湖北省八校
2015届高三第一次联考
数学试题（理科）
命题学校：襄阳五中出题人：何宇飞王丹审题人：丁全华考试时间：2014年12月11日下午15:00—17:00 试卷满分150分考试用时120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数∈
+
=a
ai
z(
2
1
R)，i
z2
1
2
-
=，若
2
1
z
z
为纯虚数，则=|
|
1
z
A．2B．3
C．2 D．5
2．如图给出的是计算
2014
1
6
1
4
1
2
1
+
+
+
+ 的值的程序框图，其中
判断框内应填入的是
A．2013
≤
i B．2015
≤
i
C．2017
≤
i D．2019
≤
i
3．设2
2
4
a x dx
π
π
π
-
??
=+
?
??
?，则二项式6
(展开式中含
2
x项的系数是
A．192
-B．193
C．6-D．7
4．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个
几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是
A．
3
14
B．4
C．
3
10
D．3
5．“5
≠
a且5-
≠
b”是“0
≠
+b
a”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既非充分条件也非必要条件
6．已知实数等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列结论中一定成立的
A．若0
3
>
a，则0
2013
<
a B．若0
4
>
a，则0
2014
<
a
鄂南高中黄冈中学黄石二中荆州中学
襄阳四中襄阳五中孝感高中华师一附中
C ．若03>a ，则02013>S
D ．若04>a ，则02014>S
7．用)(A C 表示非空集合A 中的元素个数，定义???<-≥-=-)()(),()()
()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A ．若
}2,1{=A ，}|32||{2a x x x B =-+=，且1||=-B A ，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么
C (S )等于
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知x , y , ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25
C ．36
D ．47
9．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足)(2
1
+=，R 在
抛物线准线上的射影为S ，设α，β是△PQS 中的两个锐角，则下列四个式子 ①1tan tan =βα ②2sin sin ≤+βα ③1cos cos >+βα ④2
tan
|)tan(|β
αβα+>-
中一定正确的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
10．设定义在D 上的函数)(x h y =在点))(,(00x h x P 处的切线方程为)(:x g y l =，当0x x ≠时，若0)
()(0>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 为函数)(x h y =的“类对称点”，则x
x x x f ln 46)(2+-=的“类对称点”的横坐标是
A ．1
B ．2
C ．e
D ．3
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）
11．随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率 是____．
12．已知直线)0(:>+=n n my x l 过点)5,35(A ，若可行域??
?
??≥≥-+≤003y y x n my x 的外接圆直径为20，则
n =_____． 13．已知函数????
?≤<++-≤≤=3
1,321
0,2)(2
x x x x x x f ，将f (x )的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一
周，则所得旋转体的体积为________．
14．以(0, m )间的整数∈>m m ,1(N )为分子，以m 为分母组成分数集合A 1，其所有元素和为a 1；
以),0(2m 间的整数∈>m m ,1(N )为分子，以2m 为分母组成不属于集合A 1的分数集合A 2， 其所有元素和为a 2；……，依次类推以),0(n m 间的整数∈>m m ,1(N )为分子，以n m 为分 母组成不属于A 1，A 2，…，1-n A 的分数集合A n ，其所有元素和为a n ；则 =+++n a a a 21=________．
（二）选考题(从两个小题中选择一个小题作答，两题都作答的按15题记分) 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上的一 点，过C 的直线交直线AB 于E ，交过A 点的切线于D ，BC ∥OD .若 AD =AB = 2，则EB =_________．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C 1的方程为 04)s i n 2(c o s 22=+--θθρρ，以极点为原点，极轴方向为x 正
半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为?
??+=-=t y t
x 3185415(t
为参数)．设点P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的两条切线，则这两条切线所成 角余弦的最小值是_______．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC 的三内角A , B , C 所对边的长依次为a,b,c ，若4
3
cos =A ，
8
1
c o s =C ．
（Ⅰ）求c b a ::； （Ⅱ）若46||=+BC AC ，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数
（Ⅰ）求)2(=ξP ； （Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望． 19．（本小题满分12分）如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，?=∠60A ，?=∠90C ，2=CD ，把△ABD 沿BD 折起（如图2），使二面角C BD A --为直二面角．如图2． （Ⅰ）求AD 与平面ABC 所成的角的余弦值； （Ⅱ）求二面角D AC B --的大小的正弦值．
20．（本小题满分12分）已知等比数列{a n }的公比1>q ，前n 项和为S n ，S 3=7，且31+a ，23a ，43+a 成等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，2)13(6++=n n b n T ，其中∈n N *．
图2 B
C D
A D
B A 图1
（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{b n }的通项公式；
（Ⅲ）设},,{1021a a a A =，},,{4021a b b B =，B A C =，求集合C 中所有元素之和．
21．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心
率为
2
2
，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，23=+CD AB ．
（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求由A ，B ，C ，D 四点构成的四边形的面积的取值范围．
22．（本小题满分14分）已知0>t ，设函数132)1(3)(2
3+++-=tx x t x x f ．
（Ⅰ）若)(x f 在(0, 2)上无极值，求t 的值；
（Ⅱ）若存在)2,0(0∈x ，使得)(0x f 是)(x f 在[0, 2]上的最大值，求t 的取值范围； （Ⅲ）若e m xe x f x (2)(+-≤为自然对数的底数)对任意),0[+∞∈x 恒成立时m 的最大值为1，
求t 的取值范围．
（第21题）
2015届高三第一次联考理科数学参考答案
一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B A
B
D
C
A
C
C
B
二、填空题
11. 241π
- 12. 310 13.
203
π 14. m n -1
2 15. 2
3 16. 87 解析如下：
1．由于()()()5
422521221221i
a a i ai i ai z z ++-=++=-+=为纯虚数,则1=a ,则=1z 5,故选择D.
2．由程序知道,2014,6,4,2 =i 都应该满足条件,2016=i 不满足条件,故应该选择B.
3
．由于()2
2222
22
2
cos sin cos sin 24a x dx x x dx xdx x
π
ππππππππ-
---
?
?=+=-=== ??????
则6(含2x 项的系数为192)1(25
16-=-C ,故选择A.
4．几何体如图，体积为：422
1
3=?,故选择B
5．5≠a 且5-≠b 推不出0≠+b a ,例如2,2-==b a 时0=+b a
0≠+b a 推不出5≠a 且5-≠b ,例如6,5-==b a ，故“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”
的既不充分又不必要条件，故选择D. 6．设11-=n n q a a ，因为02010>q 所以A ，B 不成立,对于C,当03>a 时,01>a ,因为q -1与20131q -同号,所以02013>S ,选项C 正确,对于D,取数列：-1，1，-1，1，……，不满足条件，D 错.故选C.
7．由于a x x =-+|32|2的根可能是2个,3个,4个,而|A-B|=1,故a x x =-+|32|2只有3个根, 故4=a ,1C(S)=∴,故选A.
8．由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x
则()()()222315++-++z y x (当且仅当232115+=
--=+z y x 即???
??=-=-=1
33
z y x 时取等号.故选C. 9．由于△PQS 是直角三角形，则2
π
βα=
+，故①②③都对，
当PQ 垂直对称轴时|tan()|0tan 2
αβαβ+-=<，故选C. 10．由于4()26f x x x '=+
-，则在点P 处切线的斜率=切k 64
2)(0
00/-+=x x x f . 所以切线方程为()2
0000004()2664ln y g x x x x x x x x ??==+--+-+ ???
200004264ln 4x x x x x ??
=+--+- ???
()()()()()22
000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ???=-=-+-+----+ ???
，
则0()0x ?=，)2
)((2)21)((2)642(642)('0
00000x x x x x x x x x x x x x x --=--=-+--+=?.
当0x <
时，()x ?在002,x x ??
??
?
上单调递减，所以当002,x x x ??∈ ??
?
时，0()()0.x x ??<= 从
而有002,x x x ??
∈ ???
时，0)(0<-x x x ?；
当0x >()x ?在002,x x ?? ???上单调递减，所以当002,x x x ??∈ ???
时，0()()0.x x ??>= 从而有002,x x x ??
∈ ???
时，
()0
0x x x ?<-；
所以在(2,)+∞上不存在“类对称点”.
当0x =
时，(2
2
()x x x
?'=，所以
()x ?在(0,)+∞上是增函数，故0
()
0.x x x ?>-
所以x =
是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出24
()20f x x
''=-
=，则2=x ） 故选择B.
11．分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形内部且在三圆外部的区域即
为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即2414621121
12
π
π-
=????-=P . 12．作图可知，()
10025352
=+-n ，则=n 310
13．将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为
23114202123233
πππ=???+???=. 14．由题意1a ＝1m +2m +…+m -1m
2a ＝1m 2+2m 2+…+m -1m 2+m +1m 2+…+2m -1m 2+2m +1m 2+…+m 2-1m 2=1m 2+2m 2+…+m 2-1m 2 -(1m +2m +…+m -1m )＝1m 2+2m 2
+…+m 2-1m 2 -a 1
a 3＝1m 3+2m 3+…+m 3-1
m 3 -a 2-a 1
a n ＝1m n +2m n +…+m n -1
m
n -a n-1…-a 2-a 1
所以12n a a a ???+++=1m n +2m n +…+m n -1m n =1m n ·[1+2+…+(m n
-1)]＝m n -12
15．连接OC 则COD BCO CBO DOA ∠=∠=∠=∠则COD AOD ???则CD OC ⊥，则CD 是半圆O 的切线
设x EB =，由BC ∥OD 得BO
EB CD EC =
，则x EC 2=，则()()222+?=x x x ，则32
=x
16．曲线1C 的一般方程为:044222=++-+y x y x 即()()12122=++-y x ,圆心为()2,1-,半径为1.
曲线2C 的一般方程为:01543=-+y x 点()2,1-到直线的距离是：45
15
83=--=
d ，
则这两条切线所成角余弦的最小值是8741212
=??
?
???-.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．
（Ⅰ）依题设：sin A ，sin C ， 故cos B ＝cos[π－(A ＋C )]＝－cos (A ＋C )＝－(cos A cos C -sin A sin C )＝－(332－21
32)＝9
16.
则：sin B
所以==C B A c b a sin :sin :sin ::4:5:6…………………………………………6分 （Ⅱ）由 （Ⅰ）知：==C B A c b a sin :sin :sin ::4:5:6，
不妨设：a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k ，k ＞0.故知：|AC |＝b ＝5k ，|BC |＝a ＝4k . 依题设知：|AC |2＋|BC |2＋2|AC ||BC |cos C ＝46 ? 46k 2＝46，又k ＞0?k ＝1. 故△ABC 的三条边长依次为：a ＝4，b ＝5，c ＝6.
△ABC 的面积是4
7
158735421=???. …………………………………………12分
18． （Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分
别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码. 3
3
21(2).4
8
P ξ∴=== ……4分
（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.
若3ξ=，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数
字1，2，3或1，2，4.212
333
2(221)19
(3).324
A C P ξ++∴=== 若1222323239
4,(4)432
A A A A P ξξ+====则（或用)3()2(1=-=-ξξP P 求得）. ……8分
的分布列为：
.32
32432382=?+?+?=∴ξE ……………………………………12分
19．如图2所示，以BD 的中点O 为原点，OC 所在的直线为x 轴，OD 所在的直线为y 轴，OA 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则
()0,0,0O ,()0,2,0D ()0,2,0-B ()0,0,2C ()
6,0,0A （Ⅰ）设面ABC 的法向量为()z y x n ,,=
?????=?=?0
BC n AB n 取1=z 有=
n ()1,3,3-
()
6,2,0-=AD ,
7
21
-= AD ∴与面ABC 所成角的余弦值是7
7
2. ………………………………6分 （Ⅱ）同理求得面ACD 的法向量为(
)
1,3,31=
n
，则7
1
=
则二面角D AC B --的正弦值为
7
3
4. ………………………12分 20． （Ⅰ）∵73=S ，∴7321=++a a a ①
∵31+a ，23a ，43+a 成等差数列，∴231643a a a =+++ ② ……………2分 ②－①得，22=a 即21=q a ③ 又由①得，5211=+q a a
④
消去1a 得，02522=+-q q ，解得2=q 或2
1
=
q （舍去） ∴12-=n n a …………………………………………………4分 （Ⅱ）当∈n N *时，2)13(6++=n n b n T ，当2≥n 时，2)23(611+-=--n n b n T ∴当2≥n 时，1)23()13(6---+=n n n b n b n b ，即5
32
31--=
-n n b b n n …………………6分 ∴1412=b b ，4723=b b ，71034=b b ，…，5
3231--=-n n b b n n ∴
5
32371047141342312--????=????-n n b b b b b b b b n n ，即231-=n b b n
∵11=b ，∴)2(23≥-=n n b n ，
故∈-=n n b n (23N *) ……………………………………………8分 （Ⅲ）1023122121101010=-=--=S ，2380802
41
40340=-??=T ……………………10分 ∵A 与B 的公共元素有1，4，16，64，其和为85， ∴集合C 中所有元素之和33188510232380851040=-+=-+=T S …………12分
21．
（Ⅰ）
由题意知，c e a ==，则c b c a ==
,2，23222222
=+=+=+∴c c a
b a CD AB ，
所以1c =．所以椭圆的方程为2
212
x y +=． ………………4分
（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知22222
1
21=??=?=CD AB S 四边形； …………………………5分
②当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 且设直线AB 的方程为(1)y k x =-， 则直线CD 的方程为1(1)y x k
=--．
将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=，
所以
)
2
122
1
|
12
k
AB x x
k
+
=-=
+
．…………8分
同理，2
1
2(1)
2
1
k
CD
k
+
==
+
．…………………………9分
所以
2
4
2
2
2
2
2
2
5
2
2
)1
(4
2
)1
(2
2
2
1
)1
(2
2
2
1
2
1
k
k
k
k
k
k
k
CD
AB
S
+
+
+
=
+
+
?
+
+
?
=
?
?
=
四边形
()
()()
2
22
1
4
2
2
11
2121
k
k
k k
k k
+
==-
++++
，
9
1
1
2
2
1
1
2
2
2
=
+
?
?
?
?
?
?
?
≥
+
?
?
?
?
?
+
k
k
k
k
当且仅当1±
=
k时取等号……11分
∴)2,
9
16
[
∈
四边形
S
综合①与②可知，?
?
?
??
?
∈2,
9
16
四边形
S…………………………………13分22．
（Ⅰ）2
()33(1)33(1)()
f x x t x t x x t
'=-++=--，又()
f x在(0, 2)无极值
1
t
∴=…………………………………3分
①当01
t
<<时，()
f x在(0,)t单调递增，在(,1)
t单调递减，在(1,2)单调递增，
∴()(2)
f t f
≥
由()(2)
f t f
≥得：32
34
t t
-+≥在01
t<<时无解
②当1
t=时，不合题意；
③当12
t<<时，()
f x在(0,1)单调递增，在(1,)t单调递减，在(,2)
t单调递增，
(1)(2)
12
f f
t
≥
?
∴?
<<
?
即
13
3
22
12
t
t
?
+≥
?
?
?<<
?
5
2
3
t
∴≤<
④当2
t≥时，()
f x在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，满足条件综上所述：)
,
3
5
[+∞
∈
t时，
存在)2,0(
∈
x，使得)
(0x
f是)
(x
f在[0,2]上的最大值. ……………………………8分（Ⅲ）若32
3(1)
312
2
x
t
x x tx xe m
+
-++≤-+对任意[)
0,
x∈+∞恒成立
即322
3(1)3(1)
3131
22
x x
t t
m xe x x tx x e x x t
++
??
≤-+-+=-+-+
?
??
对任意[)
0,
x∈+∞恒成立. 令()2
3(1)
3
2
x
t
g x e x x t
+
=-+-，[)
0,
x∈+∞由于m的最大值为1，
则()2
3(1)
30
2
x
t
g x e x x t
+
=-+-≥恒成立，否则存在()
+∞
∈,0
x使得()00
g x<
则当
x
x=，1=
m时，()2
x
f x xe m
≤-+不恒成立.
由于()0
3
1
0≥
-
=t
g，则
3
1
0≤
当 3 1 0≤ 3(1) 2 2 x t g x e x + '=-+，则()2 x g x e ''=-，若()20 x g x e ''=-= 2ln =x 则()g x '在()2ln ,0上递减，在()+∞,2ln 上递增， 则()()()02ln 212 3 22ln min >-++ =='t g x g ()x g ∴在[)+∞,0上是递增的函数 ()()0310≥-=≥∴t g x g ，满足条件 ∴t 的取值范围是?? ? ??31,0…………………………14分
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