高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .
2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念
1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设
《数学学科知识与教学能力》（高级中学） 题型示例 1．单项选择题 （1）函数 在 上是 A.单调增函数 B.单调减函数 C.上凸函数 D.下凸函数 （2） 在高中数学教学中，课堂小结的方式多种多样。有一种常见的小结方式是：结合板书内容梳理本课教学重点和难点的学习思路，同时提醒学生课下复习其中的要点。这种小结方式的作用在于 A.升华情感，引起共鸣 B.点评议论，提高认识 C.巧设悬念，激发兴趣 D.总结回顾，强化记忆 （3）在高等代数中，有一种线性变换叫做正交变换，即不改变任意两点距离的变换。下列变换中不是正交变换的是 A. 平移变换 B. 旋转变换 C. 反射变换 D. 相似变换 2．简答题 （1）根据下图编一道函数的应用问题 （2）一位教师讲了一堂公开课《函数》，多数听课教师认为他讲出了函数概念的本质，但课堂教学有效性不足，突出表现在课堂提问方面。你认为应注意哪些问题才能提高课堂提问的有效性（请结合自己对《函数》的教学设想来谈）？ 3．解答题 已知0 < π<<<321x x x ，试证： ()ln f x x x =(0,)+∞2312 1223 sin sin sin sin x x x x x x x x -->--
4．论述题 在必修模块中，将平面解析几何内容放在函数与立体几何之后，对这种安排谈谈你的看法。 5．案例分析题 阅读下列两个对于 不等式的教学活动设计，然后回答问题。 设计1： 活动（1）让学生分别取a,b 为具体数值，检验该不等式是否成立。 活动（2）讨论： ， , 的几何意义。 讨论（1）：三个图形的关系： 讨论（2）：该不等式何时等号成立，何时不等号成立？ 活动（3）不等式的严格证明 讨论（3）：若有三个数：a>0,b>0,c>0,是否会有一个什么相应的不等式？ 设计2： 活动：学生分组讨论不等式 的证明方法。 学生分组展示，讨论。 请回答如下问题： （1）分析设计1的教学设计意图。 （2）结合本案例分析合情推理与演绎推理的关系，简述教学 过程中如何引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。 （3）对比分析两个教学设计的理念。 6．教学设计题 就高中数学“人教版教材”必修1第一单元中的函数概念第一课时的内容，设计一个教学方案（将提供教材内容）。 ab 22 1122ab a b ≤+212a 212b 221122ab a b ≤+
北师大版六年级下册数学知识与能力训练 第1章 ? 1.1面积的旋转答案 ? 1.2圆柱的表面积（1）答案 ? 1.3圆柱的表面积（2）答案 ? 1.4圆柱的体积（1）答案 ? 1.5圆柱的体积（2）答案 ? 1.6圆锥的体积答案 ? 1.7练习一答案 ? 1.8单元练习（一）答案 第2章 ? 2.1比例的认识（1）答案 ? 2.2比例的认识（2）答案 ? 2.3比例的应用答案 ? 2.4比例尺（1）答案 ? 2.5比例尺（2）答案 ? 2.6图形的放大和缩小答案 ? 2.7练习二答案 ? 2.8单元练习（二）答案 第3章 ? 3.1图形的旋转（一）答案 ? 3.2图形的旋转（二）答案
? 3.3图形的运动（1）答案 ? 3.4图形的运动（2）答案 ? 3.5欣赏与设计答案 ? 3.6练习三答案 ? 3.7单元练习（三）答案 第4章 ? 4.2正比例答案 ? 4.3画一画答案 ? 4.4反比例答案 ? 4.5练习四答案 ? 4.6单元练习（四）答案 ? 4.7期中自测答案 ? 4.8绘制校园平面图答案 ? 4.9可爱的小猫答案 ? 4.10整理与复习答案 第5章 ? 5.1（一）整数答案 ? 5.2（二）小数、分数、百分数答案? 5.3（一）运算的意义答案 ? 5.4（二）计算与应用答案 ? 5.5（三）估算答案 ? 5.6（四）运算律答案
? 5.7式与方程答案 ? 5.8正比例与反比例答案 ? 5.9常见的量答案 ? 5.10探索规律答案 ? 5.11总复习自测（一）答案 第6章 ? 6.1图形的认识（1）答案 ? 6.2图形的认识（2）答案 ? 6.3图形与测量答案 ? 6.4图形的运动答案 ? 6.5图形与位置答案 第7章 ?7.1统计答案 ?7.2可能性答案 ?7.3解决问题的策略答案 ?7.4总复习自测（二）答案 ?7.5期末自测答案 北师大版六年级下册数学知识与能力训练1.1面积的旋转答案【练功房】 1、（1）线；面；体 （2）底面；圆；高；侧面 （3）圆；扇形；顶点；圆心
高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m ),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。 乔治?波利亚是美籍匈牙利数学家。 他有著名的三本书：《怎样解题》（1944）、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961）。其中《怎样解题》一书被译成17种文字。 波利亚提供的“怎样解题”表(第48-49页) 分四步：1.了解问题；2.拟订计划；3.实行计划；4.回顾。 弗赖登塔尔认识的数学教育有五个主要特征 1.情境问题是教学的平台； 2.数学化是数学教育的目标； 3.学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分； 4.“互动”是主要的学习方式； 5.学科交织是数学教育内容的呈现方式。 这些特征可以用三个词来概括——现实、数学化、再创造。 数学化：人们在观察、认识和改造客观世界的过和中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。 再创造：强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，是以学生为主体的学习，其核心过程是数学过程再现。 高等师范院校面临新挑战 答：高中的新课程标准让广大的高中数学教师有些望而生畏，他们感到许 多选修课的内容他们并没有学过，许多课程他们没法开设。比如，高 中选修课系列3涉及高等数学，包括数学史选讲，信息安全与密码，球面上的几何，对称与群，欧拉公式与闭曲面分类，三等分角与数域扩充等。由于新一轮的课程改革强调要让学生主动参与教学，要鼓励学生积极展开讨论，探索数学知识的来龙去脉和提出问题，因此学生提出的问题中，有许多使教师感到难堪，有的他们没法回答，有的他们回答不清楚。 基本活动经验的类型 1.直接数学活动经验；3.间接数学活动经验；3.专门设计的数学活动经验；4.意境联结性数学活动经验。 基础教育部分 一.“标准”有哪些改革目标？ 1.指导思想：以邓小平同志的“教育要面向现代化，面向世界，面向未来”和江泽民同志“三个代表”重要思想为指导。 2.教育目标方面：培养爱国精神和“四有新人”等。 3.课程内容：改变课程内容“难、繁、偏、旧”和过于注重书本知识的现状。 4.课程结构方面：改变过于强调学科本位、科目过多和缺乏整合的现状，设置综合课程。 5.课程实施方面。 6.课程评价方面。 7.课程管理方面。 二.数学内容上的改革（教材内容有哪些方面发生了变化？）第158页 1.划分新的数学学习领域：将内容分为“数学与代数”、“空间与图形”、 小学数学科知识与能力训练 一、 整数、分数、小数和百分数的有关概念 （一）数的意义、读写和大小比较 1．学习要点 （1）0也是自然数，自然数都是整数。 （2）人们在数物体的过程中，用来表示物体个数的1、2、3、4、5……叫做自然数。 （3）把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫做分数。 [单位“1”的意义与自然数1的意义并不完全相同，单位“1”不仅可以表示数量（1元，1千克……），还可以表示一个整体（如：一个班的人数，一筐苹果的个数……）。]分数的单位是几分之一 [分数的单位是不固定的，分母不同，分数单位就不同；而自然数的基本单位是“1”，是固定的。] （4）两个数相除，它的商可以用分数表示，如a ÷b=b a b ≠0）[分数是一个数，除法是一种运算] （5）把单位“1”平均分成10份，100份，1000份……这样的一份或几份是十分之几，百分之几，千分之几……可以用小数表示。 （6）表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。百分数通常用“%”来表示。 （7）整数的读法；从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续有几个0都有只读一个零。 （8）整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就出那个数位上写0。[读写较大的整数时，先分级，再一级一级地读写。] 2．讨论 （1）真分数、假分数和带分数间的关系，可用下图表示。 （2）看图填空。 阴影部分占（ ），空白部分占（ ），分数单位是（ ），阴影部 分有（ ）个这样的分数单位。阴影部分是空白部分的) () (。 （3）说一说分数、小数、百分数的互化方法， ( 分数 假分数： 真分数： 分数 整数： 带分数： 集合 1.集合的含义与表示 （1 的元素，则记作x∈A。 （2）集合中的元素有三个特征： a.确定性（集合中的元素必须是确定的） b.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a 不能等于1） c.无序性（集合中的元素没有先后之分。） （3）常见的集合符号表示： N：非负整数集合或自然数集合{0,1,2,3,…} N*或N+：正整数集合{1,2,3,…} Z：整数集合{…,-1,0,1,…} Q：有理数集合 Q+：正有理数集合 Q-：负有理数集合 R：实数集合(包括有理数和无理数） R+：正实数集合 R-：负实数集合 C：复数集合 ?：空集合（不含有任何元素的集合称为空集合，又叫空集） （4）表示集合的方法： a.列举法：{红，绿，蓝}，A={a,b,c,d}··· b.描述法：B={x|x2=2}，{代表元素|满足的性质}··· c.Venn 图：用一条封闭的曲线内部表示一个集合的方法。 （1）子集：对于两个集合A，B. 若任意a∈A，都有a∈B，则称集合A 被集合B 所 包含(或集合B 包含集合A)，记做A?B，此时称集合A 是集合B的子 集。 （2）真子集：若A?B，且存在a∈B但a?A 则称集合A是集合B的真子集，记做 A?B. （3）由子集的定义可知子集有这样三条主要的性质： a.规定: 空集(不含任何元素的集合叫做空集,记为f)是任何集合的子集 b. 任何一个集合是它本身的子集. c. 子集具有传递性. 如果A?B, B?C ,那么A?C. *假设非空集合A中含有n个元素，则有： 1.A的子集个数为2n。 2.A的真子集的个数为2n-1。 3.A的非空子集的个数为2n-1。 4.A的非空真子集的个数为2n-2。 模块二：课程知识 第一章初中数学课程的性质与基本理念 第一节：影响初中数学课程的主要因素 1、初中数学课程是一门国家课程，内容主要包括课程目标、教学内容、教学过程和评价手段。它体现了国家从数学教育与教学的角度，对初中阶段学生实现最终培养目标的整体规划。 2、影响初中数学课程的主要因素包括： 一、数学学科内涵： （1）数学科学本身的内涵（数学的知识、方法和意义等） （2）作为教育任务的数学学科的内涵（理解数学的整体性特征，领悟相关的数学思想，应用数学解决问题的能力等） 二、社会发展现状： （1）当代社会的科学技术、人文精神中蕴含的数学知识与素养等 （2）生活变化对数学的影响等 （3）社会发展对公民基本数学素养的需求。 三、学生心理特征。 初中数学课程是针对初中学生年龄特征和知识经验而设置的，因此学生的心理特征必然会影响着具体的课程内容、 （1）适合学生的数学思维特征 （2）学生的知识、经验和环境背景 第二节、初中数学课程性质 一、基础性 （1）初中阶段的数学课程中应当有大量的内容是未来公民在日常生活中必须要用到的。（2）初中阶段的教育是每一个学生必须经历的基础教育阶段，它将为其后续生存、发展打下必要的基础。 （3）由于数学学科是其他科学的基础，因此数学课程内容也是学生在初中阶段学习其他课程的必要基础 因此，义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础 二、普及性 （1）初中阶段的数学课程应当在适龄少年中得到普及，即每一个适龄的学生都有充分的机会学习它 （2）初中数学课程内容应当能够为所有适龄学生在具备相应学习条件的前提下，通过自己的努力而掌握 三、发展性 高一数学集合知识点总结归纳 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：n，z，q，r，n* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b); 2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或，且 ) 3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b} 4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b} 5)补集：cua={x| x a但x∈u} 注意：①? a，若a≠?，则? a ; ②若，，则 ; ③若且，则a=b(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub; ④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。 5.交、并集运算的性质 ①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a; ③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub; 6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。 【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系 a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m 分析一：从判断元素的共性与区别入手。 解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n ∈z} 对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都 1.数学教育：是一种社会文化现象，其社会性决定了数学教育要与时俱进，不断创新．数学教育中的教育目标、教育内容、教育技术等一系列问题都会随着社会的进步而不断变革与发展． 2.课程的性质和地位：是数学教育专业的专业基础必修课，是一门实践性很强的学科，主要研究的是数学教育数学理论，是数学论，课程论和学习论的综合。 3.教学设计是根据教学对象和教学目标，确定合适的教学起点与终点，将教学诸要素有序、优化地安排，形成教学方案的过程。它是一门运用系统方法科学解决教学问题的学问，它以教学效果最优化为目的，以解决教学问题为宗旨。 4.教学目标：一级目标：教育方针。(制订者——国家)二级目标：课程目标。(全日制义务教育)三级目标：教学目标。课堂目标 5.教案 详案格式：1.课题。2.教学目标。 3.学情分析。 4.教材分析。 5.课型。 6.教学方法。 7.教具。 8.教学过程（1）知识准备；（2）判定定理；（3）运用定理，问题研究；（4）总结[板书设计][课后记] 简案格式：1.课题。2.教学目标。 3.教学重点，难点。 4.教学过程6.数学方法：是指在教学过程中，教师的工作方法和相对应的学生的学习方法，以及二者之间的有机联系。 7.弗雷登塔尔的教学原则：1.“数学现实”原则。2.“数学化”原则。3.“再创造”原则。4.“严谨性”原则 波利亚解题表：1.理解题目—必要前提。2.拟定计划—关键环节和核心内容。3.实现计划—逻辑配置。4.回顾—有远见做法 皮亚杰：当代建构主义理论的最早提出者。 1.同化：指根据已有图式来理解新事物，事件过程 2.顺应：当旧有方式探究世界不能奏效时，儿童会根据新消息或新经验来修改已有的图式，这个过程叫顺应。 3.平衡作用：指产生顺应情况下的不平衡状态。 4.理论主张：发展先于学习。 5.认知结构与知识结构关系：儿童认知结构就是通过同化与顺应过程逐步建构起来并在“平衡—不平衡—新平衡”循环中不断丰富、提高、发展。 建构主义的基本观点：1.知识观。 2.学习观。 3.教学观。（创建一个良好，有利于知识建构的学习环境，以及支持和帮助学生建构知识。） 4.师生观。（教师使命：学生自主学习一个最有利，有力的 “教学工具”引导学生自主学习， 规范学生学习行为，特别是学生 放任自流学习时，起最大的限制 和控制作用。学生使命：自主学 习，借助帮助，利用学习资料加 强学生之间相互协作与对话。构 建自己完整的学习知识体系。）5. 学习环境。6.评价观 双基：含义：（1）数学基本知识 （2）数学基本技能 8.教学模式：在一定教学思想和 教育理论指导下形成的教学活动 的基本框架结构。 类型：1.讲解—接受教学模式。 2.引导—发现教学模式/探究式教 学模式（流程：1.教师创设问题 情景2.观察猜想3.推理论证4.验 证应用 5.总结反思）。3.启发式。 4.合作学习。 5.自主探究。 6.尝试 指导。 9.教学概念：（1）意义：反映数 学对象本质属性的思维形式叫做 数学概念。概念的组成：概念的 名称，定义，符号，例子，属性。 （2）概念的内涵和外延：概念的 内涵亦称内包，指概念所反映的 对象的特有属性，本质属性。概 念的外延亦称外包，指概念所反 映对象的总和。 10.数学思想方法：对数学思想理 性认识。（数学思想是指人们对数 学理论和内容的本质的认识，数 学方法是数学思想的具体化形式， 实际上两者的本质是相同的，差 别只是站在不同的角度看问题。 通常混称为“数学思想方法”。） 11.数学教学原则：1.严谨性与量 力性相结合的原则。2.具体与抽象 相结合的原则。3.理论与实践相结 合的原则。 12.课程实施原则：1.全面性原则。 2.整体性原则。 3.发展性原则。 4. 前瞻性原则。 13.教学技能： [1]导入技能：是引起学生注意、 激发学生兴趣、引起学习动机、 明确学习目的和建立知识间联系 的教学活动方式。应用于上课之 始或开设新学科、进入新单元、 新段落的教学之中。 类型：直接，旧知识，悬念，事 例，趣味，实验，创设情境 目的：1.引起学生注意。2.激发 学习兴趣。3.唤起学生思考。4. 明确学习目的。5.强化师生关系。 功能：1.引起学生对所学课题的 关注，进入学习准备状态；2.激 发学习兴趣，引起学习动机；3. 明确学习目的，传达教学意图； 4.承上启下，建立新旧知识间联 系；5.创设意境，激发情志； 原则：1.针对性原则。2.启发性 原则。3. 趣味性原则。4.直观性 原则。5.适度性原则。 注意：1.导入方法的选择要有针 对性。2. 导入方法的选择要具有 多样性。3.导入语言要有艺术性。 [2]讲解技能：讲解技能中的一类 教学行为，在行为方式上的特点 是“以语言讲述为主”的方式；在 教学功能上的特点是：传授知识 和方法、启发思维、表达思想感 情”。 目的：传授数学知识和技能。2. 启发思维，培养能力。3.提高思想 认识，培养数学学习情感因素。 原则：1.科学性原则。2.启发性原 则。3.计划性原则。整体性原则。 [3]演示技能：是教师根据教学内 容和学生学习的需要，运用各种 教学媒体让学生通过直观感性材 料，理解和掌握数学知识，解决 数学问题，传递数学教学信息的 教学行为方式。 注意：1.演示的媒体要恰当。2. 演示的媒体要使用。3.演示的时机 要恰当。4.演示必须与讲解技能相 结合。 [4]结束技能：是教师在一个教学 内容结束或一节课的教学任务终 了时，有目的、有计划地通过归 纳总结、重复强调、实践等活动 使学生对所学的新知识、新技能 进行及时地巩固、概括、运用， 把新知识、新技能纳入原有的认 识结构，使学生形成新的完整的 认识结构，并为以后的教学做好 过渡的一类教学行为方式。 类型：提纲挈领，娱乐激趣，图 表对比，悬念引申，质疑讨论， 练习巩固，学生汇报 注意：1.自然贴切，水到渠成。 2.语言精炼，紧扣中心。 3.内外沟 通，立疑开拓。 14.体态语言：(1)在课堂调控上 1.精神抖擞带学生进入学习角色 2.营造和谐的学习氛围 3.维护课 堂秩序，优化课堂教学4.具有活 泼性,有利于学生提高学习兴趣。 (2)在传授知识上 1.帮助学生理 解数量关系2.协助学生分析有利 于理解3.敏捷迅速的信息反馈— —手势答案4.增强学习的趣味性。 (3)在师生互动中 1.读懂学生的 眉目语2.读懂学生的表情语3.读 懂学生的手势语4.读懂学生的坐 姿语 15.如何评价一节课：1.教学目的 如何。是否全面、具体、明确。 符合课程标准和学生实际。2.重点 难点是否突出并处理得当。3.教学 程序上，设计是否合理，思路是 否清晰，结构是否严谨，是否因 材施教，是否给学生创造的机会， 是否注意知识形成的过程。4.教学 方法上，是否灵活多样，符合实 际，是否恰当地运用现代教学手 段等。5.是否注意情感教育，即课 堂气氛是否和谐，是否注重学生 学习动机，兴趣，信心等非智力 因素的培养。6.教学基本功是否扎 实。如普通话语言是否规范、生 动形象；教态是否亲切、自然、 大方；板书是否工整、美观、清 楚，是否有较强的课堂掌控能力 等。7.教学效果如何。教学效率， 学生受益情况等。8.教学特色如何。 即教学的个人特点，教师的教学 风格。 16.课程的改革： 《标准1》的基本理念：1.突出体 现基础性、普及性和发展性。2. 突出数学与生活实践的联系。3. 强调数学学习活动的过程性。4. 倡导师生角色观。5.提倡主体多元 化和形式多样化的评价方式。6. 充分发挥现代信息技术在数学教 学中的作用。 《标准2》的基本理念：1.构建共 同基础，提供发展平台。2.提供多 样的课程，适应个性选择。3.倡导 积极主动、勇于探索的学习方式。 4.注重提高学生的数学思维能力。 5.发展学生的数学应用意识。 6. 与时俱进地认识“双基”。7.强调 本质，注意适度形式化。8.体现数 学的文化价值。9.注重信息技术与 数学课程的整合。10.建立合理、 科学的评价体系。 17.数学核心概念： 数感：通俗地说，就是人对于数 及其运算的一般理解和感受，这 种理解和感受可以帮助人们灵活 的方法为解决复杂的问题提出有 用的策略。数感是一种主动地、 自觉地理解数、运用数的态度和 意识。 符号感：就是人们对各种符号的 理解与感受。 空间观念：是由长度、宽度、高 度表现出来的客观事物在人脑里 留下的概括的形象。 18.数学教育评价的定义：全面收 集和处理数学课程，教学设计与 实施过程中的信息，从而做出价 值判断，改进教学决策的过程。 要素：1.教师行为。2.学生行为。 3.教学内容。（1,2为核心要素） 主体：学生 19.难度：是反映试题难易程度的 数量指标。P越大，难度越小。 信度：指实测值与真实值相差的 程度，是一种反映试题的稳定性、 可靠性的数量指标。 区分度：是指试题对考生实际水 平的区分程度的数量指标。D越 大，区分度越大。 效度：是一种反映测试能否达到 所欲测试的特征值或功能程度的 数量指标，使其反映测验正确性 的程度。 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 不同类型数学知识的有效教学方式 不同学科的知识具有不同的特征，某一学科的知识也可以划分为不同的类型。不同类型的知识在形成、发展、迁移等过程中具有不同的特点，如果用单一的方式来指导多种类型知识的学习，便会混洧各类知识的特征，遮蔽各类知识间的差异，阻碍知识价值的实现。为了提高教学成效，实现知识价值的最大化发展，教师需要在教学中对知识进行分类，依据不同类型的性质、特征来选取合理的教学方式。 一、数学知识的类型 哲学家、心理学家已根据不同的的标准对知识进行不同类型的划分，哲学家更多地关注知识的客观形态，心理学家更多地关注主体对知识的表征，数学教学是以知识内容为中介，师生共同参与的过程，既有客观性的知识内容，又有师生主体的参与，因而教学方式的建构既要根据数学学科知识的形态，又要考虑学生学习的认识规律，这就促使我们从学科知识和人的认识特征两个方面来思考对数学知识类型的划分。 课程标准把数学内容分为四个部分，分别是“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。“数与代数”主要包括各类数的概念、式的概念、量的概念；各类数与式的性质、数量关系、运算规律、运算率；各类数、式、量的运算；运用数、式量进行问题解决等。“图形与几何”主要包含各类图形的概念与特征；各类图形之间的关系、性质、公式、定理等；图形的作图、测量、相关量的运算；进行 相关问题的解决。“统计与概率”主要包含各类数据的平均数、中位数、众数、方差等的概念；不同的图表如条形统计图、扇形统计图等概念；数据的收集、整理，图表的设计、绘制等；利用数据进行简单的推断、通过简单随机事件判断概率的发生；对数据、图表进行分析并解决实际问题。“综合与实践”部分不涉及新的知识，主要是要求学生综合运用所学知识与方法进行实际问题的分析与解决。不同领域虽然有各自的特点，包含体现各自特色的知识，但它们之间也有共性，都包含基本的概念，相关的公式、法则、定理、定律等进行操作的程序性知识，运用相应的知识进行实际问题的解决。因此，根据不同领域知识的存在形态，数学知识又可以概括为数学概念、数学命题、程序性知识、数学问题四大类。 现代萃知心理学把知识分为陈述性知识和程序性知识两大类，莫雷教授在借鉴、吸收这两种分类的同时也指出该分类的主要是依据不同类型的知识在大脑中形成、表征、激活等不同的特点及性质来划分的，他认为，仅从这一维度来考虑知识的分类是不够的，还需要关注“知识内容方面的心理特征”在莫雷教授看来，人类学习机制有两类，一类是联联结性学习机制，即“个体奖同时出现在工作记忆的若干客体的激活点联系起来而获得经验的心理机制”；一类是运算性学习机制，即“有机体进行复杂的认知操作（即运算）而获得经验的心理机制”。从获得知识的过程来看，有些知识可通过联结性学习机制来获得，依据这一维度，知识又可分为联结性知识和运算性知识。莫雷教授的这种分类观对我们进行数学知识类型的划分具有直接的指导意 《知识与能力训练·数学》（北师大五上）部分题目答案 一、小数除法 《精打细算》 第1页 6.一本练习本: (54.4-42.4) ÷(8-5) =12÷3 =4(元） 一支钢笔：（42.4-5×4）÷4 =22.4÷4 =5.6（元） 《打扫卫生（1）》 第2页 5.（1）玫瑰16.5÷3=5.5（元）百合30÷4=7.5（元）（2）7.5－5.5=2（元） 6. 9÷（6-1）=9÷5=1.8（分钟） 1.8×（12-1）=1.8×11=19.8（分钟） 《谁打电话的时间长（1）》 第4页 6. 16.2÷1.8×7.2 =9×7.2 =64.8（米） 7. 40.5÷（10-1）=40.5÷9=4.5 《谁打电话的时间长（2）》 第5页 5. 1.5÷0.25= 6（个） 《练习一》 第6页 七. （24.5-12.5）÷2.4=5（千米） 5+3=8（千米） 《人民币的兑换（1）》 第7页 4. （1）30000×0.8=24000（元） （2）8000÷10.66≈750.47（英镑） （3）5000×6.21=31050（元） （4）5000÷8.49≈588.93（欧元） 《人民币的兑换（2）》 第8页 4.（1）12000÷6.15×100≈195121.95（日元） （2）550×0.81=445.5（元）因为445.5＜500，所以够。 《除得尽吗》 第9页 5. 3分米=0.3米 （8.4 ×7.2）÷（0.3×0.3） =60.48÷0.09 =672（块） 6. ＜＞＜＞＜＞ 《调查“生活垃圾”》 第10页 6. 40÷12.5×14.5=46.4（元） 《练习二》 第12页 4.（100-13-10.5）÷（10－1） =76.5÷9 =8.5（米） 5. 0.9×8.3÷0.6=12.45 《单元练习（一）》 第14页四. 3 .（500 ） （85.34）（ 59.5）（73.1）（60.52）（61.54） 《单元练习（二）》 第23页七. 1. ？?处应画：白色○黑色 三、倍数与因数 《倍数与因数》 第24页 6.a是b的（倍数）；a是c的（倍数）； b是a的（因数）；c是a的（因数） 7. 961 第一节、教学原则 一、抽象性与具体性相结合原则 二、严谨性与量力性相结合原则 三、理论性与实际性相结合原则 四、巩固知识与发展能力相结合原则 一、抽象性与具体性相结合原则（重点） 1.抽象性与具体性 具体性：数学尤其是初等数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象，其研究对象是十分具体的。 例如：在讲授矩形这节课的时候，可以利用门窗，课桌和瓷砖等实物图片，使学生通过模型直观更深刻的体会矩形角、边具有的特点引出矩形的性质，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。 例如：在讲授一次函数这节课的时候，可以利用生活中乘坐高铁的情景，探究已知高铁的速度，能否表达出时间与路程的关系的问题，使 学生通过模型直观更深刻的体会一次函数具有的特点引出一次函数的概念，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。 例如：在讲授函数单调性这节课的时候，可以利用一次函数和二次函数的图象，使学生通过模型直观更深刻的体会图象上升和下降具有的特点引出单调性的概念，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。 例如：在讲授直线与平面垂直的判定定理这节课的时候，可以利用生活中升国旗的情景，探究旗杆与地面的关系的问题，使学生通过模型直观更深刻的体会直线与平面垂直具有的特点引出思考方向，将抽象的概念更直观的纳入到自身认知结构中。 抽象性：数学抛开客观对象的具体特征，只抽象出空间形式和数量关系进行研究，这就是数学抽象性。 数学的抽象性表现为：数学概念的抽象性、数学思维的抽象性以及数学符号的抽象性，其中数学概念抽象性是最根本的。然而，任何一个抽象的数学概念，在它形成的过程中，往往以大量的具体对象作为基础，或者以一些具体的抽象概念作为基础。 例如：三角形的内角和的证明过程中，不仅仅是通过测量角的度数，而是需要通过一些逻辑证明方法（合情推理和演绎推理）证明三角形内角和是180°的结论。 例如：等差数列的通项公式的探究过程中，不仅仅是具体实例的分析，而是需要通过一些归纳证明的方法（合情推理和演绎推理）得出等差数列公式的结论。 北师大版六年级下册数学知识与能力训练第1章 1.1面积的旋转答案?1.2圆柱的表面积（1）答案?1.3圆柱的表面积（2）答案?1.4圆柱的体积（1）答案?1.5圆柱的体积（2）答案?1.6圆锥的体积答案?1.7练习一答案?1.8单元练习（一）答案?第2章 2.1比例的认识（1）答案?2.2比例的认识（2）答案?2.3比例的应用答案?2.4比例尺（1）答案?2.5比例尺（2）答案?图形的放大和缩小答案2.6?． 2.7练习二答案?2.8单元练习（二）答案?第3章 3.1图形的旋转（一）答案?3.2图形的旋转（二）答案?3.3图形的运动（1）答案?3.4图形的运动（2）答案?3.5欣赏与设计答案?3.6练习三答案?3.7单元练习（三）答案?第4章 4.2正比例答案?4.3画一画答案?4.4反比例答案?4.5练习四答案?4.6单元练习（四）答案?4.7期中自测答案?4.8绘制校园平面图答案?4.9可爱的小猫答案?4.10整理与复习答案?第5章 （一）整数答案5.1?． 5.2（二）小数、分数、百分数答案?5.3（一）运算的意义答案?5.4（二）计算与应用答案?5.5（三）估算答案?5.6（四）运算律答案?5.7式与方程答案?5.8正比例与反比例答案?5.9常见的量答案?5.10探索规律答案?5.11总复习自测（一）答案?第6章 6.1图形的认识（1）答案?6.2图形的认识（2）答案?6.3图形与测量答案?6.4图形的运动答案?6.5图形与位置答案?第7章 7.1统计答案?7.2可能性答案?7.3解决问题的策略答案?7.4总复习自测（二）答案?期末自测答案7.5?． 北师大版六年级下册数学知识与能力训练1.1面积的旋转答案 【练功房】 1、（1）线；面；体 （2）底面；圆；高；侧面 （3）圆；扇形；顶点；圆心 （4）无数；相等；一 （5）圆柱；高；圆锥；高 【聪明屋】 略 【活动角】 4、长：6×6=36m；宽：4×6=24（m）；高：12×2=24（m）(完整word版)数学教育概论知识点
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