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车道被占用对城市道路通行能力的影响
摘要
车道被占用是研究城市交通的一个重要领域。本题要求建立合理数学模型，成功解决某个道路被堵后交通情况变化的整个过程，为相关部门解决实际问题提供理论依据。
针对问题一，描述事故发生过程中实际交通能力的变化过程。我们根据视频的分析得出此段路为二级公路。按照二级路段的通行能力计算公式，在视频1中采集所需的数据，通过Excel 计算并绘制出图5-2。实际通行能力呈周期性变化，且随着阻塞车辆的增加而降低，但达到一定程度后递减效果不再明显。
针对问题二，分析所占不同道对该横断面交通能力影响差异。通过对附件3的分析，首先我们考虑的是不同道承担交通任务不同，进而导致需要换道的车辆数不同，换道会降低通行能力。通过流体力学理论验证了我们的设想。因此我们采用拟合的方式确定换道次数与实际交通能力的关系，利用Matlab 拟合结果为：
23031025.776
.66-+??-=x N 仅一道和仅三道换道次数比为，所以仅三道比通行比仅一道通行实际交通能力强，由图5-6也可验证此结论。
针对问题三，确定排队长度与横断面实际交通能力、事故持续时间、路段上游车流量的关系。我们考虑到车流属于交通波，则有T y ω=，综合路口和交通带来的车流以60s 为一周期规律性变化，由此我们建立的交通波模型为：
()()()()()()[]()()112
11111t t k h t t t t k h k h t y B s ----+-=其中),()(N q f k h =，用
0/=dt dy 便可求出极值点，得到了()()[]()()()1112114/k h t t k h k h y B s s -+-=，即车辆
排队距离的表达式。并利用视频1中的数据进行检验，检验结果相对误差为%，在误差允许范围内，基本符合实际情况，可以推广使用。
针对问题四，事故发生在距离上游路口140m 处，上游车流量为1500h pcu / 来确定经过多久车辆长度达到140m 。我们利用问题三的结论，把堵车距离作为已知量，堵车达到140m 的时间作为未知量。综合路口状况和交通灯。我们建立的模型为()()[]()()[]12
112
114/t k h t t k h k h t B s s +-+-=。通过分析视频1，求出所需数
据，得出车辆排队距离为140m 的时间为5分51秒。
本题综合了车辆变道的影响、路口状况的影响、交通灯变化规律的影响以及本段路的实况信息，建立了数学模型。考虑较为全面，可以给交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
关键词：换道行为；流体力学；Matlab 拟合；交通波
一问题重述
车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。
车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。
视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：
（1）根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。
（2）根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
（3）构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。
（4）假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。
二基本假设
模型假设
（1）附件1、附近2中视频所取时间具有代表性，能反映客观事实；
（2）事故发生具有偶然性，车流阻塞过程不存在人为干预；
（3）只考虑四轮及以上的机动车、电瓶车的交通流量；
（4）事故发生只会占用两个相邻车道；
三符号说明
四问题的分析
本题从道路发生交通事故占用车道入手，要求建立模型解决占用后对通行能力的影响，占用不同车道对通行能力的影响，以及估算事故发生后车辆排队长度与相关参数的关系，并能准确计算车辆排队长度达到最大的时间
针对问题一，描述事故发生过程中，实际交通能力的变化过程。我们根据视频里的路面状况，首先确定公路的级别，进而确定所用的求解实际交通能力公式。求出任意时间段的交通能力，再建立实际交通能力与时间的关系，得到实际交通能力变化过程。
针对问题二，分析所占不同道对该横断面交通能力影响差异。通过对附件3的分析，首先我们考虑的是不同道承担交通任务不同，进而导致同一横断面不同车道发生事故对该横断面实际通行能力存在差异，因为需要换道的车辆数不同，换道会降低交通能力。通过对实际交通能力对换道次数作图，得到仅一道和仅三道通行的差异。
针对问题三，确定排队长度与横断面实际交通能力、事故持续时间、路段上油车流量的关系。我们考虑到车流属于交通波，应符合交通波模型，再综合路口和交通灯带来的车流规律性变化，求出了堵车距离的表达式。
针对问题四，事故发生在距离上游路口140m处，上游车流量为1500pcu/h 来确定经过多久车辆长度达到140m。我们利用问题三的结论，把堵车距离作为已知量，堵车达到140m的时间作为未知量。综合路口状况和交通灯，我们建立的模型为交通波模型。通过分析附件一的视频，求出所需数据，从而得出结果。
五 模型的建立与求解
问题一
本题要求通过对附件一的认真观察及分析事故所处横断面实际通行能力的
变化。分析其作用是为了确定新建道路的等级，性质，主要技术指标和线形几何要求，确定现有道路系统或某一路段所存在的问题，针对问题提出改进方案和措施，为道路的改建和改善提供依据，作为交通枢纽的规划，设计及交通设施配置的依据，为制定交通组织，交通疏导，交通引导，交通量均衡，交通数量控制盒综合治理等交通系统管理方案提供依据，为制定交通管理，交通控制方案以及交通渠化，信号配时优化方案设计及选择等提供依据。
5.1.1 通行能力的计算
首先，我们要知道什么是道路的实际通行能力，道路的通行能力是指在一定的时间段内和在通常的道路，交通，管制条件下，能合理的期望人和车辆通过道路某一断面或地点的最大交通数量。通行能力一共分为三类，基本通行能力，实际通行能力和设计通行能力。
1.基本通行能力是指道路与交通处于理想情况下,每一条车道(或每一条道路) 在单位时间内能够通过的最大交通量。作为理想的道路条件,主要是车道宽度应不小于3.65 m , 路旁的侧向余宽不小于1.75 m , 纵坡平缓并有开阔的视野、良好的平面线形和路面状况。 作为交通的理想条件, 主要是车辆组成单一的标准车型汽车, 在一条车道上以相同的速度,连续不断的行驶,各车辆之间保持与车速相适应的最小车头间隔, 且无任何方向的干扰。在这样的情况下建立的车流计算模式所得出的最大交通量,即基本通行能力。基本通行能力与行驶车辆之间的最小安全间距公式如下:
)/(10006
.3/36003600N 00h l V
V l h t 辆最大===
）
（辆车安车安制反h l l V t V l l l l l /2546.32
0++Φ+=+++=
安
l 一般取用2m ，t 可取1s ，附着系数Φ与轮胎花纹，路面粗糙度，平整度，表
面适度，行车速度等因素有关，如表5-1所示：
表5-1 纵向附着系数与车速的关系表
对应表中的数据，对小车的安全长度进行计算，小汽车车辆长度一般采用6m 。本题就把0l 取6m 。
2.计算可能通行能力N 是以基本通行能力为基础考虑到实际的道路和交通
状况,确定其修正系数,再以此修正系数乘以前述的基本通行能力,即得实际道路、
交通与一定环境条件下的可能通行能力[1]。 影响通行能力不同因素的修正系数为:
1)道路条件影响通行能力的因素很多, 一般考虑影响大的因素, 其修正系数有: ①车道宽度修正系数1f ；②侧向净空的修正系数2f ；③纵坡度修正系数3f ；④视距不足修正系数5f ；⑤沿途条件修正系数6f 。
2)交通条件的修正主要是指车辆的组成, 特别是混合交通情况下, 车辆类型众多, 大小不一, 占用道路面积不同,性能不同, 速度不同, 相互干扰大, 严重地影响了道路的通行能力。 一般记交通条件修正系数为6f 。于是,道路路段的可能通行能力为:
）（辆最大h f f f N N /6
21????=Λ 交通条件：是不同类型的车辆换算为同一车型。对于不同等级的公路又有不
同的公式进行具体的计算，根据视频与下图进行匹配，可明显看出此题研究的公路应为二级公路，如图5-1所示。
图5-1 我国公路分级标准图
因此该题应应用二级公路所对应的公式及修正系数表。其中二级公路计算公式为：
f d HV w f f f f N N ????=最大
根据国标可知，85.0,00.1,56.0,56.0====f d HW w f f f f 。如表5-2、5-3、5-4
所示：
表5-2 方向分布修正系数表
表5-3 车道宽度及路肩宽度修正系数表
定服务水平要求下，公路设施所能通行的最大小时交通量。因此，设计通行能力与选取的服务水平级别有关。是道路规划、设计的依据。此题不涉及设计通行能力。
5.1.2 视频1的解析
通过对附件一的仔细观察，从发生事故开始采集数据，知道事故解除期间的一段时间内，不同车道通过的车辆大小不同，然而不同车的车型大小会影响到车的通行能力。特别是混合交通情况下，车辆类型众多，大小不一，占用道路面积不同，性能不同，速度不同，相互干扰大，严重地影响了道路的通行能力。为了使不同车型的车辆换算为同一车型，一般根据所占道路面积和行车速度的比值进行换算，亦可用平均车头时距的比值进行换算[2]。因此，根据国家交通部规定车种换算系数可将不同型号车的大小统一化，如表5-5所示：
根据表5-5中所给的标准换算系数将附件的各种型号的车进行标准化，分别采集出某段时间内各车道通过的小车数，对其进行数据整理，如表5-6所示：
表5-6 各道路车辆及时间间隔表
通过表5-6，可算出每小时通过的车辆总数，又因为车辆长度对于小汽车一般采用6m，所以与单车道计算通行能力数值表（表5-7）进行匹配，得到相应的速度，如表5-8所示：
表5-7 实际通行能力的综合表
表5-8 单车道的计算通行能力数值表
计算车速v（Km/h）120 100 80 60 50 40 30 20 10
取车长6cm 计算值（辆/h）
采用值（量/h）
506
500
603
600
718
700
888
900
999
1000
1121
1100
1231
1200
1256
1250
857
850
取车长8cm 计算值（辆/h）
采用值（量/h）
502
500
592
600
703
700
862
850
963
950
1062
1050
1155
1150
1065
1050
695
700
取车长6cm 计算值（辆/h）
采用值（量/h）
494
500
589
600
681
700
815
800
893
900
959
950
1050
1060
864
850
565
550
经过以上表格中数据及其对这些数据的分析得到了在交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力随时间的变化过程，如图5-2所示：
s
图5-2 事故所处横断面实际通行能力变化图
根据图5-2事故所处横断面实际通行能力变化图，可以得出实际通行能力的变化过程具有明显的周期性，并且当实际通行能力达到一定的限制时，即实际交通能力比较好，然后交通能力由强变弱。同理，当实际交通能力比较差时，经过一段时间后又由弱变好。因此，实际交通能力的变化具有明显的周期性。而且通过观察视频可以看出，此周期与交通灯的变化周期近似相同。
问题二
5.2.1 视频2的解析
根据视频2进行数据的提取，数据的提取见本论文的附件1所示。将提取的数据按照第一问的方法进行处理得到视频2的综合表，做法与第一问相同，如表5-9所示：
表5-9 实际通行能力的综合表
pcu/h V（km/h）Namx(pcu/h) N(pcu/h)
20 3333
20 3333
10 1666
20 3333
20 3333
80 13333
20 3333
50 8333
30 5000
50 8333
20 3333
30 5000
20 3333
30 5000
20 3333
40 6666
20 3333
40 6666
20 3333
经过以上表格中数据及其对这些数据的分析得到了在交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力随时间的变化过程，对其进行整理、分析，得到图5-3所示：
图5-3 视频2的实际通行能力图
5.2.2 通行能力差异性分析
由附表3可知三个车道通行车辆比例，能画出三车道的通车比例图，如图5-4所示：
图5-4 车道通行车辆比例图
一道21%
二道44% 三道35% 合计 仅通一道换道数1m 0 44% 70% 114% 仅通三道换道数2m 42%
44%
86%
换道数之比（21/m m ）
由于附件一附件二的差异就在事故发生后没有受影响的道路不同，而道路的直接差别就在于所承担的车辆比例不同。所以我们得到车辆换道对通行能力有影响的初步设想。为了证明我们想法的正确性，查阅参考文献，其中流体力学的研究方法可得出相同的结论。流体力学的研究方法可得出考虑换道的车道交通流动力学模型为：
[]）
（10)()(//k 1???
??
=??????--??? ???????????-+??-?+??+??=??+??s k u u x q k u u k x u u q x
u u t u s x q t w t w 式中：u 为速度；k 为密度；t 为时间；x 为位置；q 为车道流量，ku q =；w u 为波速；1u 为最大波速；
dx dr
s =
，其中r 为换道流量。当车辆离开车道时，0 0 ()[]()[] ）（20 1,5.001,5.0410 1,110,12''111??? ? ?????≤≤-≤≤?? ?????????? ??-≤≤-≤≤≤≤-<≤-+≤<<≤-+-σσσσσσσσσσσσσσσσc k k e k e k k k mu e k k e k e k mu e k k e k e k m mk u k k e k e k m mk u f f j f f j f f f f 式中：1u 为自由流速度，是道路的设计时速； j k 为以自由流速度行驶时的最大 密度；m 为波速系数； 从式中可知，对某一车道的交流而言，车辆换入只会增加高速度低密度区的通过量，对通行能力没有影响；而车辆换出会降低车道的通行能力，对一条封闭的告诉公路基本路段而言，每次换道都是从一个车道换出，而进入另一车道的通行能力无影响，因此，基本路段内车辆的换道（包括换出和换入的全过程）只会降低整个路段的通行能力，以式（2）为基本可得到整个路段平均每车道的换道率与通行能力之间的关系，从式（3）可知，换道频率的增加会降低道路的通行能力，算法为： σe k mu q C j f 4 1 max == (3) 由该理论可充分证明换道频率的增加会降低道路的通行能力得想法是争取的，进而我们对数据进行采集，收集了视频一中的，相同时间内，换道的小车数量（附件2），并综合问题一的方法计算出其对应的实际通行能力，将二者用matlab 进行拟合（附件3），得到的拟合图形如图5-5所示： 图5-5 换道车数与通行能力的拟合图 其所求得的拟合方程为：23031025.767.66+??-=-x N ，N 为实际交通能力， x 为小车换道数量。综合问题，将两组数据进行对比，可以得到如图5-6所示： 图5-6 两个视频通行能力的对比图 明显看出，视频一中小汽车只从车道一通过时的通行能力明显小于视频二中小汽车只从车道一通过时的通行能力。通过附件三可知，只通过车道一的换道频率高于只通过车道三的换道频率。 问题三 5.3.1 问题分析 根据题意，分析一种交通事故对路段车辆排队长度与事故横断面实际交通能力，事故持续时间，路段上游车流量间的关系，通过对文献的查找分析，波动理论模型就是用来解决事故发生后车辆的排队问题，所以本题我们采用了波动理论模型解决。用波动理论表示排队长度随时间的变化，在此基础上建立交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量之间的数学模型。交通流理论中将相邻两种状态的交通流之间的界面称为“交通波”，简称“波”。当事故发生后事故点的通行能力降低，如果上游的交通需求超过评定点的通行能力，将出现一个向后的返回波，当事故排除后将出现“启动波”，同时尾部又有后续车辆到达，即还有返回波，两者同时存在，且都在向后运动[3]。 图5-7 事故发生点交通波传播示意图 5.3.2 模型的建立 假设当交通事故发生后，本车道上游的需求流量下降为 q，对应的密度记为 1 1k ， 瓶颈点的通行能力下降为1s ，车流密度相应的上升为1s k ，事故持续时间为1t ，故障排除后，排队车辆以饱和流率s 驶出，对应密度记为s k ，一般异常时间持续时间的定义是指从交通异常产生到交通流状态恢复正常所需的时间。它由四个阶段构成，第一阶段是交通异常时间产生到AID 系统检测并确认事件；第二阶段是相应阶段，即从确认时间到救援车辆到达始事发现场；第三阶段是清除时间，即从救援车辆到达到离开现场；第四阶段是交通流恢复阶段，即从事件清除到排队完全消失，交通流恢复正常，事故持续时间是指前三个阶段持续的总时间，也可称为事故清除时间[4]。事故发生后返回波的轨迹，波速为： 1 1 1 1k k q s s --= ω (4) 通过观测可确定流量和密度的关系模型，本文采用GREENSHIELD 流—密模型，如图5-8所示，冰规定需求流量i q 属于高速低密的畅流态，而1s 属于低速高密的拥挤态。则 ???? ????--=j s f k k k u 111ω 通过解三角形可得出B t ，令()dk dq k h =，则 图5-8 流—密关系曲线图 由上两式可得 ()() ω-= 11 1s s B k h t k h t 由于 ()??? ? ??-===j s f s s k k u k k dk dq k h 11121 因此 ()1 11 12s s j B k k t k k t --= 当B t t <≤0，()t t y ?-=ω 设R k 表示任意一点的交通流密度，则该点的波速为： 1 1k k q q dt dy R R ---= ()R j j f k k k k u --= 1 又()()1t t k h y R R -?-=()121t t k k u j R f -???? ? ??- -=则： ()j f f k k u t t y u dt dy 1122+-+-= 此方程可化为齐次微分方程，令1t t T -=则： ()?? ? ???-=121k h T y dT dy 设T y ω=，可得任意一点的排队长度为： ()()()()()()T k h TT k h k h T y B s 121 11-+-= 则 ()()()()()()[]()()1121 1111t t k h t t t t k h k h t y B s ----+-= (5) 由公式（4）到（5），根据实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量便可求得车辆排队长度()t y 。 5.3.3 模型的检验 模型是考虑实际情况，综合各种因素抽象出的一个方程，需要实际的检验才能应用到实际中去，因此做出检验。 通过对视频一的分析，从事故发生到第一次达到排队车长度为120m 用时为8分10秒，将min 17.8=t 代入方程，并综合上游流量h pcu q /11540=、 ()??? ? ? ?- == j f k k u k dk dq k h 21求得最大排队长度为()km t y 1146.0=。 对这一结果进行分析： 计算值与实际值的差值： km 0054.0-12.0-1146.0-y ===?实算y y 绝对误差为： m km y 4.50054.0==?=? 相对误差： %5.4%1001204.5%100=?=??= 实y η 由于相对误差%5%5.4<=η在可接受范围，由此可认为对问题三建立的模型较为可靠，可以用于实际问题的计算。 问题四 5.4.1 问题的分析 此题所求车排队长度达到140m 的时间与问题三中已知时间求解最大距离有对应关系。同样运用交通波模型，建立达到一定长度的时间与上游车流密度、最大距离、横断面实际通行能力的关系。 5.4.2 模型建立 由于类似于模型三建立，所以具体步骤不在重复书写，模型结果为： ()()()()()()[]()()1121 1111t t k h t t t t k h k h t y B s ----+-= 将此公式对时间t 求导： 0=dt dy 排队达到给定距离的时间： ()()[]()()[]12 112 114/t k h t t k h k h t B s s +-+-= 5.4.3模型的求解 视频一中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140m ，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h ，事故发生时，车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离从而计算出从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。由问题三可知，要想求得事故发生开始直到车辆排队长度到达上游路口所需的时间s t ，就要找出事故发生前，此路段对应的车流量密度、阻塞密度、事故发生后车流密度、畅通流速。 车流量密度km k /pcu 381=，阻塞密度km pcu k j /9.81=，车流密度相应的上升为km pcu k s /751=，畅通速度h km u f /60=。将数据代入公式（2）中求得 h km /78.22-=ω，通过公式（3）可得出m in 316.01=t ，将B t 代入公式（5）中，解出min 1717.0t 1=，又因为()-49.89km/h 1=s k h ，() 4.32km/h h 1=k ，又因为将此公式对时间t 求导： 0=dt dy 可得最大排队长度和相应时刻如下: ()()[]()()[]12 112 114/t k h t t k h k h t B s s +-+-= 将以上数据代入到公式（12）可得到车辆排队长度到达上游路口的相应时刻， 5.85min =s t 。 r ，0>s ；无车辆进出时，0=r ，0=s 。 采用特征线分析法得到了此公式的解析式。其中，流量、密度和换道率之间的关系为
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