1.2 函数及其表示
§1.2.1 函数的概念
教学目的】
1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；
2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；
3、使学生能够正确使用“区间” 、“无穷大”的记号；
4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。
教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 教学难点】 函数概念的理解 教学过程】 、复习引入
提问〗 初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
回答〗 设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应， 那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数， 并将自变量 x 取值的集合叫做函数的定义域， 和自变量 x 的值 对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。
讲述〗 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 提问〗 问题 1： y =1（ x ∈ R ）是函数吗？
2
问题 2： y = x 与 y = x 是同一函数吗？
x
投影〗 观察对应：
、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射
投影〗函数： 设 A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个
分析 〗观察分析集合
A 与
B 之间的元素有什么对应关系？
数x ，在集合B中都有唯一确定的数f ( x)和它对应，那么就称f ：A→B为从集合 A 到集合B的一个函数，记作y= f (x) ，x∈A。其中x叫自变量，x的取值范围 A 叫做函数y= f(x) 的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{ f (x) | x ∈A} ，叫做函数y= f (x)的值域。
函数符号y= 函数的三要素：f (x)表示“ y是x的函数”，有时简记作函数f (x)。对应法则f 、定义域A、值域{ f (x)|x ∈A}
：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
映射：设A, B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A中的任意一个元素x ,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f :A B为从集合A到集合B的一个映射.
如果集合A中的元素x对应集合B中元素y ,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象.
映射概念的理解
(1)映射f : A B 包含三个要素:原像集合A,像集合B( 或 B 的子集)以及从集合 A 到集合 B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:
(1) 方向性:映射是有次序的,一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的;
(2) 任意性:集合A中的任意一个元素都有像,但不要求 B 中的每一个元素都有原像;
(3) 唯一性:集合A中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系
函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.
函数是特殊的映射,映射是函数的推广.
注意〗(1)函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个特殊对应f ：A →B。这里A，B 为非空的数集。
(2)A：定义域，原象的集合；{ f(x)|x∈A}：值域，象的集合，其中{ f(x)|x∈A} B；f ：对应法
则，x∈A，y ∈B
(3)函数符号：y= f(x)，y是x的函数，简记f(x) 回顾〗(二)已学函数的定义域和值域：
1、一次函数f(x) =ax＋b(a≠0)：定义域R，值域R
k
2、反比例函数f(x)= (k≠0)：定义域{ x | x ≠0} ，值域{y | y≠0} x
3、二次函数f(x)=ax2＋bx＋c ( a ≠ 0)：定义域R ，值域：当 a > 0 时，y|y≥4ac
b2
}；4a
即 x ≥－ 1 且 x ≠ 2 时，根式 x 1 和分式 1
1 同时有意义
2x
当a <0时，{ y |y ≤ 4ac b }。
4a
（三）函数的值： 关于函数值 f （a ） 例析：若 f （x ） =x 2＋3x ＋1，求 f （2）。 解： f （2） =22＋3×2＋ 1=11 注意〗（ 1）在 y = f （x ） 中 f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样；
（ 2） f （x ） 不一定是解析式，有时可能是“列表” 、“图象”；
（3） f （x ）与 f （a ）是不同的，前者为变数，后者为常数， f （a ）是 f （x ）的一个特殊值。
（四）区间的概念
〖投影〗 设a 、 b 是两个实数，而且 a < b ，我们规定：
（1）满足不等式 a ≤ x ≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为 [a ,b ]； （2）满足不等式 a < x
（ 3）满足不等式 a ≤ x
（a,b]；
（ 4）实数集 R 可以用区间表示为（－∞ ,＋∞）；满足不等式 x ≥a ， x >a ，x ≤b ，x
的集合可以分别表示为 [ a ,＋∞ ） ，（ a ,＋∞），（－∞ ,b ] ，（－∞ ,b ）。
〖注意〗 注意集合与区间之间的关系： 区间是数集， 表示区间端点的两个实数不能相等， 但数集中不等 式两端的两个实数可以相等，如 a ≤ x ≤a 。 三、实例提升
2
∴这个函数的定义域是 { x | x ≥ 2 } 。
3 ③∵当 x ＋1≥0 且 2－ x ≠0，
其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有 解析〗根据对应
的含义和函数的概念，可以看出②③能表示 例析〗 例 2、求下列函数的定义域：
1
① f （x ） 1 ； x2
② f (x) = 3x 2 ；
③ f (x) = x 1 ＋
解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式 义
域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 x 的集合。
1
1 无意义， x2
解：①∵ x － 2=0 ，即 x =2 时，分式 1
而 x ≠2 时，分式 1 有意义
x2 ∴这个函数的
定义域是 { x |x ≠2}。
2
②∵ 3 x ＋2<0，即 x < 时，根式
3
2
而 3x ＋2≥0，即 x ≥
时，根式
3 3x 2 无意义 3x 2 才有意义
1 2x
y = f （x ） ，而没有指明它的
定
例析〗 例1、设集合 M={ x |0≤x ≤2} ，N={ y |0≤y ≤2} ，从 M 到 N 有4种对应如下图所示：
M 到 N 的函数关系。
② ③
4、若 A {1,2,3,4} ， B
{a,b,c}，a,b,c R ，则 A 到 B 的映射有 个， B 到 A 的映射有 个，
∴这个函数的定义域是 { x |x ≥－1且 x ≠2}
另解：要使函数有意义，必须： x ＋1≥0且 2－x ≠0 x ≥－1且 x ≠2 ∴这个函数的定义域是： { x | x ≥－ 1 且 x ≠ 2}
强调〗 解题时要注意书写过程， 注意紧扣函数定义域的含义。 由本例可知， 求函数的定义域就是根据 使函数式有意义的条件， 布列自变量应满足的不等式或不等式组， 解不等式或不等式组就得到所求的 函数的定义域。
求函数的定义域的常见类型： (1) 当 f(x) 为整式时，定义域为 R ；
(2) 当 f (x)为分式时，定义域为使分母不为 0的 x 的集合；
(3) 当 f(x)为 n 次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的 x 的集合； (4)
当 f(x) 是由几个式子组成时，定
义域是使各个式子都有意义的
x 的取值的集合。
例析〗 例3、已知函数 f(x)=3x 2－5x ＋2，求 f(3)， f( 2)， f(a 1)。 解析〗解： f (3)=3 × 32－ 5× 3＋
2=14 ；
f( 2) =3×(－ 2 )2－ 5× (－ 2 )＋2=8＋5 2 ； f(a 1)=3(a ＋1)2－5(a ＋1)+2=3 a 2＋ a 。
例析〗 例 4、下列函数中哪个与函数 y = x 是同一个函数？
(1) y ( x) 2；
(2) y 3 x 3 ；
(3) y
x 2
解析〗解： ( 1) y =x ，x ≥0， y ≥ 0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数； (2) y =x ， x ∈R ， y ∈ R ，定义域值域都相同，是同一个函数；
x(x 0)
(3)
y =| x |=
， y ≥0；值域不同，不是同一个函数。
x(x 0)
例
〗 例 5、 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
(1) y 1 (x 3)(x 5) x3
y
2 x5
(定义域不同) (2)
y
1
x1x1
y
2
(x 1)(x 1)
(定义域不同)
(3) f 1(x) ( 2x 5)2 f 2(x) 2x 5
(定义域、值域都不同)
注意〗 两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。 3、已知函数 f(x) =2 x －3，求： (1) f(0)， f(2)， f(5)；
2) f[ f(x)]；
3)若 x ∈{0 ，1，2，3}，求函数的值域。 四、演练反馈
1、函数 f (x) A ．(
1
B ． ( 13
,1)
C ． ( 1,1)
33
D ．(
2、下列各组，函数 f (x) 与 g(x) 表示同一个函数的是( A ． f (x) =1， g(x) =x 0
C ． f (x)= x 2， g(x)=( x)4
2
B ． f(x)=x 0 ，g(x)=x x
D ． f(x)=x 3， g(x)=(3 x)9
lg(3x 1) 的定义域是(
A 到
B 的函数有个
演练反馈答案：1、B 2、D 3、(1) f(0)=－3，f(2) =1，f(5)=7； (2) f[f(x)]=4x－9；
(3)值
域为{ －3，－1，1，3}
4、81,64,81
五、课堂小结本节课学习了以下内容：函数是一种特殊的对应f：A → B，其中集合A，B 必须是非空的数
集；
y f(x) 表示y 是x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值
域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数； f (a) 表
示f (x) 在x=a 时的函数值，是常量；而f (x) 是x 的函数，通常是变量。
【教后札记】本节的教学重点是在对应的基础上来理解函数的概念，主要包括函数的概念、
三要素的理解，难点是函数定义和函数符号的认识与使用。由于学生在初中已学习了函
数的传统定义，并学习了几类简单的函数，所以在高中重新定义函数时，学生并不陌生，
重要的是让学生认识到它的优越性，从根本上揭示了函数的本质——由定义域、值域、对
应法则三要素构成的整体，通过例题解析让学生充分理解函数的概念。