上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练
数列
一、填空、选择题
1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.
2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根
3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞
=++
+，则q = .
4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24
344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞
++
+=___________.
5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
533S S =，则53
a
a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、
b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即
a b
k m
-=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依
次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为
7、（黄浦区2016届高三二模）
已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1
(,22,1,2,3,
)k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值
为
8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1
311log ,2,
(*)3,
21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 .
9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，
2
2|2016|n S n a n
（0a >），则使得1
n n a a +≤（n ∈*
N ）恒成立的a 的最大值为 .
10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，*
n N ∈，则这个数列的前
n 项和n S =___________．
11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连
续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为__________________． 12、（宝山区2016届高三上学期期末）
数列121231234
1213214321???，，，，，，，，，，，则
9
8
是该数列的第 项. 13、（崇明县2016届高三上学期期末）已知数列
的各项均为正整数，对于
，有
其中k 为使1n a +为奇数的正整数. 若存在， 当n ＞m 且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为
14、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列}{n a 是等差数列，2a 和2014a 是方程01652
=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2015项的和为__________．
15、（虹口区2016届高三上学期期末）在等差数列{}n a 中，1352469,15,a a a a a a ++=++= 则数列{}n a 的前10项的和等于_____.
二、解答题
1、（2016年上海高考）若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具有性质
P .
（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；
（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，
n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；
（3）设{}n b 是无穷数列，已知*
1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.
2、（2015年上海高考）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N *． （1）若b n =3n+5，且a 1=1，求数列{a n }的通项公式；
（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即0n a ≥a n （n ∈N *），求证：数列{b n }的第n 0项是最大项；
（3）设a 1=λ＜0，b n =λn （n ∈N *），求λ的取值范围，使得{a n }有最大值M 与最小值m ，且∈（﹣2，2）．
3、（2014年上海高考）
已知数列{}n a 满足1133
n n n a a a +≤≤，*
n ∈N ，11a =.
(1) 若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若11
33
n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围；
(3) 若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数
列12,,,k a a a 的公差.
4、（虹口区2016届高三三模）若数列12:,,
,(,2)n n A a a a n N n *∈≥满足
110,1(1,2,
,1),k k a a a k n +=-==-则称n A 为L 数列.记12().n n S A a a a =++
+
（1）若5A 为L 数列,且50,a =试写出5()S A 的所有可能值； （2）若n A 为L 数列，且0,n a =求()n S A 的最大值；
（3）对任意给定的正整数(2),n n ≥是否存在L 数列,n A 使得()0?n S A =若存在，写出满足条件的一个L 数列n A ；若不存在，请说明理由.
5、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足n
n n a a 331+=-（*
∈≥N n n ,2），首项31=a ．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）数列{}n b 满足n
a b n
n 3
log =，记数列?
??????+11n n b b 的前n 项和为n T ，A 是△ABC 的内角，若n T A A 4
3
cos sin >
对于任意n N *∈恒成立，求角A 的取值范围．
6、（闵行区2016届高三二模）已知n ∈*
N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,11
2
n n n b b a +=+
,记24n n n c a b =-．
（1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）证明：数列{}n c 是等差数列；
（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*
N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则
必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．
7、（闸北区2016届高三二模）已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足(1)
2
n n n S +=
． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列1
{
}n
a 的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-； （3）（理）已知当*n N ∈，且6n ≥时有1
(1)()32
n m m n -<+，其中1,2,,m n =，求满足
34(2)(3)n a n n n n n a ++
++=+的所有n 的值．
8、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知正项数列}{n a ，}{n b 满足：对任意*
N ∈n ，都有n a ，
n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ．
（1）求证：数列
{}n
b 是等差数列；
（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （3）设12
111n n
S a a a =+++
，如果对任意*
N ∈n ，不等式n n n a b aS -<22恒成立，求实数a 的取值范围．
9、（宝山区2016届高三上学期期末）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，
公差为2的等差数列.
(1)求证：数列{}n a 是等比数列； (2) 若()n n n b
a f a =+，当k =
{}n b 的前n 项和n S 的最小值； （3）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 是递增数列？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明
理由．
10、（奉贤区2016届高三上学期期末）数列{}n a 的前n 项和记为n S 若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，
则称{}n a 是“H 数列”．
(1)、若数列{}n a 的通项公式2n
n a =，判断{}n a 是否为“H 数列”；
（2）、等差数列{}n a ，公差0d ≠，12a d =，求证：{}n a 是“H 数列”； （3）、设点()1,n n S a +在直线()1q x y r -+=上，其中120a t =>，0≠q ．
若{}n a 是“H 数列”，求,q r 满足的条件．
11、（虹口区2016届高三上学期期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20,2().n n S S n na n N *=+=∈
（1） 计算1234,,,,a a a a 并求数列{}n a 的通项公式；
（2） 若数列{}n b 满足12335(21)23,n n n b b b n b a +++
+-=?+求证：数列{}n b 是等比数列；
（3）由数列{}n a 的项组成一个新数列{}n c ：1122334567,,
,
,c a c a a c a a a a ==+=+++
1112212221,
n n n n n c a a a a ---++-=+++
+. 设n T 为数列{}n c 的前n 项和，试求lim
4n
n
n T →∞的值.
12、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知1a ，2a ，…，n a 是由n （*n ∈N ）个整数1，2，…，n 按任意次序排列而成的数列，数列{}n b 满足1k k b n a =+-（1,2,,k n =），1c ，2c ，…，n c 是1，2，…，n 按从大到
小的顺序排列而成的数列，记122n n S c c nc =++
+．
（1）证明：当n 为正偶数时，不存在满足k k a b =（1,2,,k n =）的数列{}n a ．
（2）写出k c （1,2,
,k n =），并用含n 的式子表示n S ．
（3）利用22212(1)(2)()0n b b n b -+-+
+-≥， 证明：121
2(1)(21)6n b b nb n n n +++++≤及122n n a a na S ++
+≥．
（参考：2221
12(1)(21)6
n n n n +++=++．）
13、（静安区2016届高三上学期期末）李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？
参考答案
一、填空、选择题 1、【答案】4 【解析】试题分析：
要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1,1,0,0,0,
-???，所以最多由4个不同的数组成.
2、解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，
即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，
即方程③的判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，
故选：B
3、【解析】：
2
2
31
1
15
10
112
a a q
a q q q
q q
-±
==?+-=?=
--
，∵01
q
<<，∴
51
q
-
=
4、16
5、【答案】17
9
【解析】()()
5315131
53
334
22
S S a a a a d a
=?+=?+?=，所以
51
17
a a
=，
31
9
a a
=，所以5
3
17
9
a
a
=
6、976
7、1288、1279、
1
2016
10、
1
1
22,
2
5
2,
22
n
n
n
n
n
S
n
n
+
+
?
+-
??
=?
?--
??
为偶数
为奇数
11、200
12、12813、1或54、120915、80
二、解答题
【答案】（1）
3
16
a=．（2）{}n a不具有性质P．（3）见解析．
【解析】
试题分析：（1）根据已知条件，得到
6783
32
a a a a
++=++，结合
678
21
a a a
++=求解．
（2）根据{}n b的公差为20，{}n c的公比为
1
3
，写出通项公式，从而可得5
20193n
n n n
a b c n-
=+=-+．
通过计算
15
82
a a
==，
2
48
a=，
6
304
3
a=，
26
a a
≠，即知{}n a不具有性质P．
（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．
试题解析：（1）因为
52
a a
=，所以
63
a a
=，
74
3
a a
==，
85
2
a a
==．
于是
6783
32
a a a a
++=++，又因为
678
21
a a a
++=，解得
3
16
a=．
（2）{}n b的公差为20，{}n c的公比为
1
3
，
所以()12012019n b n n =+-=-，1
518133n n n c --??
=?= ?
??
．
520193n n n n a b c n -=+=-+．
1582a a ==，但248a =，6304
3
a =
，26a a ≠， 所以{}n a 不具有性质P ． （3）[证]充分性：
当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．
对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=． 充分性得证． 必要性：
用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *
∈N ，
使得12k b b b b ==???==，而1k b b +≠．
下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==???=，但21k k a a ++≠． 设()sin f x x x b =--，取m *
∈N ，使得m b π>，则
()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =．
取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==， 依此类推，得121k a a a c +==???==．
但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠． 所以{}n a 不具有性质P ，矛盾． 必要性得证．
综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 2、（1）解：∵a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），b n =3n+5， ∴a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ）=2（3n+8﹣3n ﹣5）=6， ∴{a n }是等差数列，首项为a 1=1，公差为6， 则a n =1+（n ﹣1）×6=6n ﹣5；
（2）∵a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =2（b n ﹣b n ﹣1）+2（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+2（b 2﹣b 1）+a 1 =2b n +a 1﹣2b 1，
②当λ=﹣1时，a 2n =3，a 2n ﹣1=﹣1， ∴M=3，m=﹣1，
（﹣2，2），不满足条件．
③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a 2n →+∞，无最大值；
当n→+∞时，a 2n ﹣1→﹣∞，无最小值． 综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．
3、【解析】：（1）依题意，232133a a a ≤≤，∴263x ≤≤，又3431
33
a a a ≤≤，∴327x ≤≤， 综上可得36x ≤≤；
（2）由已知得1
n n a q -=，又121133
a a a ≤≤，∴
1
33
q ≤≤ 当1q =时，n S n =，
1133n n n S S S +≤≤，即133
n
n n ≤+≤，成立 当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即11111
33111
n n n q q q q q q +---≤≤---，
∴111
331n n q q +-≤≤-，此不等式即11320320
n n n n
q q q q ++?--≥?-+≤?，∵1q >， ∴1
32(31)2220n n n n q
q q q q +--=-->->，
对于不等式1
320n n q
q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤，
又当12q <≤时，30q -<，
∴1
32(3)2(3)2(1)(2)0n n n q
q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立，
∴12q <≤
当1
13q ≤<时，11n n q S q -=-，1133
n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---，
即11320
320
n n n n
q q q q ++?--≤?-+≥?，310,30q q ->-< ∵1
32(31)2220n n n n q
q q q q +--=--<-<
132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->
∴
1
13
q ≤<时，不等式恒成立 综上，q 的取值范围为1
23
q ≤≤
（3）设公差为d ，显然，当1000,0k d ==时，是一组符合题意的解， ∴max 1000k ≥，则由已知得
1(2)1(1)3[1(2)]3
k d
k d k d +-≤+-≤+-，
∴(21)2(25)2k d k d -≥-??-≥-?
，当1000k ≥时，不等式即22,2125d d k k ≥-≥-
--， ∴221d k ≥-
-，12(1) (10002)
k k k d
a a a k -+++=+=， ∴1000k ≥时，200022
(1)21
k d k k k -=
≥---，
解得10001000k ≤≤，∴1999k ≤， ∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981
(1)199919981999
k d k k -=
=-=--?
4、解：（1）满足条件的L 数列5A ，及对应的5()S A 分别为：
（i ） 0, 1, 2，1, 0. 5()4;
S A =
(ii) 0, 1, 0，1, 0. 5()2;S A =
（iii ） 0, 1, 0，-1, 0. 5()0;
S A = (iv) 0, -1, -2，-1, 0. 5()4;S A =- （v ） 0, -1, 0，-1, 0 . 5()2;S A =-
(vi) 0, -1, 0, 1, 0. 5()0.S A =
因此，5()S A 的所有可能值为：4,2,0,2,
4.-- ……5分
(2) 由于n A 为L 数列，且10,
n a a ==11(1,2,
,1),
k k a a k n +-==-
故n 必须是不小于3的奇数. ……7分
于是使()n S A 最大的n A 为：
0,1,2,3,,2,1,,1,2,,3,2,1,0.k k k k k ---- ……9分
这里213(),n k k n N *=+≥∈、 并且
[]21
()212(1),.2
n n S A k k k k -=++
+-+==
因此，2
max
1()(3).2n n S A n -??= ???
为不小于的奇数 ……11分 （3）令1(1,2,
,1),1,k k k k c a a k n c +=-=-=±则于是由10,a =得
213221243312311121,,
,
,
.
n n n n a c a a c c c a a c c c c a a c c c c ---==+=+=+=++=+=++
+
[]12312321
123211232()(1)(2)(3)2(1)(2)(3)21(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)
(1)
(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(12
n n n n n n n S A a a a a n c n c n c c c n n n n c n c n c c c n n n c n c n c c -----=++++
+=-+-+-+
++=-+-+-+
+++
+--+--+--++-+--=
---+--+--++-+-故[]1).
n c -
1,1(1,2,
,1)k k c c k n =±-=-因故为偶数，所以
12321(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)n n n c n c n c c c ----+--+--+
+-+-为偶数.
于是要使(1)
()0,2
n n n S A -=必须
为偶数，
即(1)n n -为4的倍数，亦即 4,41().n m n m m N *==+∈或 ……14分
（i ）当4()n m m N *=∈时，L 数列n A 的项在满足： 4143420,=k k k a a a ---==1,
41(1,2,,)k a k m =-=时，()0.n S A = ……16分
(ii)当41()n m m N *=+∈时，L 数列n A 的项在满足：4143420,=k k k a a a ---==1，
441=1(1,2,,),0k m a k m a +-==时()0.n S A = ……18分
5、（1）数列{}n a 满足n
n n a a 331+=-（*
∈≥N n n ,2）
∴n
n n a a 331=--，∵03≠n ，∴
1331
1
=---n n n n a a 为常数，…………2分
∴数列?
??
??
?n n a 3是等差数列，首项为131=a ，公差为1…………4分 n a n n
=3
∴n n n a 3?= )(*∈N n …………6分 （2）234
13233343(1)33n n n S n n -=+?+?+?+
+-?+?
2345133233343(1)33n n n S n n +=+?+?+?++-?+?
234112333333n n n S n -+-=++++
+-?
11
333
22
n n n S n ++=?-+…………10分 （3）数列{}n b 满足n
a b n n 3
log =，则n b n
n ==3log 3，…………11分
11
n n b b +=111(1)1
n n n n =-++
因此有： 1111111(1)()()()2
23
34
1
n T n n =-+-+-++-+ =1
1
1+-
n
…………13分 ∴由题知△ABC 中，1
sin cos sin 22n A A A =
>恒成立，而对于任意n N *∈，1n T <成立，所以1sin 224A ≥即2
3
2sin ≥A ， …………16分 又),0(π∈A ，即)2,0(2π∈A
∴
3223
ππ
≤
≤A ，即??
?
???∈3,6ππA ． …………18分 6、（1）n a n =， ………………………………………………………………2分
1122
n n n n n
b b a b +=+=+，
∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+???+- …………………4分
1(1)
0[12(2)(1)]24
n n n n -=+++???+-+-=．……………………………………6分
（2）22
1114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分
221
(1)4()(4)12
n n n n n a a b a b =+-+--=
∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分
(3)
由解方程得：x =
，由条件，()0k f x =
两根x =为整数，则k c ?=必为完全平方数，不妨设2
()k c m m =∈N ， …………12分
此时2
k a m
x -±=
=为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++
∴()2
22121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分
此时(21)(1)
2
k a m m x -++±+=
=
k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分
所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.
由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分 7、解：（1）当2n ≥时，1(1)(1)22
n n n n n n n
a S S n -+-=-=
-= 又
111a S == ，所以n a n = ……………………………5分
(2)、<法一> 11n a n =，11
12n T n
∴=+++， 111111
1(1)(1)(1)22321n R n -∴=++++++++++-
111
(1)1(2)(3)1231
n n n n =-?+-?+-?++?-
11111111
(11)(11)(1)(2)231231n n n n T n n n n n
=++++-+=+++++-=-≥--…6分
<法二>：数学归纳法
①2n =时，11111R T a ==
=，212
11
2(1)2(1)1T a a -=+-= ………………………1分 ②假设(2,*)n k k k N =≥∈时有1(1)k k R k T -=- ………………………1分
当1n k =+时，111
1
(1)(1)(1)()k k k k k k k k R R T k T T k T k k T k a -++=+=-+=+-=+-- 111
(1)(11)(1)(1)1
k k k T k k T k ++=+-+-
-=+-+1n k ∴=+是原式成立
由①②可知当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-； ………………………4分 (3)、（理）
1
(1)()32
n m m n -
<+，1,2,,m n =
2
3
121
1)3211
2)()321
3)()32
411)()
32
31)()
32n n n n n n n n m n n m n n m n m n n m n n -+?
=
?=
?
=-
?
=
时，（
时，（时，（时，（时，（?相加得，
23
1214311111
(
)()(
)()()()()()333322222
n n
n n n n n n n n n n -++++++<+++++++++
23
1111111
()()()()1()1222
222
n n n -+++++=-<， 34(2)(3)n n n n n n ∴++++<+ ………………………4分
6n ∴≥时，34(2)(3)n n n n n n ∴++
++=+无解
又当1n =时；34<，2n =时，2
2
2
345+=；3n =时，3
3
3
3
3456++=
4n =时，44443456+++为偶数，而47为奇数，不符合 5n =时，5555534567++++为奇数，而58为偶数，不符合
综上所述2n =或者3n = ……………………………4分
(3)、易知0q ≠，否则若0q =，则1
()f x p =
，与lim ()0(*)n n f a n N →∞=∈矛盾
因为函数()f x 的定义域为R ，所以(1)31qx p -?+恒不为零，而3qx
的值域为(0,)+∞，所以10p -≥，
又1p =时，()1f x =，与lim ()0(*)n n f a n N →∞
=∈矛盾，故1p >
11()(1)31(1)(3)1n qn q n
f a p p =
=-?+-+且lim ()0n n f a →∞
=31q
∴>，0q ∴> 即有1p q +>。 ……………………………8分
8、（1）由已知，12++=n n n a a b ①, 12
1++=n n n b b a ②， ………1分
由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………2分 将③代入①得，对任意*
N ∈n ，2n ≥，有112+-+=n n n n n b b b b b ， 即112+-+=n n n b b b ，所以
{}n
b 是等差数列． …………………………4分
（2）设数列
{}n
b 的公差为d ，由101
=a ，152
=a
，得2
25
1=
b ，182=b ，……6分 所以2251=
b ，232=b ，所以2
2
12=-=b b d ， ……………………7分 所以，)4(2
2
22)1(225)1(1+=?-+=
-+=
n n d n b b n ， ………………8分 所以，2)4(2+=n b n ，2
)4(2)3(2212
+?+==-n n b b a n n n ， ……………………9分
2
)
4)(3(++=
n n a n ． …………………………………………………………10分 （3）解法一：由（2），??
? ??+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………11分 所以，111111112245563444n S n n n ??????????=-+-+???+-=- ? ? ? ???+++?
?????????，……13分 故不等式n n n a b aS -<22化为3424141
4++-
? ??+-n n n a ， 即)3()
4)(2(+++<
n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………14分
令)
3(2
312131121342)3()4)(2()(++++
+=??? ??++??? ??+=++?+=+++=
n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立. ………………………………17分 故1a ≤，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞. ………………………………18分
解法二：由（2），??
? ??+-+=++=4131
2)4)(3(21n n n n a n ， ……………………11分 所以，111111112245563444n S n n n ??????????=-+-+???+-=-
? ? ? ???+++????
??????，……13分
故不等式n n n a b aS -<22化为3424141
4++-
? ??+-n n n a ， 所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2
<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成
立， ……………………………………14分 设8)2(3)1()(2
--+-=n a n a n f ，由题意，10a -≤，