例1（2010?北京）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．
（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．
2.如图，在△ABC中，D为AB上一点，⊙O经过B、C、D三点，∠COD=90°，∠ACD=∠BCO+∠BDO．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若∠BCO=15°，⊙O的半径为2，求BD的长．
二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2 ＜r ； 性质2：由???? ? Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2 ＋y －b 2 ＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心 距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ? ?|AB |22＋ d 2 ＝r 2 ， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2 ＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截 y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两 点，设弦心距为d ，圆的半径为r ， 弦长为|AB |，则有? ?? ??|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是 A (x 1 ，y 1 )，B (x 2 ，y 2 )，则|AB | ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．
. - 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝A 2＋B 2＜r ； 性质2：由? ?? ?? Ax ＋By ＋C ＝0 x －a 2＋y －b 2＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦 心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27， 求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截 y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法
. - (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ， 弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2 r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将 直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ x 1－x 2 2＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1 k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C | A 2＋B 2＜r ； 性质2：由??? ?? Ax ＋By ＋C ＝0 x －a 2＋y －b 2＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦 心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． [解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， ∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)， ∴|OC |＝|－1|2 ＝2 2.∵r ＝2 2， ∴|BC |＝ 8－ ? ?? ??? 222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝ 30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得 2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－7 2 ， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝ 1＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝1 2， ∴直线AB 的方程为y －2＝1 2(x ＋ 1)，即x －2y ＋5＝0.
1、 已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所 包围的图形的面积等于多少 2、 设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆 心到直线:20l x y -=的距离为55 ，求该圆的方程． 3、 已知圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C 到直线y=-x 的距离等于 2． （1）求圆C 的方程； （2）若直线 l ：xm+yn=1（m ＞2，n ＞2）与圆C 相切，求mn 的最小值． 4、 在平面直角坐标系xoy 中，以C （1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+32+1=0相切． （I ） 求圆C 的方程；（II ）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由． 5、 已知圆C ：x 2+（y-2）2=5，直线l ：mx-y+1=0．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总 有两个不同交点；（2）若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程． 6、 一动圆被两条直线x+2y=0，x-2y=0截得的弦长分别为6和2，求动圆圆心的轨迹方程． 7、 求过圆x 2+y 2+2x-4y+1=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积最小的圆方程． 8、 已知过点A （-1，0）的动直线l 与圆C ：x 2+（y-3）2=4相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x+3y+6=0相交于N ． （1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （2）当 PQ=23时，求直线l 的方程； （3）探索 ?AM AN 是否与直线l 的倾斜角有关？． 9、 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线 l ：y=43x-12 ，被圆M 所截的弦长为 3，且圆心M 在直线l 的下方． （I ）求圆M 的方程； （II ）设A （0，t ），B （0，t+6）（-5≤t ≤-2），若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值 10、 1、（2011?陕西）如图，设P 是圆2x +2 y =25上的动点， 点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且|MD|= 45|PD| （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程 （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 45的直线被C 所截线段的长度． 11、 已知圆C ：2(1)x ++2y =8． （1）求过点Q （3，0）的圆C 的切线l 的方程； （2）如图定点A （1，0），M 为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足 AM =2AP ，NP ?AM =0，求N 点的轨迹方程
弦 长 专 题 (A 组) 1，过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______ 2，过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABO 重心的横坐标为_______ 3，已知椭圆 222 2 1y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e = l 交椭圆于M 、N 两点．若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；
4．已知椭圆C 的中心在坐标原点，左顶点()0,2-A ，离心率2 1 = e ，F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C 于P 、Q 两点（不同于点A ）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当7 24 =PQ 时，求直线PQ 的方程； 5.设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB = . (I) 求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）如果|AB|= 15 4 ，求椭圆C 的方程.
弦 长 专 题 (B 组) 1， 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 2，已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列. （Ⅰ）当2C 的准线与1C 右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程； （Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点. 当 36 ||7 PQ 时，求||MN 的值.
圆锥曲线中弦长与三角形问题 一．知识点： 1．直线与椭圆，双曲线，抛物线相交与A ，B 两点，则弦长|AB|= 2．（1 （2 1．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，过点A （0，-b ）和B （a ，0）的直线 与原点的距离为 3 6 。 （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线L 经过定点（0，1），且与椭圆交于M ，N 两点，当|MN|=3 24时，求直线L 的方程； 2．已知椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为322，且椭圆上一点与椭圆的两个焦 点构成的三角形周长为6+42。 （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线L 与椭圆E 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 的面积的最大值； 作业： 1．已知动圆过定点A （p ，0），圆心C 在抛物线y 2 =2px （p>0）上运动。圆C 与y 轴上截得的弦长为MN ，求证：三角形AMN 的面积为定值。 2．设F 1，F 2分别是椭圆E ：)10(122 2 <<=+b b y x 的左，右焦点，过F 1的直线L 与E 相交 于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列。 （1）求|AB|长； （2）若直线L 的斜率为1，求b 的值； 3．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直
线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率； (2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6 3，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积． 5．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为 32的椭圆过点? ? ??? 2，22. (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ， OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．
两点间距离公式：|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 完全平方公式： (a +b ) 2＝ ① 完全平方公式： (a -b ) 2＝ ② ①-②，得： 问题：设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ ＝ ＝ 同理可得|AB |＝|y 1－y 2|·1＋1k 2 (k ≠0). 例 已知椭圆22 12521 x y +=，的直线交椭圆于,A B 两点，求AB .
练习 已知椭圆x 216＋y 24 ＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程，并求弦AB 的长. 解 方法一 易知直线斜率k 存在. 设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)， 由? ???? y －1＝k (x －2)，x 216＋y 24＝1， 得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是上述方程的两根， 于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1 . 又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1 ＝2， 解得k ＝－12 ，且满足Δ>0. 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. ∵x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝4(2k －1)2－164k 2＋1 ＝0. ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋????－12242－0＝2 5. 方法二 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2). ∵M (2,1)为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A 、B 两点在椭圆上， 则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16， 两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2 ＝－12， 即k AB ＝－12 .故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. |AB |求法同上.
二、弦长公式:直线与二次曲线相交所得的弦长 1直线具有斜率k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为 1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长 12AB x =-= 12y y =- 注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为 1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算. 2当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 三、过两圆C 1: x 2 + y 2 +D 1x +E 1y +F 1 = 0和C 2: x 2 + y 2 +D 2x +E 2y +F 2 = 0的交点的圆系方程，一般设为 x 2+y 2 +D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2 + y 2 +D 2x +E 2y +F 2) = 0 (λ为参数)此方程不包括圆C 2. 四、对称问题1和最小，化异侧 2差最大，化同侧 例题分析 1、如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=， （1）求 y x 的最大值和最小值;（2）求y x -的最大值与最小值；（3）求22x y +的最大值与最小值. 2、已知两定点(3,5)A -，(2,15)B ，动点P 在直线3440x y -+=上，当 PA ＋PB 取最小值时，这个最小值为（）.A ．B ．362 C ．D ．5+ 3、已知点)8,3(-A 、)2,2(B ，点P 是x 轴上的点，求当PB AP +最小时的点P 的坐标． 直线与圆
【解答】如图示：,考虑代数式的几何意义: ⑴y x 即圆上的点与原点所在直线的斜率.当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，即y x 取得最大值与最小值； ⑵y x -即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截距； ⑶22x y +即圆上的点到原点距离的平方. 当点位于圆与x 轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点位于圆与x 轴的右交点时，点到原点的距离最大. 解（1）设(,)P x y 为圆22(2)3x y -+=上一点.y x 的几何意义为直线OP 的斜率，设y k x =，则直线OP 的方程为y kx =.当直线OP 与圆相切时，斜率取最大值与最小值. ∵圆心到直线y kx =的距离 d = =，=即k =直线OP 与圆 相切.∴y x 的最大值为3，最小值为（2）令y x b -=，即y x b =+，求y x -的最大值与最小值即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截距的最大值与最小值. 当直线与圆相切时，截距取得最大值与最小值.∵圆心到直线y x b =+的距离 d == =2b =时，直线OP 与圆相切.∴y x -2，最小值为2. （3）要22x y +的最大值与最小值，即求圆上的点到原点距离的平方的最大值与最小值. 当点位于圆与x 轴的左交点时，点到原点的距离最小； 当点位于圆与x 轴的右交点时，点到原点的距离最大； ∵左交点坐标为(2，右交点坐标为(2 的最大值与最小值分别为22 ∴22x y +的最大值与最小值分别为7+，7-2【分析】先求出点A 关于直线3440x y -+=的对称点'A ，连接A '和B 交直线于点P ，根据三角形的两边之和大于第三边可知，此时PA ＋PB 取值最小，最小值为|'|A B .根据两点间的距离公式即可求得最小值。
第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题 【关卡1 一般弦的计算问题】 笔 记 1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式） 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 代数法 几何法 例 题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且 e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， （1）求椭圆的方程； （2）弦AB 的长度. 2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y += （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围 （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程
3.已知直线3+=kx y 与椭圆12 22 =+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点？ 4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，1202020≤+
2.已知椭圆G:14 22 =+y x ，过点（m ，0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点 （1）求椭圆的焦点坐标和离心率； （2）将|AB |表示成m 的函数，并求|AB |的最大值 3.直线01=--kx y 与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求m 的取值范围？ 4.若直线 2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围？ 【关卡2 中点弦问题】 笔 记
椭圆的焦点弦长公式 θ 2222 21cos 2c a ab F F -=及其应用 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有 命题： 若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ 2222 21cos 2c a ab F F -=。 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 例1、已知椭圆的长轴长 AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ 2222 21cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-??α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3 π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。 分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2 2 22=-+--b y a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32 +=c c a （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22222π c a ab -=5 16 （2）又 222c b a += （3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ， 从而所求椭圆E 的方程为13 )1(4)4(2 2=-+-y x 。
直线与圆锥曲线中的弦 长问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题 【关卡1 一般弦的计算问题】 笔 记 1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式） 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 代数法 几何法 例 题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且 e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， （1）求椭圆的方程； （2）弦AB 的长度. 2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y += （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围 （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 3.已知直线3+=kx y 与椭圆12 22 =+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点 4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，1202020≤+
圆锥曲线中的弦长问题 知识点：圆锥曲线的弦 1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 当直线的斜率存在时，直线与圆锥曲线相交于 ， 两 点， 把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为.则 弦长公式： 其中 当存在且不为零时, 弦长公式还可以写成： 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题 ， 2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦； 抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线 的倾斜角. 3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径. 抛物线的通径 二、例题： 1、若椭圆19 362 2=+y x 的弦被点()2,4平分，则此弦所在直线的斜率为 A 、2 B 、 -2 C 、 31 D 、2 1 - 2、已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则AB 等于 A 、3 B 、4 C 、23 D 、24 3、过抛物线px y 22=()0>p 的焦点F 作倾斜角为?45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则P= 4、求直线23+ =x y 被曲线2 2 1x y =截得的线段的长
5、过原点且倾斜角为60?的直线被圆学 22 40x y y +-=所截得的弦长为 科网（A ）3 （B ）2 （C ）6（D ）23 6、已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +m y 2 =1恒有公共点，则实数m 的取值范围是 A.（0，1） B.（0，5） C.［1，5）∪（5，+∞） D.［1，5） 7、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为22且6 3 e = ，过椭圆C 32l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 8、过点()4,1P 作抛物线2 8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 9、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程。
圆锥曲线中弦长与三角形问题 一．知识点： 1．直线与椭圆，双曲线，抛物线相交与A ，B 两点，则弦长|AB|= 2．（1 （2 1与原点的距离为3 6 。 （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线L 经过定点（0，1），且与椭圆交于M ，N 两点，当|MN|= 3 2 4时，求直线L 的方程； 2．已知椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为322，且椭圆上一点与椭圆的两个焦 点构成的三角形周长为6+42。 （1）求椭圆C 的方程； （2）设直线L 与椭圆E 交于A 、B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求△ABC 的面积的最大值；
作业： 1．已知动圆过定点A （p ，0），圆心C 在抛物线y 2 =2px （p>0）上运动。圆C 与y 轴上截得的弦长为MN ，求证：三角形AMN 的面积为定值。 2．设F 1，F 2分别是椭圆E ：)10(122 2 <<=+b b y x 的左，右焦点，过F 1的直线L 与E 相交 于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等差数列。 （1）求|AB|长； （2）若直线L 的斜率为1，求b 的值； 3．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是 直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率； (2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．
4．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6 3 ，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积． 5．已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点? ??? 2，2 2. (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围． 6．如图,点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的一个顶点,1C 的长轴是圆 4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线,其中1l 交圆2C 于两点,2l 交椭圆1C 于另一点D ； (1)求椭圆1C 的方程; (2)求ABD ?面积取最大值时直线1l 的方程 . （第21题图）
圆的切线方程及弦长公式 【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号） 1．掌握圆的切线方程． 2．会用代数法和几何法求圆的弦长． 主干知识归纳 1．圆的切线方程 (1) 过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2； (2) 过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T 的切线长公式为|MT |＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝|MC |2－r 2(其中C 为圆C 的圆心，r 为其半径)． 2．求圆的弦长的常用方法 (1) 几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则()l 22 ＝r 2 －d 2 ，即22d -r 2 =l (2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 2 x 1＋x 2 2 －4x 1x 2]. 方法规律总结 1. 求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上，若在圆上，该点为切点，切线只有一条；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解，注意，需考虑无斜率的情况． 2．求解与圆的弦长有关的计算问题时，常利用圆的半径r ，弦长l 与弦心距d 之间的关系：r 2 ＝d 2 ＋l 2 4 ，一 般不用代数法求解． 3．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1) 形如μ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2) 形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3) 形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 【指点迷津】 【类型一】圆的切线方程 【例1】：求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程． 【解析】：解法一：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线， 且有|MA |＝|AP |＝r ， 因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则???? ? n －2m －1＝2－31＋1 (m －1)2＋(n －2)2＝ (m －4)2＋(n ＋1)2＝r ， 解得m ＝3，n ＝1，r ＝5， 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5. 解法二：因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0过点M (1,2)的切线方程为2x －y ＝0， 所以设所求圆A 的方程为x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＋λ(2x －y )＝0，因为点P (4，－1)在圆上， 所以代入圆A 的方程，解得λ＝－4，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0. 答案：(x －3)2＋(y －1)2＝5（x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0）. 【例2】：已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.若过点A 的圆的切线只有一条，则切线方程为________． 【解析】：由于过点A 的圆的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝± 3. 当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0； 当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0，
圆锥曲线中的弦长问题 一、单选题 1．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一 个交点为P ，则2PF =（ ） A ． 2 B C ． 72 D ．4 2．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ， ()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 3．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在 EFP △ 中，sin EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ） A ． B ．4 C ．2 D ．1 4．椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24 e ??∈???? ，则线段AB 的长度的取值范围是（ ） A ．,3??? B ．3??? C ．,48?? D ．816?? 5．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ） A ．3 B ． 52 C ． 32 D ． 32或52 二、填空题 6．已知P 为椭圆221164 x y +=上的一个动点， 过点P 作圆()2 211x y -+=的两条切线，
切点分别是A ，B ，则AB 的最小值为_______. 7．已知抛物线C ：2 2x py =-()0 p >的焦点F 与22 184 y x +=的一个焦点重合，过焦 点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______. 8．已知1F ，2F 为椭圆22 1123 x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点 在y 轴上，则1PF 的值为______. 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22 221x y c b +=， 其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足 12:2:3e e =，A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交 点为P ，且18 5 PB = . （1）求椭圆1 C 的方程； （2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值. 10．在平面直角坐标系上，已知动点P 到定点()11,0F -、()21 ,0F 的距离之和为2. （1）求动点P 的轨迹方程C ． （2）若直线:l y x t =+与曲线C 交于A 、B 两点，42 3 AB = .求t 的值
圆的弦长公式 知识梳理 一、直线与圆的位置关系 1．几何判定法： 设r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离： (1)d >r ?圆与直线相离； (2)d ＝r ?圆与直线相切； (3)d
典型例题 例1：已知圆C ：x 2＋(y －1)2 ＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝17时，求m 的值． 解析：本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题．(1)问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明，(2)问可利用弦长公式求解． 答案：(1)解法一：由? ?? ?? x 2 ＋y －12 ＝5 mx －y ＋1－m ＝0，消去y 整理，得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2 －5＝0. ∵Δ＝(－2m 2)2 －4(m 2 ＋1)(m 2 －5)＝16m 2 ＋20>0，对一切m ∈R 成立，∴直线l 与圆C 总有两个 不同交点． 解法二：由已知l ：y －1＝m (x －1)， 故直线恒过定点P (1,1)． ∵12＋(1－1)2 <5，∴P (1,1)在圆C 内． ∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点． (2)解法一：圆半径r ＝5， 圆心(0,1)到直线l 的距离为d ， d ＝ r 2－? ????|AB |22＝32 . 由点到直线的距离公式，得 |－m | m 2＋－1 2 ＝3 2 ， 解得m ＝± 3. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ (1＋k 2) ? ?????100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ∴m ＝± 3. 练习1：直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2 ＋y 2 ＝25相交，截得的弦长为45，求l 的方程． 答案：解法一：设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)且与圆C 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ? ???? y －5＝k x －5x 2 ＋y 2 ＝25消去y ， 得(k 2 ＋1)x 2 ＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0. ∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2 ＋1)·25k (k －2)>0. 解得k >0. x 1＋x 2＝－10k 1－k k 2 ＋1，x 1x 2＝25k k －2 k 2＋1. 由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)． ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2
5 17．（2015?铜仁市）如图，已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC 经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE； （2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径． 15．（2015?聊城）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O 于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E． （1）求证：AB=BE； （2）若PA=2，cosB=，求⊙O半径的长．
12．（2015?通辽）如图，MN是⊙O的直径，QN是⊙O的切线，连接MQ交⊙O于点H，E为上一点，连接ME，NE，NE交MQ于点F，且ME2=EF?EN． （1）求证：QN=QF； （2）若点E到弦MH的距离为1，cos∠Q=，求⊙O的半径． 10．（2015?广西）已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线； （3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．
24．（2015?黔西南州）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．（1）求证：直线PB与⊙O相切； （2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长． 5．（2015?鄂州）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F． （1）求证：AE为⊙O的切线． （2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径． （3）在（2）的条件下，求线段BG的长． 1．（2015?大连）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点P． （1）求证：EP与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EP的长．
高二数学阶段练习----直线与椭圆相交弦长参考答案2013-11-28 1.解：设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，由题意知：2a b =，则椭圆方程可化为22 2214x y b b +=，设()()1122,,,A x y B x y . 由222 442 x y b y x ?+=?=+?消去y 得：225161640x x b ++-= 则()()2 222121216164,,1620164165455 b x x x x b b -+=-?=?=--=- AB ∴=5 == ，24,0b ∴=?>满足，∴椭圆方程为221164x y +=. 2. 解：设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>,由题意知：22 c c e a a ===∴=， 又2222 ,1b a c b =-∴= ，∴椭圆方程为2 214x y +=. (2)设()()1122,,,P x y Q x y ,由2244x y y x m ?+=?=+?消去y 得：2258440x mx m ++-=， 则()()()22221212844,,8204416555 m m x x x x m m m -+=-?=?=--=- PQ ∴=5== =22b =，215,08m ∴=?>满足，4 m ∴=± 3.解： 椭圆离心率2 e =，222,a c ∴=又 22222,a b c b c =+∴=，则椭圆方程可设 为：222212x y c c +=，由题意知：()()()2,0,0,0,,2 AB b F c A a B b k a ∴=-=-，则过点2F