电感电流连续工作模式（CCM）Boost PFC的数学模型
张兴柱
华为电气股份有限公司深圳518129
摘要：本文推广等效电源平均法的思想，对电感电流连续工作模式（CCM）Boost PFC进行了建模；导出了它的稳态关系和动态小信号传递函数。用这些数学关系可方便设计和优化Boost PFC 功率级的参数与控制器补偿电路。
叙词：电源平均法Boost PFC 功率因数校正
一、引言
当今的各类开关电源，其性能正在不断改进。其中因国际标准IEC555-2和IEC1000-3-2的制定，对几乎所有电源的输入电流谐波都作了限制和规定，从而导致功率因数校正技术的迅速发展。通常有二类功率因数校正技术，第一种是无源功率因数校正技术；第二种是有源功率因数校正技术。前者采用无源L，C元件，来改进输入电流的谐波和功率因数，其特征是简单，但缺点则是笨重和庞大。后者采用一个DC/DC变换器串接于不控整流与主变换器（也是一个DC/DC变换器）之间，通过有源控制技术，使输入电流跟随输入电压，达到单位功率因数和低的谐波电流。这个前置级电路目前主要采用Boost变换器，原因是它的输入电感电流是连续的，对于实现平均的正弦电流和降低EMI，优点显著。
在中大功率应用场合，Boost PFC的输入电感一般工作在CCM模式。用专用控制芯片UC3854，可方便地实现输入的单位功率因数和输出DC电压的稳定。但由于控制占空比的变化范围很大，Boost PFC的建模就比较困难，这对功率级参数的优化设计，对控制器补偿环节的如何选择带来了很多问题。许多传统的设计有一定的试探性和近似性。为此研究一种简单，方便，准确的建模技术是非常重要的。
本文推广等效电源平均法[1]的思想，将Boost PFC中的有源开关和无源开分别用等效受控电流和等效受控电压源替代；然而引入新的电路模型即：高频受控源等效电路模型和低频受控源等效电路模型；再从这两个电路模型分别求取开关占空比函数，电路的低频稳态关系和动态小信号传递函数。这种建模方法具有物理概念清楚，运算简单，方便，且能统一建立同类各种功率因数校正的数学模型。
第2节介绍建模技术的基本思想，方法和具体步骤，第3节用上述方法建立电感电流连续工作下Boost PFC电路的模型，并分别给出其稳态关系和动态小信号传递函数；第四节简要介绍Boost PFC功率级参数的设计步骤和设计公式；最后是结论。
二、模型技术的原理
为清楚介绍本文发展的模型技术，我们选择如图1所示的Boost PFC电路作为例子，并作如下假定：
1、电感电流为连续工作状态，即CCM；
2、已由控制实现了输入的单位功率因数，即输入电流的平均值与输入电压同相，波形均
为正弦波；
3、所有元器件均为理想，无任何损耗；
4、忽略输出电压纹波等。
图1 Boost PFC 功率级
图2是有关变量在半个低频（电网）周期内的波形。其中vg (t)是输入电压。为正弦波的
绝对值。ig (t) 是输入电感电流，它在每一个开关周期内的波形与传统PWM Boost 变换器相类
似，为三角波，但其占空比按一定的规律变化（见下文介绍）。vo (t)为输出直流电压波形。引
入开关周期内，变量的平均值定义如下：
图2 低频周期内一些变量的波形
dt t x T t x Ts s s )(1
)(?+= （1）
上式表示x s (t) 为变量x(t)在间隔[t,t+Ts]一个开关周期内的平均值。由于开关周期远小于
电网周期，上式中的x s (t)也可近似地看成变量x (t)。
对开关周期[t,t+Ts]内的波形进行扩展，可得图3所示的波形。其中k (t)为开关函数，由等
效是源平均法的基本思想，可将Q 和D 分别用受控电流源k(t)i g (t)和受控电压源k (t)v o (t)替代。故Boos PFC 在[t,t+Ts]间隔内的等效受控源电路如图4所示
图3 开关周期内一些变量的波形
图4 Boost PFC 在间隔[t,t+Ts]内的等效受控源电路
其中t ∈(0,T/2)。T 为低频电网周期。
如将上图电路中的各个变量在[t,t+Ts]内平均，便可得到[t,t+Ts]间隔内的等效受控源平均电
路模型，如图5所示。为清楚起见，将这一等效电路模型称为高频等效受控源平均电路模型，其中‘高频’两字是指模型中的所有变量都为高频开关周期内的平均值。由图5所示的高频等
效受控源平均电路模型可求出 μs (t)与输入电压和电流，输出电压之间的关系。
图5 高频等效受控源平均电路模型
因为Boost PFC 电路实际上具有低通滤波器的性质，其带宽的设计往往比源频（100HZ
或者120HZ ）还要低得多，通常选择在20HZ 以内，故可将上面的高频等效受控源平均电路模
型再作近似简化。引入低频源周期平均值：
dt t x T x T s T )(22/0?= （2）
对图5中的各个变量和受控源分别进行低频平均处理，便可得到一个低频等效受控源平均
电路模型，如图7所示。今拟‘低频’两字的目的是为了与图5等效电路的区别。
图6 低频源平均值示意图
根据图7，就可方便求得Boost PFC 电路的稳态平均值关系和动态小信号传递函数。利用
这种方法也可同样建立其它结构PFC 电路的数学模型。下面是这种方法的具体步骤。
图7 低频等效受控源平均电路模型
第一步：对不同结构的PFC 电路，用等效受控源和开关周期平均概念，建立其在[t,t+Ts]
内的高频等效受控源平均电路模型；
第二步：利用高频等效受源平均电路模型，求对应PFC 电路的占空比函数；
第三步：对高频等效受控源平均电路模型中的所有变量和受控源在低频（电网）半周期
内取平均，建立相对应的低频等效受控源平均电路模型；
第四步：用低频等效受控源平均电路模型便可求出PFC 电路的稳态关系和动态小信号传
递函数。
下一节将示范如何用这一方法来建立Boost PFC 电路在CCM 工作状态下的数学模型。
三、Boost PFC 电路在CCM 方式下的模型。
利用下节介绍的建模技术和方法，可先作出Boost PFC 电路的高频等效受控源平均电路模
型，如图5所示。
因为： t V t V g gs ωsin )(max = （3）
t I t igs g ωsin )(max = （4）
0)(V t V os =
（5） 对电路例KVL 方程：
t I L V t t V t V t dt
t di L t V gmsx o s os os ss gs gs ωωμμcos )()()()()
()(''+=+-= （6）
所以： o
g g s V t
I L t V t ωωωμcos sin )(max max '-= （7） o g g s s V t
I L t V t t ωωωμμcos sin 1)(1)(max max '
--=-= (8 )
由（8）式可知，在Boost PFC 电路中，为实现输入电流正弦波和单位输入功率因数，其
占空比必须满足上式所示的控制律。而这一控制须由控制电路来实现。
对高频等效受控源平均电路模型中的所有变量和受控源都在低频周期内取平均，可以得到图7所示的低频等效受控源平均电路模型，其中，
max 2/02)(2g gs T gT V dt t V T V π
==? （9） ?-==2/00max /21)(2T g gs gT V V dt t i T i π
（10） 0max 2/0/21)(2V V dt t T g T S T π
μμ-==? （11） 02
/02V dt V T V T o oT ==?
（12） )41(2)()(20
max
max 2/0V V I dt t i t T i g g T gs S sT ππμ-==?
（13） 02
/0)(2
V V t T V T odt T S dT μμ==?
（14） 为简单起见，记X T = x , 则图7的等效电路转化为图8所示。
图8 简化后的等效受控源平均电路
其中： m a x
2
g g V V π= max 2
g g i i π=
V 0 = v o
max
21V V g πμ-= (15)
g
g
g g g g g s i V V i V V i V V i i )234.0()5.01(1412
00max 0max max -=-==?????
?-=μμμππ 将上述关系代入图8，可得图9所示的低频等效受控源平均电路模型。
图9 最终的低等效受控源平均电路模型
很明显，上图与传统PWM Boost 变换器的等效受控源平均电路模型的唯一区别是增加了一个与增益有关的受控电源，即M
i i V V g g g 234.0234.00-=-(其中g V V M /0=为Boost PFC 的电压增益) 对图9的低频平均电路模型，在稳态工作点附近进行小信号扰动，即令：
g g g v V V ?+= （16）
g g g i I i ?+= （17）
g v V v ?00+= （18）
d
D ?+=μ （19） 对其结果作线性化处理，即忽略二个小信号的乘积，则可得到图10（a ）和图10（b
）的
（a ）稳态电路模型
稳态电路模型和动态小信号电路模型。
图10 线性化后的等效受控源平均电路模型
从图10（a ）可得：
g V D
V -=110 （19） )
1(234.10D I I g -= （20） R V I 00= （21）
其中（20）式与用功率平衡关系所推得的结果一样。
推导简介： 输入功率： g g g g g T
g in I V I V dt t i t v T P 8
21)()(12max max 0π===? 输出功率：g g in I V P V I P 82000π=
≡= 所以 ])1(234.1180002D I I V V I g
g -==π 和 0?19.0?'19.0?'234.0)(?v
R v R D i D s i g g -+= （22） 由图10（b ）的动态小信号等效电路模型，可方便求得电路的小信号动态传递函数如下式：
2222020'
81.0'964.01)(?]'657.01[')(?]'154.01['1)(?s D LC s R D s d s R D D V s v s R D L D s v g ++-++= （23）
其它的小信号关系式，如输入阻抗，输出阻抗也可同样求得，此处从略。 四、Boost PFC 功率级参数的设计总结
利用上节建立的稳态模型，可以总结出一套设计Boost PFC 功率级参数的步骤，介绍如下： 第一步：选择Boodt 电感L ：
当输入电压为低限峰值时，即
,(min))(peak in in V t V =
其瞬时占空比为
(min)0)(V V V t d peak in -=
利用： t i L t V t Lf in ??=)
()(可得下例计算电感的公式：
0(min)0)(min)(V V V i f V L peak
in peak Lf s peak a in -?=
其中：V 0为输出电压（一般由最大输入峰值电压决定）
?i Lf( peak) 为对应于V in(min) peak 的峰值电感电流纹波。
通常取：
(min)(max))(/22.0in out peak Lf V P i =?
P out (max) 为最大输出功率
第二步：选择输出滤波电容C 0
0C 的选择是根据所需的保持时间 t ?决定的，其关系式为：
2120(max)02V V t
P C out -???=
其中't ?为保持时间；V 1为经t ?后，0C 上的电压。
第三步：开关器件S 和D 的选择。
（1）根据输入电压范围v in (min) ~v in (max) ，先将有效值换算成相应的平均值范围V in (min) ~V in (max) ；
（2）由关系式（19），计算相应的平均占空比范围;~max min D D
（3）利用公式（20）和（21）可计算电感，二极管的平均电流；
（4）由下式可计算开关Q 的平均电流0I I o I in -=；
在得到上述数据后，再换算成各器件的有效值电流，计算最大值，由于开关的峰值电压为V 0 ，因此当V V 400~3850=时，开关的电压耐量通常可选择在500V 左右，由此可初步选择功率器件和电感铁芯。
五、结 论
本文推广等效电源平均法的思想，对Boost PFC （CCM ）进行了建模。给出了Boost PFC 功率级参数的设计总结。用此模型不仅可以简化设计，而且能优化补偿器的参数，使Boost PFC 的静态和动态性能达到最好。
参考文献
[1] 张兴柱，黄是鹏。“等效受控源平均法和直流开关功率变换器的数学模型”，1985，《电杂志》，No.3。