相应的输入、输出信号分别以拉氏变换来表示，从而得到的传递函数方块图就称为 动态结构图。 54、根轨迹的渐近线 ：当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，系统有 n-m 条根轨迹终 止于 S 平面的无穷远处，且它们交于实轴上的一点，这 n-m 条根轨迹变化趋向的直线 叫做根轨迹的渐近线。 55、脉冲传递函数 ：零初始条件下，输出离散时间信号的 z 变换 C z 与输入离散信号的 56、Nyquist 判据（或奈氏判据） ：当ω由 - ∞变化到 +∞时， Nyquist 曲线（极坐标 图） 逆时针包围（ -1，j0 ）点的圈数 N ，等于系统 G （s ）H （s ） 位于 s 右半平面的极点数 P ，即 N=P ，则闭环系统稳定；否则（ N ≠ P ）闭环系统不稳定，且闭环系统位于 s 右半平面的极 点数 Z 为： Z=∣P-N ∣ 57、程序控制系统 : 输入信号是一个已知的函数，系统的控制过程按预定的程序进行， 要求被控量能迅速准确地复现输入，这样的自动控制系统称为程序控制系统。 58、稳态误差 ：对单位负反馈系统，当时间 t 趋于无穷大时，系统对输入信号响应的实 际值与期望值（即输入量）之差的极限值，称为稳态误差，它反映系统复现输入信号的 （稳态）精度。 59、尼柯尔斯图（ Nichocls 图）：将对数幅频特性和对数相频特性画在一个图上，即以 （度）为线性分度的横轴，以 l （ ω）=20lgA （ ω）（db ）为线性分度的纵轴，以ω为参变 量绘制的 φ（ ω） 曲线，称为对数幅相频率特性，或称作尼柯尔斯图（ Nichols 图） 60、零阶保持器 ：零阶保持器是将离散信号恢复到相应的连续信号的环节，它把采样时 刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。 61、状态反馈 设系统方程为 x& Ax Bu,y cx ，若对状态方程的输入量 u 取 u r Kx ， 则称状态反馈控制。 . 名词解释 z 变换 R z 之比，即 G z Cz Rz 姓名: 学号: 得分: 实验四 线性系统的根轨迹 一、实验目的 1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。 3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 二、基础知识及MATLAB 函数 根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s 平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K 。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB 可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为 1121 0111()()m m m m n n n n b s b s b s b G s KG s K s a s b s a -+--++++==++++ 系统的闭环特征方程可以写成 01()0KG s += 对每一个K 的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K 的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K 的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。 绘制系统的根轨迹rlocus （） MATLAB 中绘制根轨迹的函数调用格式为: rlocus(num,den) 开环增益k 的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k 的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r 和对应的开环增益向 量k 。 其中，num,den 分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s 的降幂排列。K 为根轨迹增益，可设定增益范围。 例3-1:已知系统的开环传递函数32(1) ()429 s G s K s s s * +=+++，绘制系统的根轨迹的matlab 的调用语句如下: num=[1 1]; %定义分子多项式 den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式 rlocus (num;den) %绘制系统的根轨迹 grid %画网格标度线 xlabel(‘Real Axis ’),ylabel(‘Imaginary Axis ’) %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus ’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1（a ）所示。 若上例要绘制K 在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab 的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-1（b ）所示。 第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G * +++= 试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件 π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππ π π -=- - - 6 3 2 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件： 14 3j 123j 113j 1K s H )s (G * 11=++-?++-?++-= ）（ 解出 ： 12K * = ， 2 3 8K K *== 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++= （2）) b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++= 解 (1) ) 4j 2s )(4j 2s () 4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++= ' 28 s 6s 20 )s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ (2) ) 10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2 2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s ) 19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40 s 14s 4s ) 4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+= Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数) b s )(4s (s 2)s (G ++= ，试绘制参数b 从零变 化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 ) 6s (s ) 4s (b )s (G ++= ' 根轨迹如图。 2s -=时4b =， ) 8s )(2s (s 216s 10s s 2)s (2 ++=++=Φ 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++= (2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++= (3) )3s )(2s (s ) 5s (k )s (G *+++= (4) ) 1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++= 解 ⑴ ) 2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹：(] 5,-∞-, []0,2- 实验报告 课程名称：____ 自动控制理论实验_____指导老师：_____________成绩：__________ 实验名称：___控制系统的根轨迹分析___实验类型：___仿真实验___同组学生姓名：__无__ 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 实验十一 控制系统的根轨迹分析 一、实验目的 1、用计算机辅助分析的办法，掌握系统的根轨迹分析方法。 2、熟练掌握 Simulink 仿真环境。 二、实验原理 1、根轨迹分析方法 所谓根轨迹，是指当开环系统的某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益 K ） 从零变到无穷大时，系统特征方程的根在 s 平面上的轨迹。在无零极点对消时，闭环系统特 征方程的根就是闭环传递函数的极点。 根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。利用它可 以对系统进行各种性能分析： (1) 稳定性 当开环增益 K 从零到无穷大变化时，图中的根轨迹不会越过虚轴进入右半 s 平面，因 此这个系统对所有的 K 值都是稳定的。如果根轨迹越过虚轴进入右半 s 平面，则其交点的 K 值就是临界稳定开环增益。 (2) 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，因此根轨迹上的 K 值就是静态速度误差系数，如果 给定系统的稳态误差要求，则可由根轨迹确定闭环极点容许的范围。 (3) 动态性能 当 0 < K < 0.5 时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周 期过程；当 K = 0.5 时，闭环两个极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周 期过程，但速度更快；当 K > 0.5 时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃 响应为阻尼振荡过程，且超调量与 K 成正比。 同时，可通过修改系统的设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，即根轨迹对系 统设计也具有指导意义。 2、根轨迹分析函数 在 MA TLAB 中，绘制根轨迹的有关函数有 rlocus 、rlocfind 、pzmap 等。 (1) pzmap ：绘制线性系统的零极点图，极点用×表示，零点用 o 表示。 专业：_____________________ 姓名：____________________ 学号：___________________ 日期：____________________ 地点：____________________ 《自动控制原理》总复习 第一章自动控制的基本概念 一、学习要点 1.自动控制基本术语：自动控制、系统、自动控制系统、被控量、输入量、干扰量、受控对 象、控制器、反馈、负反馈控制原理等。 2.控制系统的基本方式： ①开环控制系统；②闭环控制系统；③复合控制系统。 3.自动控制系统的组成：由受控对象和控制器组成。 4.自动控制系统的类型：从不同的角度可以有不同的分法，常有： 恒值系统与随动系统；线性系统与非线性系统；连续系统与离散系统；定常系统与时变系统等。 5.对自动控制系统的基本要求：稳、快、准。 6.典型输入信号：脉冲、阶跃、斜坡、抛物线、正弦。 二、基本要求 1.对反馈控制系统的基本控制和方法有一个全面的、整体的了解。 2.掌握自动控制系统的基本概念、术语，了解自动控制系统的组成、分类，理解对自动控制 系统稳、准、快三方面的基本要求。 3.了解控制系统的典型输入信号。 4.掌握由系统工作原理图画方框图的方法。 三、内容结构图 四、知识结构图 第二章 控制系统的数学模型 一、学习要点 1．数学模型的数学表达式形式 （1）物理系统的微分方程描述；（2）数学工具—拉氏变换及反变换； （3）传递函数及典型环节的传递函数；（4）脉冲响应函数及应用。 2．数学模型的图形表示 （1）结构图及其等效变换，梅逊公式的应用；（2）信号流图及梅逊公式的应用。 二、基本要求 1、正确理解数学模型的特点，对系统的相似性、简化性、动态模型、静态模型、输入变 量、输出变量、中间变量等概念，要准确掌握。 2、了解动态微分方程建立的一般方法及小偏差线性化的方法。 3、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法，并对解的结构、运动模态与特征根的关系、零输入 响应、零状态响应等概念有清楚的理解。 4、正确理解传递函数的定义、性质和意义。熟练掌握由传递函数派生出来的系统开环传递函 数、闭环传递函数、误差传递函数、典型环节传递函数等概念。（＃） 5、掌握系统结构图和信号流图两种数学模型的定义和绘制方法，熟练掌握控制系统的结构图 及结构图的简化，并能用梅逊公式求系统传递函数。（＃＃）线性系统的根轨迹分析
自动控制原理(系统根轨迹分析)
第4章根轨迹分析法习题解答
自动控制原理Matlab实验3(系统根轨迹分析)
第4章 根轨迹法
实验六-线性系统的根轨迹分析
第四章根轨迹法
自动控制原理简答题要点
实验四 线性系统的根轨迹
根轨迹法习题和答案
控制系统的根轨迹分析知识讲解
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