2020-2021学年上海市浦东新区建平中学高二（上）期末数学试
卷
一、填空题（共12小题）.
1．双曲线的渐近线方程是．
2．给定关于实数x、y的线性方程组，则该方程组的增广矩阵是．3．无穷等比数列{a n}满足，则数列{a n}的各项和为．
4．在行列式中，第二行第一列的元素3的代数余子式的值为．
5．若椭圆的一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，则m＝．
6．直线2x﹣y﹣1＝0与直线x﹣3y+6＝0的夹角大小为．
7．已知△ABC的顶点A（﹣3，0）、B（6，0），若顶点C在抛物线y＝x2+1上移动，则△ABC的重心的轨迹方程为．
8．已知方程x2+px+4＝0（p∈R）有两个虚根α，β，则α2+β2的取值范围是．9．设数列{a n}的前n项和为S n＝2n2+1（n∈N*），则＝．
10．设实数x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为．11．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足＝λ+μ（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．
12．设P是双曲线Γ：x2﹣＝1上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若有≥1，则与夹角的取值范围是．
二、选择题（共4小题）.
13．“k＜1”是“方程+＝1表示双曲线”的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线y＝x对称的直线l'的倾斜角不可能为（）A．θB．C．π﹣θD．
15．直线（t是参数）与圆（θ是参数）的位置关系是（）A．相交B．相切
C．相离D．与实数k的值有关
16．已知复数z1、z2满足|z1﹣z2|＝r（r＞0），复数ωi（1≤i≤n，n∈N*）满足|ωi﹣z1|＝r或者|ωi﹣z2|＝r，且|ωi﹣ωj|≥r对任意1≤i＜j≤n成立，则正整数n的最大值为（）A．6B．8C．10D．12
三、解答题
17．已知z＝（i是虚数单位），求：
（1）﹣（+1）的值；
（2）满足不等式|az﹣i|≥1的实数a的取值范围．
18．已知，，O为坐标原点．
（1）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围；
（2）设，，求△OAB的面积．
19．疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，l1、l2分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，以点O为坐标原点，l1、l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点M（100，400））和平安检查点（即点N（400，700））是李叔叔负责区域中最远的两个检查点．
（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；
（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线l：x﹣y+1000＝0）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由．
20．已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F．
（1）求Γ上纵坐标为4的点P到焦点F的距离；
（2）若斜率为2的直线l与Γ交于A、B两点，且达到最小值，求直线l的方程；
（3）设AB是Γ的一条弦且|AB|＝t（t＞0），求线段AB中点横坐标的最小值．
21．已知椭圆Γ：，斜率为k的直线l与椭圆Γ有两个不同的公共点A、B，Γ的左、右焦点分别为F1、F2．
（1）若直线l经过点F1，求△ABF2的周长；
（2）若k＝1，求△AOB面积的取值范围；
（3）若k＝1，P（﹣4，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，求证：直线CD过定点，并求出定点的坐标．
参考答案
一、填空题（共12小题）.
1．双曲线的渐近线方程是．
解：令，解得y＝±x，
所以双曲线的渐近线方程为．
故答案为：．
2．给定关于实数x、y的线性方程组，则该方程组的增广矩阵是．解：由增广矩阵的定义知：
增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列方程组等号右边的值，
所以关于实数x、y的线性方程组的增广矩阵是．
故答案为：．
3．无穷等比数列{a n}满足，则数列{a n}的各项和为．解：无穷等比数列{a n}满足，
则数列{a n}的各项和S＝＝，
故答案为：．
4．在行列式中，第二行第一列的元素3的代数余子式的值为52．解：在行列式中，
第二行第一列的元素3的代数余子式的值为：
＝﹣1×（1×2﹣6×9）＝52．
故答案为：52．
5．若椭圆的一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，则m＝7．解：抛物线y2＝8x的准线方程为：x＝﹣2，
椭圆的一个焦点在抛物线y2＝8x的准线上，所以椭圆的焦点坐标（﹣2，0），所以c＝2，则，解得m＝7．
故答案为：7．
6．直线2x﹣y﹣1＝0与直线x﹣3y+6＝0的夹角大小为．
解：直线2x﹣y﹣1＝0的斜率为k＝2，直线x﹣3y+6＝0的斜率为k'＝，
设两条直线的夹角为θ，
根据夹角公式可得，
又，
所以θ＝，
故直线2x﹣y﹣1＝0与直线x﹣3y+6＝0的夹角大小为．
故答案为：．
7．已知△ABC的顶点A（﹣3，0）、B（6，0），若顶点C在抛物线y＝x2+1上移动，则△ABC的重心的轨迹方程为．
解：设顶点C的坐标为（x0，y0），
因为点C在抛物线y＝x2+1上，
所以y0＝x02+1，①
设△ABC的重心为（x，y），
则有，解得x0＝3x﹣3，y0＝3y，代入①，
所以3y＝（3x﹣3）2+1，化简可得，
故△ABC的重心的轨迹方程为．
故答案为：．
8．已知方程x2+px+4＝0（p∈R）有两个虚根α，β，则α2+β2的取值范围是[0，8）．【分析】由题意可得：△＜0，解得p取值范围．利用根与系数的关系可得α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ范围．
解：由题意可得：△＝p2﹣16＜0，解得﹣4＜p＜4．
α+β＝﹣p，αβ＝4．
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝p2﹣8∈[0，8）．
故答案为：[0，8）．
9．设数列{a n}的前n项和为S n＝2n2+1（n∈N*），则＝．
【分析】运用数列的递推式：n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，求得数列{a n}的通项公式，再由数列的极限运算性质可得所求值．
解：数列{a n}的前n项和为S n＝2n2+1（n∈N*），
可得n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n2+1﹣2（n﹣1）2﹣1＝4n﹣2，则＝＝＝＝，
故答案为：．
10．设实数x、y满足约束条件，则目标函数的最大值为．【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点到直线x+2y+4＝0的距离求解．
解：由约束条件作出可行域如图，
的几何意义为可行域内的动点到直线x+2y+4＝0的距离，联立，解得A（1，3），
由图可知，A到直线x+2y+4＝0的距离最大，为．
故答案为：．
11．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足＝λ+μ（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．
【分析】如图所示，点P组成的图形是以BD、BF为邻边的平行四边形，利用两个向量的数量积的定义，求出cos∠FBD＝cos∠CAB的值，可得sin∠CAB的值，再根据所求面积为BD?BF?sin∠CAB，计算求得结果．
解：如图：延长AB到D，使BD＝AB，作BF平行且等于AC，
则点P组成的图形是以BD、BF为邻边的平行四边形，
又BD＝AB＝，BF＝AC＝，cos∠FBD＝cos∠CAB
＝，
所以，
故所以所求面积为：，
故答案为：3．
12．设P是双曲线Γ：x2﹣＝1上任意一点，Q与P关于x轴对称，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若有≥1，则与夹角的取值范围是（，π﹣arccos]．
【分析】设P（m，n），由≥1，可得m2≥2，结合平面向量的数量积运算与分离常数法可推出cos＜，＞＝﹣﹣，从而得解．
解：由题意知，F1（﹣2，0），F2（2，0），
设P（m，n），则Q（m，﹣n），且m2﹣＝1，
∴＝（﹣2﹣m，﹣n）?（2﹣m，﹣n）＝m2﹣4+n2＝m2﹣4+3（m2﹣1）＝4m2﹣7≥1，
∴m2≥2，
∴cos＜，＞＝＝
＝
＝
＝＝＝﹣﹣∈[，），
∴＜，＞∈（，π﹣arccos]．
故答案为：（，π﹣arccos]．
二、选择题
13．“k＜1”是“方程+＝1表示双曲线”的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由方程+＝1表示双曲线求得k的范围，然后结合充分必要条件的判定得答案．
解：若方程+＝1表示双曲线，则（3﹣k）（k﹣1）＜0，即k＜1或k＞3．∴k＜1?方程+＝1表示双曲线，反之不一定成立．
∴“k＜1”是“方程+＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：A．
14．直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线y＝x对称的直线l'的倾斜角不可能为（）A．θB．C．π﹣θD．
【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐一分析判断即可．
解：设直线l'的倾斜角为α，则α，θ∈[0，π），
直线l和直线l'关于直线y＝x对称，
则也关于y＝﹣x对称，
故α+θ＝或，
当，故选项A正确；
当，故选项B正确；
当，故选项D正确．
故选：C．
15．直线（t是参数）与圆（θ是参数）的位置关系是（）A．相交B．相切
C．相离D．与实数k的值有关
【分析】直线（t是参数）经过定点P（4，3）．圆（θ是参数），化为普通方程．把点P代入圆的方程即可判断出位置关系．
解：直线（t是参数）经过定点P（4，3）．
圆（θ是参数），化为：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4．
把点P代入圆的方程左边＝（4﹣3）2+（3﹣2）2＝2＜4＝右边，
因此直线与圆相交．
故选：A．
16．已知复数z1、z2满足|z1﹣z2|＝r（r＞0），复数ωi（1≤i≤n，n∈N*）满足|ωi﹣z1|＝r或者|ωi﹣z2|＝r，且|ωi﹣ωj|≥r对任意1≤i＜j≤n成立，则正整数n的最大值为（）A．6B．8C．10D．12
【分析】用向量表示，由复数的几何意义得到ωi终点的轨迹，数形结合即可得到答案．
解：用向量表示，
因为|z1﹣z2|＝r（r＞0），所以，
又复数ωi（1≤i≤n，n∈N*）满足|ωi﹣z1|＝r或者|ωi﹣z2|＝r，
则ωi可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r的圆上的向量，
则终点可能的个数即为n，
因为|ωi﹣ωj|≥r对任意1≤i＜j≤n成立，所以同一个圆上的两个点形成的最小圆心角为60°，
如图所示，则最多有10个可能的终点，即n＝10．
故选：C．
三、解答题
17．已知z＝（i是虚数单位），求：
（1）﹣（+1）的值；
（2）满足不等式|az﹣i|≥1的实数a的取值范围．
【分析】（1）求出复数z，再代入计算即可；
（2）利用复数的模长公式化不等式为关于a的不等式，求解集即可．解：（1）因为z＝＝1﹣2i，
所以﹣（+1）＝﹣（1+2i+1）
＝﹣（2+2i）
＝（1+i）﹣2﹣2i
＝﹣1﹣i；
（2）不等式|az﹣i|≥1为|a（1﹣2i）﹣i|≥1，
即|a﹣（2a+1）i|≥1，
所以≥1，
整理得5a2+4a≥0，
解得a≤﹣或a≥0，
所以实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）．
18．已知，，O为坐标原点．
（1）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围；
（2）设，，求△OAB的面积．
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算和数量积运算，列不等式求出m的取值范围，注意去掉夹角为平角的情况．
（2）利用平面向量的数量积公式和三角形面积公式，计算即可．
解：（1）由，，
所以，
；
令，
即﹣3m﹣2+8m﹣4＜0，解得，
当时，，与方向相反，夹角为平角，不合题意；
所以，
所以若与的夹角为钝角，则m的取值范围是．（2）设∠AOB＝θ，△OAB面积为S，
则；
因为，
所以；
所以．
19．疫情期间，作为街道工作人员的王阿姨和李叔叔需要上门排查外来人员信息，王阿姨和李叔叔分别需走访离家不超过200米、k米的区域，如图，l1、l2分别是经过王阿姨家（点）的东西和南北走向的街道，且李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，以点O为坐标原点，l1、l2为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知健康检查点（即点M（100，400））和平安检查点（即点N（400，700））是李叔叔负责区域中最远的两个检查点．
（1）求出k，并写出王阿姨和李叔叔负责区域边界的曲线方程；
（2）王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，需在姑山路（直线l：x﹣y+1000＝0）上碰头见面，你认为在何处最为便捷、省时间（两人所走的路程之和最短）？并给出理由．
【分析】（1）先求出李叔叔家所在位置，然后利用两点间的距离公式可求出k，最后利用圆心和半径可求出边角的曲线方程；
（2）先求出圆心O关于l：x﹣y+1000＝0的对称点P，然后求出直线PC与直线l的交点，从而可求出所求．
解：（1）王阿姨负值区域边界的曲线方程为x2+y2＝2002，
李叔叔家在王阿姨家的东偏北45°方向，设李叔叔家所在的位置为（c，c），
因为离M（100，400）和N（400，700）距离相等，
所以，
解得c＝400，
所以k＝＝300，
故李叔叔负值区域边界的曲线方程为（x﹣400）2+（y﹣400）2＝3002；
（2）圆心O关于l：x﹣y+1000＝0的对称点P（a，b），
则有，，
解得a＝﹣1000，b＝1000，
所以，
直线PC的方程为：，
联立，解得x＝﹣300，y＝700，
所以王阿姨和李叔叔为交流疫情信息，可选择在地点（﹣300，700）碰面，距离之和最近．
20．已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F．
（1）求Γ上纵坐标为4的点P到焦点F的距离；
（2）若斜率为2的直线l与Γ交于A、B两点，且达到最小值，求直线l的方程；（3）设AB是Γ的一条弦且|AB|＝t（t＞0），求线段AB中点横坐标的最小值．
【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，可得P的坐标，由抛物线的定义可得所求距离；
（2）设直线l的方程为y＝2x+b，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求得可得b，进而得到所求直线方程；
（3）设直线AB的方程为x＝my+s，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和对勾函数的单调性可得所求最小值．
解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
可得P（4，4），点P到焦点F的距离为4＝1＝5；
（2）设直线l的方程为y＝2x+b，与抛物线方程y2＝4x联立，
可得4x2+（4b﹣4）x+b2＝0，
由△＝（4b﹣4）2﹣16b2＞0，可得b＜，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝1﹣b，x1x2＝b2，
y1y2＝（2x1+b）（2x2+b）＝4x1x2+2b（x1+x2）+b2＝b2+2b﹣2b2+b2＝2b，
则＝x1x2+y1y2＝b2+2b＝（b+4）2﹣4，
当b＝﹣4＜时，达到最小值，
所以直线l的方程为y＝2x﹣4；
（3）设直线AB的方程为x＝my+s，
与抛物线方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4s＝0，
设A，B的纵坐标分别为y1，y2，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4s，
且△＝16m2+16s＞0，即s＞﹣m2，
由|AB|＝?|y1﹣y2|＝?＝4?＝t，
可得s＝﹣m2，
则x1+x2＝m（y1+y2）+2s＝4m2+2s，
可得线段AB中点横坐标x＝s+2m2＝+m2
＝+（m2+1）﹣1，
当t≥4时，x≥﹣1，
当且仅当t＝4（m2+1），取得等号；
当0＜t＜4时，令m2+1＝s（s≥1），
由x＝s+﹣1在s≥1递增，可得x的最小值为．
综上可得，0＜t＜4时，所求最小值为；
t≥4时，所求最小值为﹣1．
21．已知椭圆Γ：，斜率为k的直线l与椭圆Γ有两个不同的公共点A、B，Γ的左、右焦点分别为F1、F2．
（1）若直线l经过点F1，求△ABF2的周长；
（2）若k＝1，求△AOB面积的取值范围；
（3）若k＝1，P（﹣4，0），直线PA与椭圆Γ的另一个交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一个交点为D，求证：直线CD过定点，并求出定点的坐标．
【分析】（1）根据椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a，即可得△ABF2的周长：|AB|+|AF2|+|BF2|＝4a，即可得出答案．
（2）设直线l的方程为y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程，
得关于x的一元二次方程，由韦达定理得x1+x2，x1x2，由弦长公式可得|AB|，由点到直线的距离公式可得点O到直线AB的距离d，再计算S△AOB＝?|AB|?d，由基本不等式可得答案．
（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），直线PA的方程为y＝（x+4），联立椭圆的方程可得关于x的一元二次方程，即可得C点坐标，同理可得而D点坐标，再写直线CD 的方程，化简即可得答案．
解：（1）若直线l经过点F1，
根据椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a＝2×2＝4，|BF1|+|BF2|＝2a＝2×2＝4，
所以△ABF2的周长：|AB|+|AF2|+|BF2|＝AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝8，
所以△ABF2的周长为8．
（2）设直线l的方程为y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得5x2+8mx+4m2﹣4＝0，
所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，
△＝（8m）2﹣4×5×（4m2﹣4）＝﹣16m2+80＞0，即﹣＜m＜，
所以|AB|＝＝＝，
点O到直线AB的距离d＝＝，
所以S△AOB＝?|AB|?d＝??＝??≤?＝1，
当且仅当5﹣m2＝m2，即m＝±时，取等号，
所以△AOB面积的取值范围（0，1]．
（3）设C（x3，y3），D（x4，y4），
直线PA的方程为y＝（x+4），
联立，得+（x+4）2＝1，
又点A在椭圆上，所以4y12＝4﹣x12，
所以（2x1+5）x2+2（4﹣x12）x﹣x1（5x1+8）＝0，
所x1x3＝，即x3＝﹣，
所以y3＝（x3+4）＝，
即点C坐标为（﹣，），
同理可得D坐标（﹣，），
所以k CD＝＝＝，
所以直线CD的方程为y＝（x+）+，
＝（x+）+，
＝x+
＝x+＝x+＝x+×+＝（x+）+，所以直线CD过定点（﹣，）．