成都玉林中学(石羊校区)九年级上册期末精选试卷检测题
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．已知关于x 的一元二次方程()22
1210m x m x +-+=有两个不相等的实数根．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值． 【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15
m =- 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()2
2140m m ∴?=-->且
20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.
（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 122
1
x x m
=，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，2
2212
15m m m
--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值. 【详解】
（1）因为方程()22
1210m x m x +-+=有两个不相等的实数根，
()2
21240m m ∴?=-->，解得14
m <
； 又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．
m ∴的取值范围是1
4
m <
且0m ≠． （2）
1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=
，12
2
1
x x m = 14m <
且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，122
1
0x x m
=>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，
2221215m m m -∴-
=-，2
15210m m ∴--=，解得113m =，2
15
m =-， 14m <
且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15m ∴=-． 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.
2．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根． （1）求a 的取值范围；
（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值． 【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12． 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；
（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ，x 1x 2=-6
a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66
a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2． 【详解】
（1）∵原方程有两实数根， ∴2
60
(2)4(6)*0
a a a a -≠??
?=-->?， ∴a≥0且a≠6．
（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根， ∴x 1+x 2=﹣
26a a -，x 1x 2=6
a
a -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣6
6
a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣
66a -是负整数，即6
6
a -是正整数． ∵a 是整数，
∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．
3．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA 、OC 的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA ＞OC ），BE=5，tan ∠ABO=．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；
（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.
【解析】
试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.
试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．
∴A（12，0），C（﹣6，0）；
（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°
∴∴OB=16．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20
∵BE=5，∴AE=15．
如图1，作EM⊥x轴于点M，
∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，
∴，即：
∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．
∴E（3，12）．∴k=36；
（3）满足条件的点Q的个数是6，
x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；
方法：如下图
①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）
如图①∵E（3，12），C（﹣6，0），
∴CG=9，EG=12，∴EG2=CG?GP，∴GP=16，
∵△CPE与△PCQ是中心对称，
∴CH=GP=16，QH=FG=12，∵OC=6，∴OH=10，
∴Q（10，﹣12），
如图②作MN∥x轴，交EG于点N，
EH⊥y轴于点H ∵E（3，12），C（﹣6，0），
∴CG=9，EG=12，∴CE=15，
∵MN=CG=，可以求得PH=3﹣6，
同时可得PH=QR，HE=CR ∴Q（﹣3，6﹣3），
考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.
4．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．
（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；
（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：
①∠FCD的最大度数为；
②当FC∥AB时，AD= ；
③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;
④△FCD的面积s的取值范围是 .
【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.
【解析】
试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.
（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.
②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.
③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.
④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."
② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.
③如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，设AD=x ， 由②知DH=3，FH=
，则HC=
.
在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得
.
∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴
，即
，解得
.
④设AD=x ，易知，即
. 而
，
当时，；当
时，
.
∴△FCD 的面积s 的取值范围是
.
考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.
5．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程
2
(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221
6
k k k -+-的值．
【答案】0. 【解析】 【分析】
由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求
出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x 1
、x 2
则12123940x x x x a a +-??
??-≥?
＝＝＝ ， 由条件，知12
1212
11x x x x x x ++
==3， 即
33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，
则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，
Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221
06
k k k -=+-.
Ⅱ.当k -1≠0时，?=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17
8
k ≤
， 又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使221
6k k k -+-无意义.
综上，代数式221
6
k k k -+-的值为0
【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，
二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）
6．在平面直角坐标系中，抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的
1
4
时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）2
2y x x =-++；（2）存在，（
23，209）或（10
3，529
-）；（3）
5
或 【解析】 【分析】
（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；
（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出
∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；
（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解． 【详解】
解：（1）∵抛物线2
2(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），
则44220422a b a b -=-+??=++?，解得：11a b =-??=?
，
∴抛物线的解析式为2
2y x x =-++； （2）存在，理由是：
在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ， 在2
2y x x =-++中， 令y=0，解得：x=2或-1， ∴点B 坐标为（-1，0）， ∴点E 坐标为（1，0）， 可知：点B 和点E 关于y 轴对称， ∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ， ∵D （0，2），
∴=， 在△BDE 中，有
12×BE ×OD=1
2
×BD ×EF ，
即2×2=5×EF ，解得：EF=45
5
， ∴DF=22DE EF -=35
， ∴tan ∠BDE=
EF DF =4535÷=4
3， 若∠PBC=2∠BDO ， 则∠PBC=∠BDE ， ∵BD=DE=5，BE=2， 则BD 2+DE 2＞BE 2， ∴∠BDE 为锐角， 当点P 在第三象限时， ∠PBC 为钝角，不符合； 当点P 在x 轴上方时，
∵∠PBC=∠BDE ，设点P 坐标为（c ，22c c -++）， 过点P 作x 轴的垂线，垂足为G ， 则BG=c+1，PG=22c c -++，
∴tan ∠PBC=
PG BG =221
c c c -+++=4
3， 解得：c=
2
3
， ∴22c c -++=
209
， ∴点P 的坐标为（
23，209
）；
当点P 在第四象限时，
同理可得：PG=22c c --，BG=c+1，
tan ∠PBC=PG BG =221
c c c --+=4
3，
解得：c=10
3
，
∴22
c c
-++=
52
9
-，
∴点P的坐标为（
10
3
，
52
9
-），
综上：点P的坐标为（
2
3
，
20
9
）或（
10
3
，
52
9
-）；
（3）设EF与AD交于点N，
∵A（-2，-4），D（0，2），设直线AD表达式为y=mx+n，则
42
2
m n
n
-=-+
?
?
=
?
，解得：
3
2
m
n
=
?
?
=
?
，
∴直线AD表达式为y=3x+2，
设点M的坐标为（s，3s+2），
∵A（-2，-4），C（2，0），设直线AC表达式为y=m1x+n1，
则11
11
42
02
m n
m n
-=-+
?
?
=+
?
，解得：1
1
1
2
m
n
=
?
?
=-
?
，
∴直线AC表达式为y=x-2，
令x=0，则y=-2，
∴点E坐标为（0，-2），
可得：点E是线段AC中点，
∴△AME和△CME的面积相等，
由于折叠，
∴△CME≌△FME，即S△CME=S△FME，
由题意可得：
当点F在直线AC上方时，
∴S△MNE=
1
4
S△AMC=
1
2
S△AME=
1
2
S△FME，
即S△MNE= S△ANE= S△MNF，
∴MN=AN ，FN=NE ，
∴四边形FMEA 为平行四边形， ∴CM=FM=AE=
12AC=22
1442
?+=22， ∵M （s ，3s+2）， ∴
()
()2
2
23222s s -++=，
解得：s=4
5
-或0（舍）， ∴M （45-
，2
5
-）， ∴AM=2
2
422455????-++-+ ? ?????
=
6105，
当点F 在直线AC 下方时，如图， 同理可得：四边形AFEM 为平行四边形， ∴AM=EF ，
由于折叠可得：CE=EF ， ∴AM=EF=CE=22，
综上：AM的长度为610
5
或22．
【点睛】
本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．
7．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．
（1）当y0＝﹣1时，求m的值．
（2）求y0的最大值．
（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围
是．
（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G 在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）51
2
或﹣1；（2）
1
4
；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞
4
3
或
2
3
≤m＜1
【解析】
【分析】
（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；
（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；
（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；
（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】
解：（1）如图1中，当m＞0时，
∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，
图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），
此时最底点P（m，﹣m2+m），
由题意﹣m2+m＝﹣1，
解得m＝51
+
或
51
-+
（舍弃），
当m＝0时，显然不符合题意，
当m＜0时，如图2中，
图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，
∴m＝﹣1，
综上所述，满足条件的m的值为51
2
或﹣1；
（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣1
2
）2+
1
4
，
∵﹣1＜0，
∴m＝1
2
时，y0的最大值为
1
4
，
当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，
综上所述，y0的最大值为1
4
；
（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，
当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，
∴m＝1或0（舍弃），
∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，
故答案为0＜x1＜1；
（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，
当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，
当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，
观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．
则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，
解得m＞4
3
，
或﹣m≤2m﹣2＜0，
解得2
3
≤m＜1（不合题意舍弃），
当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．
即或﹣m≤2m﹣2＜0，
解得2
3
≤m＜1，
综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞43或2
3
≤m ＜1． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
8．如图，直线3y
x
与x 轴、y 轴分别交于点A ，C ，经过A ，C 两点的抛物线
2y ax bx c =++与x 轴的负半轴的另一交点为B ，且tan 3CBO ∠=
（1）求该抛物线的解析式及抛物线顶点D 的坐标；
（2）点P 是射线BD 上一点，问是否存在以点P ，A ，B 为顶点的三角形，与ABC 相似，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）2
43y x x =++，顶点(2,1)D --；（2）存在，52,33P ??
--
???
或(4,3)-- 【解析】 【分析】
（1）利用直线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC ，再根据tan ∠CBO=3求出OB ，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，整理成顶点式形式，然后写出点D 的坐标；
（2）根据点A 、B 的坐标求出AB ，判断出△AOC 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AC ，∠BAC=45°，再根据点B 、D 的坐标求出∠ABD=45°，然后分①AB 和BP 是对应边时，△ABC 和△BPA 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可；②AB 和BA 是对应边时，△ABC 和△BAP 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BP ，过点P 作PE ⊥x 轴于E ，求出BE 、PE ，再求出OE 的长度，然后写出点P 的坐标即可． 【详解】
解：（1）令y=0，则x+3=0， 解得x=-3， 令x=0，则y=3，
∴点A （-3，0），C （0，3）， ∴OA=OC=3，
∵tan ∠CBO=3OC
OB
=， ∴OB=1，
∴点B （-1，0），
把点A 、B 、C 的坐标代入抛物线解析式得，
93003a b c a b c c -+=??-+=??=?
，解得：143a b c =??
=??=?，
∴该抛物线的解析式为：2
43y x x =++， ∵y=x 2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点(2,1)D --；
（2）∵A （-3，0），B （-1，0）， ∴AB=-1-（-3）=2， ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴AC=2OA=32，∠BAC=45°， ∵B （-1，0），D （-2，-1）， ∴∠ABD=45°，
①AB 和BP 是对应边时，△ABC ∽△BPA ， ∴AB AC
BP BA =， 即
232
BP =
， 解得BP=
22
3
， 过点P 作PE ⊥x 轴于E ，
则BE=PE=3×2=2
3
， ∴OE=1+
23=53
， ∴点P 的坐标为（-
53，-2
3
）； ②AB 和BA 是对应边时，△ABC ∽△BAP ， ∴AB AC
BA BP =，
即
22BP
=
，
解得BP= 过点P 作PE ⊥x 轴于E ，
则BE=PE=2
=3， ∴OE=1+3=4，
∴点P 的坐标为（-4，-3）； 综合上述，当52,33P ??
-- ???
或(4,3)--时，以点P ，A ，B 为顶点的三角形与ABC ?相似； 【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴交点的求解，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）要分情况讨论．
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 的边AO 在x 轴的负半轴上，边OB 在y 轴的负半轴上．且AO ＝12，OB ＝9．抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点A 和点B ． （1）求抛物线的表达式；
（2）在第二象限的抛物线上找一点M ，连接AM ，BM ，AB ，当△ABM 面积最大时，求点M 的坐标；
（3）点D 是线段AO 上的动点，点E 是线段BO 上的动点，点F 是射线AC 上的动点，连接EF ，DF ，DE ，BD ，且EF 是线段BD 的垂直平分线．当CF ＝1时． ①直接写出点D 的坐标 ；
②若△DEF 的面积为30，当抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过平移同时过点D 和点E 时，请直接写出此时的抛物线的表达式 ．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣51
4
x﹣9；（2）M(﹣6，31.5)；（3）①(﹣50)或(﹣3，
0)，②y＝﹣x2﹣13
3
x﹣4
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法把问题转化为解方程组即可解决问题．
（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣51
4
m﹣9），根据S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB构建二次
函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）①分两种情形：如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．根据FD＝FB，构建方程求解．当点F在线段AC上时，同法可得．
②根据三角形的面积求出D，E的坐标，再利用待定系数法解决问题即可．
【详解】
解：（1）由题意A（﹣12，0），B（0，﹣9），
把A，B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，
得到
9 144120
c
b c
=-
?
?
--+=
?
，
解得：
51
4
9
b
c
?
=-
?
?
?=-
?
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣51
4
x﹣9．
（2）如图1中，设M（m，﹣m2﹣51
4
m﹣9），
S△ABM＝S△ACM+S△MBC﹣S△ACB
＝1
2
×9×（m+12）+
1
2
×12×（﹣m2﹣
51
4
m﹣9+9）﹣
1
2
×12×9
＝﹣6m2﹣72m
＝﹣6（m+6）2+216，
∵﹣6＜0，
∴m＝﹣6时，△ABM的面积最大，此时M（﹣6，31.5）．
（3）①如图2中，当点F在AC的延长线设时，连接DF，FB．设D（m，0）．
∵EF垂直平分线段BD，
∴FD＝FB，
∵F（﹣12，﹣10），B（0，﹣9），
∴102+（m+12）2＝122+12，
∴m＝﹣12﹣55
∴D（﹣50）．
当点F在线段AC上时，同法可得D（﹣3，0），
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣50）或（﹣3，0）．
故答案为（﹣50）或（﹣3，0）．
②由①可知∵△EF的面积为30，
∴D（﹣3，0），E（0，﹣4），
把D，E代入y＝﹣x2+b′x+c′，
可得'4
93''0c b c =-?
?--+=?
，
解得：13'3'4
b c ?=-?
??=-?，
∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣13
3
x ﹣4． 故答案为：y ＝﹣x 2﹣13
3
x ﹣4． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
10．平面直角坐标系xOy 中，对于任意的三个点A 、B 、C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的“三点矩形”．在点A ，B ，C 的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A ，B ，C 的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG ，矩形IJCH 都是点A ，B ，C 的“三点矩形”，矩形IJCH 是点A ，B ，C 的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M （4，1），N （﹣2，3），点P （m ，n ）．
（1）①若m ＝1，n ＝4，则点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”的周长为 ，面积为 ；
②若m ＝1，点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”的面积为24，求n 的值； （2）若点P 在直线y ＝﹣2x +4上．
①求点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m 的取值范围； ②当点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P 的坐标；
（3）若点P （m ，n ）在抛物线y ＝ax 2+bx +c 上，且当点M ，N ，P 的“最佳三点矩形”面积为12时，﹣2≤m ≤﹣1或1≤m ≤3，直接写出抛物线的解析式．
【答案】（1）①18,18；②
或5；（2）①最小值为12，；②点的坐标为
或
；（3）
,或
.