如何施行角变换
在三角变换中，角的变换是最基本的，其次是函数的变换、运算结构（式）的变换等，而角的变换巧妙而灵活，要善于观察发现其特征，掌握几种变形技巧：即将三角式中的异角化同角，复（单）角化单（复）角，变成特殊角、用换元法转换角等，从而促使未知向已知转化，有利于问题解决.
一、异角化同角
例1．（2004年全国卷）函数)6
cos()3sin(
2x x y +--=π
π
的最小值等于（ ） （A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）5-
解：),3
(
2
6
x x --=
+π
π
π
所以，).3
sin()3sin()3sin(2)]3(2cos[)3sin(
2x x x x x y -=---=----=π
πππππ
∴当
,2
23
π
ππ
-
=-k x 即)(6
2Z k k x ∈+
-=π
π时，,1min -=y 应选.C
点评：异角化同角是角变换中的最重要的变换之一.
二、复角化单角
例2．（2004年湖南卷）已知,41)24
sin(
)24
sin(=
-?+απ
απ
),2
,4(ππα∈ 求1cot tan sin 22
--+ααα的值.
解：),24
(
2
24
απ
π
απ
--=
+
所以，由已知，得,41)24cos()24sin(
=+?+απαπ
即.2
1
4cos )42sin(==+ααπ ).2,(4),2,4(ππαππα∈∴∈ 于是，得.12
5πα=
故αα
ααααααααα2sin 2
12cos 2cos cos sin cos sin 2cos 1cot tan sin 2222
--=-+-=--+
.2
35)65cot 265(cos
=+-=ππ 点评：复角化单角是一种重要的角变换，它是把未知化归为已知这一重要化归思想的应
用.
三、单角化复角
例3．（1990年卷）已知,3
1
cos cos ,41sin sin =+=
+βαβα求)tan(βα+的值. 解法1：因为，)(2
1
)(21),(21)(21βαβαββαβαα--+=-++=，
代入,41sin sin =
+βα展开，整理，得412cos 2sin 2=-+βαβα，（1） 代入,31cos cos =+βα展开，整理，得.3
1
2cos 2cos 2=-+βαβα （2）
（1）、（2）两式相除，得.4
3
2tan =+βα
∴.7
24)4
3(14322tan 12tan 2)2(2tan )tan(2
2=-?
=
+-+=+=+βαβαβαβα 解法2：由,41sin sin =+βα得4
1
)])sin[()])sin[(=-++-+αβαββα，
展开整理，得4
1
)sin )(sin cos()cos )(cos sin(=++-++βαβαβαβα，（1）
由,31cos cos =+βα得3
1
)])cos[()])cos[(=-++-+αβαββα，
展开整理，得3
1
)sin )(sin sin()cos )(cos cos(=+++++βαβαβαβα，（2）
将已知代入（1）、（2）整理，得)3(,
3)cos(3)sin(4=+-+βαβα
)4(,4)cos(4)sin(3=+++βαβα
由（3）、（4）解得.25
7
)cos(,2524)sin(=+=
+βαβα ∴.724)cos()sin()tan(=++=
+βαβαβα 点评：单角变复角常见的有：
2
2
)()(β
αβ
ααββββαα-+
+=
--=-+=2
2
α
βα
β--
+=
，2
2α
α?
=，
此外，还有)sin(cos sin 22?θθθ++=
+b a b a 这一重要变形等等.
四、复角化复角
例4．（1992年全国卷）已知
,13
12
)cos(,432
=-<
<<βαπαβπ
5
3
)sin(-=+βα, 求.2sin α
解：因为，,1312)cos(,40=
-<
-<βαπ
βα所以，.13
5)sin(=-βα
又因为,23πβαπ<+<53)sin(-=+βα，所以，.5
4)cos(-=+βα ∴)]()sin[(2sin βαβαα++-=)sin()cos()cos()sin(βαβαβαβα+-++-=
.65
56-
=
例5．已知)2
4(532sin π
απα<<=
，2)tan(-=+βα，则)tan(βα-的值为（ ）
A 、21
B 、21-
C 、112-
D 、11
2
解：.4
3
2tan 542cos )24(532sin -=?-=?<<=ααπαπα
又)
tan()tan(1)
tan()tan()]()tan[(2tan βαβαβαβαβαβαα-+--++=
-++=，将已知代入，解得
2
1
)tan(=
-βα，选.A 点评：复角化复角常见的有：)()(2βαβαα-++=，αβαβα++=+)(2，
)(2βααβα-+=-)(αβα--=等等.
五、用换元法转换角
例6．已知4745,53)4cos(πππ
<
<=
+x x ，求1
tan 2cos 1--x x
的值. 解：令απ=+x 4，则.222,4παπα-=-=x x 4745ππ< 3παπ<<∴ 由已知，得53cos =α，于是，.3 4 tan ,54sin -=-=αα 2 )1)(tan cos sin 21(1 1tan 1tan cos sin 211)4tan() 22cos(11tan 2cos 1+--=-+--=----= --∴αααααααπαπ αx x .150 492) 34 1)](53()54(1[=-?---= 点评：用换元法转换角，回避了变形技巧，且思路自然，解法简捷. 同步练习（供选用）： 1．求值：（1）_______;20cos 80cos 60cos 40cos =-++ （2）._________8 sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin =-+? ? 2．已知24π α= ，求 α α αααααααααcos sin cos 2cos sin cos 3cos sin 3cos 4cos sin +++的值. 3．已知：)2sin(sin βαα+=n ，)1(≠n , 求证：.tan 11)tan(ββαn n -+= + 4．（1）已知,32)2sin(,91)2cos(-=--=-y x y x 且,2 0,2π ππ<<< cos(y x +的值. （2） 已知,135)45cos(,54)4sin( -=+-=-βπαπ 且)43,0(πβ∈, )4 3,4(π πα∈, 求)sin(βα+的值. 5．（2005年全国卷Ⅱ文科试题）已知α为第二象限的角，5 3 sin = α，β为第一象限的角，13 5 cos = β，求)2tan(βα-的值. 6．化简).15cos(3)45cos()75sin( +θ-+θ++θ 7．（1）若5 3 )4cos( -=-x π ，则._______) 4 sin(2sin =+ π x x （2）若53)4 cos(= + π α，232παπ<≤，则._______)4 2cos(=+π α 8．（2004年全国卷4）已知α为第二象限的角，且415sin =α，求1 2cos 2sin ) 4sin(+++ ααπ α的值. 9．（2004年全国卷3）已知α为锐角，且21tan = α，求α αααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值. 10．（2005年全国卷Ⅰ）当2 0π < x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 （ ） （A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）34 答案与提示： 1．（1） ,2 1 206080,206040+=-= （2）,32- 8157-=； 2． ,3 3 ααααααα-=-=-=22334；3．ββαβαββαα++=+-+=)(2,)(； 4（1）91；（2） ,6556（1）).2()2(2y x y x y x ---=+（2） )4()45(απ βπβαπ--+=++ 5．.2532046．0 提示：设.15 +=θα 7． （1）令t x =-4π，则t x -=4π，且.5 3cos -=t 于是， .15 7) 53(1)53(2cos 1cos 2cos 2cos )44sin()4(2sin )4sin(2sin 22 =---?=-==+--=+t t t t t t x x πππ π （2）令t =+4πα，则53cos =t ，且)47,43[ππ∈t ，即).47,23(ππ∈t .5 4 sin -=∴t 4 sin 2sin 4cos 2cos )42cos(]4)4(2cos[)42cos(π πππππ αt t t t +=-=+-=+ )cos sin 21cos 2(22)2sin 2(cos 222t t t t t +-=+= .50231-= 8．2- 9．.4 5 10．.4tan 4cot 2tan 4cot 2sin sin 82cos 1)(2=?≥+=++= x x x x x x x x f 当x x tan 4cot =，即2 1 arctan =x 时，取等号，故选.A
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