Workbench 屈曲分析
1、基础概念
结构在载荷作用下由于材料弹性性能发生变形，若变形后结构上的载荷保持平衡，这种状态称为弹性平衡。如果结构在平衡状态时，受到扰动而偏离平衡位置，当扰动消除后仍能恢复原来平衡状态，这种平衡状态称为稳定平衡状态，反之，如果受到扰动而偏离平衡位置，即使扰动消除，结构仍不能恢复原来的平衡状态，而结构在新的状态下平衡，则原来的平衡状态就成为不稳定平衡状态。
当结构所受载荷达到某一值时，若增加一微小的增量，则结构平衡状态将发生很大的改变，这种现象叫做结构失稳或结构屈曲。
根据失稳的性质，结构稳定问题可分为以下三类：
第一类失稳是理想化情况，即达到某个载荷时，除结构原来的平衡状态存在外，出现第二个平衡状态，故又叫做平衡分叉失稳，数学上就是求解特征值问题，又叫做特征值屈曲分析。
第二类失稳是结构失稳，变形将大大发展，而不会出现新的变形形式，即平衡状态不发生质变，也叫极顶失稳，结构失稳时，相应载荷叫做极限载荷，理想结构或完善结构不存在，总是存在这样那样的缺陷，大多数问题属于第二类失稳问题。
第三类失稳是当在和达到某值时，结构平衡状态发生一明显跳跃，突然过渡到非临近的另一具有较大位移的平衡状态，称为跳跃失稳，跳跃失稳没有平衡分叉点，也没有极值点，如坦拱、扁壳、二力杆的失稳都属于此类。
结构弹性稳定分析属于第一类失稳对应workbench 的线性特征值分析（Eigenvalue Buckling ），考虑缺陷，非线性影响的第二类结构属于workbench 的非线性特征值分析（Eigenvalue Buckling ），第三类的失稳对应workbench 的Static Structural ，无论前屈曲平衡状态或后屈曲平衡状态均可一次计算求出，即全过程分析。
1.1屈曲分析基础理论
在平衡状态，考虑到轴向力或中面内力对弯曲变形的影响，根据势能驻值原理得到结构平衡方程为
[][](){}{}P U K K G E =+
式中为结构弹性刚度矩阵，为结构几何刚度矩阵，也称为初应力刚度矩阵，为节点位移向量；为节点载荷向量，上式也为几何非线性分析平衡方程。
为得到随遇平衡状态，应是系统势能的二阶变分为零。即：
[][](){}0=+U K K G E δ
因此必有： [][]()0K E =+G K
式中结构弹性刚度矩阵已知，结构外载荷也就是要求得屈曲载荷未知，结构几何刚度矩
阵未知，为了求得该屈曲载荷，假设有一组载荷[]0P ,对应的几何刚度矩阵为[]0G K ,并假定
屈曲时的载荷是[]0P 的λ倍，固有λ[]
0G K =[]G K ,上式可变为 []E K []G K {}U {}P
[][]()00=+G
E K K λ 写成特征值的方式为
[][](){}0=+ιιφλG E K K
式中ιλ为第ι阶的特征值，{}ιφ为ιλ对应的特征向量，是该阶载荷下结构的变形形状，即屈曲模态或失稳模态。
在workbench 中计算出的是ιλ和{}ιφ，即屈曲载荷系数和模态，而屈曲载荷为λ[]
0P .
2.1、Linear-based Eigenvalue Buckling Analysis
线性屈曲分析应注意以下几点
●线性屈曲分析只能在静力分析模块中定义边界
●通过特征值屈曲分析计算的结果是在静态结构分析中应用所有载荷的屈曲载荷因
子。例如，如果在静态分析中对结构应用10 N压缩负载，如果特征值屈曲分析计算
负载系数为1500，则预测的屈曲载荷为1500×10 = 15000N。因此，在屈曲分析之
前的静态分析中应用单位载荷是一种典型的方法。
●在静态分析中所使用的所有载荷都适用于屈曲负载系数
●请注意，负载系数表示所有负载的比例因子。如果某些负载是恒定的（例如，自重
重力负载），而其他负载是可变的（例如，外部施加的负载），则需要采取特殊步骤
确保准确的结果。
为了实现这一目，可以使用一个策略，就是是迭代特征值，调整可变载荷，直到屈
曲因子变为1.0（或接近1.0，在一些收敛公差内）
特征值屈曲分析案例
材料：结构钢
模型：r=1mm L=50mm的圆柱
边界：一端固定，一端施加10N集中力。
1.创建分析系统
首先创建一个结构静力分析分析系统，再创建特征值分析系统将他们数据共享。
2、静力分析边界
3.求解静力分析
3.求解特征值
在总变形中可以查看1阶变形模态和1阶特征值，可以看出一阶特征值为15.534，则屈曲
载荷为10*15.534=155.34N，如果将静力分析中集中力改为155.34，计算出特征值为0.9997，约等于1，集中力155.34就是此结构的屈曲载荷。
2.2、Nonlinear-based Eigenvalue Buckling Analysis
非线性屈曲分析要点
●至少有一个非线性属性在静力分析中被定义。
●除了在静态结构分析中定义的荷载之外，还必须在屈曲分析中至少定义一个载荷来
进行求解。要启用此功能，将“保持预应力加载模式”属性设置为“是”（默认设置）将在“特征值屈曲”分析中保留静态结构分析中的加载模式。将属性设置为否需要您
定义特征值屈曲分析的新加载模式。这种新的加载模式可以与预应力分析完全不同
●在基于非线性的特征值屈曲分析中，负载乘数仅对屈曲分析中的负载进行了缩放。
在估计结构的极限屈曲载荷时，必须考虑静态结构中的载荷和特征值分析。用于计
算非线性特征值屈曲的极限屈曲载荷的方程是
F BUCKLING= F RESTART+ λi· F PERTRUB where:
FBUCKLING = The ultimate buckling load for the structure.
FRESTART = Total loads in Static Structural analysis at the specified restart load step.
λi = Buckling load factor for the "i'th" mode.
FPERTRUB = Perturbation loads applied in buckling analysis
●例如：如果在静力分析中施加100N集中力，在屈曲分析中加10N力，你得到载荷因
子位15，则结构的极限屈曲力位100+（15*10）=250
●注意：可以使用一维柱的屈曲来验证上述方程的极限屈曲载荷。然而，对于在静态
结构和特征值屈曲分析中应用的不同负载组合，计算2D和3D问题的极限屈曲载荷可
能不如1D列示例那么直接，这是因为FRESTART和FPERTRUB的值基本上是分别在静态
和屈曲分析中的有效载荷值。
●举个例子，一个悬臂梁的理论极限弯曲强度为1000N，它受到了影响对250 n的压
缩力(a)。根据负载因素计算极限屈曲载荷(F)的过程用力学方法对线性和非线性
特征值屈曲分析进行了计算，如下图所示示意图
非线性屈曲分析案例
分析模型与前文特征值分析一样，只是在求解设置中打开大变形开关。
1.静力分析结果
2.屈曲分析设置
设置中Keep Pre-Stress Load-Pattern为YES,这时只能在静力分析中施加载荷，不允许在屈曲分析中施加载荷。
3.屈曲分析结果
在总变形中可以查看1阶变形模态和1阶特征值，可以看出一阶特征值为14.535，则屈曲载荷为10+10*14.534=155.34N，如果将静力分析中集中力改为155.34，计算出特征值为7.877e-4
155.34+155.34*7.877e-4 155.34，集中力155.34就是此结构的屈曲载荷。
若屈曲分析设置中Keep Pre-Stress Load-Pattern为NO,此时在静力分析中可以施加载荷，允屈曲分析中也可以施加载荷。屈曲分析中的载荷只能施加节点力。
首先在施加集中力的端面创建一个节点集合
在屈曲分析中设置集中力
屈曲分析结果