数列求和方法
等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和.
下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法）
将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 例1 求22222222
12345699100-+-+-+--+L ．
解：原式2
2
2
2
2
2
2
2
(21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++L L ．
由等差数列求和公式，得原式50(3199)
50502
?+=
=．
二、倒序相加法
此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.
例2 求2222
2
222
2222123101102938101
++++++++L 的和． 分析：由于数列的第k 项与倒数第k 项的和为常数1，故采用倒序相加法求和．
解：设2222
2
2222222123101102938101
S =++++++++L 则2222
2
222
2222109811012938101
S =++++++++L ． 两式相加，得 2111105S S =+++=∴=L ，
． 小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法. 三、裂项相消法
如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和.
例3 已知2
2
2
1
12(1)(21)6
n n n n +++=
++L ， 求 22
2222222
35721()11212312n n n
*
+++++∈++++++N L L 的和． 分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相
互抵消了，从而可求出原数列的前n 项和.
解：222
21216
112(1)(1)(21)6
n n n a n n n n n n ++=
==++++++Q L ，
11161223(1)111116122311611ln .1
n S n n n n n n ??
∴=+++
????+??
??
????=-+-++-
? ???+???????
?=- ?+??=+L L
小结：如果数列{}n a 的通项公式很容易表示成另一个数列{}n b 的相邻两项的差，即1n n n a b b +=-，则有11n n S b b +=-.这种方法就称为裂项相消求和法. 四、错位相减法
源于等比数列前n 项和公式的推导，对于形如{}n n a b 的数列，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为
等比数列，均可用此法.
例4 求2
3
35(21)n
x x x n x ++++-L 的和．
解：当1x ≠时，211
22(1)(21)1(1)1n n n x x x n x S x x x
-+--=+----；
当1x =时，2
n S n =．
小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列{}n b 的公比；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和公式求和. 五、分组求和法
若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求. 例5 求数列11
111
246
248162
n n ++L ，，，，，L 的前n 项和n S ． 分析：此数列的通项公式是1122n n a n +=+，而数列{2}n 是一个等差数列，数列112n +??
????
是一个等比数列，故采用分组求和法求解． 解：23411111111(2462)(1)222222n n n S n n n ++??=+++++++++=++-
???
L L ． 小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成
等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和.
求通项公式的十种方法
一、公式法
例1 已知数列{}n a 满足1232n
n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n
n n a a +=+?两边除以12n +，得
113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n
n
a 是
以1222
a 1
1==为首项，以23
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222
n
n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n
n n a a +=+?转化为
113
222
n n n n a a ++-=，说明数列{}2
n n
a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3
1(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、利用
{
1(2)1(1)
n n S S n S n n a --≥==
例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数
2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；
解
：
22(1)
4
2
31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--Q 23435T S n n n n n ∴=+=--……
2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,62
6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分
练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等
比数列，求数列{a n }的通项a n
解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②
由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)
当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;
当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3
2．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和
1412
2333
n n n S a +=-?+，1,2,3,n =g g g
（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；
（Ⅱ）设2n
n n T S =，1,2,3,n =g g g ，证明：1
32n
i i T =<∑
解：（I ）
2111412
2333a S a ==-?+
，解得：12a = ()21111441
22333n n n n n n n a S S a a +++++=-=---()11242n n n n a a ++?+=+
所以数列{}
2n n a +是公比为4的等比数列
所以：
()11
1224n n n a a -+=+?
得：42n n
n a =- （其中n 为正整数）
（II ）()()()1114124122
242221213333333n n n n n n n n S a +++=-?+=--?+=-- ()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++??
==?=?- ?
----??
所以： 11
1
3113221212n
i n i T +=??=?-< ?--??∑ 三、累加法
例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n
n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
例4 已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由1231n n n a a +=+?+得1231n
n n a a +-=?+则
11232211
122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-L L L
所以3 1.n
n a n =+-
评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n
n n a a +-=?+，进
而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
例5已知数列{}n a 满足1132313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+?+两边除以1
3n +，得
111
21
3333n n n n n a a +++=++
， 则
111
21
3333n n n n n a a +++-=+
，故 11223211
2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++L L L
因此1
1(13)
2(1)2113133133223n n n n n
a n n ---=++=+-
-?， 则211
33.322
n n n a n =
??+?-
评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n
n n a a +=+?+转化为
111
21
3333n n n n n a a +++-=+
，进而求出112232*********
(
)()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+L ，即得数列3n n a ??
????
的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。 四、累乘法
例6 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故13211221
12211(1)(2)21(1)
1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]5332
5!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
?????=-+-+??+?+??=-?????=???L L L L 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=???
评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n
n n a n a +=+?转化为
1
2(1)5n n n
a n a +=+，进而求出
13211221
n n n n a a a a a a a a a ---?????L ，即得数列{}n a 的通项公式。 例7已知数列{}n a 满足112311
23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。
解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+L ②
用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥
故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
????=-???=L L ③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知
11a =，则21a =，代入③得!
13452
n n a n =?????=
L 。 所以，{}n a 的通项公式为!.2
n n a =
评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为
1
1(2)n n
a n n a +=+≥，进而求出
132122
n n n n a a a
a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。
五.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+
例8（2006年福建卷）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式； 解：*121(),n n a a n N +=+∈Q
112(1),n n a a +∴+=+
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。
12.n n a ∴+=
即
2*21().n a n N =-∈
例9．已知数列{}n a 中，11a =,1111
()22
n n n a a ++=+，求n a 。 解：在1111
()22
n n n a a ++=
+两边乘以12+n 得：112(2)1n n n n a a ++?=?+ 令n n n a b ?=2，则11n n b b +-=,解之得：111n b b n n =+-=- 所以122
n n n n b n a -=
= 练习. 已知数列}a {n 满足）（2n 12a 2a n 1n n ≥-+=-，且81a 4=。
（1）求321a a a ，，；
（2）求数列}a {n 的通项公式。
解： （1）33a 13a 5a 321===，，
（2）n 1n n n 1n n 2)1a (21a 12a 2a +-=-?-+=--
1n 21a 121a 21a n
n 1
n 1n n
n +=-?
+-=
-?
--
∴12)1n (a n n ++=
六、待定系数法
例10已知数列{}n a 满足112356n
n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1
15
2(5)n n n n a x a x +++?=+?
④
将1235n
n n a a +=+?代入④式，得12355225n n n n n a x a x ++?+?=+?，等式两边消去2n a ，
得1
355
25n n n x x +?+?=?，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得
1152(5)n n n n a a ++-=-
⑤
由1
156510a -=-=≠及⑤式得50n
n a -≠，则11525
n n n
n a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n
n n a a +=+?转化为1
15
2(5)n n n n a a ++-=-，从
而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n
n a -的通项公式，最后再求出数列{}
n a 的通项公式。
例11 已知数列{}n a 满足1135241n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1
12
3(2)n n n n a x y a x y +++?+=+?+
⑥
将13524n
n n a a +=+?+代入⑥式，得
1352423(2)n n n n n a x y a x y ++?++?+=+?+
整理得(52)24323n n
x y x y +?++=?+。
令52343x x y y +=??
+=?，则5
2
x y =??=?，代入⑥式得
115223(522)n n n n a a +++?+=+?+
⑦
由1
1522112130a +?+=+=≠及⑦式，
得5220n
n a +?+≠，则11522
3522
n n n n a a +++?+=+?+，
故数列{522}n n a +?+是以1
152211213a +?+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133n n n a -+?+=?，则1133522n n
n a -=?-?-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n
n n a a +=+?+转化为
115223(522)n n n n a a +++?+=+?+，从而可知数列{522}n n a +?+是等比数列，进而求
出数列{522}n
n a +?+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。
例12 已知数列{}n a 满足2
1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设22
1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧
将2
12345n n a a n n +=+++代入⑧式，得
2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则 222(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++
等式两边消去2n a ，得2
2
(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，
解方程组3224252x x x y y x y z z +=??++=??+++=?，则31018x y z =??
=??=?
，代入⑧式，得
2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨
由213110118131320a +?+?+=+=≠及⑨式，得2
310180n a n n +++≠
则212
3(1)10(1)18231018
n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=?，则42231018n n a n n +=---。
评注：本题解题的关键是把递推关系式2
12345n n a a n n +=+++转化为
2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列
2{31018}n a n n +++是等比数列，进而求出数列2{31018}n a n n +++的通项公式，最后再
求出数列{}n a 的通项公式。 七、对数变换法
例13 已知数列{}n a 满足5
123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为511237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。在5
123n n n a a +=??式两边取常
用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++ ⑩ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++
○
11 将⑩式代入○11式，得5lg lg 3lg 2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++，两边消去5lg n a 并整理，得(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则
lg35lg 25x x x y y +=??
++=?，故lg 34lg 3lg 2164x y ?
=????=+??
代入○11式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2
lg (1)5(lg )41644164
n n a n a n ++
+++=+++ ○
12
由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2
lg 1lg 71041644164a +?++=+?++≠及○
12式， 得lg3lg3lg 2lg 04164
n a n +
++≠， 则
1lg3lg3lg 2
lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164
n n a n a n ++
+++=+++
， 所以数列lg3lg3lg 2
{lg }4164
n a n +
++是以lg3lg3lg 2lg 74164+
++为首项，以5为公比的等比数列，则1
lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164
n n a n -+++=+++，因此
111111
1116
164
4
44
111111
16
16
4
4
4
4
11111116
16
4
4
4
4
55514
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464
(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2
[lg(7332)]5
lg(332)
lg(7332)5lg(332)lg(733
n n n n n n n n n n n n a n ---------=+
++---=+++---=???-??=???-??=??1115116
4
541515116
4
2)
lg(73
2
)
n n n n n -------?=??
则11
54151516
4
73
2
n n n n n a -----=??。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5
123n n n a a +=??转化为
1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2
lg (1)5(lg )41644164n n a n a n ++
+++=+++，从而可知数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列lg3lg3lg 2
{lg }4164n a n +++的通项
公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 八、迭代法
例14已知数列{}n a 满足3(1)2115n
n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为3(1)21n
n n n
a a ++=，所以1
2
1
323(1)2
321
2
[]n n n n n n n n n a a a ---?-??--==
2
(2)(1)
32
(2)(1)
3
(3)(2)(1)
1
12(3)(2)(1)
(1)
12
3(1)22
3(2)23(1)23
3(2)(1)23
323(2)(1)213!21
[]n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a
-+---+--+-+--+++-+-+----??--?-??---?-??-?-????======L L L L L
又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
3
!25
n n n n n a --??=。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式3(1)2
1n
n n n
a a ++=两边取常用对数得1lg 3(1)2lg n
n n a n a +=+??，即
1
lg 3(1)2lg n n n
a n a +=+，再由累乘法可推知(1)12
3!2
132
11221
lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --??---=?????=L ，从而1(1)
3!2
2
5
n n n n n a --??=。
九、数学归纳法
例15已知数列{}n a 满足11
228(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+
=++，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由122
8(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+
++及189
a =，得 2122322243228(11)88224
(211)(213)992525
8(21)248348
(221)(223)25254949
8(31)488480
(231)(233)49498181a a a a a a +?=+
=+=
?+?+?+?=+=+=?+?+?+?=+=+=
?+?+?
由此可猜测22
(21)1
(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。 （1）当1n =时，212(211)18
(211)9
a ?+-=
=?+，所以等式成立。
（2）假设当n k =时等式成立，即22
(21)1
(21)k k a k +-=+，则当1n k =+时，
122
8(1)
(21)(23)k k k a a k k ++=+
++
22222222
222222
2
2
22
222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)
(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=+++++-+++=
++++-+++=
++++-+=
+++-=
+++-=
++2
由此可知，当1n k =+时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何*
n N ∈都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 十、换元法
例16已知数列{}n a 满足111
(14124)116n n n a a a a +=
++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：令124n n b a =+2
1(1)24
n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=
-，代入11
(1412416
n n n a a a +=+++得 22
1111(1)[14(1)]241624
n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+
因为1240n n b a =+≥，故111240n n b a ++=+≥
则123n n b b +=+，即11322
n n b b +=+， 可化为11
3(3)2
n n b b +-=
-， 所以{3}n b -是以1131243124132b a -=+-=+?-=为首项，以2
1
为公比的等比数列，因此1
21132()
()2
2n n n b ---==，则21()32n n b -=+，即21
124()32
n n a -+=+，得 2111
()()3423
n n n a =++。
评注：本题解题的关键是通过将124n a +的换元为n b ，使得所给递推关系式转化
113
22
n n b b +=+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，
最后再求出数列{}n a 的通项公式。
数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且* 1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-* ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =.
反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列: 类型1 )(1 n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++ =+2 11 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1 =+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n } 的通项1 ___n a ?=? ? 12 n n =≥ 2 ! n a n = )2(≥n
常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，1 3n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=* ()n N ∈，求数 列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ，n a a n n 21+=+，* ()n N ∈求 数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列 λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{} n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-* ()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数 列。 例：已知数列{}n a 满足11a =，122 n n n a a a += +*()n N ∈， 求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已 知 数 列 {} n a 满 足 11 a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， * ()n N ∈，求数列{}n a 的 通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b （0n b ≠* n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b =求数列{}n c 的通 项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数 列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的 前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 2 1 )12(+ +=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法 例.已知数列}{n a 中，) 2(1 += n n a n ，求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中，1 1211++???++++=n n n n a n ， 又1 2 +?=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和 求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a （1）若12n n a a +=+，则n a =__________； （2）若12n n a a +=，则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式
数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 （1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. （2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列 的通项公式. 注：①并非所有的数列都有通项公式； ②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示 题型1 数列通项公式的求解 思路提示 常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法 根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法：形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式， 可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解 形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?，求出n a 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化 规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有 关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式： （1）325374 ,,,,,,;751381911 - --L
数列求通项公式及求和 9种方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =
1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a .
数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。 例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。 （2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。 二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。 （2）已知101n n S =-，求n a 。 类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ； （2）已知3 32 n n S a =-，求n a ； （3）已知22n n S a +=，求n a 。 类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ； （2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ； （3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。 类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ； （2）11a =，12n n S a +=，求n a ； （3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。
类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。 例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。 （3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。 例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?， 求n a 的通项公式。 （2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。 （3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、（1）14a = 2=，求n a ； （2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ； （3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ； （4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ； （5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ； （6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。
数列求和方法 等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和. 下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法） 将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 例1 求22222222 12345699100-+-+-+--+L ． 解：原式2 2 2 2 2 2 2 2 (21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++L L ． 由等差数列求和公式，得原式50(3199) 50502 ?+= =． 二、倒序相加法 此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例2 求2222 2 222 2222123101102938101 ++++++++L 的和． 分析：由于数列的第k 项与倒数第k 项的和为常数1，故采用倒序相加法求和． 解：设2222 2 2222222123101102938101 S =++++++++L 则2222 2 222 2222109811012938101 S =++++++++L ． 两式相加，得 2111105S S =+++=∴=L ， ． 小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法. 三、裂项相消法 如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和. 例3 已知2 2 2 1 12(1)(21)6 n n n n +++= ++L ， 求 22 2222222 35721()11212312n n n * +++++∈++++++N L L 的和． 分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相 互抵消了，从而可求出原数列的前n 项和. 解：222 21216 112(1)(1)(21)6 n n n a n n n n n n ++= ==++++++Q L ，
数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列｛§L｝是等比数列； n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证：数列｛a n｝是等比数列.
1 1 已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 ｛an ｝ 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?｝中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式 3色」+1 ｛ ｝ 2 十2十2+…十2 等比数列 ｛a n ｝ 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9 练习4 练习
练习10 求和： + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和： 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 ｛a n ｝ 是等差数列， ｛b n ｝ 是各项都为正数的等比数列，且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 ｛a n ｝ , ｛ b n ｝ 的通项公式；(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21
第三讲（数列三） 本讲主要内容：数列通项和前n 项和 第一部分：旧知识复习 ①（（ 2.右的第三个数位________________ 【知识笔记】： ② 叠加法3.已知数列{}n a 满足* 132() n n a a n n N +=++∈，且12a =，求n a _____ 【知识笔记】： ４.已知数列{}n a 中，*112,2()n n n a a a n N +==+∈，求n a ______________
5.在数列{}n a 中，121,2,a a ==且11(1)(2,0)n n n a q a qa n q +-=+-≥≠ （1）设 * 1()n n n b a a n N +=-∈，证明：{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式。 【知识笔记】： ③ ____ 7. ④*)N ， 9. ⑤ 倒数法 10.数列{}n a 中，1121,2n n n a a a a +== +，求n a _________ 【知识笔记】： 11.已知数列{}n a 中，1111,21 n n n S a S S --== +，求通项公式______________
⑥ 构造辅助数列 12.已知数列{}n a 满足1111,12 n n a a a +==+ ，求其通项公式 【知识笔记】： 13.在数列{}n a 中，*112,431,n n a a a n n N +==-+∈，求n a ______________ 14. (①的n S ② 2x 图 ③ 令 （n n n 【知识笔记】： ④ 倒序相加法 18.已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，求 1 2 1231 ...n n n n n n n S C a C a C a C a +=++++ 【知识笔记】：
数列通项公式的十种求法 ｛a n ｝的通项公式。 二、累加法 例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1， 3 (n 1)(n 2 n 、公式法 例1已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 3 2n ， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。 解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開 a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2， 得鱼 2n 以岂 2 1为首项，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列｛》｝是 1(n 丐， 3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 a n 1)3，进而求出数列 -，说明数列 2 解：由a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1则 a n (a n [2(n 2[(n 2^ a n 1 ) (a n 1) 1) 1)n 2 1 a n 2 ) 1] [2(n 2) (n 2) 1] I 2 1] @3 a 2) L (2 2 1) 1 (a 2 a 1 ) 4 1) (2 1 1) 1 (n (n 1) 所以数列｛a n ｝的通项公式 为 a n 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3 a 2) (a ?印) a 1，即得数列｛a n ｝的通项公 式。 求数列｛a n ｝的通项公式。 1) 1
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。 【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列 {} n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =
1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-? ?，检验1n =的情 况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 2 1≥-+ =-n n a a n n ，求n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .
数列求和及求通项 一、数列求和的常用方法 1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和 2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列13 12--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项 ①形如)(1k n n a n +=，可裂项成)11(1k n n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项 ②形如k n n a n ++=1，可裂项成)(1n k n k a n -+=，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2() 1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S 4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。 例：已知数列122-+=n a n n ，求前n 项和n S 5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广） 一、数列求通项公式的常见方法有： 1、关系法 2、累加法 3、累乘法 4、待定系数法 5、逐差法 6、对数变换法
7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法 累加法和累乘法最基本求通项公式的方法 求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。 二、方法剖析 1、关系法：适用于)(n f s n =型 求解过程：???≥-===-) 2()1(111n s s n s a a n n n 例：已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式 2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列 求解过程：若)(1n f a a n n +=+ 则)1(12f a a =- )2(23f a a =- 所有等式两边分别相加得：∑-== -111)(n k n k f a a 则∑-=+=111)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列 求解过程：若n n a n f a )(1=+，则)(1n f a a n n =+ ...... 累加
第二讲 数列的通项与求和 考点一 求数列的通项公式 数列通项公式的求法 (1)公式法：由a n ＝????? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项公式． (2)累加法：由形如a n ＋1－a n ＝f (n )(f (n )是可以求和的)的递推关系求通项公式时，常用累加法． (3)累乘法：由形如a n ＋1a n ＝f (n )(f (n )是可以求积的)的递推关系求通项公式时，常用累乘法． (4)构造法：由形如“a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)”的递推关系求通项公式时，可用迭代法或构造等比数列法． 角度1：公式法求数列通项 [解题指导] n ＝1时，a 1＝S 1→n ≥2时，a n ＝S n －S n －1→转化为等比数列 [解析] 解法一：由S n ＝2a n ＋1，得a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，得a n ＝2a n －1，∴{a n } 是首项为－1，公比为2的等比数列．∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝－(1－26)1－2 ＝－63. 解法二：由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故 11223211 2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1 333333 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++